Estudio local de una función. A partir de una cartulina cuadrada de 60 cm de lado, se va a construir una caja de base cuadrada, sin tapa, recortando cuatro cuadrados iguales en las esquinas de la cartulina y doblando después de la manera adecuada. Un observador indica que la caja de más capacidad se obtendrá si los cuadrados eliminados tienen 10 cm de lado. Decide si la observación es correcta o no. x 60 x x x 60-y x V= S base h= (60 x) x 60-x 60-y 60-x V= (3600 40x +4x ) x V= 3600 x 400 x + 4 x 3 x 60 x x x x V = 3600 480 x + 1 x ; V = 0 ; x 40 x + 300 = 0 ; = 30cm = 10cm V (X) = - 480 + 4 x ; V (10) = - 480 + 40 < 0 Para x = 10 cm el V es máximo, por tanto la observación es correcta.
Calcular máximos, mínimos e intervalos de monotonía y curvatura de la funcion: D: x Posibles máximos o mínimos y = 0 - x² + 1 = 0 x² = 1 x = +1 Posibles PI y = 0 x³ - 6x = 0 ; x (x² - 3) = 0 => Monotonía
Curvatura Cóncava x (-, - ) (0, ) Convexa x Є (-, 0) (, )
Calcular puntos notables asi como intervalos de monotonía y curvatura de: x² - 1= 0 ; x² = 1 ; x = 1 son los valores de x que anulan el denominador D = R- 1 y (x) = 0 ; - 4x = 0 ; x = 0 posible max, min Monotonia: x)(x)(x)(x - -1-0,5 0 0,5 1 Creciente x (-, -1) (-1, 0) Decreciente x (0, 1) (1, ) Intervalos de curvatura: y (x) = 0 ; 1 x² + 4 = 0 ; ; no existe P.I Separamos solo en los intervalos del dominio x)(x)(x - -1 0 1
corte eje ox ; y = 0 ; x² + 1= 0 ; x² = - 1 no existe corte eje oy ; x = 0 ; y = - 1 ; P(0, - 1) A.V ; x = 1 ; x = - 1
Calcular puntos notables e intervalos de monotonía y curvatura de D = R { 0 } Monotonia: x ) ( x -1 0 1 Curvatura x ) ( x -1 0 1 Corte eje Ox ; Para y = 0 => x Corte eje Oy ; Para x = 0 ; y = 1 / 0 = y
Calcular puntos notables, intervalos de monotonía y curvatura de la función: y =. Calcular asíntotas. Dibujar curva D = R- 0 = = = = 0 ; = 0 ; = 0 ; x = 1 posibles máx., min. = = = = > 0 min. (1,) = < 0 máx. (-1,-) = 0 ; = 0 ; = 0 P.I. Monotonia de f(x), -1) x = - ; Creciente (-1, 0) x = -0,5 ; Decreciente (0, 1) x = 0,5 ; Decreciente (1, ) x = ; Creciente Creciente, -1) (1, ) ; Decreciente (-1, 0) (0, 1) Curvatura de f(x) > 0 ; > 0,0) x = -1 ; = < 0 -,0) ) x = 1 ; = > 0 + ) No existen cortes con loa ejes,
AV: x = 0 y = x
Dada la función real de la variable real definida por: Determinar las asíntotas de la función. b) Calcular sus máximos y mínimos y determinar sus intervalos de crecimiento. Grafica (PAU JUNIO 007) La recta y = x 9 es una asindota oblicua. b) Igualamos a cero la primera derivada y estudiamos su signo: x + 6x 7 = 0 x = - 9 x = 3 posibles máximos y minimos x ) ( x ) ( x -10-9 -3 3 4 (-,-9) f (-10) > 0 Creciente (-9, -3) f (-6) < 0 Decreciente (-3, 3) f (0) < 0 Creciente (3, ) f (5) < 0 Decreciente La función f(x) es creciente en (-,-9) (3, ) y, decreciente en (-9, -3) (-3,3). Ademas, f(x) tiene um máximo relativo en (-9,-4) y un mínimo relativo en (3,0)
Si calculamos la y y La igualamos a cero, no existen puntos de inflexión
Dada la función real de la variable real definida por a) Especificar su dominio de definición. b) Estudiar su continuidad c) Calcular las asíntotas, si las hubiera. (PAU Septiembre 007) a) Los valores que anulan el denominador son y 1. Por tanto, el dominio es: b) f( x) x x x x x x x x ( 1) 3 ( 1)( ) En x = 1, la función f(x) no esta definida en 1; por tanto, no existe f(1), y como L 1 = L Se tiene que en x = 1 hay una discontinuidad evitable. En x = : xx ( 1) lim x ( x 1)( x ) 0 xx ( 1) xx ( 1) Calculamos los límites laterales: lim lim x ( x 1)( x ) x ( x 1)( x ) En el punto x = hay una discontinuidad inevitable de salto infinito. c) x x Asíntotas horizontales: y = lim 1 x x 3x x x x x Asíntotas verticales: lim 1 lim 1 x1 x 3x x1 x 3x No tiene asíntota vertical en x=1 lim x x x x 3x x x lim x x 3x x es AV Asíntotas oblicuas: m = f ( x) x x lim lim 0 x x 3 x x 3x No tiene asíntotas oblicuas.
Dominio: 1 + 4.x = 0 ; 4.x = - 1 ; x que anule el denominador luego D = R Como y' = 0 0 = - 8x + ; 8x = ==> x = ==> Puntos de inflexión: Hacemos la y'' = 0 64x 3-48x = 0 ==> 8x (8x - 6) = 0 de donde ó bien x = 0 ó bien 8.x - 6 = 0 ==> 8.x = 6 ==> x = => son los tres posibles puntos de inflexión.
PI PI PI Asintota oblicua: y = m.x + n
D: x (, ) (, ) 0 ( x 4) 8 x 16x y = 4 ( x 4) ( x 4) y`= 0-16x = 0 x = 0 posibles max y min y 16 ( x 4) ( 16x) ( x 4 ( x 4) 4) x 16 ( x 4) ( 16x) 4 x 3 ( x 4) 16x 64 64x 3 ( x 4) 48x 64 3 ( x 4) y``(0) = 0 max (0, -) y``= 0 48x 64 0 48x 64 64 x no existen PI 48 MONOTONIA (, ) x = -3 y (-3) = 0 Crece (-, 0 ) x= -1 y (-1) = 0 Crece (0,) x= 1 y (1) = (, ) x= 3 y (3) = 0 Decrece 0 Decrece Creciente x (, ) (, 0) Decreciente x ( 0, ) (, ) CURVATURA (. ) x = - 3 y (-3) = 0 (-,) x = 0 y (0) = 0 (, ) x = 3 y (3) = 0 [para arriba positivo] [para abajo negativo] [para arriba positivo]
D: x (, ) y = 1 x y = 0 1 0 no hay máximos ni minimos (, ) x = 0 y (0) = 0 siempre Creciente 1 y = ( x ) y (0) = 0 1 0 no existen PI (, ) x = 0 y (0) = 0 AV: x = - ; y = - Corte en (0,0)
x 3 Dada y = calcular asuntotas, cortes con los ejes, maximos (x + 1) y minimos asi como P.I. Dibujar la grafica D= (-, -1) U (-1, ) ya que x + 1 = 0 x = - 1 anula el denominador A.V; x = -1 x 3 3x 6x A.H; y = lim = = lim = lim = = no existe A.H x (x + 1) x (x + 1) x x 3 (x + 1) x 3 A.O; m= lim = lim = 1 x x x x (x + x + 1) A.O; y = mx + n ; y = x - Corte en (0,0) 3x (x + 1) - x 3 ( x + 1) 3 x 3 + 3 x x 3 x 3 + 3 x y = = = (x + 1) 4 (x + 1) 3 (x + 1) 3 y = 0 x 3 + 3x = 0 ; x ( x + 3) = 0 (3x + 6x) (x + 1) 3 - (x 3 + 3x ) 3 (x + 1) 3x 3 + 3x + 6x + 6x 3x 3 9x y = = = (x + 1) 6 (x + 1) 4 6x y = (x + 1) 4 y (0) = 0 No podemos asegurar el max o min
y = 0 ; 6x = 0 ; x = 0 posible P.I )( )( - -1 0 (-, -1) x = y (-) = - 1 0 (-1, 0) x = 0,5 y (0,5) = 0 + + P.I(0,0) (0, ) x = 1 y (1) = 0 + -
Determina las dimensiones del cilindro de área total 4π, con tapa incluída, tal que su volumen sea máximo. Calcular el volumen. V = S T = + X Y + x y = 4 ; x + x y = 1 ; x y = 1 - x Y X y = 0 ; V= = V = 1-3π = 3π x = 1 ; x = 4 ; x= x = u y = hace V máximo = 4u Determinar los intervalos de monotonia y hallar maximos y minimos de y = 3 x 5 + 5 x 3 30 x El dominio es toda la recta real por ser un polinomio de grado 5 Busquemos los valores de y (x) = 0 y = 15 x 4 + 15 x 30 x 4 + x = 0 z + z = 0 Dividimos toda la recta real en tres intervalos ( x x ) - - 1 + 1 + (-, - 1) x = - y (-) = 15 4 + 15 0 > 0 Creciente (- 1, + 1) x = 0 y (0) = - 30 < 0 Decreciente (+ 1, + ) x = 1 y (1) = 15 4 + 15 0 > 0 Creciente Max (-1, ) Min (1, )
En un concurso nos ha correspondido un campo rectangular. Sus dimensiones debemos fijarlas nosotros en condición de que su perímetro sea de 400 m Qué dimensiones debe tener el campo para obtener el máximo de superficie? Y X La condición es que p = 400 x + y + x + y = 400 x + y = 400 x + y = 00 La función que debe ser máxima en la superficie en la superficie S = x y Despejo de la condición y = 00 - x y sustituyo en S S = x (00 - x) = 00 x - x S = 00 - x; S = 0; 00 - x = 0 00 = x; x = 100m e y = 00 100 = 100m Para que sea S.max, la S <0 S = - siempre negativa luego el S es máximo para x = 100m, y = 100m
Estudia la curva y represéntala, para la función f(x) = x + /x - Dominio: para todo x ε R menos para x = 0 D= (-, 0) U ( 0, + ) - Crecimiento y decrecimiento. Máximos y Mínimos ; y ' = 0 ; x 3 = ; x 3 = 1 ; x = 1 Estudio monotonía : Intervalos (-, 0) ( 0, 1 ) y ( 1, + ) - < x < 0 ; x = - 1 ; Decreciente 0 < x < 1 ; x = 0 5 ; Decreciente 1 < x < + ; x = ; Creciente En x = 1 pasa de decreciente a creciente Min( 1, 3) -Concavidad, conversidad, P.I : y'' = 0 x 3 = - 4 ; x 3 = - ; = - 1,6 Estudio curvatura : Intervalos : ( -, 3 -), ( 3 -, 0 ) y ( 0, + ) x = P.I x = 0 No existe curva
Asintotas : Cortes con los ejes : x= 0 ; y = No existe punto de corte y = 0 ; 0 = x 3 + ; x 3 = - ;
Estudiar y representar gráficamente y = x 3-3x + Dominio = R Corte con eje OX ==> y = 0 ==> x 3-3x + = 0 1 0-3 1 1 1 - x + x - = 0 x = 1 1-0 Corte con eje OY ==> x = 0 ==> y = (0,) Máximos y mínimos: y' = 3x - 3 ==> y' = 0 ==> 3x - 3 = 0 ==> 3x = 3 x = 1 ==> x = ± 1 y'' = 6x y''(1) = 6 > 0 Min (1,0) y''(-1) = - 6 < 0 Max (-1,6) Punto de inflexión: y'' = 0 ==> 6x = 0 ==> x = 0 y''' = 6 ==> y'''(0) 0 P.I (0,) No existe A.Vertical No existe A.Horizontal pues y = No existe A.Oblicua pues m =, habrá dos ramas parabólicas.
Estudiar la curva representada por la función Dominio: todos los valores de x pertenecientes a R salvo para x = 0 D = R-{0} Crecimiento, Decrecimiento, máximos y mínimos Tomo los intervalos (-, -1 077), (-1 077, 0) y (0, ) x = - 1 077 pasa de creciente a decreciente Max en (-1 077, -6 96) Concavidad, convexidad y PI Posibles cambios de concavidad en (-, 0), En x = y = 0 PI
Asíntotas ; Verticales en x = 0 y = x = 0 Asíntota V. Cortes con los ejes x = 0 ; y = No corta y = 0 ; ( 1 357, 0) es corte con eje OY
Hallar la longitud de los lados del triangulo isósceles de área máxima cuyo perímetro sea 60 m. h Hay que hallar x e y de forma que : P = x + y ; 60 = x + y ; 30 = x + y ; es la condición. y = 30 - x y S= ½ base altura con h = S = ½ x ; S = x ; x S = x = x = = S = ; S = 0 ; ; 180x (10 - x) = 0 Habrá que calcular S (10) y ver que es < 0. Imposible que la base sea 0 Se supone que es el valor que hace S máxima x = 10 y = 30 - x = 0 m lados iguales. Base x = 10 = 0 m lado desigual El triangulo isósceles de área máxima es un triangulo equilátero de lado 0 m.
. Dibujar la curva Máximos y mínimos y = 0 y = 0; x 4-3x = 0; x (x - 3) = 0 P.I y = 0 x 3 + 6x = 0; x (x + 3) = 0 Como D = R- {±1}... (-1, 0) x = - 0,5 y (- 0,5) > 0-1 0 1 P.I (0, 0) (0, 1) x = 0,5 y (0,5) < 0 AO : y = x
La virulencia de cierta bacteria se mide en una escala de 0 a 50 y viene expresado por 40+15t-9t +t 3, donde t es el tiempo en horas, transcurrido desde que comenzó el estudio (t=0). Indicar los instantes de máxima y mínima virulencia en las 6 primeras horas y los itinerarios en que esta crece o decrece. La ecuación de la virulencia es V = 40 +15t - 9t + t 3 El máximo o mínimo aparecerá para V = 0 V`= 15-18t + 3t V = 0 3t - 18t + 15 = 0; t - 6t + 5 = 0 Para ver cuando es máxima o mínima la virulencia V = 6t - 18; V (5) = 6 5 18 > 0 mínimo de virulencia para t = 5 horas V (1) = 6 1 18 <0 maximo de virulencia para t = 1hora _... t 0 1 5 6 En el intervalo (0,1) x = 0,5 V (0,5) = 15 18 (0,5) +3 (0,5) > 0 Creciente En el intervalo (1,5) x = ; V () = 15 18 () + 3 () < 0 Decreciente En el intervalo (5,6) x = 5,5; V (5,5) = 15-18 (5,5) + 3.(5,5) >0 Creciente
x + 1 = 0 ; x = - 1 ; x = - 1/ Dom: (se iguala el denominador a 0 para saber los valores que lo anulan) 3x + = 0 ; 3x = - ; x = - y = = Posibles mas, min : se halla y y se iguala a 0 y = 0 ; - 1 0 no existe max, min. Posibles P.I : Se halla y y se iguala a 0 Asintota vertical: (coincide con la x del dominio)
Representar la grafica de la función: D = R {x = } D = x (-, ) U (, ) No existen max, min No existe P.I. El único intervalo en donde se puede estudiar monotonia y curvatura es en el Dominio En (-, ) x = 0 y (0) = y (0) = En (, ) x = 3 y (3) = y (3) =
Representar (PAU Junio Especifica 009-010) Se buscan los valores que anulan el denominador y se quitan de la recta real. D = (-, 1) U (1, ) Posibles máximos, mínimos: Se halla la derivada, se iguala a cero y se buscan los posibles x de los máximos y mínimos. Se calcula la y y se particulariza para los posibles máximos o mínimos. Posibles PI. Se igual la y = 0 para buscar los posibles valores de x que sean PI. Aquí no hay.
Asintotas. y = x + 1 b) 3 =
Representar Dominio: 1 - x = 0 ; x = 1 ; x = ± 1 ; D = R - ± 1 Puntos corte con eje OX: y = 0 ==> x 3 = 0 ; x = 0 ==> (0,0) Puntos corte con eje OY: x = 0 ==> y = ; (0;0) y = - x
P.I en (0,0) Monotonia: x )( x)(x)(x)(x - - 3-3/ -1 0 1 3/ 3 Creciente x (-, -1) (-1,1) (1, ) Decreciente x (-, - ) (, )
Representar f(x) = x 1 = x 4 x 1 x Dom f(x)= Rx 0 4 x 1 y 4 4 Corte con eje OX x x 1 0 x 1 corte con eje OX y 0 4 x 1 y 1 Corte con eje OY x y corte con eje OY 0 x 0 AV x 0 4 x 1 AH lim AH x x 4 x 1 4 1 lim x x AO m AO Rama parabolica x 3 x x Posibles maximos y minimos 3 4 4 4 4 x x x 1 x 4x x 4 x f( x) 43 3 3 x x x 4 4 f ( x ) 0 x 0 x 1 x 1 posibles max./min. 0 f ( x) x x x f ( 1) 0 max( 1,) f ( 1) 0 min(1,) 3 3 4 8 x x 3 x ( x ) 4 4 4 x (8 x ) (6x 6) x 6 Posibles puntos de inflexion 6 64 4 4 4 ( ) 0 6 0 6 puntos de inflexión f x x x x=0
Sea la función f(x)= x 3 + ax + bx + 5. Hallar a y b para que la curva y = f(x) tenga en x = 1 un punto de inflexión con tangente horizontal. y= x 3 + ax + bx + 5 Hay dos incógnitas y por tanto necesitamos dos condiciones y = 3x + ax + b y = 6x + a x = 1 hay PI y (1) = 0 x = 1 hay tangente horizontal m t = 0 ; y (1) = 0. 6 1 + a = 0 ; a = -6 ; a = -3 3 1 + a 1 + b = 0 ; 3 + (-3) +b = 0 ; b = 3 La función será y= x 3 3x + 3x + 5
Sea la función ƒ : R R definida de la forma ƒ(x) = 8x³ - 84x² + 40x, determine: a) Su monotonía y sus extremos relativos. b) Su curvatura y su punto de inflexión. (PAU JUNIO 007) a) f (x) = 4x² - 168x + 40 (-, ) )( )( 0 3 5 7 f (0) > 0 f(x) crece (, 5) f (3) < 0 f(x) decrece La función f(x) crece en (-, ) (5, + ) y decrece en (, 5). (5, + ) f (7) > 0 f(x) crece Además, tiene un máximo relativo en x = ; y = 06 y un mínimo relativo en x = 5 ; y = 100 f (x) = 48x 168 48x - 168 = 0 48x = 168 x = 3,5 )( 0 3,5 5 (-,3 5) f (0) < 0 La función f(x) es convexa. (3 5,+ ) f (5) > 0 La función f(x) es cóncava punto de inflexión en x = 3 5.
Una empresa fabrica cajas de latón sin tapa de volumen 500 para almacenar un líquido. Sabiendo que las cajas tienen base cuadrada, hallar la altura y el lao de la base de cada caja para que la cantidad de latón empleada sea la mínima posible. (PAU Junio 001) y= = ; ; Min El gasto de latón es mínimo cuando el lado de la base cuadrada es 10cm y la altura es 5cm b) Puntos de inflexión. a) Máximos y mínimos relativos. Min (1, ) Max (-, )