Pág. Página PRACTICA Interpretación de gráficas En un libro de pesca hemos encontrado la siguiente gráfica que relaciona la resistencia de un tipo de hilo con su grosor: a) Qué grosor debe tener RESISTENCIA (g) el sedal de un pescador que quiera pescar salmones 7 cuyo peso no supere los kg? b) Con cuántos gramos se podría romper un sedal de, mm de grosor? GROSOR (mm) Y de, mm?,,,,,, a) Un grosor de, al menos,,7 mm. b) Con más de g se rompería un sedal de, mm. Con más de 7 g se rompería un sedal de, mm. La siguiente gráfica nos muestra la temperatura de un radiador desde que se enciende la calefacción (8 h) hasta horas más tarde. a) Cuál es la temperatura máima que alcanza y cuándo la alcanza? 8 TEMPERATURA ( C) b) Calcula el aumento de temperatura por hora entre las 8 h y las h. Es el mismo entre las h y las h? c) Cuál es el dominio de definición? d)di en qué intervalo es decreciente la función. a) La temperatura máima es de 7 C y la alcanza a las horas. b) C cada hora. 8 TIEMPO (h) 8 8 Unidad. Funciones elementales I
Pág. Entre las h y las h, el aumento de temperatura es:, C c) Dominio [8, ] d)el intervalo de decrecimiento es [, ]. a) Esta curva muestra la audiencia de televisión en España en un día promedio del mes de abril de. Cuáles son sus puntos más importantes? Descríbela. AUDIENCIA (%) 8 8 b) Cuando se habla de audiencia se dice que España, al igual que Francia, Italia o Portugal, pertenece al grupo de países camello cuyas curvas de audiencia tienen dos jorobas. Otros países como Alemania y Dinamarca son del grupo dromedario con una sola joroba, que se produce alrededor de las h. Qué quieren decir los técnicos cuando hablan de jorobas? a) A las h hay un % de gente viendo la televisión. De esa hora en adelante decrece el porcentaje hasta las h, que empieza a crecer poco a poco hasta las h, que es cuando hay más de un % de audiencia. De nuevo baja hasta un % a las 8 h, y vuelve a subir muy rápido hasta un % de audiencia a las h, que empieza a decrecer, quedándose a las h en un %, como se empezó. b) Las jorobas son los máimos, es decir, los puntos con un índice de audiencia más alto. Esta gráfica muestra cómo varía la altura del agua en un depósito que se llena con una bomba y que lleva dos válvulas para regular la entrada y la salida del agua. 8 ALTURA (m) TIEMPO (h) TIEMPO (min) 7 8 9 Unidad. Funciones elementales I
Pág. a) Cuál es el máimo de esta función? Eplica su significado. b) En qué puntos corta el eje de las? Qué significan esos puntos? c) Cuál es su dominio de definición? d) Di en qué intervalo es creciente y en cuál es decreciente. a) El máimo llega a los minutos y es de m de altura. Esto significa que al llegar el agua a los m de altura, se abre la válvula que lo vacía. b) En y en. Para, empieza a llenarse el depósito, y para, es que el depósito se ha vaciado a las horas. c) Dominio [, ] d)creciente (, ) Decreciente (, ) Página Gráficas y fórmulas Asocia a cada recta su ecuación: r r r a) y b) y c) + y a) r, b) r, c) r Observa la gráfica de la función f y completa la siguiente tabla de valores: f y 8 8 7 A cuál de las siguientes funciones f, g o h corresponde esta gráfica? si a) f () + 8 si 8 b) g() 8 c) h() si < + 8 si 8 8 Unidad. Funciones elementales I
Pág. si Corresponde a la función c): h () + 8 si 8 8 Comprueba si los pares de valores que figuran en la siguiente tabla corresponden a la función dada y completa los que faltan: y y, 97,,9, Qué valor no podemos dar a en esa función? y, 97,,9,99,,99 A la no podemos darle el valor. Funciones lineales 9 Representa: a) y, b) y 7 c) y d) y a) b) 7 c) d) (ESTÁ RESUELTO EN EL LIBRO). Halla, en cada caso, la pendiente de la recta que pasa por los puntos A y B y escribe su ecuación: a) A(, ), B(, ) b) A(, ), B(, ) c) A(, ), B(, ) d) A (, ), B (, ) Unidad. Funciones elementales I
Pág. a) m ; y + b) m ; y ( + ); y +9 ( ) c) m ( ) ; y ( + ); y + / / 9/ / 9 d)m ; y ( ) ; y + 9 9 Di cuál es la pendiente de cada una de las siguientes rectas: a) y b) y + c) y d) y + a) y m b) y + m c) y m d) y + y + m Halla la ecuación de las rectas r, r, r y r. r r r r r pasa por (, ) y (, ) m y ( ) y + r pasa por (, ) y (, ) m y ( ) y + r es una recta paralela al eje X que pasa por (, ) y r es paralela a r y pasa por (, ) y Unidad. Funciones elementales I
Pág. Página Halla los puntos de corte con los ejes de coordenadas de estas rectas y represéntalas: a) y + ( ) b) y + c) + y d) y a) Eje X (, ) Eje Y (, ) b) Eje X (, ) Eje Y (, ) + y c) Eje X (, ) Eje Y ( ), d) Eje X (, ) y + y y + ( ) Eje Y (, ) Escribe la ecuación de las siguientes rectas y represéntalas: a) Su pendiente es m y pasa por el punto P(, ). b) Su pendiente es m y su ordenada en el origen es. c) Es paralela a y + y pasa por el punto P(, ). a) y ( + ) y + b) b) y c) y ( + ) y +8 c) a) Representa las siguientes rectas tomando una escala adecuada en cada eje: a) y, b) y + 7 c) y d) 7y 8 Unidad. Funciones elementales I
Pág. 7 a) b) c) d) 7 8 7 Halla, en cada caso, la ecuación de la recta que pasa por los puntos P y Q y represéntala: a) P(, ), Q(, ) b) P(,;,8), Q(,;,7) a) m 7 ; y 7 ( ) y 7 + 89 b) m,7,8,9 m,,, y,7 +,(,) y, +,7 a) b),,, 8 Di, sin representarlas, cuáles de las siguientes rectas son paralelas: a) y b) y c) y + d) y e) y 7 f ) y a) paralela a f); la pendiente de ambas es m. c) paralela a d); ambas tienen pendiente m. b) paralela a e); ambas tienen pendiente m. Unidad. Funciones elementales I
Pág. 8 9 Un fontanero cobra 8 por el desplazamiento y por cada hora de trabajo. a) Haz una tabla de valores de la función tiempo-coste y represéntala gráficamente. b) Si ha cobrado por una reparación 7,, cuánto tiempo ha invertido en la reparación? a) TIEMPO (h) COSTE ( ) COSTE ( ) 8 78 9 b) y 8 + donde son las horas invertidas e y es el coste de la reparación. Si y 7, 7, 8, Ha invertido horas y media. PIENSA Y RESUELVE Una casa de reprografía cobra cent. por cada fotocopia. Ofrece también un servicio de multicopia, por el que cobra cent. fijos por el cliché y, cent. por cada copia de un mismo ejemplar. Haz, para cada caso, una tabla de valores que muestre lo que hay que pagar según el número de copias realizadas. Representa las funciones obtenidas. Tiene sentido unir los puntos en cada una de ellas? Obtén la epresión analítica de cada función. A partir de cuántas copias es más económico utilizar la multicopista? N-º DE FOTOCOPIAS COSTE (cent. de ) TIEMPO (h) N-º DE MULTICOPIAS COSTE (cent. de ),, 7, 8 7 COSTE (cént. de ) FOTOCOPIAS MULTICOPIAS 7 8 9 N-º DE COPIAS Unidad. Funciones elementales I
Pág. 9 No tiene sentido unir los puntos de cada una de ellas, ya que no se puede hacer una fracción de fotocopia, como, por ejemplo, / fotocopia. Fotocopias y con N Multicopias y +, con N Si nos fijamos en la gráfica, a partir de copias es más económico utilizar la multicopista. Lo hacemos analíticamente, calculando cuándo el coste es el mismo para los dos métodos. +,,,8 Por tanto, a partir de copias es más económico utilizar la multicopista. Mientras ascendíamos por una montaña, medimos la temperatura y obtuvimos los datos de esta tabla: ALTURA (m) TEMPERATUTA (ºC) 8 7 99, a) Representa la función altura-temperatura y busca su epresión analítica. b) A partir de qué altura la temperatura es menor que C? a) TEMPERATURA ( C) 8 y 8 7 8 8 ALTURA (m) b) A partir de 8 m, la temperatura es menor que C En un banco nos dan euros por 9 dólares. Escribe la epresión analítica de la función que da el cambio de euros a dólares y represéntala. De qué tipo es? euros y dólares y 9,9 es una función de proporcionalidad. DÓLARES,,,7,9 7 8 9 EUROS Unidad. Funciones elementales I
Pág. Un triángulo isósceles tiene cm de perímetro. Llama al lado desigual e y a los lados iguales. Haz una tabla de valores y, a partir de ella, escribe la relación entre e y. Qué tipo de función obtienes? 8 y 9 8 7 y y + y + Es una función lineal / / Determina el dominio de definición de las siguientes funciones: a) y b) y 7 c) y d) y e) y + f) y a) Dom f [, + ) b) Dom f 7 [, + ) c) Dom f (, ] d) Dom f (, ] e) Dom f Á f) Dom f Á Página Determina el dominio de definición de las siguientes funciones: a) y b) y c) y + 7 d) y e) y f ) y + 9 a) Dom f Á {} b) Dom f Á 7 c) Dom f Á {, } d) Dom f Á e) Dom f Á {, } f) ± + ± Dom f Á {, } En todos los casos se han quitado del dominio de la función aquellos valores que anulan el denominador. Unidad. Funciones elementales I
Pág. (ESTÁ RESUELTO EN EL LIBRO). 7 Halla el dominio de definición de las siguientes funciones: a) y b) y c) y d) y e) y + + f ) y 9 + a) y Resolvemos ± I) Si < < II) Si < < > III) Si > < I II III Dom f [, ] b) y 9 9 ± I II III I) Si < 9 > II) Si < < 9 < III) Si > 9 > Dom f (, ] U [, + ) c) y ( ) I II III I) Si < > II) Si < < / < III) Si > / > Dom f (, ] U [, + ) d)y ± + ± I II III I) Si < > II) Si < < < III) Si > > Dom f (, ] U [, + ) Unidad. Funciones elementales I
Pág. e) y + + + + ± + ± I II III I) Si < + + < II) Si < < + + > III) Si > + + < Dom f [, ] f)y + + ± No tiene solución. Luego, + no se anula en ningún valor de, es decir, es siempre mayor que cero o menor. Para averiguarlo, tomamos cualquier valor de, por ejemplo, y lo sustituímos en la epresión: + + > Dom f Á. 8 Representa las siguientes funciones para los valores en los que están definidas: a) y si b) y si a) b) 9 (ESTÁ RESUELTO EN EL LIBRO). Representa estas funciones: + si < si < a) y b) y c) y si si si < si < si 7 Unidad. Funciones elementales I
Pág. a) y + si < si El er trozo de la función es la recta y + definida para <. y La recta y definida para es una recta paralela al eje X que pasa por (, ).,9,8 si < b) y si El er trozo de función es la recta constante y definida para <. El - o trozo es la recta y definida para : y si < c) y si < si 7 Los tres tramos de la función son rectas paralelas al eje X. En las llamadas telefónicas interurbanas, el tiempo que dura cada paso del contador depende de la hora de la llamada: De 8 h a h............... segundos De h a h.............. 8 segundos De h a 8 h del día siguiente.. segundos a) Representa gráficamente la función que da la duración del paso del contador según la hora de la llamada para un día completo. b) Busca la epresión analítica de esa función. Unidad. Funciones elementales I
Pág. a) 8 TIEMPO DEL PASO HORAS 8 h h h h 8 h si < 8 si 9 < b) y 8 si < si < En una tienda rebajan el % en compras inferiores a y el % si son superiores a. Cuál es la relación entre el precio marcado () y el que pagamos (y)? Represéntala gráficamente.,9 si y,8 si > y 9 8 8 8 PRECIO PAGADO PRECIO MARCADO Página Halla la epresión analítica de la función que se representa: Buscamos la ecuación de cada uno de los tramos de rectas que forman la función: Para < la recta pasa por (, ) y (, ): m y + ( ) y + Para la recta es y. Para la recta pasa por (, ) y (9, ): m y ( ) y 9 La epresión analítica de esa función es: y + si < si 9 si > 8 Unidad. Funciones elementales I
Pág. El médico ha puesto a Ricardo un régimen de adelgazamiento y le ha hecho esta gráfica para eplicarle lo que espera conseguir en las semanas que dure la dieta. 8 7 PESO (en kg) a) Cuál era su peso al comenzar el régimen? b) Cuánto tiene que adelgazar por semana en la primera etapa del régimen? Y entre la a y la 8 a semana? c) Halla la epresión analítica de esa función. a) Ricardo pesaba 8 kg al comenzar el régimen. b),7 kg por semana Entre la - a y 8- a semana no tiene que adelgazar nada. c) Buscamos la ecuación de cada uno de los tramos: Para, la pendiente m y n 8 y +8 Para < 8, y 7 Para 8 <, m y pasa por (, ) y ( ) y +8 Luego, la epresión analítica de esta función será: y + 8 si 7 si < 8 + 8 si 8 < SEMANAS 7 8 9 Busca la epresión analítica de esta función que muestra la altura a la que está un ascensor que sube hasta un o piso con una parada en el o. Unidad. Funciones elementales I
Pág. Buscamos la ecuación de cada uno de los tramos: Para, m y Para <, y Para <, m y pasa por (, ) y ( ) y La epresión analítica buscada es: y / si si < (/) si < Un ciclista sale de ecursión a un lugar que dista km de su casa. A los minutos de salida, cuando se encuentra a km, hace una parada de minutos. Reanuda la marcha y llega a su destino una hora después de haber salido. a) Representa la gráfica tiempo-distancia a su casa. b) Lleva la misma velocidad antes y después de la parada? (Suponemos que en cada etapa la velocidad es constante). c) Busca la epresión analítica de la función que has representado. a) DISTANCIA (en km) 9 TIEMPO (en minutos) b) Sí, lleva la misma velocidad antes y después de la parada, en km tarda '. c) Buscamos la ecuación de cada uno de los tramos: Si m y pasa por (, ) y Si < m y Si < m y pasa por (, ) y ( ) y Unidad. Funciones elementales I
Pág. 7 La epresión analítica buscada es: (/) si y si < (/) si < 7 Representa las siguientes funciones definidas a trozos: si < a) y + si > si < b) y si < 8 si + si < c) y si a) b) c) REFLEXIONA SOBRE LA TEORÍA 8 Averigua si los siguientes puntos están alineados comprobando si C pertenece a la recta que pasa por A y B: A (, ), B (, ) y C (, ) Si la pendiente de la recta que pasa por A y B es la misma que la de la recta que pasa por B y C, entonces están alineados. Si no es así, no lo están. m AB 8 8 m BC ( ) 8 8 8 87 9 Están alineados. Unidad. Funciones elementales I
Pág. 8 9 La epresión analítica de una función es de la forma: y a + b + c Si sabemos que los puntos A (, ), B(, ) y C(, ) pertenecen a su gráfica, cuáles serán los valores de a, b y c? Como A pertenece, entonces: c Como B pertenece, entonces: a + b a Como C pertenece, entonces: 8a + b b Comprueba si los puntos A(, ), B(,;,) y C (, ) pertenecen a la gráfica de la función y + 7. A(, ): si y ( ) +7 ( ) B(,;,): si, y (,) +7,, C (, ) : si y ( ) + 7 ( ) 9 7 Por tanto, A pertenece; pero ni B ni C pertenecen. Página Observa la gráfica de la función y responde: a) Cuál es su dominio de definición? b) Tiene máimo y mínimo? En caso afirmativo, cuáles son? c) Cuáles son los puntos de corte con los ejes? d) Para qué valores de es creciente y para cuáles es decreciente? a) Dom f Á b) Máimo (, ) Mínimo (, ) c) Puntos de corte: Con el eje X (, ), (, ), (, ) Con el eje Y (, ) d)creciente (, ) U (, + ) Decreciente (, ) Unidad. Funciones elementales I
Pág. 9 A la recta representada en este gráfico se le llama bisectriz del primer cuadrante. a) Escribe su ecuación. b) Cuál es su pendiente? Qué ángulo forma con el eje OX? c) Si una recta forma un ángulo de con el eje OX, su pendiente será mayor o menor que? d) Escribe la ecuación de la bisectriz del segundo cuadrante. e) Cuál será la pendiente de las rectas paralelas a la bisectriz del segundo cuadrante? a) y b) Su pendiente es y forma con el eje OX. c) Su pendiente será mayor. d) y e) m Di cuál es la pendiente de cada una de las siguientes rectas y di si son crecientes o decrecientes: a) y b) + y c) y 7 d) y ( ) Qué relación eiste entre el crecimiento o decrecimiento de una recta y su pendiente? a) m Creciente b) m Decreciente c) m Ni creciente ni decreciente d) m Decreciente Una recta es creciente si su pendiente es positiva y decreciente si su pendiente es negativa. PROFUNDIZA Halla la epresión analítica de las funciones: a Para, la recta pasa por (, ) y (, ): m 7 y ( ) y + 7 7 7 Para > y (/7) + /7 si La epresión analítica es: y si > Unidad. Funciones elementales I
Pág. b Para < n y m y Para m y pasa por (, ): y ( ) y si < La epresión analítica buscada es y (/) / si c Si n y m y Si > m y pasa por (, ) y y si La epresión analítica es y si > d Si y Si > m y pasa por (, ) y si La epresión analítica buscada es y si > a) Representa y (valor absoluto de ). b) Representa: y si <. Compárala con la anterior. si > a) y b) Es la misma gráfica que la anterior. Unidad. Funciones elementales I
Pág. Haz la gráfica de las siguientes funciones: a) y b) y + a) y y b) y + y 7 Las cuatro gráficas siguientes corresponden a funciones discontinuas. a) Di cuáles son los puntos de discontinuidad. Cuál es su dominio de definición? b) Indica si tienen máimos o mínimos y di cuáles son. c) En qué intervalos son crecientes y en cuáles son decrecientes? I II III IV Unidad. Funciones elementales I
Pág. a) I Dom f Á { } Discontinuidad: II Dom f Á {} Discontinuidad: III Dom f Á {, } Discontinuidades:, IV Dom f Á {, } Discontinuidades:, b) I Máimo: (, ) Mínimo: (, ), (, ) II No tiene máimo ni mínimo. III Mínimo: (, ) IV No tiene máimo ni mínimo. c) I Creciente: (, ) U (, ) U (, + ) Decreciente: (, ) U (, ) II Creciente: (, ) U (, + ) III Creciente: (, ) U (, + ) Decreciente: (, ) U (, ) IV Decreciente: (, ) U (, ) U (, + ) Unidad. Funciones elementales I