apíulo Pare I.. Inroducción Modelación Maemáica de Siema Fíico En el análii y dieño de iema de conrol, un pao umamene imporane; e la modelación maemáica del proceo fíico a er conrolado. La modelación conie en la repreenación mediane una abracción maemáica de una iuación fíica real. Siendo el modelo, la erie de ecuacione que definen el comporamieno que e deea emular. El proceo de crear un modelo no e encillo, y por el conrario en iuacione puede coniderare un proceo complejo y cai infinio que requiere er acoado. Por ello e debe definir el conjuno de variable que decriben la caraceríica dinámica del fenómeno. Por ejemplo, cuando e conidera un circuio elécrico, en ée ípicamene la variable de ineré. La variable que definen la caraceríica dinámica del iema, eán inerrelacionada enre i a ravé de leye fíica, la cuale conllevan a la formulación maemáica de la ecuacione del modelo. En odo cao, en función del fenómeno dominane, denro del ineré, el énfai en el modelado cambia, de modo que el ipo de fenómeno puede llevar al uo de ecuacione del iema, lineale o no lineale, variane o invariane con el iempo. En la realidad la operación de un iema, obedece a leye fíica de una complejidad apreciable que reula er difícil de manejar; por lo que la caracerización realia del iema puede requerir de combinación de ecuacione de diferene ipo: lineale o no, variane o invariane en el iempo. onideracione prácica en el dimenionamieno y complejidad del problema deben er efecuada a fin de producir un balance enre requerimieno de dao, y dificulad de reolver el problema. En al enido, implificacione, pueden er efecuada en el dearrollo del modelo. Ea upoicione y implificacione, cuando pueden er efecuada, llevan a modelo aproximado, cuyo ámbio de valide, debe er evaluada, y perfecamene repeado. Uno de lo upueo má comune, e la linealización del iema.. Repuea Impuliva Un mecanimo ampliamene acepado en lo iema de conrol, y que e ha exendido a ora epecialidade, para la modelación de lo iema lineale, e el uo de la función de ranferencia. La cláica forma de la función de ranferencia, efecúa la relacione enre la variable de enrada-alida del iema. Una forma de obener la función de ranferencia de un iema lineal, e empleando la denominada repuea impuliva o repuea al impulo. Eo e baa en coniderar un iema lineal e invariane en el iempo, cuya enrada e x(), y la alida e y(). El iema e puede caracerizar por u repuea al impulo g(), que e define como la alida del iema cuando la enrada e un impulo uniario δ(). Una vez conocida la repuea ane la enrada de Solo para er empleado con objeivo de evaluación, o académico. Prohibido la reproducción oal o parcial de ee documeno.
Modelación Maemáica de Siema Fíico Solo para er empleado con objeivo de evaluación, o académico. Prohibido la reproducción oal o parcial de ee documeno. impulo del iema lineal, la alida del iema y() para cualquier enrada x() e puede enconrar mediane la función de ranferencia. En el cao má imple, de un iema lineal e invariane en el iempo de una enrada y una alida, la función de ranferencia e define como la ranformada de Laplace de la repuea al impulo con oda la condicione iniciale iguale a cero. onidere que () repreena la función de ranferencia del iema de una enrada y una alida; iendo x() la enrada y y() la alida, y ea g() la repuea al impulo. Enonce la función de ranferencia de () e define como: L[ g() ] = La función de ranferencia () e relaciona con la ranformada de Laplace de la enrada y la alida de la iguiene forma: Y = X on oda la condicione iniciale on upuea a cero, Y() y X() on la ranformada de Laplace de y() y x() repecivamene. X ( ) Y ( ) ( ) Figura.. Diagrama de bloque morando la función de ranferencia, y eñale de enrada y alida Pee a que la función de ranferencia de un iema lineal e define en érmino de la repuea impuliva, en la prácica, la relación enrada-alida, de un iema lineal e invariane en el iempo, en iempo coninuo, e decribe muy frecuenemene mediane una ecuación diferencial. onidere que la relación enrada/alida de un iema lineal invariane con el iempo e decribe mediane la iguiene ecuación diferencial de n-éimo orden con coeficiene reale conane: d n y n d y dy() n m m ( ) d x( ) dx( ) d x an K a a y() bm bm b b x() n = m K m (.) En donde lo coeficiene de la ecuación: a, a, a, a n-, y b, b, b,, b m, on reale. uando la enrada del iema x() ea epecificada ( ), la condicione iniciale del iema on conocida, la repuea del iema y() para, puede er deerminada, a parir de la reolución de la ecuación diferencial ane plaeada. Sin embargo, ee procedimieno puede er algo conumidor de iempo, y en eapa de análii y dieño, reula er algo moleo. unque e han dearrollado programa compuacionale para efecuar una reolución eficiene de ecuacione diferenciale, la filoofía báica de la eoría de conrol lineal e el dearrollo de herramiena de análii y dieño que evien la olución exaca de la ecuacione diferenciale del iema, excepo en lo cao en que e deea la olucione mediane imulación en compuadora para examinar la preenación final del deempeño del iema. Para obener la función de ranferencia del iema lineal invariane en el iempo, repreenado por la ecuación (.), e debe omar la ranformada de Laplace de ambo lado de la ecuación y e aumen condicione iniciale igual a cero. De al modo, que haciendo lo ane decrio reula: n n m m ( a K a a ) Y = ( b b K b b ) X ( ) n m m De al modo la función de ranferencia e la relación enrada alida en érmino de ranformada de Laplace: Y () = X m m bm bm K b = n n a K a a n b Francico M. onzalez-longa
apíulo : Pare I La función de ranferencia e una definición que olo aplica en iema línea e invariane en el iempo, y que no ea definida en el cao de lo iema no lineale. E imporane mencionar que la función de ranferencia, relaciona la enrada y alida del iema lineal e invariane en el iempo, en érmino de lo parámero del iema, y e en al enido, una propiedad del iema en í, independienemene de la enrada o la exciación. La función de ranferencia de un iema lineal e invariane al iempo, e un concepo que preena la dinámica de un iema de ecuación algebraica, de. La poencia má ala en denominador de la función de ranferencia e igual al orden del érmino de la derivada má ala de la alida.... Siema Mecánico de Tralación En general ee iema cona de reore, maa y amoriguador, aunque puede preenar eo elemeno. x( ) f M k y( ) Figura.. Siema Mecánico de Tralación: Maa-Reore-Pión El amoriguador e un elemeno que provee fricción o amoriguamieno. onidere el iguiene iema: Se deea obener la función de ranferencia, en donde la enrada x() = F in e la fuerza, y la alida e el deplazamieno y(). Se procede a planear la ecuación diferencial que rige el iema; por la Ley de Newon e conoce: Ma = F reore F reore = ky() F amorig F Para el cao del reore e iene: Mienra que en el cao del pión, e iene que e: dy() F pion = fv = f La fuerza de enrada e F in = x(), enonce reula: in d y dy M = f ky x() plicando la ranformada de Laplace en la ecuación anerior: d y dy L M = L f L ky [ ] L[ x() ] Solo para er empleado con objeivo de evaluación, o académico. Prohibido la reproducción oal o parcial de ee documeno. Francico M. onzalez-longa
4 Modelación Maemáica de Siema Fíico [ Y y() y' () ] = f [ Y y() ] ky( ) X ( ) M Si la condicione iniciale on nula: y() =, y () =, enonce e iene: [ Y ] = f [ Y ] ky X M De al modo, la función de ranferencia del iema mecánico queda dada por: () = M f k... Siema Mecánico de Roación Solo para er empleado con objeivo de evaluación, o académico. Prohibido la reproducción oal o parcial de ee documeno. El iema mecánico de roación conie de una carga inercial y un amoriguador vicoo. Ee e repreenado en la iguiene Figura. T J ω( ) Figura.. Siema Mecánico de Roación: Momeno de Inercia-moriguamieno Vicoo En ee iema, e conidera que la enrada correponde al orque T(), que e aplicado y la alida e la velocidad angular ω(). El comporamieno dinámico de ee iema mecánico de roación puede er modelado por medio de la leye de Newon aplicada al movimieno circular. Jα = T En forma imple dice: (Momeno de inercia) (celeración angular) = (umaoria de lo orque) En ee iema, exie el orque aplicado T in (), y ademá lo orque aociado a la maa T maa (), y el orque aociado al amoriguador T amorig (): T = T T T T in maa amorig maa amorig oniderando la definición de lo diferene orque: dω = J = fω Siendo J el momeno de inercia del cuerpo giraorio, ω u velocidad angular y f el coeficiene de fricción vicoa. hora e procede a uiuir la repeciva definicione: dω T in = J fω() Para obener la función de ranferencia del iema, e procede a calcular la ranformada de Laplace en ambo lado de la ecuación anerior que decribe la dinámica. Francico M. onzalez-longa
apíulo : Pare I 5 [ T ] L in dω = L J L[ fω() ] Sea, cada una de la ranformada de Laplace: = L[ ω() ] = L[ T ] Ω τ Se iene que: ω () fω = τ JΩ () Ω = τ umiendo la condicione iniciale iguale a cero; ω() =, e iene que: = J f () = J f. Siema elécrico de un circuio RL erie Sea un circuio RL erie como el que e muera en la Figura. R v in i( ) L v ou ( ) Figura.4. Siema Eleccrico: ircuio RL erie Sea la eñal de enrada v in () y v ou () el volaje de alida el cual e medido obre el capacior. Se procede a eablecer la ecuación que rige el comporamieno dinámico elécrico de ee circuio. Para ello e oma en conideración la Ley de Volaje de Kirchoff. v v in ou di = L T = i() Ri T i() plicando la ranformada de Laplace en amba expreione, y en ambo lado e iene, y aumiendo que la condicione iniciale on cero: [ ] L v in T di = L L L T = De al modo reula: [ ] L i() L v ou = LI RI I() V in [ Ri() ] L i() Solo para er empleado con objeivo de evaluación, o académico. Prohibido la reproducción oal o parcial de ee documeno. Francico M. onzalez-longa
6 Modelación Maemáica de Siema Fíico V ou = I() Finalmene queda definida la función de ranferencia como: V () = V ou in = L R.4 nalogía Elécrica y Mecánica Solo para er empleado con objeivo de evaluación, o académico. Prohibido la reproducción oal o parcial de ee documeno. Si e realiza una obervación deallada enre la ecuacione diferenciale que rigen el comporamieno de un iema mecánico y uno elécrico, e preenan alguna analogía. Tabla.. Magniude náloga Fuerza-Volaje Siema Mecánico Siema Elécrico Fuerza (par) Volaje Maa (momeno de inercia) Inducancia oeficiene de fricción vicoa Reiencia oeficiene de reore Reciproco de la capaciancia Deplazamieno arga Velocidad (ángulo) orriene De modo que no reula exraño de obervar mucho modelo que on reulan equivalene enre iema elécrico y mecánico. Tabla.. Magniude náloga Fuerza-orriene Siema Mecánico Fuerza (par) Maa (momeno de inercia) oeficiene de fricción vicoa oeficiene de reore Deplazamieno Velocidad (ángulo) Siema Elécrico orriene apaciancia Reciproco de la reiencia Reciproco de la inducancia Enlace de flujo magnéico Volaje Francico M. onzalez-longa
apíulo : Pare I 7.4.. Ejemplo Siema Roacional Se deea obener un modelo dinámico para un iema roacional dearrollando un diagrama que muere la dirección de la velocidad angular y la correpondiene expreión para odo lo orque. oniderando el iema roacional que e decribe en la figura iguiene. T K J ω ( ) J ω ( ) Figura.5. Siema roacional de varia inercia, y eje flexible Ecribir un conjuno de ecuacione diferenciale (en érmino de la velocidade angulare) que proporcionara un modelo valido para el iema. Solución oniderando la uma de lo orque, mediane la aplicación de la leye de Newon para el movimieno roacional e iene: dω T = J ω Y ω K [ ω ] T ( ) dω = J ω ω K [ ω ] T ( ) El valor inicial del orque del reore en la educación anerior muera el igno meno para er coniene con el uo del mimo ímbolo en la ecuación previa..4.. Ejemplo Siema de Tralación oniderando el iema de la Figura iguiene. y M M k k y ( ) Figura.6. Siema ranacional de varia maa Solo para er empleado con objeivo de evaluación, o académico. Prohibido la reproducción oal o parcial de ee documeno. Francico M. onzalez-longa
8 Modelación Maemáica de Siema Fíico Ecribir un conjuno de ecuacione diferenciale para decribir el iema en érmino del deplazamieno y y y. Suponer que y y y on cero en la poición de repoo con odo lo reore y maa incluido, pero f =. Solo para er empleado con objeivo de evaluación, o académico. Prohibido la reproducción oal o parcial de ee documeno. Solución on la poicione de referencia deerminada al como e ha epecificado, un deplazamieno inicial del reore uperior produce una fuerza que e igual y opuea a M g M g, y un deplazamieno inicial del reore inferior produce una fuerza que compena a M g. í, la ecuación e exprea f = M d y K [ y y ] d y dy = M K[ y y() ] K y() Obérvee que la fuerza paiva e dirigen para oponere a la dirección del deplazamieno opueo poiivo..4.. Ejemplo Siema Mecánico de Tralación onidere el iema mecánico ranacional de la iguiene figura, donde e ha upueo que la uperficie e libre de rozamieno. f x( ) M Figura.7. Siema mecánico ralacional Se conruye el diagrama de cuerpo libre, como e muera a coninuación. f M k dv( ) M v( ) f ( ) k v Figura.8. Diagrama de cuerpo libre para el iema mecánico de ralación Oberve que la dirección x() upuea de la fuerza producida por lo elemeno paivo e mueran en una dirección opuea a la velocidad v(), que e ha aumido. La ecuación correpondiene e puede ecribir para igualar la fuerza inercial a oda la ora fuerza o puede er má imple aplicar un equema meno rígido. La aplicación del principio de D lamber requiere que una uma de oda la fuerza debe añadire a cero, y ee crierio e modifica fácilmene para decir que la uma de la fuerza dirigida a la izquierda debe er igual a la uma de la fuerza dirigida a la derecha. Ee enfoque produce una expreión con odo lo igno poiivo al que: dv f = M v K v f ( ) o Donde la velocidad v() e la variable dependiene y f() e una fuerza de enrada no epecificada. uando e ecriben la ecuacione, una umaoria de fuerza que incluye la fuerza inercial e puede inerprear como que repreena un equilibrio que e valido para amba condicione: eáica y dinámica. a Francico M. onzalez-longa
apíulo : Pare I 9.4.4. Ejemplo Siema Mecánico de Tralación: Varia Maa onidere un iema mecánico de do maa, con acoplamieno a ravé de reore y elemeno vicoo. Se upone que no hay rozamieno aociado con la uperficie. La uma de la fuerza en amba maa proporciona do ecuacione en érmino de do variable dependiene. v v ( ) k f M M Figura.9. Siema mecánico acoplado Si el reore produce una fuerza de carga obre M, enonce una fuerza igual y opuea e aplica por M al reore. La fuerza aplicada al reore e ramie a ravé del mimo para aparecer aplicada obre M, y la ampliud de la deflexión del reore e proporcional a la fuerza ranmiida. La fuerza aplicada al amoriguador vicoo e ranmie ambién a la egunda maa como una fuerza aplicada y la velocidad relaiva de la do maa e proporcional a la fuerza ranmiida. En la Figura iguiene e muera el diagrama de cuerpo libre y la ecuacione on: f [ v ] k [ v v ] f ( ) [ v ] k [ v v ] f ( ) v = M dv v f v M arga = M d dv M f a f b v f a fb plicada a M f a = k[ v v ] f () obre M () () [ ( ) v ( ) ] f b = v Figura.. Diagrama de cuerpo libre donde e mueran la fuerza que acúan obre la maa M y M Una meodología alernaiva para umar la fuerza e obiene uponiendo que odo lo elemeno paivo proporcionan fuerza de carga. Ea écnica no cambia la repreenación de fuerza obre el diagrama de cuerpo libre para M, pero cambia la repreenación obre el diagrama para M, al como e muera en la Figura iguiene. Toda la fuerza de carga e mueran oponiéndoe a la dirección de velocidad upuea poiiva v y oda ienen un igno poiivo en lo facore v o (v -v ). La egunda ecuación enonce: dv = M v f [ v ] k [ v v ] ( ) v ( ) M M dv Solo para er empleado con objeivo de evaluación, o académico. Prohibido la reproducción oal o parcial de ee documeno. Francico M. onzalez-longa
Modelación Maemáica de Siema Fíico v M dv M k [ v v ] f ( ) v v [ ( ) ( ) ] Figura.. Diagrama de cuerpo libre reviado donde e mueran a odo lo elemeno paivo que producen fuerza de carga.5 Diagrama de loque Solo para er empleado con objeivo de evaluación, o académico. Prohibido la reproducción oal o parcial de ee documeno. El diagrama de un iema e una repreenación gráfica de la funcione realizada por cada componene y el flujo de la eñale de al forma indica la relacione e ineraccione de lo componene. En un diagrama de bloque oda la variane del iema on enlazada enre i a ravé de bloque funcionale. Un bloque funcional e un ímbolo de la operación maemáica que el bloque produce en la alida, obre la eñal que ienen a la enrada. Y Salida = = X Enrada.5.. Deecor de error X ( ) Y ( ) ( ) Figura.. Siema mecánico ralacional El deecor de error produce una eñal que e la diferencia de enrada y la eñal de realimenación del iema de conrol R() ( ) El ímbolo poiive o negaivo en la puna de la flecha indica i la eñal ha e er umada o reada. E( ) Francico M. onzalez-longa
apíulo : Pare I.5.. Diagrama de loque de un Siema de onrol de Lazo errado R() E( ) ( ) Puno de ifuracacion ( ) Un puno de bifurcación e el puno dede el cual la eñal de alida de uno o vario bloque e omada y deviada hacia el puno de uma. R() Puno de Suma E( ) H ( ) ( ) Puno de ifuracacion La relación enre la eñal de realimenación () y la eñal de error acuane E() e denomina función de ranferencia de lazo abiera. E R() ( ) E( ) Senal de Realimenacion Error acuane H ( ) ( ) ( ) ( ) H () = = Funcion de Tranferencia de Lazo biero = = Funcion de Tranferencia de Pao Direco E La relación enre la alida () y la eñal de error acuane E() e denomina función de ranferencia. E() = R () = E Senal de Enrada R() () E( ) Error acuane H ( ) ( ) Senal de Realimenacion Puno de ifuracacion ( ) Realimenacion Solo para er empleado con objeivo de evaluación, o académico. Prohibido la reproducción oal o parcial de ee documeno. Francico M. onzalez-longa
H () = Senal de Enrada R () E E( ) ( ) = R( ) ( ) H ( ) ( ) ( ) H ( ) ( ) = Modelación Maemáica de Siema Fíico ( ) ( ) E( ) = Realimenacion Solo para er empleado con objeivo de evaluación, o académico. Prohibido la reproducción oal o parcial de ee documeno. = H R.5.. Siema de Lazo errado Someido a una Perurbación R ( ) E( ) ( ) H ( ) N( ) ( ) uando un iema lineal eán preene do o ma eñale cada enrada puede er raada independienemene de la ora u e pueden umar la alida correpondiene a cada una de la enrada independiene para obener la alida oal. Sea N () la repuea producida olo por la perurbación. N N R R = () H Por ora pare, ea R () la alida debido olamene a la enrada R(). () H Finalmene, e iene: = R ( ) N ( ) [ R N() ] H = =.6 Procedimieno para Trazar Diagrama de loque Primero, e ecriben la ecuacione que decriben el comporamieno dinámico de cada componene, luego e oman la ranformada de Laplace, uponiendo que la condicione iniciale on iguale a cero, y e preena cada ecuación por bloque individuale. Finalmene e junan lo elemeno en un diagrama de bloque compleo. () Francico M. onzalez-longa
apíulo : Pare I.7 Reducción de Diagrama de loque Se pueden conecar lo bloque en erie olamene i la alida de un bloque no e afaceada por la del bloque iguiene. Si hay efeco de carga enre lo componene, e neceario combinarlo en un bloque único. ualquier canidad de bloque en cacada que repreenen componene in carga puede uiuire con un olo bloque, cuya función de ranferencia ea implemene el produco de la funcione de ranferencia individuale. La funcion de ranferencia puede er obenida eliminando la alida y enrada inermedia. = = Por definición de conoce que: X X X X X ( ) ( ) () X De al modo que e deea eimar una función de ranferencia correpondiene a la aociación de lo do bloque en cacada. X () = X() = X ( ) () () () X ( ) En el cao de un diagrama de bloque complicado (como on normalmene lo iema reale) que conenga mucho lazo de realimenación, el proceo de implificación e realiza mediane un reordenamieno pao a pao mediane la regla del álgebra de lo diagrama de bloque. lguna de ea regla imporane aparecen en la Tabla iguiene, in embargo, oda on imple propiedade de eñale que on fácilmene deducible. X Solo para er empleado con objeivo de evaluación, o académico. Prohibido la reproducción oal o parcial de ee documeno. Francico M. onzalez-longa
4 Modelación Maemáica de Siema Fíico Diagrama de bloque original Diagrama de bloque equivalene Solo para er empleado con objeivo de evaluación, o académico. Prohibido la reproducción oal o parcial de ee documeno. 4 5 Se pueden repreenar en un único bloque cualquier canidad de bloque en cacada que repreenen componene que no carga, cuya función de ranferencia e implemene el produco de la funcione de ranferencia individuale. l implificar bloque e puede omar en cuena:. El produco de la funcione de ranferencia en la dirección de alimenación direca debe manenere conane.. El produco de la funcione de ranferencia alrededor del lazo debe manenere conane..7.. Ejemplo de Reducción de loque: Tomado de Ogaa onidere el iema que aparece repreenado en el iguiene diagrama de bloque. R H H Francico M. onzalez-longa
apíulo : Pare I 5 Se deea efecuar la reducción del diagrama de bloque. Inicialmene e procede a mover el puno de uma del lazo de realimenación negaiva que coniene H, hacia fuera del lazo de realimenación poiiva que coniene H. R H Se procede a eliminar el lazo de realimenación poiiva e obiene: H H R H La eliminación del lazo que coniene H / l produce: R R H H H H Oberve que el numerador de la función de ranferencia en lazo cerrado ()/R() e el produco de la funcione de ranferencia de la rayecoria direca. El denominador de ()/R() e igual a: ( produco de la funcione de ranferencia alrededor de cada lazo) = ( H H ) = H H Solo para er empleado con objeivo de evaluación, o académico. Prohibido la reproducción oal o parcial de ee documeno. Francico M. onzalez-longa