Curso 12-13 RELACIÓN DE PROBLEMAS Y CUESTIONES DE TRIGONOMETRÍA PARA 4º DE ESO OPCIÓN B (CPM) Graduados según su dificultad siendo Grado 1: Muy fácil Grado 5: Muy difícil GRADO 1 1. Prueba que en un triángulo rectángulo en el que uno de sus ángulos agudos mide 60º la hipotenusa es el doble que uno de los catetos.
2. Resuelve la ecuación trigonométrica: 2 sen x 2cos 2 x 1 3. Calcula la superficie de las siguientes figuras cuyas unidades vienen dadas en metros
GRADO 2 4. Simplifica las siguientes expresiones: a) 1 1 tan x tan y b) tan x tan y 1 cos 2 sen x x 5. Dos puntos A y B de la esfera terrestre están sobre un mismo meridiano. La latitud de A es 30º Norte y B está situado a 200 Km. al norte de A. Calcula la latitud de B. Toma como radio de la Tierra 6 370 Km.
6. Resuelve la ecuación trigonométrica: 2 cos x = 3 tan x. 7. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones sin x cos y x y 2 2
8. Prueba que el área de un triángulo ABC cualquiera se puede hallar mediante el cálculo del semi producto ((p q)/2) de la longitud de dos de sus lados por el seno del ángulo que forman. Aplicación: Calcula el área del triángulo si A= 40º, b = 6 cm y c = 10 cm. 9. Halla el valor de los ángulos A y B en el triángulo de la imagen. No se puede aplicar el teorema del seno, tal como lo hemos dado, porque el triángulo es obtusángulo en A.
10. Calcular el área de un terreno cuyas lindes son un camino recto y tres postes (A, B y C) separados, según las medidas en metros, de la siguiente figura
GRADO 3 11. Prueba que las siguientes identidades trigonométricas son ciertas: cos x sen x a) cos x b) 1 tan x 1 1 tan x sen x cos x 1 sen x c) tan 2 x sen 2 x sen 2 x tan 2 x 12. Sabiendo que sen (90º a) = h y que a es un ángulo del primer cuadrante, calcula en función de h el valor de tan (180º + a).
13. Teorema del seno. Sea el triángulo ABC. Consideramos la altura AH sobre el lado BC. Los triángulos ABH y AHC son rectángulos en H. a) Con ayuda de dichos triángulos, calcula los valores de sen B y sen C en función de AH. b) Prueba que b sin B c sin C a b c c) Será verdad también que? sin A sin B sin C Aplicación: Resuelve el triángulo si A= 40º, B=60º y a=10 cm.
14. Teorema del coseno. Supongamos el triángulo ABC donde B es un ángulo agudo. a) Mediante la aplicación del teorema de Pitágoras, demuestra que 2 2 2 b a c 2aBH b) El triángulo ABH es rectángulo en H. Calcula cos B en función de BH. c) Con ayuda de los apartados anteriores, demuestra que b 2 a 2 c 2 2a c cos B Aplicación: Resuelve el triángulo si a = 4 cm, b = 5 cm y c = 6 cm.
15. Un coche tarda un minuto en subir una pendiente del 8% con una velocidad de 90 Km/h. Cuál es la longitud y el desnivel de la pendiente? La pendiente de una carretera es el resultado de dividir el desplazamiento vertical entre el desplazamiento horizontal expresándolo en porcentaje. 16. Halla la medida de los ángulos A, B y C en el triángulo de la imagen.
17. Desde un barco A se observa el vuelo de un helicóptero bajo un ángulo de elevación de 30º. Desde un barco B situado a 350 m de A, según la figura, se observa dicho helicóptero bajo un ángulo de 50º. A qué altura vuela el helicóptero? 18. Calcula el volumen de la siguiente figura utilizando las medidas, en milímetros, que se indican.
19. Calcula el área y el volumen de una pirámide hexagonal de lado de la base 18 cm y de arista lateral 34 cm.
20. Fórmula de Herón. Comprueba que el área de un triángulo ABC cualquiera se puede hallar mediante la aplicación de la fórmula de Herón: Área (a b c) (-a b c) (a - b c) (a b - c) 4 Aplicación: Calcula el área del triángulo si a= 8 cm, b = 6 cm y c = 11 cm.
GRADO 4 21. Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto determinado la vemos bajo un ángulo de 30º y, si nos acercamos en horizontal 12 m, la observamos bajo un ángulo de 60º. 22. Dos puntos A y B de la costa están separados 100 m. Las visuales desde dichos puntos a una isla forman con la línea AB ángulos de 45º y 57º, respectivamente. Calcula la distancia IH desde la isla a la costa.
23. Calcula, en metros cuadrados, el área de la siguiente figura.
GRADO 5 24. Llamamos ángulo diedro de un tetraedro, o de cualquier otra figura del espacio, al ángulo que forman dos de sus caras. Calcula las razones trigonométricas de los diedros de un tetraedro regular
25. Calcula el área del triángulo ABC y el volumen de la esquina ABC.
26. Un balón flota en la superficie de una piscina. Al helarse el agua, el balón queda atrapado por el hielo, pero al liberarlo del hielo deja un agujero de 24 centímetros de diámetro y 8 centímetros de profundidad. Averigua con estos datos el volumen del balón.