Perspectiva El interes pr hacer dibujs que se vieran reales llev al desarrll de la perspectiva. El dibuj en perspectiva de un plan P en un plan P' desde un punt se btiene intersectand las lineas que van de ls punts de P a cn el plan P'. Observar que el dibuj en perspectiva n preserva distancias, ni punts medis, ni anguls, ni areas, per si preserva lineas rectas. En un dibuj en perspectiva de un plan, la linea del hriznte esta frmada pr punts al infinit en dnde las imagenes de las lineas paralelas cncurren. Sabiend est, basta cn dibujar un cuadrad en prespectiva para saber cm debe dibujarse tda una cuadricula que cubra al plan. Subdividiend la cuadricula pdems saber cm dibujar tds ls punts del plan.
Pryeccines La perspectiva usual pryecta una parte de un plan P (la parte que pdems ver) a una parte de tr plan P'. Pdems extender la pryeccin para incluir a tds ls punts de P, salv ls de una linea L, de md que su imagen sean tds ls punts de P', salv ls de una linea L'. P' Ls punts de esta linea n sn pryeccines de punts del plan azul La pryeccin envia cada punt p de P a la interseccin de la linea que pasa pr p y cn el plan P'. P p p' Ls punts de esta linea n se pryectan a punts del plan verde. La pryeccin de P a P' da una biyeccin entre ls punts de P-L y ls punts de P'-L'. Las pryeccines hacen csas extrañas cn ls tamañs y las rientacines L' Si un punt de P se aprxima a L, su pryeccin en P' se aleja al infinit. L Y si un punt de P se aleja al infinit, su pryeccin se aprxima a L'.
El plan pryectiv En el plan afin cada par de punts determinan una recta, y cada par de rectas n paralelas determina un punt, per las paralelas n determinan ningun punt. Est puede remediarse extendiend el plan para que cntenga punts dnde las paralelas cnverjan. Al añadirle al plan afin un punt al infinit en cada direccin (sin distinguir el sentid) btenems el plan pryectiv. El plan pryectiv tiene un punt al infinit pr cada clase de rectas paralelas. La unin de una linea afin cn el punt al infinit que crrespnde a su direccin es una linea pryectiva. Ls punts al infinit frman tra linea pryectiva, la linea al infinit. En el plan pryectiv se cumple: Pr cada par de punts pasa una linea. Ds lineas distintas se intersectan en un punt. Ls punts al infinit pueden parecer alg esteric, y aun si aceptams que existen, pareceria que sn punts especiales, que frman el brde del plan pryectiv. Per hay tra manera de ver al plan pryectiv que muestra que tds sus punts sn iguales y que n hay ningun brde.
Que frma tiene el plan pryectiv? Hay una biyeccin entre ls punts del plan pryectiv y ls pares de punts antipdas de la esfera. Demstracin: p Pryectems el plan P a una esfera tangente, enviand cada punt p a la primera interseccin de la linea p cn la esfera: la imagen del plan es un hemisferi. La imagen de cada recta de P es un semicircul de radi maxim (es la interseccin del plan pr el rigen que cntiene a la recta cn el hemisferi). Las rectas paralelas se pryectan a semicirculs cn ls misms extrems, ls punts al infinit de P crrespnden a ls extrems de ess semicirculs. Si ahra a cada punt p del plan le asciams ls ds punts antipdas de la esfera alineads cn p y, entnces a cada recta del plan le crrespnde un circul maxim. Tds ls pares de antipdas de la esfera vienen de punts del plan, except ls del ecuadr; ls pares de antipdas del ecuadr crrespnden a ls punts al infinit. El plan pryectiv es una superficie cerrada y n rientable.
Pryeccines en el plan pryectiv Observar que la pryeccin de un plan P a un plan P', definida fuera de las rectas L y L', puede extenderse naturalmente a una pryeccin de td el plan pryectiv P a td el plan pryectiv P', ya que cada punt de L determina un punt al infinit en P' y cada punt al infinit en P determina un punt en L'. P' Ls punts al infinit de P se pryectan a punts de L' L' Ls punts de L se pryectan a punts al infinit de P' L P Esta pryeccin es una funcin biyectiva y cntinua entre ls plans pryectivs que envia lineas pryectivas en lineas pryectivas. Cm se relacinan las imágenes de una misma escena vistas desde punts distints? Ver una escena desde distints ánguls crrespnde a pryectarla desde distints punts hacia distints plans. El cambi de perspectiva crrespnde a cmpner una pryección cn el invers de la tra.
Tarea 12 Entregar (1 2) el viernes 10 de abril, (3 4) y (5) el lunes 13. 1. En perspectiva, un rectangul nunca puede verse cm un paralelgram que n sea rectangul. 2. Si se pryecta un interval a tr interval, el punt medi se pryecta al punt medi slamente si ls intervals sn paralels. 3. Las lineas pryectivas n dividen al plan pryectiv. 4. El plan pryectiv n es rientable. 5. Un fc en el punt (3,4,5) pryecta smbras al plan xy cual es la imagen del punt (2,1,3)? Cual es la funcin que da la pryeccin del plan yz en el plan xy? ( cual es la imagen del punt cn crdenadas (0,y,z)?)