Tema 5 Reducción de marices. Caso no diagonaliable Ejemplo inroducorio. El siguiene es un ejemplo de lo que se llama una recurrencia vecorial. Un curso de Algebra Ecuaciones Diferenciales se impare en dos grupos, A B. Cada semana dejan el curso 1 4 de los que esán en el grupo A 1 3 de los que esán en B. Además, 1 6 del grupo B se pasa al grupo A 1 4 de A pasa a B. Finalmene, 1 6 de los que abandonaron en la semana anerior se incorporaron al grupo A 1 al grupo B. Calcula la recurrencia vecorial asociada al problema. Si inicialmene ha 6 18 mariculados en el grupo A, 9 en B 12 que se mariculan pero abandonan el curso, cuál será la disribución de las clases los abandonos ranscurridos seis meses de curso? Denoemos por A[n] los alumnos que ha en el grupo A en la semana n, B[n] los alumnos que esán en el grupo B en la semana n C[n] los alumnos que dejan el curso ras la semana n. Inicialmene A[] = 18, B[] = 9, C[] = 12. las relaciones enre una semana la siguiene es, según el enunciado, A[n + 1] = 1 2 A[n] + 1 6 B[n] + 1 6 C[n] B[n + 1] = 1 4 A[n] + 1 2 B[n] + 1 6 C[n] C[n + 1] = 1 4 A[n] + 1 3 B[n] + 2 3 C[n] Maricialmene, si v[n] = A[n], B[n], C[n] T, enemos el sisema 1/2 1/6 1/6 v[n + 1] = A v[n] = 1/4 1/2 1/6 v[n], 1/4 1/3 2/3 v[] = 18, 9, 12 T. La disribución ras seis meses de curso, es v[24] = A 24 v[]. Se raaría enonces de enconrar ese vecor de una forma raonable, pues el camino obvio de nlas poencias de la mari carece de senido prácico, salvo si uviéramos la suere de que A fuese diagonaliable por qué?. Sin embargo, no es ése el caso, pues se puede comprobar que A no es diagonaliable. Necesiamos enonces una alernaiva. En el ema anerior esablecimos condiciones para la diagonaliación de una mari cuadrada. Cuando una de las condiciones de diagonaliación fallaba, aún podíamos riangulariar la mari, hacerla semejane
a una mari riangular superior. Ésa no es, sin embargo, la represenación más simple de la mari en el caso de que ésa no diagonalice por no cumplir la segunda condición. Para las aplicaciones que nos ineresan, que serán las que aparecen en ese ema los dos siguienes, buscaremos una represenación a ravés de una base de los llamados auovecores generaliados. Esa represenación viene dada por el eorema de descomposición primaria. El primer bloque de aplicaciones de esos resulados será raado ambién en ese ema corresponde a las llamadas recurrencias vecoriales; en paricular las ecuaciones en diferencias. 5.1. Auoespacios generaliados Sea A M n,n K una mari cuadrada, que puede corresponder a un endomorfismo sobre un espacio vecorial de dimensión finia. Sea λ un auovalor de A. Sabemos que el auoespacio asociado a λ es el subespacio EA, λ = KerλI n A. Cuando la mari no diagonalia por no cumplir la segunda condición de diagonaliación, es porque para algún auovalor la muliplicidad geomérica dλ = dimea, λ no coincide con la algebraica mλ orden de λ como raí del polinomio caracerísico. Si eso ocurre para nuesro λ, la idea es raar de enconrar un subespacio relacionado con EA, λ cua dimensión sea jusamene mλ. Ese subespacio puede enconrarse a ravés de las poencias de λi n A. Lema 1. Sea A M n,n K λ un auovalor de A. Se verifica: a Cada subespacio KerλI n A k, k es invariane frene a A. b KerλI n A k KerλI n A k+1, k. c Si para un enero k se da la igualdad enonces KerλI n A k = KerλI n A k +1, KerλI n A k = KerλI n A k+1, k k. Fijado λ, se puede demosrar que la sucesión de subespacios KerλI n A KerλI n A 2 KerλI n A 3 esabilia en alguna poencia de λi n A. Eso significa que ha un primer enero kλ para el cual KerλI n A kλ = KerλI n A kλ+1,, por el aparado c del lema 1, odos los siguienes subespacios coinciden. El subespacio E g A, λ = KerλI n A kλ se llama auoespacio generaliado correspondiene a λ. Sus elemenos se llaman auovecores generaliados asociados a λ. Nóese que si m kλ se iene que E g A, λ = KerλI n A m. También, si A es diagonaliable, E g A, λ = EA, λ. Ejemplo. Vamos a buscar los auoespacios generaliados de la mari 1 2 3 4 A = 1 1 2 1 4. 3
Los auovalores con sus muliplicidades algebraicas son Para el primer auovalor λ 1 = 1, mλ 1 = 3 λ 2 = 3, mλ 2 = 1. EA, λ 1 = KerI 3 A = {,,, T / 2 3 4 1 2 4 4 } = {,,, T / =, =, = } = span1,,, T dλ 1 = 1. KerI 3 A 2 = {,,, T / 2 32 4 16 16 } = {,,, T / =, = } = span1,,, T,, 1,, T. KerI 3 A 3 = {,,, T / = {,,, T / = } 12 16 64 64 = span1,,, T,, 1,, T,,, 1, T. KerI 3 A 4 = {,,, T / = {,,, T / = } 48 64 256 256 = span1,,, T,, 1,, T,,, 1, T. Luego E g A, λ = KerI 3 A 3. Para el segundo auovalor EA, λ 2 = Ker 3I 3 A = {,,, T / = {,,, T / = 15/8, = /4, = } = span15, 2, 8, 8 T dλ 2 = 1. Ker 3I 3 A 2 = {,,, T / 4 2 3 4 4 1 2 4 4 16 16 26 16 8 12 16 16 = {,,, T / = 15/8, = /4, = } = span15, 2, 8, 8 T. Luego E g A, λ = EA, λ = Ker 3I 3 A. } } } }
5.2. Teorema de descomposición primaria El eorema que nos da una reducción de la mari a ravés de los auovecores generaliados es el siguiene. Más adelane veremos ejemplos. Teorema 1. Sea A M n,n K supongamos que odos los auovalores de A, λ 1,..., λ r, esán en K. Para cada j = 1,..., r pongamos dλ j = dimea, λ j la muliplicidad geomérica, mλ j la muliplicidad algebraica kλ j el primer enero donde se esabilia la sucesión de núcleos {Kerλ j I n A k } k 1. Se cumple enonces que 1 kλ j mλ j, 1 j r. 2 dime g A, λ j = mλ j, 1 j r. 3 El espacio K n es suma direca de los auoespacios generaliados: K n = E g A, λ 1 E g A, λ 2 E g A, λ r. 4 Tomemos una base arbiraria B j de cada auoespacio generaliado E g A, λ j, 1 j r. Enonces B = B 1 B r es una base de K n. Si P es la mari cuas columnas son los vecores de B, enonces P 1 AP es diagonal por bloques, es decir, P 1 AP = diagt 1,..., T r, donde T j es una mari de amaño mλ j mλ j de la forma T j = λ j I mλj mλ j + N j, con N j M mλj mλ j K una mari al que para alguna poencia s, N s j = es la mari nula. Para las aplicaciones que ahora veremos las de los emas siguienes, es más imporane obener la base de auovecores generaliados que la forma diagonal por bloques semejane. Ejemplos. Buscamos una base de auovecores generaliados para las siguienes marices. 1 A = 1 3 5 4 3 1 2 1. El polinomio caracerísico es p A = 4 2 +2, de modo que los auovalores con sus muliplicidades algebraicas son Para el primer auovalor Luego λ 1 = 4, mλ 1 = 2 λ 2 = 2, mλ 2 = 1. EA, λ 1 = Ker4I 3 A = {,, T / 1 4 3 1 4 3 1 2 3 = {,, T / =, = } = span1, 1, 1 T dλ 1 = 1. E g A, λ 1 = Ker4I 3 A 2 = {,, T / 18 18 18 18 18 18 = {,, T / = } = span1, 1, 1 T, 1,, T. } }
Para el segundo auovalor EA, λ 2 = Ker 2I 3 A = {,, T / 7 4 3 1 2 3 1 2 3 = {,, T / =, = } = span 1, 1, 1 T dλ 2 = 1. Luego los vecores v 1 = 1, 1, 1 T, v 2 = 1,, T, v 3 = 1, 1, 1 T forman una base de auovecores generaliados, de los cuales son auovecores v 1 v 3. Si P es la mari cuas columnas son v 1, v 2, v 3, la forma reducida semejane a A iene la forma P 1 AP = 4 1 4. 2 donde las columnas de P 1 AP esán formadas por las coordenadas de A v 1, A v 2 A v 3 en la base nueva. Se iene 2 A v 1 = 4 v 1 A v 2 = A 4I 3 v 2 + 4 v 2 = v 1 + 4 v 2 A v 3 = 2 v 3 A = 1 1 3 2 7 5 1 1 1 4 2 Calculamos los auovalores de A. Su polinomio caracerísico es, desarrollando por la ercera fila, 1 p A = dei 4 A = 1 3 + 2 5 1 1 2 = 12 2 + 1.. De modo que, los auovalores de A, con sus muliplicidades algebraicas, son: λ 1 = 1, mλ 1 = 2; λ 2 = i, mλ 2 = 1; λ 3 = i, mλ 3 = 1. Buscamos ahora una base de los auoespacios generaliados asociados a cada auovalor de A. Para λ 1, enemos, EA, λ 1 = KerI A = {,,, T : 1 3 3 7 5 1 1 4 1 = {,,, T : =, 3 + 3 5 =, + = } = {,,, T : = =, = } = 1, 1,, T. Como la muliplicidad algebraica es 2 la del auoespacio es 1, para obener el auoespacio generaliado endremos que elevar al cuadrado la mari I A, E g A, λ 1 = KerI A 2 = {,,, T : 4 4 4 1 } 2 2 4 4 = {,,, T : 2 + 2 + 2 5 =, + + 2 = } = {,,, T : = 2, = 6} = 1, 1,, T, 6,, 1, 2 T. } }
Para el segundo auovalor, E g A, λ 2 = KeriI A = {,,, T : i 1 1 3 i + 2 7 5 i 1 1 1 4 i 2 } = {,,, T : i 1 + =, 3 + i + 2 + 7 5 =, i 1 =, + + 4 + i 2 =.} = {,,, T : = =, = 2 i} =, 2 i,, 1 T. Y como el ercer auovalor es conjugado del segundo A es real, su auoespacio generaliado esá generado por el conjugado del vecor anerior, E g A, λ 3 = Ker ii A =, 2 + i,, 1 T. Tenemos a calculada una base de auovecores generaliados, v 1 = 1, 1,, T, v 2 = 6,, 1, 2 T, v 3 =, 2 i,, 1 T, v 4 =, 2 + i,, 1 T. donde, recordemos que v 1, v 3 v 4 son auovecores. Si P es la mari cuas columnas son v 1, v 2, v 3, v 4, la forma reducida semejane a A iene la forma P 1 AP = 1 1 1 i i donde las columnas de P 1 AP esán formadas por las coordenadas de A v 1, A v 2, A v 3 A v 4 en la base nueva. Se iene. A v 1 = v 1 A v 2 = A I 4 v 2 + v 2 = v 1 + v 2 A v 3 = i v 3 A v 4 = i v 4 5.3. Recurrencias vecoriales Dada una mari A M n.n C planeamos el problema de dar la solución de la recurrencia vecorial [m + 1] = A [m], [m] C n, m. 5.1 Ya hemos viso un ejemplo de recurrencia vecorial en la inroducción del ema anerior o en el ejemplo inroducorio de ese ema. Conocido el valor inicial [] = C n, la solución es [m] = A m []. El problema 5.1 quedaría enonces resuelo si obuviéramos la poencia A m, algo que en general no es posible. En su lugar se busca epresar la solución [m] como una superposición de los llamados modos normales. Los modos normales son las soluciones especiales de 5.1 que corresponden a daos iniciales en alguno de los auoespacios generaliados de A. Veamos cómo se puede epresar cada uno de esos modos normales.
Sea λ un auovalor de A E g A, λ = KerλI n A kλ. Para m kλ, podemos escribir A m = λi n + A λi n m = = kλ 1 j= m j m m j j= λ m j A λi n j = λ m + mλ m 1 A λi n + m + + kλ 1 λ m j A λi n j mm 1 λ m 2 A λi n 2 2 λ m kλ 1 A λi n kλ 1, 5.2 pues al ser E g A, λ = KerλI n A kλ, enonces λi n A kλ = por ano λi n A j = para j kλ. Hemos dado así una epresión general para los modos normales. En paricular, si es un auovecor, el modo normal es simplemene A m = λ m. El procedimieno para resolver 5.1 con una condición inicial [] arbiraria es enonces de la siguiene forma: 1 Obener una base de C n formada por auovecores generaliados: { 1,..., n }. 2 Epresar la condición inicial como suma de auovecores generaliados, calculando las coordenadas de [] en la base formada por auovecores generaliados: Enonces [] = α 1 1 + + α n n. A m [] = α 1 A m 1 + + α n A m n. 5.3 3 Calcular cada modo normal A m j, 1 j n según la fórmula 5.2 sumar para obener 5.3. En el caso de necesiar calcular A m, si llamamos P a una mari cuas columnas sean auovecores generaliados de A formen una base de C n. Por lo que hemos viso, sabemos epresar en forma cerrada A m P = S m, que es la mari cuas columnas son los modos normales asociados. De aquí podemos despejar A m = S m P 1. Ejemplos 1 Para la mari A = 4 3 1 3 2 4 3 3 1 4 el vecor = 1, 1, 7, 12 T, vamos a calcular A 1. Los auovalores con su muliplicidad correspondiene son: λ 1 = 1, mλ 1 = dλ 1 = 1 λ 2 = 4, mλ 2 = 3.
Buscamos una base de auovecores generaliados. Para el primer auovalor 3 E g A, λ 1 = Ker I 4 A = {,,, T : 3 3 2 3 3 3 1 3 Para el segundo auovalor, = {,,, T : =, = 2/3, = 11/9} = span, 9, 6, 11 T. EA, λ 2 = Ker 4I A = {,,, T : 3 3 3 2 3 3 1 = {,,, T : = = = } = span,,, 1 T dλ 2 = 1. } } Ker 4I A 2 = {,,, T : 9 9 6 6 12 11 } = {,,, T : = = } = span,,, 1 T,,, 1, T. E g A, λ 2 = Ker 4I A 3 = {,,, T : 27 27 18 18 33 33 = {,,, T : = } = span,,, 1 T,,, 1, T, 1, 1,, T. Una base de auovecores generaliados para esa mari es enonces: donde v 1, v 2 son auovecores. v 1 =, 9, 6, 11 T, v 2 =,,, 1 T, v 3 =,, 1, T, v 4 = 1, 1,, T, Tenemos que obener las coordenadas de la condición inicial [] = = 1, 1, 7, 12 T en la nueva base. Sabemos que ésas son P 1, donde P es la mari cuas columnas son v 1, v 2, v 3, v 4. No se calcula P 1, sino que se resuelve el sisema con mari P érmino independiene 1, 1, 7, 12 T. Si [] = α 1 v 1 + α 2 v 2 + α 3 v 3 + α 4 v 4, enonces α 1 1 α 1 1 P α 2 α 3 9 1 α 2 6 1 α 3 1 7. α 4 11 1 α 4 12 De donde α 1 = 1, α 2 = 1, α 3 = 1, α 4 = 1. Enonces [] = v 1 + v 2 + v 3 + v 4 luego A 1 [] = A 1 v 1 + A 1 v 2 + A 1 v 3 + A 1 v 4 = 1 1 v 1 + 4 1 v 2 + 4 1 v 3 +1 4 9 A + 4I 4 v 3 + 4 1 v 4 +1 4 9 A + 4I 4 v 4 + 45 4 8 A + 4I 4 2 v 4 = 1 1 v 1 + 4 1 v 2 + 4 1 v 3 +1 4 9 v 2 + 4 1 v 4 1 4 9 v 3 + 45 4 8 v 2. }
2 Para la mari A = 1 1 3 2 7 5 1 1 1 4 2, el vecor = 2,, 1, T vamos a calcular la solución de la recurrencia vecorial [m + 1] = A [m], [] =. Ya hemos enconrado, en el ejemplo 2 de la sección anerior, una base formada por auovecores generaliados para esa mari: donde v 1 = 1, 1,, T, v 2 = 6,, 1, 2 T, v 3 =, 2 i,, 1 T, v 4 =, 2 + i,, 1 T, A v 1 = v 1 A v 2 = A I 4 v 2 + v 2 = v 1 + v 2 A v 3 = i v 3 A v 4 = i v 4 Tenemos que obener las coordenadas de la condición inicial [] = = 2,, 1, T en la nueva base. Sabemos que ésas son P 1, donde P es la mari cuas columnas son v 1, v 2, v 3, v 4. No se calcula P 1, sino que se resuelve el sisema con mari P érmino independiene 2,, 1, T. Si [] = α 1 v 1 + α 2 v 2 + α 3 v 3 + α 4 v 4, enonces α 1 1 6 α 1 2 P α 2 α 3 1 2 i 2 + i α 2 1 α 3 1. α 4 2 1 1 α 4 De donde α 1 = 4, α 2 = 1, α 3 = 1, α 4 = 1. Enonces [] = 4 v 1 + v 2 + v 3 + v 4 luego [m] = A m [] = 4A m v 1 + A m v 2 + A m v 3 + A m v 4 = 4 v 1 + v 2 + ma I 4 v 2 + i m v 3 + i m v 4 = 4 v 1 + v 2 m v 1 + 2Rei m v 3. 5.4. Ecuaciones en diferencias La segunda aplicación iene mucha relación con la primera. Son las ecuaciones en diferencias, que son ecuaciones de la forma j+n + a n 1 j+n 1 + + a 1 j+1 + a j = f j, j, 5.4 donde a,..., a n 1 K son los coeficienes de la ecuación {f j } j= ejemplo, la célebre ecuación de Fibonacci M j+2 = M j+1 + M j, es un ejemplo de ecuación en diferencias. es una sucesión conocida. Por Las soluciones de 5.4 son sucesiones { j } j= que convieren 5.4 en una idenidad cuando cada m se susiue por m, m. No raaremos la resolución general de 5.4. Nos ineresan el caso homogéneo, es decir j+n + a n 1 j+n 1 + + a 1 j+1 + a j =, j, 5.5 algunos casos de 5.4 con érminos no homogéneos {f j } j= que aparecen en varios ejemplos.
5.4.1. Ecuación homogénea Denoamos por S al conjuno de odas las soluciones de 5.5. Es fácil ver que S es un espacio vecorial respeco de las operaciones definidas por componenes. Fijémonos en que 5.5 puede escribirse j+n = a n 1 j+n 1 a 1 j+1 a j, j, de modo que la ecuación posee solución única una ve que se especifican los n valores iniciales de la sucesión, 1,..., n 1. De esa manera, las n soluciones correspondienes a los n daos iniciales = 1, 1 =, 2 =,..., n 1 = =, 1 = 1, 2 =,..., n 1 = =, 1 =, 2 =,..., n 1 = 1, consiuen una base del espacio de soluciones S por ano dims = n. Para la descripción de las soluciones suele ser úil la formulación maricial de 5.5. Dada una sucesión { j } j=, se consrue la sucesión de vecores [j] = j, j+1,..., j+n 1 T, j. Enonces, { j } j= es solución de 5.5 si sólo si [j + 1] = A [j], j 1, 5.6 donde A = 1 1 1 a a 1 a 2 a 3 a n 2 a n 1. Así, la resolución de 5.5 se reduce a la obención de los modos normales de 5.6. Sin embargo, en la prácica, puede darse la solución de 5.5 uiliando la formulación maricial sólo a efecos eóricos. El polinomio p = n + a n 1 n 1 + + a 1 + a se llama polinomio caracerísico de 5.5. Sus raíces se llaman raíces caracerísicas. No es difícil ver que p = dei n A, de modo que las raíces caracerísicas de 5.5 coinciden, juno con su muliplicidad, con los auovalores de A. Para la obención de los soluciones de 5.5 consideremos la facoriación de p: p = λ 1 mλ1 λ r mλr, según sus diferenes raíces λ j con muliplicidades algebraicas mλ j, con mλ 1 + + mλ r = n. Las soluciones de 5.5 son las primeras componenes de los vecores solución de 5.6 Primera componene de [] 1 Primera componene de [1].. j Primera componene de [j]....
, como sabemos, oda solución de 5.6 es combinación de modos normales. De aquí se deduce que oda solución de 5.5 es combinación lineal de las sucesiones obenidas por las primeras componenes de los modos normales. Cada modo normal genera una sucesión de vecores donde Kerλ s I n A mλs., A, A 2,..., Ahora bien, dada la forma de un modo normal cualquiera proporcionada por 5.2, enemos que la sucesión de las primera componenes de {A j } j= es combinación lineal de las sucesiones {λ j s} j=, {jλ j s} j=,..., {j mλ s 1 λ j s} j=. Recorriendo enonces odos los modos normales, enemos que el espacio de soluciones S esá conenido en el espacio de sucesiones S formado por las combinaciones lineales de las n sucesiones {j l λ j s} j=, 1 s r, l m s 1. Por oro lado, al ser dims = n, enonces necesariamene S = S las n sucesiones aneriores forman una base de S. De ese modo, para obener las soluciones de 5.5 se procede de la siguiene manera: 1 Obener las raíces caracerísicas λ 1,..., λ r sus muliplicidades m 1,..., m r. 2 Formar las n sucesiones de la base {λ j 1 } j=, {jλ j 1 } j=,..., {j m 1 1 λ j 1 } j= {λ j 2 } j=, {jλ j 2 } j=,..., {j m2 1 λ j 2 } j= {λ j r} j=, {jλ j r} j=,..., {j m r 1 λ j r} j=. 3 Escribir la solución { j } j= como combinación lineal de las sucesiones aneriores. Los coeficienes de esa combinación quedan deerminados al imponer las n condiciones iniciales. Ejemplos. 1 Vamos a obener la solución de la ecuación en diferencias j+2 2 j+1 3 j =, con condiciones iniciales =, 1 = 1. El polinomio caracerísico es p = 2 2 3 = 3 + 1, de modo que las raíces caracerísicas con sus muliplicidades son Según eso, la base de soluciones es λ 1 = 3, m 1 = 1 λ 2 = 1, m 2 = 1. {λ j 1 } j= = {3 j } j=, {λ j 2 } j= = { 1 j } j=. de manera que la solución general { j } j= es de la forma j = A3 j + B 1 j, j =, 1, 2,..., para consanes A B. Esas consanes se deerminan a parir de las condiciones iniciales: = = A + B =, 1 = 1 1 = 3A B = 1.
Se obiene un sisema lineal para las consanes, de solución A = 1/4, B = 1/4. Luego la solución del problema es { j } j= con j = 1 4 3j 1 4 1j, j =, 1, 2,.... 2 Vamos a obener la solución general de la ecuación en diferencias j+3 3 j+1 2 j =. El polinomio caracerísico es p = 3 3 2 = 2 + 1 2, de modo que las raíces caracerísicas con sus muliplicidades son Según eso, la base de soluciones es λ 1 = 2, m 1 = 1 λ 2 = 1, m 2 = 2. {λ j 1 } j= = {2 j } j=, {λ j 2 } j= = { 1 j } j= {jλ j 2 } j= = {j 1 j } j=. de manera que la solución general { j } j= es de la forma para consanes A, B C. j = A3 j + B 1 j + Cj 1 j, j =, 1, 2,..., 3 Vamos a obener la solución de la ecuación en diferencias j+3 3 j+2 + 3 j+1 j =, con condiciones iniciales = 1, 1 =, 2 = 1. El polinomio caracerísico es p = 3 3 2 + 3 1 = 1 3, de modo que las raíces caracerísicas con sus muliplicidades son Según eso, la base de soluciones es λ 1 = 1, m 1 = 3. {λ j 1 } j= = {1 j } j=, {jλ j 1 } j= = {j} j= {j 2 λ j 1 } j= = {j 2 } j=. de manera que la solución general { j } j= es de la forma j = A + Bj + Cj 2, j =, 1, 2,..., para consanes A, B C. Esas consanes se deerminan a parir de las condiciones iniciales: = 1 = A = 1, 1 = 1 = A + B + C = 2 = 1 2 = A + 2B + 4C = 1. Se obiene un sisema lineal para las consanes, de solución A = 1, B = 2, C = 1. Luego la solución del problema es { j } j= con j = 1 2j + j 2, j =, 1, 2,....
4 Vamos a obener la solución de la ecuación en diferencias j+3 4 j+2 + 5 j+1 2 j =, con condiciones iniciales =, 1 = 1, 2 =. El polinomio caracerísico es p = 3 4 2 + 5 2 = 1 2 2, de modo que las raíces caracerísicas con sus muliplicidades son Según eso, la base de soluciones es λ 1 = 1, m 1 = 2 λ 2 = 2, m 2 = 1. {λ j 1 } j= = {1 j } j=, {jλ j 1 } j= = {j} j= {λ j 2 } j= = {2 j } j=. de manera que la solución general { j } j= es de la forma j = A + Bj + C2 j, j =, 1, 2,..., para consanes A, B C. Esas consanes se deerminan a parir de las condiciones iniciales: = = A + C =, 1 = 1 1 = A + B + 2C = 1 2 = 2 = A + 2B + 4C =. Se obiene un sisema lineal para las consanes, de solución A = 2, B = 3, C = 2. Luego la solución del problema es { j } j= con j = 2 + 3j 2 j+1, j =, 1, 2,.... 5 Vamos a obener la solución de la ecuación en diferencias j+2 = j, con condiciones iniciales = 1, 1 = 1. El polinomio caracerísico es p = 2 + 1 = i + i, de modo que las raíces caracerísicas con sus muliplicidades son Según eso, la base de soluciones es λ 1 = i, m 1 = 1 λ 2 = i, m 2 = 1. {λ j 1 } j= = {i j } j=, {λ j 2 } j= = { i j } j=. de manera que la solución general { j } j= es de la forma j = Ai j + B i j, j =, 1, 2,..., para consanes A B. Esas consanes se deerminan a parir de las condiciones iniciales: = 1 = A + B = 1, 1 = 1 1 = ia ib = 1. Se obiene un sisema lineal para las consanes, de solución A = 1 i/2, B = 1 + i/2. Luego la solución del problema es { j } j= con j = 1 i 2 ij + 1 + i 2 ij = 2Re 1 i 2 ij, = 2Re 1 i 1 i 2 eπij/2 = 2Re cosπj/2 + i sinπj/2 2 = cosπj/2 + sinπj/2 j =, 1, 2,.... La solución ha de ser real, pues las condiciones iniciales lo son.
5.4.2. Ecuación no homogénea Como a hemos indicado aneriormene, no raaremos la resolución general de la ecuación no homogénea 5.4. Sin embargo, es ineresane eplicar la esrucura de las soluciones, pues se uiliarán raonamienos parecidos poseriormene, en el coneo de las ecuaciones diferenciales. Asímismo, discuiremos ambién la resolución para algunos casos pariculares de érminos no homogéneos {f j } j=. En lo que se refiere a la esrucura de soluciones, conviene resalar una primera propiedad, que podría llamarse principio de superposición. R1 Supongamos que el érmino no homogéneo {f j } j= es suma de dos sucesiones f j = f [1] j + f [2] j, j =, 1,... sean { [1] j } j=, {[2] j } j= soluciones de 5.4 con érminos no homogéneos {f [1] j } j= {f [2] j } j= respecivamene. Enonces, la sucesión { j} j= con j = [1] j + [2] j es solución de 5.4 con érmino no homogéneo f j. El resulado parece raonable por la linealidad de la ecuación en diferencias. La primera consecuencia es la siguiene: R2 Si { j } j= e { j} j= son soluciones de 5.4, enonces la sucesión { j} j=, con j solución de la ecuación homogénea 5.5. = j j es De ese modo, la diferencia de dos soluciones de 5.4 es una solución de la ecuación homogénea asociada. Eso permie la siguiene descripción: R3 La solución general de 5.4 se puede escribir como la suma de una solución paricular más la solución general de la ecuación homogénea asociada 5.5. Ha enonces una reducción del problema en el siguiene senido: para calcular odas las soluciones de 5.4 es suficiene con obener una sola, pues odas las demás se deerminan añadiendo a la obenida soluciones de la ecuación homogénea asociada. Vamos a uiliar esa reducción para resolver algunos casos pariculares de ecuaciones no homogéneas que aparecen con frecuencia en diversas aplicaciones. Buscamos una solución paricular para ecuaciones en diferencias de la forma j+n + a n 1 j+n 1 + + a 1 j+1 + a j = f j, j, donde f j es de la forma f j = qjb j, siendo b una consane b C qj un polinomio en j de un deerminado grado m, qj = q + q 1 j + q m j m. El méodo que uiliaremos pare de la idea de que cuando el érmino no homogéneo es de esa forma, puede esperarse que eisa una solución del mismo ipo. Consideremos una sucesión { j } j= de la forma j = sjb j. Si susiuimos en la ecuación en diferencias se puede obener la siguiene fórmula donde b j b n pn b g j,n + b n 1 pn 1 b n! n 1! g j,n 1 + b p b g j,1 + pbg j, = qjb j, 5.7 1! p = a + a 1 + + a n 1 n 2 + a n n,
es el polinomio caracerísico de la ecuación, mienras que g j, = sj, g j,1 = sj + 1 sj, g j,2 = sj + 2 2sj + 1 + sj,... =. k k k g j,k = sj + k sj + k 1 + + 1 k 1. = g j,n =. n n sj + n 1 n sj + n 1 + + n 1 1 k 1 k sj + 1 + k 1 n 1 n sj + 1 + n 1 k sj, 1 n sj. La ecuación 5.7 permie el siguiene raonamieno. Supongamos que se ensaa una solución paricular de la forma j = sjb j, con s un polinomio de un grado a deerminar. Fijémonos enonces que g j, es un polinomio con el mismo grado que s, g j,1 iene un grado menos, g j,2 dos grados menos, ec. De ese modo, si b no es raí del polinomio caracerísico, enonces pb el polinomio en j de maor grado que aparece a la iquierda en 5.7 es g j, = sj, el cual debe coincidir con el grado m del polinomio de la derecha qj. Por ano, podemos ensaar como solución paricular una sucesión cuo érmino general es produco de b j por un polinomio del mismo grado m del polinomio del érmino no homogéneo. Supongamos ahora que b es raí caracerísica simple. Enonces pb = el polinomio en j de maor grado que aparece a la iquierda en 5.7 es ahora g j,1, el cual debe coincidir con el grado m del polinomio de la derecha qj. Como g j,1 iene un grado menos que sj, enonces debemos ensaar sj con grado m + 1. Si b es raí doble, enonces pb = p b = sj debe ener grado m + 2. Así, en general, si b es raí caracerísica de muliplicidad d, podemos ensaar como sj un polinomio de grado menor o igual que m + d, sj = A + A 1 j + + A d 1 j d 1 + A d j d + + A m+d j m+d. Aún se puede avanar un poco más; eniendo en cuena que b es raí con esa muliplicidad, la pare de la solución correspondiene al polinomio de grado menor o igual que d 1 es una solución de la ecuación homogénea. De ese modo, podemos ensaar a parir del coeficiene de j d. Ese méodo, llamado de coeficienes indeerminados, puede resumirse enonces de la siguiene forma: A Si pb, enonces s = s + s 1 + + s m m eise una solución paricular de la forma j = s + s 1 j + + s m j m b j. B Si p = b d p con p b, enonces s = s + + s d 1 d 1 + s d d + + s d+m d+m eise una solución paricular de la forma j = j d s d + s d+1 j + + s d+m j m b j. C En ambos casos, los coeficienes de s se obienen imponiendo que j sea solución del problema. Ejemplos. [1]. Buscamos una solución paricular de j+2 2 j+1 3 j = j2 j.
Las raíces caracerísicas son λ 1 = 3, λ 2 = 1. Como b = 2 no es raí caracerísica el polinomio de la derecha qj = j iene grado uno, ensaamos como solución paricular j = A + Bj2 j. Imponiendo esa función como solución e igualando en las poencias de j, enemos el sisema de donde j = 4/9 j/32 j. 4B 3A = 3B = 1. [2]. Buscamos una solución paricular de j+2 2 j+1 3 j = j 1 j. Ahora, b = 1 es raí simple del polinomio caracerísico. Buscamos enonces una solución paricular de la forma j = ja + Bj 1 j. Imponiendo la función como solución e igualando coeficienes en j, se iene 6B + 4A = 8B = 1. De donde B = 1/8, A = 3/16. La ecuación iene una solución paricular de la forma j = j 3/16 + 1/8j 1 j. La solución general es de la forma c 1 3 j + c 2 1 j + j 3/16 + 1/8j 1 j, con c 1, c 2 consanes arbirarias. EJERCICIOS DEL TEMA 5 Ejercicio 1. Halla una base de los auoespacios generaliados de las marices siguienes 2 3 4 A = 3 2 2 1 1, B = 3 1 3 2 4. 3 2 2 3 3 1 4 Halla A 1 B 1 donde es el vecor [1, 1,, ] T. Ejercicio 2. Se consideran las marices A = 1 1 1 1 2 1 2 4 1 3 1 2, B = Halla una base de los auoespacios generaliados de A B. 2 4 2 1 5 3 4 2 1 2. Ejercicio 3. Para la mari halla A 3 donde = [1, 2, 3, 5] T. A = 3 1 2 1 3 5 6 3 2 3 Ejercicio 4. Calcula la epresión de A n v donde v es el vecor 1, 2, 3, 4 T A es la mari 1 1 1 1 1 1 1 1 1, 2 1 2 1 1. 1 2 1 1 2
Ejercicio 5. Se considera la mari Ar, dependiene de un parámero real r R, Ar = 1 r. 4 3 r 4 1 i Deermina los valores de r para los cuales Ar es diagonaliable. ii Se considera la mari A = A2. Deermina una base de auovecores generaliados para la mari A. iii Calcula la solución de la recurrencia vecorial [n + 1] = A [n], n = 2, 3,... [2] = 3,, 1 T. Ejercicio 6. Para las siguienes marices A, hallar A n. 1. A = 2 1 1 1 2 1. 2. A = 1 1 1 1 2 2 4 1. 3. A = 4 6 3 5 3 6 5. 4. A = 1 1 1 1 1 1. 5. A = 2 4 3 4 12 1 2 5. Ejercicio 7. Resolver las ecuaciones en diferencias homogéneas de coeficienes consanes siguienes: 1. k+2 k+1 + 2 9 k =. 2. k+2 7 k+1 + 12 k =. 3. k+4 6 k+3 + 8 k+2 + 6 k+1 9 k =. 4. k+3 3 4 k+2 + 1 16 k =. Ejercicio 8. Halla la solución general de las siguienes ecuaciones en diferencias: a u j+3 3u j+2 + 3u j+1 u j =, e u j+2 + 8u j+1 + 15u j =. b u j+3 3u j+2 + 3u j+1 u j = j, f u j+2 + 8u j+1 + 15u j = 2 j. c u j+2 2u j+1 3u j = j, g u j+2 + 8u j+1 + 15u j = 3 j. d u j+2 2u j+1 + u j = j + j 2, h u j+2 2u j+1 + 2u j =. Ejercicio 9. Se considera la ecuación en diferencias j+3 3 j+1 2 j = j + 2 j. 5.8 i Calcula una solución paricular de la ecuación 5.8. ii Calcula la solución general de la ecuación 5.8. ii Encuenra odas las soluciones { j } j= de la ecuación 5.8 ales que =. Ejercicio 1. Escribe una ecuación en diferencias homogénea que enga como soluciones las siguienes:
1. 1 k, 2 k, 2 k. 2. 1 k, k 1 k, 5 k. 3. 1 k, 3 k cos kπ 2, 3k sen kπ 2. Ejercicio 11. Escribe una ecuación en diferencias homognea al que una de sus soluciones sea: 1. k = 2 k 1 5 k+1. 2. kπ k = 3 cos 2 sen 3. k = 1 + 3k 5k 2 + 6k 3. kπ. 2 Ejercicio 12. Considera el siguiene deerminane de orden n: b a a b a a b D n =.............. b a a b 1. Comprueba que D n = bd n 1 a 2 D n 2. 2. Calcula D n. Ejercicio 13. Resuelve las ecuaciones en diferencias no homogéneas siguienes: 1. k+2 5 k+1 + 6 k = 1 + k. 2. k+2 5 k+1 + 4 k = 4 k k 2. 3. kπ k+2 k = k cos. 2