Resolución de ciertas ecuaciones diferenciales mediante cambios de variables

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1 Tema 4 Resolución de cieras ecuaciones diferenciales mediane cambios de variables 4. Inroducción Exisen muchas ecuaciones diferenciales de primer orden que no son lineales ni de variables separables, pero que mediane un adecuado cambio de función incógnia, comúnmene llamado cambio de variable, se pueden ransformar en ora ecuación diferencial que sí es lineal o de variables separables. De esa forma podríamos aplicarle odo lo viso en los dos emas aneriores a la nueva ecuación diferencial y, poseriormene, deshaciendo el cambio de función incógnia podríamos obener las soluciones de la ecuación original. Aunque esos son los casos que vamos a raar en ese ema, la idea del cambio de variable es más general: conseguir ransformar una ecuación diferencial dada en ora que sepamos resolver, de modo que exisa una biyección conocida enre las soluciones de ambas. Así, resuela la segunda ecuación, podremos obener las soluciones de la primera deshaciendo el cambio. La idea que se aplica es análoga a la empleada en el cálculo inegral o cálculo de primiivas, en la que se aplica un cambio de variable que ransforma nuesra inegral en ora inmediaa o que sabemos raar mediane un méodo ya conocido. Cuando se hace un cambio de variable para el cálculo de una primiiva f(x dx en un inervalo I, consideramos una función h: J R derivable (usualmene h (y 0 para cada y para que sea inyeciva y enga senido h y hacemos el cambio x = h(y y calculamos la primiiva H(y = f(h(yh (y dy en el inervalo J, suponiendo que esa sea más fácil. De esa forma calculamos una primiiva de f en I deshaciendo el cambio así y = h (x y susiuyendo en la expresión de H(y. Así, F (x =H(h (x sería una primiiva de f en I. Podríamos llevar a cabo, inicialmene, un esudio eórico de los disinos ipos de cambios de función incógnia que se pueden realizar en una EDO de primer orden x = f(, x, pero preferimos abordar direcamene disinos ipos de ecuaciones diferenciales y explicar en cada caso el cambio concreo que se necesia en al ecuación. Más adelane, en oros emas, veremos oros ejemplos. En ése vamos a raar cuaro ipo de ecuaciones diferenciales. Las dos primeras se van a ransformar en ecuaciones de variables separables y las oras dos en ecuaciones lineales. El primer ipo que vamos a esudiar no suele recibir un nombre especial; las oras res son conocidas como ecuaciones 7

2 72 Resolución mediane cambios de variables homogéneas, ecuaciones de Bernoulli y ecuaciones de Ricai. Esas úlimas presenan una problemáica muy especial y un esudio más profundo de ellas requiere conocimienos que quedan fuera de ese curso. La idea a ransmiir es que no será necesario, en ningún caso, recordar fórmulas; simplemene, deberemos reconocer el ipo de ecuación, conocer el cambio de función incógnia a realizar y ener la cereza de que, si no nos equivocamos en los cálculos, nuesro problema se reducirá a resolver una ecuación de variables separables o una lineal (según los casos. Una vez resuela ésa, obendremos las soluciones de la ecuación original deshaciendo el cambio. 4.2 Ecuaciones del ipo x ( =ϕ(a + bx(+c En una ecuación del ipo (4. x ( =ϕ ( a + bx(+c suponemos que a, b y c son consanes conocidas y s ϕ(s es una función conocida. En forma reducida escribimos la ecuación como x = ϕ(a + bx + c. En los siguienes ejemplos indicamos, en cada caso, la función ϕ. x =( + x ϕ(s =s 3. x = sen 2 ( x ϕ(s = sen 2 s. x = + e (2+x ϕ(s = + e s. x = 3 + cos(2 +3x 5 ϕ(s = 3 + cos s. x =( + x arcan( + x ϕ(s =s arcan s. Puede comprobarse que ninguna de las ecuaciones planeadas es lineal ni de variables separables. La consane c puede ser nula, como sucede en el segundo y quino ejemplos, pero no así las consanes a o b. Obsérvese que si b = 0 la ecuación resulane es del ipo: x ( =g(, cuyas soluciones son las primiivas de la función g y si a = 0 la ecuación resulane es una ecuación auónoma y, por ano, son casos que ya hemos esudiados. La forma de la ecuación sugiere el cambio de función incógnia (4.2 y( = a + bx(+ c Obsérvese que de (4.2 se puede despejar sin problemas la función incógnia x así: (4.3 x( = b ( y( a c Siempre que se haga un cambio de función incógnia es imporane confirmar que después se puede deshacer el cambio, es decir escribir x( en función de y(. Vamos a comprobar que el cambio de función (4.2 ransforma la ecuación (4. en una ecuación de variables separables, más concreamene auónoma; es decir, el problema de resolver (4. va a ser equivalene a resolver una ecuación auónoma. En efeco, supongamos que x: I R es una solución de (4.. Enonces, y : I R definida por la expresión (4.2 es derivable en I y verifica y ( =a + bx ( =a + bϕ(a + bx(+c =a + bϕ(y( Apunes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez Universidad de Málaga

3 4.2. Ecuaciones del ipo x ( =ϕ(a + bx(+c 73 y así la nueva función incógnia y es solución de la ecuación diferencial auónoma (4.4 y = a + bϕ(y =h(y. Recíprocamene, si y : I R es solución de la ecuación auónoma (4.4, deshaciendo el cambio, es decir, considerando la función x: I R definida por (4.3, enemos x ( = b ( y ( a = b ( a + bϕ(y( a = ϕ(y( = ϕ(a + bx(+c, y así x es solución en el inervalo I de la ecuación original (4.. En definiiva, hemos obenido el siguiene resulado: Proposición 4.. x: I R es solución de (4. si, y sólo si, y : I R, definida por (4.2 es solución de la ecuación auónoma (4.4. De esa forma, se esablece una correspondencia biunívoca enre las soluciones de la ecuación dada y las soluciones de la ecuación auónoma resulane. En consecuencia, enconrando odas las soluciones de la ecuación auónoma se deerminan odas las soluciones de la ecuación original (en el proceso no se pierde ninguna solución. Como siempre, se sugiere recordar las menos fórmulas posibles, y más aún cuando los cálculos son simples, por lo que se recomienda que el procedimieno a seguir para resolver una ecuación como (4. sea el siguiene:. Reconocer el ipo de ecuación (4. (a veces eso es lo que da más problemas. 2. Recordar el cambio de función incógnia: y( = a + bx(+ c. 3. Derivar la función y y, eliminando la función x, llegar a una ecuación auónoma (se iene la cereza de que eso funciona. 4. Resolver la ecuación auónoma resulane. 5. Deerminar las soluciones de la ecuación original (4. a parir de las expresiones obenidas de las soluciones de la ecuación auónoma, deshaciendo el cambio así: x( = b ( y( a c. Vamos a ilusrar ese simple méodo con dos ejemplos. Que el desarrollo del problema sea más o menos largo sólo esriba en la dificulad que presene la resolución de la ecuación auónoma. Ejemplo 4.. Soluciones de la ecuación diferencial x ( = (9 x( Como se puede apreciar no es lineal ni de variables separables. En ese caso la ecuación es del ipo (4. donde ϕ(s =s 2. Según lo viso aneriormene el cambio de función incógnia y( = 9 x(+ 2 debe ransformar nuesra ecuación diferencial inicial en una ecuación diferencial auónoma. En efeco, basa con derivar la función y para obener y ( = 9 x ( = 9 (9 x( =9 y 2 (. De esa forma, el problema se reduce a resolver la ecuación auónoma y =9 y 2.

4 74 Resolución mediane cambios de variables Esa iene obviamene dos, y solamene dos, soluciones consanes, que son las definidas en R por y 0 ( = 3 e y ( = 3. Las demás soluciones de la auónoma, cuyas gráficas no coran a las 0 gráficas de las soluciones consanes, vienen dadas implíciamene por ecuaciones del ipo dy = + K. 9 y2 Esamos en un caso muy parecido al de las ecuaciones logísicas, que raamos en el ema anerior para un modelo de población. Calculamos la primiiva que aparece en el primer miembro, descomponiendo en fracciones simples 9 y 2 9 y 2 = A 3 y + B 3+y de donde { 3(A + B = y, por ano A = B = 6. Así, 9 y 2 dy = ( 6 3 y dy + A B =0 3+y dy = 3(A + B+(A By 9 y 2, = 6 ( log 3 y + log 3+y = 6 log 3+y 3 y. Por ano, las soluciones referidas de la ecuación auónoma vienen definidas implíciamene por log 3+y =6 +6K, 3 y lo que equivale a 3+y 3 y = Ce6 siendo C una consane posiiva, y, por ano, 3+y 3 y = Ce6 donde C 0. Despejando y de la ecuación anerior obenemos y = 3Ce6 3 +Ce 6. De esa forma, llegamos a las expresiones de las funciones derivables y C ( = 3(Ce6 +Ce 6 donde C 0. C 2 y C 3 y 0 3 C 2 Figura 4.: Gráficas de algunas soluciones de y =9 y 2 (las dos consanes y las correspondienes a C = y C = 2. Apunes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez Universidad de Málaga

5 4.2. Ecuaciones del ipo x ( =ϕ(a + bx(+c 75 Obsérvese que si admiimos en la expresión anerior el caso C = 0, para ése se obiene la solución consane y 0 ( = 3, pero la expresión de y 0 ( = 3 no se obiene para ningún valor de C. Para C>0las soluciones esán definidas en R mienras que si C<0esán definidas en inervalos del ipo I =(, 0 ei =( 0,, donde 0 = 6 log( C. No vamos a enreenernos en el comporamieno de las soluciones en los exremos de sus inervalos de definición, pero se puede comprobar fácilmene que para C > 0 las soluciones son esricamene crecienes, ienen sus gráficas comprendidas enre las gráficas de las dos soluciones consanes y ienen a ésas como asínoas horizonales. En el caso C<0son esricamene monóonas y ienen a una de esas como asínoa horizonal y, por ora pare, ienen una asínoa verical de ecuación = 0, es decir, una siuación análoga al caso logísico. Deshaciendo el cambio, enemos x( = y(. De las dos soluciones consanes de la ecuación auónoma obenemos las dos soluciones válidas en R dadas por x 0 ( =9 +5, x ( =9. 0 A parir de las soluciones y C obenemos las soluciones definidas por x C ( =9 +2 3(Ce6 +Ce 6. Como debe ser, la solución x 0 ( =9 + 5 es un caso paricular de lo anerior para C = 0, pero la solución x ( = 9 no esá considerada en esa familia. Por ora pare, manipulando lo obenido, 0 podemos obener expresiones más simples de las x C así: x C ( = ( (Ce6 +Ce 6 =9 + 3( + Ce6 3(Ce 6 +C e 6 y, de esa forma, obenemos x C ( = Ce 6. Obsérvese que la solución x 0 ( = sigue siendo un caso paricular de lo anerior para C =0. C 2 x C x 0 9 C 2 Figura 4.2: Gráficas de las soluciones x obenidas a parir de las de la figura 4..

6 76 Resolución mediane cambios de variables Obsérvese las soluciones que da el programa Mahemaica para esa ecuación. DSolve [ x [] == (9 x[] + 2 2,x[], ] x[] e6 C[]. No proporciona la solución x ( =9 Porqué?. Porque ésa procede de una solución consane 0 (y 0 ( = 3 de la ecuación auónoma, que no se obiene de la familia y C y, como ya adverimos en el ema anerior, Mahemaica no encuenra las posibles soluciones consanes de una ecuación de variables separables. Ejemplo 4.2. Resolución de la ecuación diferencial x ( = sen 2 ( x( +. Como se puede apreciar no es lineal ni de variables separables. En ese caso la ecuación es del ipo (4. donde ϕ(s = sen 2 (s. El cambio de función incógnia a realizar es y( = x( +. Obviamene el cambio se deshace así: x( = + y(. Derivando la expresión de y obenemos y ( = x ( = sen 2 ( x( + = sen 2 (y(. De esa forma, el problema se reduce a resolver la ecuación auónoma y = cos 2 y. Esa ecuación auónoma posee infinias (pero numerables soluciones consanes, ya que h(y = cos 2 (y =0 cos y =0 y = π/2+kπ donde k Z. Así pues, las soluciones consanes (válidas en R son yk : R R, y k ( =π/2+kπ. Deshaciendo el cambio, a parir de las y k se obienen las soluciones de la ecuación x = sen 2 ( x+ dadas por x k : R R, x k ( = + π/2 kπ, donde k Z. Deerminemos ahora las oras soluciones de la ecuación auónoma. En ese caso enemos infinios inervalos J k donde h es coninua y no se anula, que son los dados por J k =( π 2 +(k π, π 2 + kπ =( π 2 + kπ, π 2 + kπ =( (k 2 π, (k + 2 π. Consideremos los dominios de R 2 dados por D k = R J k. Una función derivable x: I R con gráfica conenida en D k es solución de la ecuación auónoma si, y sólo si, exise C R al que x viene definida implíciamene en I por la ecuación cos 2 dy = + C, o equivalenemene, an y = + C. y En principio la ecuación anerior parece que no depende del dominio D k (las primiivas son independienes del dominio que se use. Ahora bien, en lo que sí van a inervenir los D k es a la hora de despejar y de la ecuación anerior. Con eso hay que ener sumo cuidado. Obsérvese que la función angene no iene inversa a no ser que la resrinjamos a un inervalo adecuado. Por ejemplo, si consideramos an: ( π/2, π/2 R al función es biyeciva y su inversa es arcan: R ( π/2, π/2. Eso quiere decir que no podemos despejar alegremene de an y = +C escribiendo y = arcan( + C, pues eso implicaría que y ( π/2, π/2 y así sólo esaríamos obeniendo las soluciones con gráficas en el dominio D 0. La cuesión es cómo se obienen las soluciones con gráficas conenidas en los demás dominios D k?. Para eso endríamos que considerar Apunes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez Universidad de Málaga

7 4.2. Ecuaciones del ipo x ( =ϕ(a + bx(+c 77 Π 2 Π 2 Π 2 Π 2 Figura 4.4: Gráfica de la función arcoangene Figura 4.3: Gráfica de la función angene resingida a ( π/2, π/2 que si graf(y D k, es decir, y J k =( π/2+kπ, π/2+kπ, enonces π/2 <y kπ < π/2 y, eniendo en cuena que an(y kπ = an y, enonces la ecuación an y = + C es equivalene a an(y kπ = + C y, por ano, a y = kπ + arcan( + C. En definiiva, las soluciones de la ecuación auónoma con gráficas conenidas en D k son las dadas por y k,c ( =kπ + arcan( + C y son soluciones válidas en R (pues vienen definidas por la ecuación an y = + C y son derivables en R. Véase que las gráficas de ésas ienen, cada una, dos asínoas horizonales, que son precisamene gráficas de las soluciones consanes. En ese caso parece que hemos deerminado (se puede probar que es así odas las soluciones de la ecuación auónoma. 3 Π 2 k Π 2 k 0 Π 2 k 3 Π 2 Figura 4.5: Gráficas de algunas soluciones de la ecuación auónoma y = cos 2 y. Deshaciendo el cambio de función incógnia, a parir de las y k,c obenemos las soluciones x k,c : R R, x k,c ( = + kπ arcan( + C, con k Z y C R. Para cada k Z y cada C R enemos una solución. Esas, juno con las obenidas al principio: x k ( = + π(k +/2, k Z, son odas las soluciones de la ecuación diferencial propuesa.

8 78 Resolución mediane cambios de variables Obsérvese la respuesa que da Mahemaica a la ecuación diferencial que hemos raado aquí. DSolve [ x [] == (Sin[ x[] + ] 2,x[], ] {{ [ ]} { [ ]}} x[] + ArcTan (2 C[], x[] + + ArcTan ( 2 + C[] 2 2 Véase que Mahemaica no ha enconrado odas las soluciones (sólo da las x k,c para k = 0 y no proporciona las x k, aunque de hecho da una alarma adviriendo que eso podría suceder (esa alarma sólo vendría a jusificar porqué no deermina las soluciones x k,c con k 0: Inverse funcions are being used by Solve, so some soluions may no be found; use Reduce for complee soluion informaion. Ejemplo 4.3. Resolución del problema (P : { x ( = sen 2 ( x( x(0 = 0 En ese caso enemos un problema de valor inicial donde la ecuación es muy parecida a la del ejemplo anerior. El cambio de variable a realizar en ese caso es y( = x(. Derivando la expresión de y obenemos y ( = x ( = sen 2 ( x( = sen 2 (y(. De esa forma, la ecuación equivalene a la dada es la ecuación auónoma y = cos 2 y, es decir, la misma que apareció en el ejemplo anerior. Hemos pueso ese ejemplo para adverir que en un caso como en ése no sería necesario enconrar odas las soluciones de la auónoma, al como se hizo en el ejemplo anerior. Al ser un problema de valor inicial, podemos arrasrar la condición inicial x(0 = 0 a la nueva función incógnia para obener y(0 = 0 x(0 = 0 y de esa forma obener el problema de Cauchy asociado { y = cos 2 y (Q : y(0 = 0 La idea es resolver el problema (Q y después (P deshaciendo el cambio (x( = y(. Dado que la función h, definida por h(y = cos 2 y, verifica h(0 0, sabemos que en algún inervalo abiero coneniendo al puno 0, el problema (Q posee una única solución, que viene definida implíciamene por la ecuación y 0 cos 2 s ds = 0 ds, que, obviamene, es equivalene a la ecuación an y =. En ese caso no enemos duda al despejar y de la ecuación anerior, ya que esamos buscando una solución que verifica y(0 = 0; Al ser y coninua, para cada de algún inervalo I 0 se verifica que y( ( π/2, π/2. Por ano, la forma de despejar y de la ecuación an y = es y = arcan. De esa forma, la función derivable definida por y( = arcan es solución de (Q. Ahora podemos comprobar, simplemene derivando, que es solución de (Q válida en R. En consecuencia, la función x: R R, x( = arcan Apunes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez Universidad de Málaga

9 4.3. Ecuaciones diferenciales homogéneas 79 es solución del problema (P. Después de ver el ema 6, podremos probar que es la única solución de (P definida en R. Con Mahemaica enemos lo siguiene: DSolve [{ x [] == (Sin[ x[]] 2,x[0] == 0 },x[], ] x[] ArcTan[]. 4.3 Ecuaciones diferenciales homogéneas Anes de inroducir las ecuaciones diferenciales homogéneas vamos a raar algunas cuesiones sobre funciones homogéneas. Sea D un subconjuno de R 2 con la siguiene propiedad: (, x D y λ> 0 = (λ, λx D. Ese ipo de conjunos se llaman semiconos. Por ejemplo, R 2, un semiplano, un cuadrane del plano y oros conjunos como una región riangular ilimiada especial, serían ejemplos de semiconos. Sobre un semicono se puede definir una función homogénea. Si D es un semicono en el plano, una función f : D R se dice que es homogénea de grado m, donde m R, cuando verifica f(λ, λx =λ m f(, x para cada (, x D y cada λ> 0. Como λ es posiivo iene senido λ m (pues λ m = e m log λ cualquiera que sea m R. Por ano una función homogéna de grado 0 es la que verifica la condición: (4.5 f(λ, λx =f(, x para cada (, x D y cada λ> 0. A coninuación damos algunos ejemplos de ecuaciones homogéneas.. f : R 2 R, definida por f(, x =a + bx, es una función homogénea de grado. 2. Las funciones f : R 2 R, definidas por f(, x = 2 x 2 y f(, x =2 2 +3x 2, son homogéneas de grado Las funciones definidas en el dominio D = (0, (0, por f(, x = sen( x y f(, x = log log x son homogéneas de grado f : [0, [0, R, definida por f(, x = + x, es homogénea de grado /2. 5. Un caso especial muy ineresane es el siguiene. Si g y h son funciones homogéneas del mismo g(, x grado sobre un semicono D y h no se anula en D, la función f definida por f(, x = h(, x es homogénea de grado 0. Definición 4.. Una ecuación diferencial homogénea es una ecuación del ipo (4.6 x ( =f(, x( donde la función f es homogénea de grado 0.

10 80 Resolución mediane cambios de variables Según lo viso aneriormene, muchas veces nos enconraremos la ecuación diferencial escria así: (4.7 x ( = g(, x( h(, x( siendo g y h funciones homogéneas del mismo grado. Observación: Las llamadas ecuaciones lineales homogéneas: x ( =a(x( (esudiadas en el ema 2 no son, en general, ecuaciones homogéneas en el senido precisado aquí ya que la función definida por f(, x =a(x no es necesariamene homogénea de grado 0. La idea es probar que se puede llevar a cabo un cambio de función incógnia que ransforme la ecuación (4.6 en una ecuación diferencial de variables separables (en ese caso no auónoma. En general, no se ve claramene el cambio de función incógnia a realizar si anes no se llevan a cabo cieras manipulaciones de la función f, las cuales van a implicar ciera resricción sobre el dominio D; concreamene, vamos a ener que suponer que el dominio D no debe corar al eje de ordenadas. Obsérvese que los semiconos maximales donde eso sucede son D =(, 0 R y D = (0, R. En efeco, supongamos por ejemplo que D (0, R. Para cada (, x D consideramos λ =/ > 0. Teniendo en cuena (4.5 enemos f(, x =f(λ, λx =f(, x =ϕ( x, o bien, de ora forma más rápida, f(, x =f(, x =f(, x. Análogamene, si D (, 0 R, f(, x =f(, x =f(, x =ψ( x. Luego en cualquier caso la función homogénea de grado 0 podemos escribirla así: ( x f(, x =ϕ siendo ϕ una función de una sola variable. Por ejemplo, si nos dan la función homogénea de grado 0 (cociene de dos homogéneas g y h de grado 3 definida en cada cuadrane del plano por f(, x = 3 + x 2 x 3 2 2, x basaría con dividir numerador y denominador por 3 (obsérvese que 3 es el grado de homogeneidad de g y h para obener la expresión: f(, x = + ( x 2 ( x 3 2( x = ϕ( x donde ϕ(s s 3 =+s2. 2s En ese caso no necesiamos resringir los dominios pues las regiones donde f esá definida no coran al eje de ordenadas. Por ano, en general y con al resricción sobre el dominio D, podemos escribir cualquier ecuación diferencial homogénea así: ( x( (4.8 x ( =ϕ donde la función s ϕ(s es conocida. La expresión (4.8 nos sugiere que hagamos el cambio de función incógnia dado por (4.9 y( = x(. Apunes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez Universidad de Málaga

11 4.3. Ecuaciones diferenciales homogéneas 8 Comprobemos que con ese cambio pasamos de la ecuación (4.8 a una de variables separables. En efeco, supongamos que x: I R es solución de (4.8, lo que implica que I (, 0 o I (0,, y consideramos la función y : I R definida por (4.9. Derivando la función y obenemos y ( =x ( x( 2 = ( x ( x( = [ ϕ ( x( x( Por ano, y : I R es solución de la ecuación de variables separables (4.0 y ( = ( ϕ(y( y( = g(h(y(. ] = ( ϕ(y( y(. Recíprocamene, supongamos que y : I R es solución de la ecuación de variables separables (4.0 y deshacemos el cambio hecho en (4.9, es decir, consideramos la función x: I R definida por (4. x( =y(. Derivando la función x obenemos x ( =y(+y ( =y(+ ( ( x( ϕ(y( y( = ϕ(y( =ϕ y así comprobamos que x es solución en el mismo inervalo de la ecuación diferencial homogénea (4.8. Así pues: Proposición 4.2. x: I R es solución de la ecuación homogénea (4.8 si, y sólo si, y : I R, definida por (4.9, es solución de la ecuación de variables separables (4.0. Esablecemos así una correspondencia biunívoca enre las soluciones de la ecuación dada y las soluciones de la ecuación de variables separables resulane. De esa forma, enconrando odas las soluciones de la ecuación diferencial de variables separables se deerminan odas las soluciones de la ecuación diferencial homogénea (en el proceso no se pierde ninguna solución. De nuevo se insise en que no es necesario recordar la expresión de la ecuación (4.0 resulane. Basa con derivar en la expresión del cambio y ener la cereza de que surge una ecuación de variables separables. El procedimieno a llevar en la prácica sería el análogo al descrio en la sección 4.2. Resolveríamos la ecuación de variables separables resulane y enconraríamos las soluciones de la ecuación homogénea deshaciendo el cambio, es decir, considerando las soluciones dadas por (4.. A modo de una simple ilusración del méodo, obsérvese que la ecuación x = x es lineal homogénea pero ambién es homogénea. Si hacemos el cambio y( = x( la ecuación resulane sería la ecuación rivial y = 0 cuyas soluciones son las funciones consanes y( =C y, al deshacer el cambio, obenemos las soluciones definidas por x( = C, que son las que habríamos obenido de aplicar la conocida fórmula x( =C e d. Ejemplo 4.4. Soluciones de la ecuación diferencial x ( = x2 ( 2. 2x( Como se puede apreciar no es lineal ni de variables separables. Necesariamene las soluciones ienen sus gráficas conenidas en alguno de los cuaro dominios del plano (que son semiconos: D = (0, (0,, D 2 = (0, (, 0, D 3 =(, 0 (0,, D 4 =(, 0 (, 0.

12 82 Resolución mediane cambios de variables En ese caso, la función f, definida por f(, x = x2 2 2x, es cociene de dos funciones homogéneas de grado 2, por lo que es una función de grado 0. Dividiendo numerador y denominador por 2 se obiene f(, x = x2 2 = ( x 2 x 2x 2( x = ϕ(, donde ϕ(s = s2. 2s De esa forma, nuesra ecuación diferencial se puede escribir, sin necesidad de resringir los dominios, como x ( =ϕ ( x( y, por ano, realizamos el cambio de función incógnia y( = x(. Derivamos la expresión de y( =x( y obenemos y ( =x ( x( 2 = [ ( x( ϕ x( ] = ( ϕ(y( y(. Como ϕ(s s = s2 2s 2 2s = +s2 2s, la ecuación de variables separables resulane es: y ( = +y 2 (. 2y( Esa ecuación no posee soluciones consanes (de hecho iene sus soluciones con las gráficas en los mismos dominios D k que la original. Más exacamene la ecuación es equivalene a una ecuación de variables separadas cuyas soluciones se obienen implíciamene de ecuaciones del ipo 2y +y 2 dy = d + C con C R lo que equivale a escribir log( + y 2 = log + C o, equivalenemene, y 2 = K siendo K>0. Despejando y y eniendo en cuena el signo de nos quedan cuaro familias de soluciones, cada una de ellas con las gráficas en uno de los cuaro dominios D k. Todas son del ipo y( =± K. Despejando el cambio así: x( = y(, aparecen cuaro familias de soluciones de expresiones K x K ( =, x ( = K K x ( = K ( K + x ( = K ( K +, donde, en cada caso, K es un número posiivo. Para las dos primeras familias (con gráficas en D y D 2 las soluciones son válidas en inervalos del ipo I = (0,K. Para las oras dos familias (con gráficas en D 3 y D 4 las soluciones son válidas en inervalos del ipo I =( K, 0. K = 0.4 K = K = K = K = 0.5 K = K = 0.4 K = Figura 4.6: Gráficas de las soluciones en los casos K =,K =0.75 y K =0.5. En ese caso, la respuesa de Mahemaica a nuesra ecuación diferencial es la siguiene: DSolve [x [] == (x[]2 2 ],x[], 2x[] Apunes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez Universidad de Málaga

13 4.3. Ecuaciones diferenciales homogéneas 83 {{ x[] } 2 + C[], { x[] }} 2 + C[]. Para poder comparar mejor el resulado de Mahemaica con el nuesro, obsérvese que si >0 se verifica K x K ( = = 2( K = 2 + K y si <0 se iene x K ( = ( K + = ( 2( K + = 2 K. En ambos casos se obiene finalmene una expresión de la forma 2 + C, donde C 0. Por ano, hay coincidencia en los resulados obenidos. Ejemplo 4.5. Soluciones de la ecuación diferencial x ( = + x( x(. Como se puede apreciar no es lineal ni de variables separables. La expresión de esa ecuación es aparenemene más simple que la del primer ejemplo, pero vamos a ver que la resolución se complica (las ecuaciones diferenciales engañan mucho. Las gráficas de las soluciones esarán conenidas en la región {(, x R 2 : x } lo que da lugar a dos semiconos maximales: las regiones que esán por encima o debajo de la reca de ecuación x =. En esos semiconos la función f, definida por f(, x = +x x, es cociene de dos funciones homogéneas de grado por lo que f es de grado 0. No obsane, el méodo de resolución de la ecuación diferencial nos lleva a realizar resricciones sobre esas regiones (hay que suponer 0 dando lugar a cuaro semiconos. Eso nos dice que, desde un principio, el méodo inroduce una resricción que podría condicionar a no dar odas las soluciones. Dividiendo el numerador y el denominador de la expresión de f por enemos: f(, x = + x x ( x = ϕ, donde ϕ(s = +s s. Hacemos el cambio de función incógnia y( =x( y derivando la expresión de y obenemos fácilmene que y es solución de la ecuación de variables separables y ( = +y2 ( y( Esa ecuación no posee soluciones consanes, de hecho es una ecuación de variables separadas, cuyas soluciones se obienen implíciamene de ecuaciones del ipo y +y 2 dy = d + C con C R. La primiiva que aparece en el primer miembro es de resolución casi inmediaa y las ecuaciones quedan así: arcan y 2 log( + y2 = log + C con C R, o, equivalenemene, arcan y 2 log( + y2 = log(k con K>0.

14 84 Resolución mediane cambios de variables Véase que no sabemos despejar y de la ecuación anerior. Como y = x, donde x es solución de la ecuación diferencial homogénea, enonces podemos afirmar que cualquier solución x de nuesra ecuación original viene definida implíciamene por una ecuación del ipo (4.2 arcan ( x ( 2 log + ( x 2 = log(k con K>0. Manipulando un poco la ecuación anerior podemos escribir es decir, arcan ( x ( 2 + x 2 = log 2 + log(k con K>0, (4.3 arcan ( x = log (K 2 + x 2 con K>0. o equivalenemene arcan( x = log 2 + x 2 + C con C R. Tenemos que dejar el problema así si no sabemos despejar x de la expresión anerior y por ano no podemos, en principio, inspeccionar los inervalos de definición de las soluciones y los valores de K para los que realmene se obiene solución. Sólo podríamos recurrir al eorema de la función implícia para probar que para cada C R (o equivalenemene para cada K>0 la ecuación anerior define implíciamene una solución de la ecuación diferencial homogénea en un deerminado inervalo (desconocido, aunque el méodo asegura, salvo errores de cálculo, que cualquier solución de la ecuación diferencial se obiene a parir de la ecuación (4.3. No obsane, suponiendo que al ecuación defina una función derivable x(, podemos comprobar de una forma direca que ésa es solución de la ecuación diferencial derivando en ambos miembros de la expresión: pues se obendría lo siguiene: arcan ( x( ( = log K 2 + x 2 (, x ( x( 2 2 +x 2 ( 2 = K 2+2x(x ( 2 2 +x 2 ( K 2 + x 2 ( = x ( x( = + x(x ( = x (( x( = + x( = x ( = + x( x(. En ese caso, la respuesa de Mahemaica a nuesra ecuación diferencial [ DSolve x []== + x[] ] x[],x[], es la siguiene: The equaions appear o involve he variables o be solved for in an essenially non-algebraic way [ [ ] x[] Solve ArcTan + 2 ] ] [+ Log x[]2 2 == C[] Log[],x[] Es decir, que Mahemaica ampoco da las soluciones explíciamene y planea resolver ( Solve lo anerior como una ecuación en x[] aunque no sabe resolverla. Obsérvese que la forma implícia Véase [4, páginas 4 y 42]. Apunes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez Universidad de Málaga

15 4.4. Ecuaciones diferenciales de Bernoulli 85 en que da las soluciones coincide con lo que hemos obenido en (4.2 (aunque escribe Log[] en lugar de Log[ ]. Observación: Trabajando con la expresión (4.3 y pasando a coordenadas polares (r, θ ( = r cos θ, x = r sen θ, se obiene inmediaamene ecuaciones muy simples de las gráficas de las soluciones, en coordenadas polares; concreamene: r = K eθ. Esas son casos pariculares de ecuaciones de espirales logarímicas 2. Figura 4.7: Una espiral logarímica Las ecuaciones que hemos raado en las dos primeras secciones han sido ransformadas, mediane cambios de funciones incógnias, en ecuaciones de variables separables. En los dos siguienes casos: ecuaciones de Bernoulli y ecuaciones de Riccai, vamos a ransformar las ecuaciones en ecuaciones diferenciales lineales. 4.4 Ecuaciones diferenciales de Bernoulli Jacob Bernoulli ( , maemáico suizo, pereneciene a una saga formada por nada menos que ocho maemáicos, fue uno de los primeros maemáicos en ineresarse por la modelización maemáica de cieros problemas de la vida real, especialmene se ineresó en problemas de epidemias. Las ecuaciones diferenciales que propuso en esos modelos son casos pariculares de un ipo de ecuación diferencial que se conoce hoy en día como ecuación diferencial de Bernoulli. Definición 4.2. Una ecuación diferencial de Bernoulli es una ecuación del ipo (4.4 x ( =a(x(+b(x α ( donde las funciones a: J R y b: J R son funciones conocidas y α es un número real. Para poder raar ese ipo de ecuaciones supondremos siempre que las funciones a y b son coninuas sobre el inervalo J. En forma abreviada la ecuación la escribimos así: x = a(x + b(x α. En los siguienes ejemplos de ecuaciones de Bernoulli (escrios en formas abreviadas desacamos, en cada caso, el valor de α. 2 Una espiral logarímica es una clase de curva espiral que aparece frecuenemene en la nauraleza. Fue descria por primera vez por Descares y poseriormene invesigada por Jacob (Jakob Bernoulli, quien la llamó Spira mirabilis, la espiral maravillosa, y quiso una grabada en su lápida, pero se grabó en su lugar una espiral de Arquímedes.

16 86 Resolución mediane cambios de variables x = x + x 3 α =3. x = ax bx 2 α = 2 y a, b R (ésa ambién es auónoma: la ecuación logísica. x = x 2 x α =. x = x x α =/2. x = 3 x + x α =/3. Hay una serie de casos especiales (casos impropios en los que una ecuación de Bernoulli es una ecuación de un ipo ya esudiado (lineal, variables separables. Esos son:. Si α = 0 la ecuación queda así: x = a(x+b( y es, por ano, una ecuación lineal complea. 2. Si α = la ecuación es x = ( a(+b( x, una ecuación lineal homogénea. 3. Si la función a es nula en J la ecuación es x = b(x α, que es de variables separables. 4. Si la función b es nula en J la ecuación resulane es x = a(x, que es lineal homogénea. 5. Si las funciones a y b son consanes en J la ecuación resulane es x = ax + bx α, que es una auónoma, como sucede con el caso de la ecuación logísica, usada en un modelo de población en el ema anerior (en ese caso puede ser más cómodo resolver la ecuación como una ecuación de Bernoulli. El problema que surge, en general, con las ecuaciones de Bernoulli es que el valor de α puede acarrear cieras resricciones sobre las soluciones. Así, si α es un enero negaivo las soluciones no pueden anularse en un puno de su inervalo de definición. Si α =/2, /4,... las soluciones no pueden omar valores negaivos. En cualquier caso, si x( > 0 iene senido (x( α cualquiera que sea el valor de α (cuando a>0, a α =e α log a. Las consideraciones aneriores nos lleva a que en un esudio general de las ecuaciones de Bernoulli se consideren, inicialmene, soluciones posiivas x: I (0,, lo cual parece resricivo en casos ípicos como (4.5 x = a(x + b(x 2 o x = a(x + b(x 3 Obsérvese que en los dos casos aneriores la función nula x: J R, x( = 0 es solución de la ecuación y iene senido que una solución pueda omar valores negaivos. Sin embargo, el méodo que se conoce para solucionar las ecuaciones de Bernoulli hace que, aún en casos como los dos aneriores, se impongan cieras resricciones sobre las soluciones; concreamene, sólo va a deerminar soluciones que nunca se anulan. No obsane, en muchos casos donde α> 0 la función nula va a ser la única solución de la ecuación diferencial que se puede anular en algún puno; por ejemplo, eso sucede con las ecuaciones dadas en (4.5 y en general cuando α>. Al igual que sucede con las ecuaciones auónomas x = x α (que no dejan de ser un caso paricular de ecuaciones de Bernoulli, los casos conflicivos se dan cuando 0 < α <. En resumen, vamos a ener, en general, resricciones por dos moivos: por el valor de α y por el méodo de resolución. Méodo de resolución Hoy en día se usa el méodo dado por el maemáico alemán G.W. Leibniz (696, que consise en realizar un cambio de función incógnia que reduce el problema de enconrar las soluciones de una Apunes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez Universidad de Málaga

17 4.4. Ecuaciones diferenciales de Bernoulli 87 ecuación diferencial de Bernoullli a conocer las soluciones de una deerminada ecuación diferencial lineal (parece que ese méodo es más simple que el que usó originalmene Bernoulli. La ecuación de Bernoulli (4.4 es lineal complea cuando α = 0, es decir, cuando no aparece el facor x α en dicha ecuación. Eso nos sugiere manipular la ecuación para que parezca lineal complea y una forma de llevar a cabo eso consise en muliplicar los dos miembros de la ecuación (4.4 por x α (lo que no iene senido si x se anula en algún puno. Así obenemos: (4.6 x α (x ( =a(x α (+b( Podemos enonces considerar la nueva función incógnia y dada por (4.7 y( =x α ( pues de esa forma en el segundo miembro de (4.6 sólo aparece la expresión a(y( + b(. Todo eso funcionaría a la perfección si en el primer miembro de (4.6 únicamene apareciese la derivada y (. Si derivamos la función dada en (4.7 resula y ( = ( αx α (x ( es decir, salvo la consane α lo que aparece en el miembro de la izquierda de (4.6 es la derivada de la nueva función. Eso no es problema porque lo que esamos asegurando es que si x: I (0, es solución de la ecuación (4.4 (se supone I J, enonces y : I (0, definida por (4.7 es solución de la ecuación lineal (4.8 y ( = ( αa(y( + ( αb( Observaciones Obsérvese que en el caso α = 0 no hacemos realmene ningún cambio de función incógnia (y = x pero eso es lógico pues en ese caso la ecuación de Bernoullli ya es lineal. Por ora pare, en el caso α = el cambio dado en (4.7 no iene senido pero en ese caso la ecuación de Bernoulli ya es lineal homogénea. Por ano, en casos propios, el cambio dado por (4.7 no planea problema salvo el ya mencionado: no poder considerar soluciones que se anulen. Recíprocamene, supongamos que y : I (0, es solución de la ecuación lineal (4.8 y deshacemos el cambio dado en (4.7, es decir consideramos la función x: I (0, definida por (4.9 x( =y α ( Véase que la función ϕ: (0, (0,,s s k es biyeciva ano si k>0 como si k<0 y su inversa es (0, (0,,s s /k (obsérvese el problema con ϕ: R (0,,s s 2. Derivando la función x obenemos x ( = α (y( α y ( = α ( α y α ( ( αa(y( + ( αb( ( = a(y α (+b( y α α ( = a(x(+b(x α (. De esa forma obenemos una correspondencia biunívoca enre las soluciones posiivas de la ecuación de Bernoulli y las soluciones posiivas de la ecuación lineal, que resumimos en el siguiene resulado. Proposición 4.3. Si α,x: I (0, es solución de la ecuación de Bernoulli (4.4 si, y sólo si, y : I (0,, definida por y = x α, es solución de la ecuación lineal (4.8.

18 88 Resolución mediane cambios de variables Véase que si las funciones a y b son coninuas en el inervalo J, las funciones que aparecen en el segundo miembro de la ecuación lineal (4.8 son ambién coninuas en J y así la ecuación lineal puede ser raada mediane los méodos visos en el ema 2. Defecos del méodo de resolución Da la impresión de que puede haber problemas a la hora de deerminar las soluciones negaivas x: I (, 0 y, por supueso, las posibles soluciones que se anulen en algún puno. Al ser I un inervalo, por el eorema de Bolzano, si x: I R es una solución que oma valores posiivos y negaivos enonces deben exisir punos en I donde x se anule, dada la coninuidad de la función x. Como el méodo exige que una solución no se anule, enonces ése sólo nos va a deerminar soluciones posiivas o negaivas. Obsérvese el caso de la ecuación x = a(x + b(x 2 (α = 2. Esa iene como solución la función nula y iene senido que una solución ome valores posiivos, negaivos o nulos. Sin embargo, el cambio a realizar en ese caso para ransformar nuesra ecuación en una lineal es y( = x( que impide que una solución se anule (no obsane, con ese cambio obendremos ambién las soluciones negaivas. Por conra, si consideramos la ecuación x = a(x + b( x (α =, aquí no iene senido que una solución se anule y, sin embargo, el cambio de función que hay que llevar a cabo es y( =(x( 2. Resula que y( 0 mienras que x( puede ser posiiva o negaiva, Qué sucede? Pues que al deshacer el cambio así: x( = y( obenemos las soluciones posiivas mienras que al deshacer el cambio como x( = y( enemos las soluciones negaivas. Quizás lo más conveniene es no perderse en más dealles de ese ipo e ilusrar la eoría con algunos ejemplos y, como siempre, no es necesario recordar la expresión de la ecuación lineal resulane sino simplemene el cambio de función y derivar, eniendo la cereza que debe salir una ecuación lineal. Ejemplo 4.6. Soluciones de la ecuación diferencial x ( = x(+x 3 (. Es un caso de ecuación de Bernoulli donde α = 3 y las funciones definidas por a( = y b( = son coninuas en J = R. Obsérvese que la función nula es solución de la ecuación en odo R y iene senido que una solución ome valores posiivos o negaivos. Téngase en cuena que, en casos como ése, donde se ve a ojo que la función nula es solución, el méodo no va a proporcionar esa solución (lo mismo sucede con el programa Mahemaica y, por ano, ésa hay que añadirla al conjuno de soluciones que obengamos después. Sin embargo, las soluciones negaivas serán obenidas por el méodo con el mismo esfuerzo con el que se obienen las posiivas. Para no olvidar el cambio a realizar (y = x α sigamos la idea original de muliplicar ambos miembros de la ecuación por x 3 (para que se parezca a una lineal y así queda (4.20 x 3 (x ( = x 2 (+ Apunes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez Universidad de Málaga

19 4.4. Ecuaciones diferenciales de Bernoulli 89 por lo que el cambio debe ser y = x 2. Para obener la ecuación lineal equivalene derivamos en esa expresión y aprovechamos lo anerior así: y ( = 2x 3 (x ( = (4.20 2x 2 ( 2 =2y( 2. Por ano, la ecuación diferencial lineal a resolver es (4.2 y ( = 2y( 2 El procedimieno anerior da posiblemene la forma más eficaz de llegar a la expresión de la ecuación lineal; de no hacerlo así, simplemene recordamos el cambio y( =x α ( =x 2 ( y derivamos direcamene en esa expresión obeniendo: y ( = 2x 3 (x ( = 2x 3 ( ( x(+x 3 ( =2x 2 ( 2 =2y( 2. Vamos a resolver la ecuación lineal (4.2 por el segundo méodo expueso en el ema 2, basado en la resolución de la ecuación lineal homogénea asociada y en la deerminación de una solución paricular de la complea mediane el méodo de variación de las consanes (méodo de Lagrange o bien mediane el méodo de los coeficienes indeerminados. La ecuación homogénea asociada es y =2y, cuyas soluciones son las funciones definidas por y h ( =C e 2 con C R. Sabemos que hay una solución paricular de la complea (4.2 que es de la forma y p ( =k(e 2 siendo k una función de clase uno, que deerminamos imponiendo que y p sea solución de (4.2. y p( =k (e 2 +2k(e 2 =2y p ( 2 =2k(e 2 2 lo que nos lleva a que k (e 2 = 2 y, por ano, k( = 2 e 2 d. Calculando esa primiiva, mediane una inegración por pares, obenemos k( =( +/2 e 2 y, consecuenemene, y p ( = +/2. Dada la forma de la ecuación lineal (4.2, ambién se puede usar (y es más eficaz el méodo de los coeficienes indeerminados buscando una solución paricular { del ipo y p ( =A + B. Eso nos A 2B =0 lleva a la resolución del muy simple sisema de ecuaciones: de solución inmediaa: 2A = 2 A = y B =/2. Ese pocedimieno es aquí, y en general, más simple de cálculos que el anerior. En definiiva, las soluciones de la ecuación lineal son las funciones dadas por y C ( =C e 2 + +/2, con C R, y, como soluciones de la ecuación (4.2, son válidas en R. Ahora enemos que deshacer el cambio y( = lo cual nos llevaría a dos posibles formas de x 2 ( despejar x(; concreamene: x( =±. Como ya adverimos con el ejemplo de la ecuación y( x = a(x + b( x lo que sucede es que de una vez obenemos ano las soluciones posiivas como las negaivas de la ecuación de Bernoulli x = x + x 3. En definiiva, con ese méodo obenemos las siguienes soluciones: (4.22 x C ( = C e y x C ( = C e con C R,

20 90 Resolución mediane cambios de variables a las que hay que añadirles la solución nula x( =0 válida en odo R. En principio, sin oro ipo de herramienas, no esamos en disposición de asegurar que hayamos obenido odas las soluciones (caso análogo al de cieras ecuaciones de variables separables, aunque, usando écnicas más avanzadas, podremos asegurar que efecivamene hemos obenido odas las soluciones. La soluciones de la ecuación lineal (4.2 són válidas en R pero eso no implica que las soluciones de la ecuación de Bernoulli (4.22 sean ambién válidas en R. Para un C 0 es muy difícil inspeccionar al inervalo, pero en el caso C = 0, la solución posiiva resulane (la correspondiene a la solución y p ( = + 2 de la lineal es x( =, + 2 que como se puede apreciar esá definida en el inervalo I = ( 2, y se puede comprobar fácilmene que es solución de la ecuación de Bernoulli en al inervalo. Sin embargo, la solución y p ( = + 2 de la ecuación lineal es válida en odo R. Eso parece una conradicción pero no es así pues en la eoría hemos esablecido una correspondencia biunívoca enre las soluciones posiivas x: I (0, de la ecuación de Bernoulli y las soluciones posiivas y : I (0, de la ecuación lineal resulane. Obsérvese que y( =+ 2 sólo oma valores posiivos en el inervalo I =( 2, el mismo donde es válida la solución posiiva de la ecuación de Bernoulli. En ese caso, la respuesa de Mahemaica a nuesra ecuación diferencial es la siguiene: DSolve [ x [] == x[]+x[] 3,x[], ] {{ } { }} 2 2 x[], x[] e 2 C[] e 2 C[] Obsérvese que las dos familias de soluciones dadas son equivalenes a las que nosoros hemos obenido, pero Mahemaica no encuenra la solución nula. C C 0 C C 0 Figura 4.8: Gráficas de las soluciones correspondienes a C = 0 y a C =. x Ejemplo 4.7. Esudio y resolución del problema (P : ( = x2 ( log x( x( = En principio, la ecuación diferencial puede que no se reconozca como ecuación de Bernoulli si no se escribe así: x = x + log x 2. Apunes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez Universidad de Málaga

21 4.4. Ecuaciones diferenciales de Bernoulli 9 Aquí α = 2 y las funciones a( = y b( = log son coninuas en el inervalo J = (0,. No hemos esablecido un resulado de exisencia y unicidad para problemas de valores iniciales asociados a ecuaciones de Bernoullli (ni ampoco para las ecuaciones homogéneas y oras visas en ese ema, pero vamos a abordar ese problema inenando deerminar odas las soluciones de la ecuación de Bernoulli y poseriormene buscando enre las obenidas, si es que exise, la (o las que verifica la condición inicial x( =. La propia ecuación nos dice que la gráficas de sus soluciones esán conenidas en D = (0, R y, por ano, podemos ener soluciones que omen valores posiivos o negaivos. La función nula es solución de la ecuación diferencial pero no saisface la condición inicial. Vamos pues a buscar las demás soluciones. Esá claro que, al menos localmene, la solución que se busca debe ser posiiva pues x( > 0 y x es coninua. En principio, en su inervalo de definición podría omar valores negaivos. Veremos finalmene que eso no sucede, es decir, que siempre es posiiva. De hecho, con herramienas maemáicas que aún no se han explicado, se puede comprobar a priori que la solución (sin necesidad de conocerla va ser siempre posiiva pues, en caso conrario, su gráfica coraría a la gráfica de la solución nula y se puede probar que eso es imposible. Escribimos la ecuación así: x 2 (x ( = x (+ log, lo que nos ayuda a recordar el cambio de función incógnia, que debe ser y( = x( ( y = x α. Obsérvese que en ese caso no hay problemas a la hora de deshacer el cambio pues ese viene dado por x( = y(. Derivamos la función y y obenemos y ( = x 2 (x ( = x ( log de forma que la ecuación diferencial lineal resulane es (4.23 y = y log = log y(, En ese caso, como buscamos la solución de un problema de Cauchy podríamos arrasrar la condición inicial x( = a la nueva función incógnia para obener y( = x( = y de esa forma obener el problema de Cauchy asociado y = (Q : y log y( = La eoría visa en el ema de ecuaciones lineales nos asegura que el problema (Q posee una única solución en el inervalo I = (0, y, por ano, en cualquier inervalo I I. Eso nos da idea de que el problema (P debe ener solución única pero un inervalo que no es necesariamene I = (0, pues eso depende de que la solución de (Q sólo ome valores posiivos I o lo conrario. Tenemos dos formas de proceder, que prácicamene ienen la misma dificulad. Una es deerminar la solución de (Q y después deshacer el cambio para obener la solución de (P (eso conlleva deerminar odas las soluciones de la ecuación lineal. La ora es deerminar odas las soluciones de la ecuación lineal, deshacer el cambio para deerminar las soluciones y C de la ecuación de Bernoulli, disinas de la nula, y después calcular el valor de la consane C que hace que y C ( =. De cualquier forma hay que enconrar odas las soluciones de la ecuación lineal.

22 92 Resolución mediane cambios de variables La ecuación homogénea asociada y = y iene como soluciones y h( =C e d = C. Buscamos una solución paricular de la complea de la forma y p ( =K(, siendo k derivable. Imponiendo que y p sea solución de la ecuación lineal complea, llegamos a que k ( = log, y, por ano, mediane una inegración por pares obenemos k( = log 2 d = log ( 2 d = log 2 d = log +, y de esa forma resula que y p ( = + log. En consecuencia, las soluciones de la ecuación lineal (4.23 son las funciones Al deshacer el cambio x( = y( y C : (0, R, y C ( =C + + log, con C R. x C ( = obenemos las soluciones de la ecuación de Bernoulli C + + log donde C R. La solución nula no aparece aquí pero en ese caso no es necesario considerarla. Deerminamos C para que se verifique la condición inicial x C ( = y resula rivialmene C = 0. Eso nos confirma que la única solución del problema (P, en algún inervalo, es la definida por x( = + log La preguna que nos hacemos ahora es donde es válida al solución? Obsérvese que al función sólo esá definida en aquellos >0 ales que + log 0. Obsérvese que log + = 0 = e y dado que la función debe verificar x( = ( e <, la única posibilidad es que la solución esé definida en el inervalo I =( e, y, derivando, se puede comprobar que ese es un inervalo válido como solución de la ecuación diferencial. En ese inervalo la función x es posiiva, esricamene decreciene y verifica lim x( =, lim x( =0. / e La solución x = x 0 se ha obenido a parir de la solución de la ecuación lineal y 0 ( =y p ( = +log que, sin embargo, es válida en el inervalo (0,. Eso no supone conradicción alguna pues véase que y 0 sólo es posiiva en el inervalo I =( e,. 2, Figura 4.9: Gráfica de la solución x( = +log. La respuesa de Mahemaica a nuesro problema de valor inicial es exacamene la misma que hemos obenido. [{ DSolve x [] == x[] + Log[] } ] x[] 2,x[] ==,x[],, x[] + Log[]. Apunes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez Universidad de Málaga

23 4.5. Ecuaciones diferenciales de Riccai 93 Sin embargo, si le proponemos a Mahemaica que resuelva el problema de valor inicial x (P : ( = x2 ( log x( x( = 0 nos conesa diciendo que le es imposible enconrar una solución. Porqué sucede eso cuando rivialmene la función nula es solución de (P (de hecho es la única solución definida en I = (0,? Porque Mahemaica deermina primero odas las soluciones de la ecuación diferencial (como hemos hecho nosoros y después busca una solución que verifique la condición inicial. Pero, como el programa no deermina la solución nula (como ampoco deermina las posibles soluciones consanes de una ecuación de variables separables, no es capaz de dar una solución; sucede exacamene lo mismo que vimos en el ema anerior con el problema auónomo: x = x 2,x(0 = Ecuaciones diferenciales de Riccai Jacopo Francesco Riccai ( , maemáico ialiano, inrodujo un ipo de ecuación diferencial, muy especial por diversas razones. Definición 4.3. Una ecuación diferencial de Riccai es una ecuación de la de la forma (4.24 x ( =a(x 2 (+b(x(+c( donde las funciones a, b, c: J R son conocidas. Supondremos siempre que las res funciones a, b y c son coninuas sobre el inervalo J. En forma abreviada la ecuación la escribiríamos así: x = a(x 2 + b(x + c(. Esa forma de escribir las ecuaciones de Riccai es posiblemene la que menos se olvida pues el segundo miembro de la ecuación recuerda a la ecuación de segundo grado ax 2 + bx + c =0. De hecho, cuando las funciones a, b y c sean consanes al ecuación de segundo grado va a inervenir en la búsqueda de soluciones para la correspondiene ecuación de Riccai (que en ese caso sería ambién una ecuación auónoma. Si escribimos la ecuación de Riccai como x = c(+b(x+a(x 2 vemos mejor la similiud con las ecuaciones de ipo Bernoulli, porque si no apareciese el sumando c( al ecuación sería de Bernoulli con α =2. Tenemos obviamene unos casos impropios:. Si la función c es nula en J la ecuación es del ipo Bernoulli. 2. Si la función a es nula en J la ecuación es lineal complea. 3. Si las funciones a, b y c son consanes en J la ecuación es auónoma. En el ercer caso es más conveniene a veces resolver la ecuación con el méodo de Riccai que como ecuación auónoma. La función b sí podría ser nula en J. Por ejemplo, una ecuación como (4.25 x = x 2 +