Preguntas Propuestas

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... Polinomios II 1. Si P (x) es un polinomio mónico de segundo grado que verifica P (x) P (x 1) =x+ halle el coeficiente de su término lineal. A) 4 B) C) 3 D) 1 E). Sea f (x) =n +1 un polinomio constante tal que 3f( ) + f() 1 = 1. Calcule f (009). f( 0) + 5 A) 1/ B) 5/4 C) 1 D) 1 E) 1/4 3. Dados los polinomios P (x) =(x 1) 3 (x+3) y f (x) =P(x+) indique el número de proposiciones correctas. I. º[P (x) ]=5 II.º[f (x) ]=5 III. º[P (x)]=10 IV. º[P (x) f (x) ]=10 A) 0 B) 1 C) D) 3 E) 4 4. Si el término independiente de G (x+) =x +(x+1) n +1 es el doble de la suma de sus coeficientes, calcule el menor valor de G (3). A) 6 B) 14 C) 10 D) 4 E) 7 5. Dados los polinomios P (x 1) =x 3 +ax +bx+ y Q (x+1) =x 3 +4x 5x c si P (x) Q (x), calcule el valor de (a+b+c). 6. Si el polinomio completo P (x) =5x a 3 +3x c+ x b 5 +4 es ordenado, calcule el valor de (a+b+c). A) 10 B) 11 C) 1 D) 13 E) 14 7. Sea P (x) =(x+1) (x 3) 4 y Q (x) =P(x 4) indique la alternativa correcta luego de determinar el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. P (3) =0 II. Q (3) =0 III. Q (7) =0 A) FVV B) VFF C) VVV D) VFV E) VVF 8. Dado el polinomio P (x) =x 3 +ax +4+ax y sea a un número real tal que P ( a) =0, indique un valor de que verifica la igualdad anterior. A) 3 B) C) 4 D) 5 E) 1 División algebraica 9. Si la división algebraica 10 15 ( x+ 1) + x ax + deja resto x + x R (x) =x+b, calcule el valor de (a+b). A) B) 3 C) 1 D) 4 E) 5 A) 4 B) 5 C) 3 D) E) 1

10. Luego de efectuar la división 5 4 3 3x x + ax + 9x + bx+ c se obtuvo 3 x 3x+ un cociente cuya suma de coeficientes es 3 y un resto igual a (x 1). Calcule el producto abc. A) 48 B) 36 C) 3 D) 16 E) 4 11. Si el residuo de la división ( ) + 4 3 9x + 6ax + a + 3bx 9ax 3ab ; ab 0 3x + ax b es R (x) =6ab+b, calcule el cociente a b. A) 9 B) 4 C) 1/4 D) 1/9 E) 6 1. En la división exacta 3 mx + 13x + 9x+, indique el valor de (m+n). nx + 3x + 1 A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 1 13. En la división algebraica ( ) + + x 1 n+ x n 1 el término x 1 independiente del cociente es 10. Cuál es el grado del dividendo? 14. Dada la división algebraica ( ) + 6 3 4 nx nx + n 4 x 4nx x 3n nx si la suma de coeficientes del cociente es igual al residuo, calcule el residuo. A) 1 B) 0 C) 16 D) 13 E) 8 15. Sea P (x) =x 3 +ax +bx+c, tal que (x+4) y (x 3) son factores de P, además P (4) =48, indique la alternativa correcta. A) P (0) =4 B) P (1) = 30 C) P (0) +P (1) = 6 D) P (1) =30 E) P (4) = 48 16. Dado el polinomio P (x) =x 4 +ax 3 +bx +cx+10 tal que P (x) es divisible separadamente por los polinomios (x+), (x+3) y (x+5), indique el valor numérico de a+b+c. A) 300 B) 400 C) 79 D) 39 E) 379 Cocientes notables 17. Si el resto de la división 15 10 x 3x + ax + x b es x 1 R (x) =bx+1, calcule el valor de a+b. A) 10 B) 8 C) 9 D) 6 E) 1 A) 9 B) 10 C) 11 D) 3 E) 5 3

... 18. Si f (x) =x 3 +x +mx+n es un polinomio tal que f (x) (x+1) deja resto p. Además, f (x) (x +1) deja resto x+1. Calcule el valor de (m+n+p). A) 3 B) 9 C) D) 1 E) 0 19. Calcule el resto de la siguiente división. 4 ( )( + ) ( ) + x 1 x 1 x 1 x x+ 1 A) R (x) =x 1 B) R (x) =x+1 C) R (x) =x 1 D) R (x) =x E) R (x) =x+1 0. Si la división algebraica x m + n + 13 4 m + 6 n y x y, m y n N genera un CN, calcule el producto mn. A) 8 B) 1 C) 5 D) 4 E) 6 1. Calcule el término central del CN generado por x n+ 64 y 34. n x y A) x 8 y 8 B) x 4 y 16 C) x 16 y 16 D) x 3 y 16 E) x 4 y 16. Si el quinto término del CN generado por n n ( x+ ) x toma VN de 104 cuando x=, x + 3. calcule el valor de n A) 3 B) 16 C) 8 D) 4 E) 3. Simplifique la fracción 14 1 10 x + x + x +... + x + 1 6 4 x + x + x + 1 A) x 10 +1 B) x 16 1 C) x 4 1 D) x 8 +1 E) x 4 +1 4. Reducir la siguiente n n n M = ( ) 1 + ( ) + ( ) 3 + + ( ) 45 45 45... 45 + 45 ( )+ 5 n n 3 n 4 65 ( ) 65 ( ) + 65 ( )... 65 ( ) + 65 ( ) 5 si se sabe que n es impar. A) 5 B) 6 C) 10 D) 9 E) 5 Factorización sobre Z 5. Si f (x) =ax+ es un factor algebraico del polinomio P (x) =(ax) +(ab)x b, evalúe f b. a A) 1 B) 3 C) 0 D) 1/ E) 1/ 6. Si P (x) =3(x )(x +mx+1)(x n ) está factorizado sobre Z, calcule el menor valor positivo de (m+n). A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 4

7. Dado el polinomio P (x; y) =x 3 +yx +x+y+x +1 si f (x; y) es un factor primo lineal de P, evalúe f (1; 1). A) 0 B) 3 C) D) 1 E) 1 8. Cuántos factores primos lineales tiene el polinomio S (x; y) =x 7 x 3 y 4 +x 4 y 3 y 7? A) 3 B) C) 1 D) 4 E) 0 9. El polinomio cuadrático P (x) =Ax +Bx+A es factorizable sobre Z, en la forma P (x) =(x m)(x n). Calcule el mayor valor de B. A) 3 B) 6 C) 4 D) 5 E) 30. Factorice el polinomio Q (x) =(x 50) +6x 175 e indique la suma de sus factores primos. A) 0 B) x 1 C) 4x+10 D) 4x 10 E) 4x 31. Dado el polinomio sobre Z R (x) =x 4 ax 3 (a 1)x +ax 1; a > 0 si f (x) es un factor primo cuadrático y mónico, calcule el valor de f (a). A) 0 B) 1 C) 1 D) E) 3. Calcule el valor de m Q + 0 que hace que el polinomio f (x) =x 4 +mx 3 +3x +mx+1 sea un cuadrado perfecto. A) B) C) 0 D) 1/ E) 4 Factorización sobre Q 33. Si el polinomio P (x) =x 3 +x mx+1 admite una raíz entera, calcule el menor valor de m. A) B) 1 C) 1 D) E) 4 34. Factorice el polinomio sobre Q f (x) =6x 3 +11x +6x+1, e indique el factor primo con mayor valor numérico. A) x+ B) x+3 C) x+1 D) x+1 E) 3x+1 35. Si S (x) representa la suma de los factores primos del polinomio sobre Z P (x) =3x 5 5x 4 +8x 3 7x +5x, evalúe S 3. A) 3 B) 1 C) 17/ D) 8 E) 15/ 36. Factorice el polinomio sobre Q P (x) =x 4 +x 3 4x +1 e indique el factor primo cuadrático. A) x +x 1 B) x +x 1 C) x x+1 D) x x 1 E) x +x 1 37. Calcule la suma de coeficientes de un factor primo del polinomio R (x) =x 4 (x+1) definido sobre Q. A) B) 1/ C) 1/ D) 1 E) 0 5

38. Dado el polinomio homogéneo S (a; b) =a 3 +3a b b 3 sobre Z cuántos factores primos tiene S? A) B) 1 C) 3 D) 4 E) 5 39. Si f (x) es el factor primo común de los polinomios P (x) =x 5 +x+1 y Q (x) =x 4 +x 3 x x, evalúe f (1). A) 1 B) 0 C) 3 D) 1 E) 40. Respecto al polinomio sobre Q. P (x) =x 5 +x 4 +1 indique lo correcto. A) Tiene 3 factores primos. B) Un factor primo es (x x+1). C) Tiene dos factores primos cuadráticos. D) Un factor primo es (x 3 x+1). E) La suma de coeficientes de un factor primo es.... 01 - C 06 - C 11 - D 16 - D 1 - D 6 - B 31 - B Claves 36 - B 0 - B 07 - C 1 - C 17 - B - D 7 - E 3 - A 37 - E 03 - E 08 - B 13 - B 18 - A 3 - D 8 - B 33 - A 38 - A 04 - D 09 - B 14 - D 19 - C 4 - A 9 - D 34 - E 39 - C 05 - E 10 - E 15 - B 0 - E 5 - C 30 - E 35 - E 40 - D 6