Tema 4: ESPACIOS VECTORIALES

Álgebra I - Curso 2005/06 - Grupos M1 y M2 Tema 4: ESPACIOS VECTORIALES por Mario López Gómez 1. Definición, propiedades y ejemplos. El concepto de espacio vectorial es sin duda uno de los más importantes de esta asignatura y del Álgebra Lineal. El espacio vectorial es una estructura algebraica que generaliza, hasta el mayor nivel de abstracción, la idea de los vectores geométricos del plano y el espacio euclídeos ordinarios, así como las magnitudes vectoriales que aparecen en Física; esencialmente, son conjuntos cuyos elementos se pueden sumar entre sí, y multiplicar por números. Son numerosímos y muy variados, como ya puede verse desde los primeros ejemplos, los espacios vectoriales que aparecen de manera natural en distintas ramas de las matemáticas. Todo espacio vectorial lleva siempre asociado un conjunto con estructura de cuerpo, cuyos elementos llamaremos escalares, que jugarán el papel de números. Los elementos del espacio vectorial serán los vectores. Nota.- En la siguiente definición, utilizamos el mismo símbolo + para denotar la suma del grupo abeliano E ( suma de vectores y la suma del cuerpo K. Análogamente, empleamos el símbolo tanto para denotar el producto en el cuerpo K ( producto de escalares como para denotar la ley externa en E ( producto de escalar por vector. Definición.- Sean (E, + un grupo abeliano y (K, +, un cuerpo conmutativo; sea : K E E una ley externa, es decir, λ K, u E, (λ, u λ u E. Se dice que la cuaterna (E, K, +, tiene estructura de espacio vectorial, o bien que E es un espacio vectorial sobre K si se verifican: 1. u E, λ, µ K, (λ + µ u = λ u + µ u. 2. u, v E, λ K, λ (u + v = λ u + λ v. 3. u E, λ, µ K, (λµ u = λ (µ u. 4. u E, 1 u = u (1 representa la unidad del cuerpo K. 1

Álgebra I - Tema 4: Espacios vectoriales 2 Notación y terminología: Los elementos del espacio E se denominan vectores, mientras que los del cuerpo K se llaman escalares. El símbolo del producto de escalar por vector (así como el del producto de escalares a menudo se omite: λu := λ u. Cuando el cuerpo de escalares sobre el que se define un espacio vectorial E es el de los números reales, suele decirse que E es un espacio vectorial real; cuando es el de los complejos, E se llama un espacio vectorial complejo. Propiedades: A partir de la definición, se deducen inmediatamente las siguientes: Ejemplos: u E, 0 u = 0. Sean λ K y u E; λu = 0 λ = 0 u = 0. λ K, u E, ( λu = λ( u = (λu. El plano euclídeo R 2 y el espacio euclídeo R 3 ordinarios, constituyen espacios vectoriales sobre R con la suma de vectores y el producto de escalar por vector habituales. Estos espacios son casos particulares del siguiente: En general, dados un cuerpo K y un entero positivo n, el producto cartesiano K n, con la suma de vectores y el producto de escalar por vector, constituye un espacio vectorial sobre K. El conjunto K[x] de los polinomios con coeficientes en un cuerpo K, constituye un espacio vectorial sobre K. Asimismo, dado n N, el conjunto K n [x] de los polinomios de grado menor o igual que n, también es un espacio vectorial (diremos que es un subespacio vectorial de K[x]. Dados n, m enteros positivos, el conjunto K m n de las matrices con elementos en K, con la suma de matrices y el producto de escalar por matriz, es un espacio vectorial sobre el cuerpo K. El conjunto F(R de las funciones reales de variable real, con la suma de funciones y el producto de número por función, es un espacio vectorial sobre R. También son espacios vectoriales reales C(R (funciones continuas sobre la recta real y C ([a, b], siendo [a, b] un intervalo de la recta real En general, dados cualquier conjunto X y un cuerpo K, el conjunto F(X, K = {f : X K} de las aplicaciones de X a K, se definen la suma de aplicaciones: x X, (f + g(x := f(x + g(x, y, para cada α K, el producto de escalar por aplicación: x X, (αf(x := αf(x.

Álgebra I - Tema 4: Espacios vectoriales 3 Con estas operaciones, el conjunto F(X, K constituye un espacio vectorial sobre K, del cual F(R es un caso particular. Así, por ejemplo, F(R, C (el conjunto de las funciones de variable real a valores complejos es un espacio vectorial sobre C. Dados dos cuerpos K L, de forma que K es subcuerpo de L (es decir, ambos son cuerpos con las mismas operaciones, L siempre es espacio vectorial sobre K. El producto de escalar por vector es el producto en el cuerpo L, de forma que el primer factor del producto siempre pertenezca a K. Así, por ejemplo, C es un espacio vectorial sobre R; tanto C como R son espacios vectoriales sobre Q, etc. En particular, todo cuerpo es un espacio vectorial sobre sí mismo. 2. Subespacios vectoriales. 2.1. Combinaciones lineales. Definición.- Sea E un espacio vectorial sobre K; dados u 1, u 2,..., u k, una combinación lineal de dichos vectores es cualquier vector de la forma siendo λ 1, λ 2,..., λ k K. u = λ 1 u 1 + λ 2 u 2 +... λ k u k, Observación.- El vector nulo es combinación lineal de cualesquiera vectores. Todo vector es combinación lineal de sí mismo. 2.2. Subespacios. Definición.- Dado (E, K, +, espacio vectorial y H E, se dice que H es un subespacio vectorial de E si (H, K, +, es un espacio vectorial. Observación.- Todo espacio vectorial es subespacio de sí mismo; además, en todo espacio vectorial, el conjunto {0} formado únicamente por el vector nulo, constituye un subespacio que llamaremos subespacio nulo. Los dos subespacios anteriores son los llamados subespacios triviales. Observación.- Es obvio que una condición necesaria para que H sea subespacio vectorial de E es que (H, + sea subgrupo de (E, +, lo cual implica en particular que 0 H. Además, tiene que ser cerrado respecto a la multiplicación por un escalar ( λ K, u H, λu H, y las propiedades de la ley externa sobre H se satisfacen automáticamente al cumplirlas todo elemento de E. Un subespacio vectorial será pues, un subgrupo aditivo que además es cerrado para el producto de escalares por vectores. Como consecuencia de la observación anterior, se tiene la siguiente caracterización:

Álgebra I - Tema 4: Espacios vectoriales 4 Proposición.- Caracterización de subespacios vectoriales: Sean (E, K, +, espacio vectorial y H E; H es un subespacio vectorial de E si y sólo si se verifican: 1. H. 2. u, v H, u + v H. 3. λ K, u H, λu H. Demostración.- Es obvio que las tres condiciones anteriores son necesarias para que H sea subespacio; veamos que también son suficientes: sean u, v H; entonces v = ( 1v H y u+( v H, lo que garantiza que (H, + es subgrupo de (E, +; el ser cerrado respecto al producto por escalar es la propiedad 3. Proposición.- Segunda caracterización de subespacios vectoriales: Sean (E, K, +, espacio vectorial y H E; H es un subespacio vectorial de E si y sólo si H y u, v H, λ, µ K, λu + µv H. Es decir, que un subespacio vectorial es un subconjunto no vacío y cerrado para las combinaciones lineales. Definición.- Dado un espacio vectorial E y un conjunto M E, se define la clausura lineal de M, y se denota por L(M, como el conjunto de todas las combinaciones lineales de vectores de M, es decir, { k } L(M := λ j u j : λ j K, u j M, k N. Observación.- subespacio y L(M es el menor subespacio vectorial que contiene a M, es decir, L(M es H es subespacio y M H L(M H. 2.3. Suma e intersección de subespacios. Proposición.- La intersección de subespacios vectoriales de un mismo espacio es subespacio vectorial de dicho espacio.

Álgebra I - Tema 4: Espacios vectoriales 5 Demostración.- Sean H j, para j J, subespacios del espacio vectorial E; el conjunto j J H j no es vacío porque el vector nulo es común a todos los subespacios. Dados dos vectores u, v j J H j, y para cualesquiera escalares λ, µ K, la combinación lineal λu + µv pertenece a cada H j por ser combinación lineal de vectores de H j y ser H j subespacio, de modo que λu + µv j J H j. Observación.- La unión de subespacios vectoriales no es, en general, subespacio vectorial. Considérense, por ejemplo, dos rectas no coincidentes (y que pasen por el origen en R 2. De hecho, dados dos subespacios L, M de un mismo espacio vectorial E, se tiene que (Compruébese. L M es subespacio (L M M L. El papel dual de la intersección lo va a jugar, para subespacios vectoriales, el subespacio suma: la suma de varios subespacios va a ser el menor subespacio que contiene a la unión de todos ellos, es decir, la clausura lineal de la unión. Definición.- Dado E espacio vectorial sobre K, y dos subespacios L y M, definimos su suma como L + M := {u + v : u L, v M}. En general, dados L 1, L 2,..., L k subespacios, la definición anterior se extiende recursivamente a { k } L 1 + L 2 +... + L k = u j : u j L j. Proposición.- La suma de subespacios vectoriales de E es un subespacio vectorial de E. Demostración.- Sean L, M subespacios del espacio vectorial E; L + M porque 0 = 0 + 0 L + M; y dados x, y L + M, se tiene que x = u + v para ciertos u L, v M y que y = ũ + ṽ para ciertos ũ L, ṽ M; por lo tanto, para cualesquier λ, µ K, tendremos que λx + µy = λ(u + v + µ(ũ + ṽ = (λu + µũ + (λv + µṽ, en donde λu + µũ L y λv + µṽ M, con lo que λx + µy L + M. Definición.- Dados dos subespacios vectoriales de un mismo espacio E, diremos que su suma es directa, y escribiremos L M, si L M = {0}.

Álgebra I - Tema 4: Espacios vectoriales 6 Definición.- Dados L 1, L 2,..., L k subespacios vectoriales de un mismo espacio vectorial E, diremos que dan suma directa, y escribiremos L 1 L 2... L k, si cada uno de ellos da suma directa con la suma de todos los demás, es decir, si L i j i L j = {0} i = 1, 2,..., k. Teorema.- (Caracterización de las sumas directas. Sean L 1, L 2,..., L k subespacios vectoriales de un mismo espacio vectorial E; los subespacios L j dan suma directa si y sólo si u L 1 + L 2 +... + L k, existen únicos u j L j, j = 1, 2,..., k, tales k que u = u j. Definición.- Dos subespacios L y M de un mismo espacio E se dicen suplementarios entre sí (en E si L M = E. Observación.- Dados dos subespacios L, M suplementarios en E, todo vector de E se descompone de forma única como suma de un vector de L y otro de M. 3. Dependencia e independencia lineal. Definición.- Se dice que los vectores u 1, u 2,..., u k de un espacio vectorial E son linealmente independientes si la única combinación lineal de ellos que da el vector nulo es la que tiene todos los coeficientes nulos, es decir, λ j K, λ 1 u 1 + λ 2 u 2 +... + λ k u k = 0 λ 1 = λ 2 =... = λ k = 0. En caso contrario, se dice que los vectores anteriores son linealemente dependientes. Observación.- u 1, u 2,..., u k son linealmente dependientes si y sólo si λ 1, λ 2,..., λ k K, con algún λ i 0, tales que k λ j u j = 0. Y lo anterior equivale a que se pueda despejar alguno de los vectores como combinación lineal de los restantes, es decir, u i = α j u j, α j K. j i (Basta considerar el u i cuyo λ i 0 en la combinación lineal que da el vector nulo.

Álgebra I - Tema 4: Espacios vectoriales 7 Definición.- Sea M = {u 1, u 2,..., u k } E, siendo E un espacio vectorial; se dice que M es un sistema libre si u 1, u 2,..., u k son linealmente independientes; en caso contrario, se dice que M es un sistema ligado. Si M es un conjunto infinito de vectores de E, se dice que M es un sistema libre si todo subconjunto finito de M lo es; así pues, M será un sistema ligado si algún subconjunto finito de M es ligado. Observación.- Cualquier conjunto que contenga el vector nulo es un sistema ligado. Cualquier conjunto que contenga dos vectores proporcionales es ligado. La unión de un sistema ligado con cualquier otro siempre da un sistema ligado. Observación.- Puesto que no tenemos definidas sumas infinitas de vectores, toda combinación lineal tendrá un número finito de sumandos; así pues, para cualquier conjunto M de vectores (finito o infinito, podemos decir que: M es ligado si y sólo si algún vector de M es combinación lineal de los restantes vectores de M. M es libre si y sólo si ningún vector de M es combinación lineal de los restantes vectores de M. Ejemplo: polinomios En el espacio K[x] de los polinomios con coeficientes en un cuerpo K, la familia de {x k : k N} = {1, x, x 2, x 3,...} es un sistema libre infinito, pues una combinación lineal arbitraria a 0 +a 1 x+...+a k x k (a j K, k N sólo puede ser el polinomio nulo, obviamente, si todos los coeficientes son nulos. 4. Bases. 4.1. Base y dimensión. Definición.- Dados E espacio vectorial y M E, se dice que M es un sistema generador (o sistema de generadores de E si E = L(M, es decir, si todo vector de E puede ponerse como combinación lineal de los de M. Nota.- nulo. Por convenio, consideramos el conjunto vacío como sistema de generadores del subespacio Definición.- Un espacio vectorial se dice de tipo finito (o de dimensión finita si admite un sistema finito de generadores. En caso contrario, se dice de tipo infinito o dimensión infinita. Definición.- Dado E espacio vectorial, una base es un sistema generador y libre, que siempre se considera ordenado.

Álgebra I - Tema 4: Espacios vectoriales 8 Nota.- También por convenio, consideramos que es un sistema libre. Así pues, el conjunto vacío es la (única base del subespacio nulo. Teorema.- (de existencia de bases. Todo espacio vectorial admite una base. Nota.- La demostración del teorema anterior en el caso general excede con mucho los propósitos de esta asignatura; sí podemos demostrarlo, sin embargo, en el caso particular en que el espacio sea de tipo finito. Además, se tiene también el siguiente resultado: Proposición.- Sea E espacio vectorial y sea M un sistema generador de E; entonces existe H M tal que H es base de E. Es decir, de todo sistema generador puede extraerse una base. Observación.- Si E es un espacio de tipo infinito, toda base de E tendrá infinitos vectores, ya que todo sistema generador es infinito. Toda la teoría relativa a dimensión de un espacio vectorial se basa en el siguiente teorema, cuya demostración omitimos, pero que puede encontrarse en la pág. 128 del primer volumen de Álgebra Lineal, de Garbayo, Sansigre y otros, bajo el título de Teorema Auxiliar; un enunciado similar aparece en Álgebra Lineal y Geometría, de Castellet y Llerena, pág. 74, bajo el título de Teorema de Steinitz. El alumno interesado puede consultar esas demostraciones que, aunque extensas, utilizan sólo argumentaciones elementales. El teorema dice, esencialmente, que m vectores linealmente independientes no pueden estar generados por un número de vectores inferior a m. Teorema.- Sea E un espacio vectorial, y {u 1,..., u n }, {v 1,..., v m } dos conjuntos de vectores de E. Si todos los vectores v j son combinaciones lineales de los u j y además forman un sistema libre, entonces m n. Además, si es m = n, entonces los u j también son linealmente independientes y son a su vez combinaciones lineales de los v j. Teorema.- (Equicardinalidad de las bases. Si E es un espacio vectorial de tipo finito, todas las bases de E tienen el mismo número de vectores. Demostración.- Sean B = (e 1,..., e n y V = (u 1,..., u m dos bases de un mismo espacio E; por ser B base, todos los vectores de V, que es un sistema libre, dependen linealmente de los de B, luego, por el teorema anterior, m n. Intercambiando los papeles de las dos bases, obtenemos que n m. luego m = n. Gracias al teorema anterior, podemos definir la dimensión de un espacio vectorial:

Álgebra I - Tema 4: Espacios vectoriales 9 Definición.- Llamamos dimensión de un espacio vectorial E de tipo finito, y la denotamos por dim E, al número de elementos de cualquiera de sus bases. Observación.- Puesto que el subespacio nulo tiene a como base, dim({0} = 0. Otro corolario del teorema anterior es el siguiente: Proposición.- Sea E un espacio vectorial de dimensión n; si {u 1,..., u n } es un sistema libre de E, entonces es sistema generador de E. Demostración.- Sea B una base de E, que tendrá n elementos; los vectores u 1,..., u n dependen linealmente de los de B y forman un sistema libre, luego, por la segunda parte del teorema anterior, los de B también son combinaciones lineales de los u 1,..., u n, luego todos los vectores de E dependen linealmente de estos n vectores, que constituyen así un sistema generador de E. Aún otro corolario más: Proposición.- Sea E un espacio vectorial de dimensión n; si {u 1,..., u n } es un sistema generador de E, entonces es base de E. Demostración.- Sea B una base de E, que tendrá n vectores independientes que serán combinaciones lineales de los u 1,..., u n ; por la segunda parte del teorema, estos vectores también serán linealmente independientes. Recapitulando las dos proposiciones anteriores: en un espacio E de dimensión n, todo sistema generador formado por n vectores es libre y, por tanto base; todo sistema libre formado por n vectores es generador y, por tanto base. Como consecuencia de lo anterior, tenemos: Corolario.- Si E es un espacio vectorial de dimensión finita n, y H es un subespacio de E cuya dimensión también es n, entonces H = E. Teorema.- (de la base incompleta, o de completación de la base. Sea E un espacio vectorial de dimensión finita n, y sea {u 1, u 2,..., u k } un sistema libre de E, con k < n. Entonces existen u k+1,..., u n E, tales que (u 1,..., u k, u k+1,..., u n es una base de E. Demostración.- Puesto que todo sistema generador de E tiene al menos n elementos, el conjunto dado no puede ser generador, luego existe algún vector u k+1 E \ L({u 1, u 2,..., u k }. Ahora, el conjunto {u 1, u 2,..., u k, u k+1 } es un sistema libre de E, ya que λ 1 u 1 +... + λ k u k + λ k+1 u k+1 = 0 implica, si λ k+1 0, que u k+1 es combinación lineal de los u 1,..., u k, lo cual es imposible; luego λ k+1 = 0, lo que implica, por la independencia lineal de los u 1,..., u k, que λ 1 =... = λ k = 0. Si k + 1 = n, ya tenemos una base de E, pues el conjunto {u 1, u 2,..., u k, u k+1 } es un sistema libre de n vectores; en caso contrario, volvemos a aplicarle el mismo razonamiento a dicho conjunto

Álgebra I - Tema 4: Espacios vectoriales 10 (sea u k+2 E \ L({u 1, u 2,..., u k, u k+1 }; en n k pasos, habremos obtenido un sistema libre de n vectores, es decir, una base de E. 4.2. Coordenadas respecto a una base. Definición.- Sea E espacio vectorial sobre K, de dimensión finita n; sea B = (u 1,..., u n una base de E. Si x E, x = x 1 u 1 +... + x n u n con x j K, los escalares x 1,..., x n se denominan coordenadas del vector x respecto a la base B. El vector (x 1,..., x n K n se denomina vector de coordenadas de x respecto a B, y se suele denotar por x B. Proposición.- Las coordenadas de un vector respecto a una base son únicas. Demostración.- Si x = x 1 u 1 +... + x n u n = x 1 u 1 +... + x n u n, entonces (x 1 x 1 u 1 +... + (x n x n u n = 0, que, por ser u 1,..., u n linealmente independientes implica que x j x j = 0, es decir, x j = x j para j = 1, 2,..., n. Observación.- Si E es un espacio de tipo finito de dimensión n sobre el cuerpo K, fijada una base B de E, podemos identificar cada vector x E con su vector de coordenadas x B K n (esta identificación se precisará mejor mediante el concepto de isomorfismo, que se estudia en el próximo tema. Podemos, pues, a todos los efectos, tratar los vectores de E como si fueran vectores de K n. En particular, todo subespacio vectorial de E lo podemos expresar mediante unas ecuaciones implícitas homogéneas sobre las coordenadas respecto a la base B. Ejemplo.- En el espacio de polinomios K n [x], se considera la base B = (1, x, x 2,..., x n. Dado un polinomio P (x = a 0 + a 1 x +... + a n x n, su vector de coordenadas respecto a B es P B = (a 0, a 1,..., a n K n+1. Nota.- Si E es de dimensión infinita, y por lo tanto cualquier base B tiene infinitos vectores, están igualmente definidas las coordenadas de un vector respecto a B, que son todas nulas salvo un número finito de ellas; pero como el vector de coordenadas tiene infinitas componentes, es mucho menos útil que en el caso de dimensión finita. 5. La relación de Grassmann. Dados dos subespacios vectoriales de un mismo espacio E, los subespacios suma e intersección están relacionados dimensionalmente mediante la llamada relación de Grassmann, que es completamente análoga a la que se tiene para el cardinal de la unión y el de la intersección de conjuntos finitos.

Álgebra I - Tema 4: Espacios vectoriales 11 Observación.- Dados dos subespacios M 1 y M 2, de sistemas generadores respectivos M 1 y M 2, se tiene que M 1 M 2 es un sistema generador de M 1 + M 2 ; es decir, que la unión de los sistemas generadores es un sistema generador de la suma; en particular, la unión de las bases es un sistema generador (pero no necesariamente base de la suma. Obviamente, lo anterior puede extenderse a cualquier número finito de subespacios. Proposición.- (Relación de Grassmann. Dados dos subespacios vectoriales L, M de un mismo espacio vectorial E de tipo finito, se tiene que dim(l + M = dim L + dim M dim(l M. Demostración.- Llamemos l = dim L, m = dim M, k = dim(l M; vamos a ver que dim(l + M = l + m k. Sea (u 1,..., u k una base de L M. Como L M L, aplicando el teorema de la base incompleta a L, sabemos que existen v 1,..., v l k L tales que (u 1,..., u k, v 1,..., v l k es una base de L; además, como L M M, también podemos aplicar el teorema de la base incompleta al espacio M: existen w 1,..., w m k M tales que (u 1,..., u k, w 1,..., w m k es una base de M. A continuación probaremos que es una base de L + M: (u 1,..., u k, v 1,..., v l k, w 1,..., w m k Es sistema generador de L + M, pues es la unión de sendas bases de L y de M. Es sistema libre: supongamos que, para λ j, µ j, γ j K, es decir, k l k λ j u j + µ j v j + m k k l k m k λ j u j + µ j v j = γ j w j. γ j w j = 0, (1 El primer miembro de la anterior igualdad es combinación lineal de los elementos de la base de L; el segundo miembro lo es de algunos elementos de la base de M; por lo tanto, pertenece a L M, es decir: m k γ j w j L M. Consecuentemente, el sumatorio anterior es combinación lineal de los vectores de la base (u 1,..., u k de L M, esto es, m k k γ j w j = α j u j

Álgebra I - Tema 4: Espacios vectoriales 12 para algunos escalares α j K; pero como los vectores u j, w j son linealmente independientes por constituir todos juntos una base de M, tenemos que todos los coeficientes en la anterior igualdad son nulos; en particular, Pero esto, sustituyendo en (1, nos lleva a que γ j = 0, j = 1, 2,..., m k. k l k λ j u j + µ j v j = 0, que, por la independencia lineal de los u j, v j (pues todos juntos constituyen una base de L, nos permite concluir que todos los coeficientes λ j, µ j son nulos. Con lo que concluimos que todos los coeficientes λ j, µ j, γ j de la combinación lineal (1 de partida son nulos. Recapitulando: hemos construido una base de L + M que tiene k + (l k + (m k = l + m k elementos, luego dim(l + M = l + m k, como queríamos demostrar. Corolario.- Para cualesquiera subespacios L, M de intersección nula, dim(l M = dim L + dim M. En particular, si E es un espacio vectorial de dimensión finita, y L, M son dos subespacios suplementarios en E, entonces dim E = dim L + dim M. Ejercicios adicionales resueltos 1. En el espacio vectorial de polinomios R 3 [x], se considera la base ( 1, x 3, (x 3 2, (x 3 3. Calcular las coordenadas en dicha base del polinomio 2x 3 3x 2 x + 2. Solución: Llamando P al polinomio dado, lo podremos expresar como combinación lineal de los de la base, de la forma P (x = a 0 + a 1 (x 3 + a 2 (x 3 2 + a 3 (x 3 3, en donde los coeficientes a j R son las coordenadas pedidas. Observamos que la coordenada a 0 es el valor P (3. Así, empezamos evaluando en x = 3 ambas expresiones de P (x, es decir: P (3 = a 0 = 26. Si ahora derivamos ambas expresiones para P (x, tenemos P (x = a 1 + 2a 2 (x 3 + 3a 3 (x 3 2 = 6x 2 6x 1, igualdad que, al evaluarla en x = 3, nos da: P (3 = a 1 = 35.

Álgebra I - Tema 4: Espacios vectoriales 13 Volviendo a derivar y a evaluar en x = 3, P (x = 2a 2 + 6a 3 (x 3 = 12x 6 P (3 = 2a 2 = 30 a 2 = 15. Y, finalmente, derivando una vez más, P (x = 6a 3 = 12 a 3 = 2. Luego las coordenadas pedidas son (26, 35, 15, 2. Otra forma de resolverlo: Si desarrollamos P (x = a 0 + a 1 (x 3 + a 2 (x 3 2 + a 3 (x 3 3 = = a 0 3a 1 + 9a 2 27a 3 + (a 1 6a 2 + 27a 3 x + (a 2 9a 3 x 2 + a 3 x 3 y lo igualamos coeficiente a coeficiente a 2x 3 3x 2 x + 2, obtenemos el sistema lineal a 3 = 2 a 2 9a 3 = 3 a 1 6a 2 + 27a 3 = 1 a 0 3a 1 + 9a 2 27a 3 = 2 en las incógnitas a 0, a 1, a 2, a 3, sistema de matriz triangular cuya sencilla resolución nos lleva al mismo resultado antes calculado. 2. En el espacio vectorial R 4, consideramos el subespacio L cuya base es ((1, 2, 3, 4, (4, 3, 2, 1, y el subespacio M definido por las ecuaciones x 1 = x 2 = x 3. Calcular sendas bases de los subespacios L M y L + M. Solución: Vamos a escribir el vector genérico de L y a imponerle la condición de pertenecer también a M. Para calcular las ecuaciones paramétricas de L, antes vamos a sustituir la base dada por otra cuyos vectores nos den ecuaciones más sencillas: llamando u al primer vector y v al segundo, los reemplazamos por 1 (u + v = (1, 1, 1, 1 y u v = ( 3, 1, 1, 3. Obsérvese que 5 las transformaciones anteriores conservan la independencia lineal de los vectores. Las ecuaciones paramétricas quedan como x 1 = α 3β x 2 = α β x 3 = α + β x 4 = α + 3β. Si al vector genérico de L le imponemos las ecuaciones implícitas de M, obtenemos: x 1 = x 2 β = 0, x 2 = x 3 β = 0, con lo que el vector genérico de L M es α(1, 1, 1, 1, α R, siendo ((1, 1, 1, 1 una base y x 1 = x 2 = x 3 = x 4 sus ecuaciones implícitas (el número de ecuaciones independientes es dim(r 4 dim(l M = 3.

Álgebra I - Tema 4: Espacios vectoriales 14 Calculemos ahora una base de L+M. Por la relación de Grassmann, sabemos que dim(l+m = dim L + dim M dim(l M = 2 + 2 1 = 3, con lo que tenemos que encontrar tres vectores independientes pertenecientes a la suma. Basta, pues, tomar los dos vectores de la base B de L y añadirles un tercero perteneciente a M que sea linealmente independiente con los anteriores, o, equivalentemente, que no pertenezca a la intersección. Así, por ejemplo ((1, 1, 1, 1, ( 3, 1, 1, 3, (1, 1, 1, 0 es una base de L+M, ya que el vector (1, 1, 1, 0 verifica las ecuaciones implícitas de M pero no las de L M. Obsérvese que, por ejemplo, el primer vector puede reemplazarse por (0, 0, 0, 1 3. Sean los dos subespacios {( 0 b L = a a + b } : a, b R {( a b, M = b a } : a, b R del espacio vectorial R 2 2. Calcular bases de L, M, L M y L + M. Solución: Toda matriz de L se puede escribir como ( ( 0 b 0 0 = a a a + b 1 1 con lo que queda claro que {( 0 0 L = L 1 1 ( 0 1, 0 1 ( 0 1 + b 0 1 y, al ser las dos matrices anteriores linealmente independientes, constituyen una base de L. } Razonando del mismo modo, una base de M está formada por {( ( } 1 0 0 1,. 0 1 1 0 Así pues, tanto L como M tienen dimensión 2. Como nos encontramos en un espacio de dimensión 4, cada uno de estos subespacios vendrá definido por 4 2 = 2 ecuaciones implícitas, las cuales necesitamos conocer para encontrar el subespacio intersección. ( Si denotamos la matriz genérica de R 2 2 a11 a como 12, resulta obvio que dos ecuaciones a 21 a 22 que satisfacen todas las matrices de L son, a 11 = 0 a 22 = a 12 + a 21, de modo que éstas son las ecuaciones implícitas que definen dicho subespacio. (La forma sistemática de calcularlas consiste en utilizar las ecuaciones paramétricas a 11 = 0, a 12 = b, etc. y eliminar los parámetros a, b. Del mismo modo, las ecuaciones implícitas que definen el subespacio M son a 11 = a 22 a 21 = a 12.

Álgebra I - Tema 4: Espacios vectoriales 15 Así pues, la reunión de todas las ecuaciones implícitas (restricciones anteriores caracteriza el subespacio intersección L M; pero esas cuatro ecuaciones se reducen a sólo tres independientes, a saber: a 11 = 0 L M a 22 = 0 a 12 + a 21 = 0 ( 0 α Es decir, que toda matriz de L M es de la forma dicho subespacio la constituida por la matriz ( α 0 0 1. 1 0 con α R, siendo una base de Como dim(l M = 1, la relación de Grassmann nos dice que dim(l + M = 2 + 2 1 = 3; sabemos que la reunión de las bases de L y M nos da un sistema de generadores de L + M, luego para extraer de él una base bastará con que suprimamos una de las cuatro matrices, de modo que las tres restantes sean linealmente independientes. Así, por ejemplo, (( 0 0 1 1 es una base de L + M (obsérvese que lícito suprimir dicha matriz. ( 0 1, 0 1 ( 0 1 1 0, = ( 1 0 0 1 ( 0 0 1 1 ( 0 1 0 1, por lo que ha sido