CAPITULO 1 3 4 Teorema del valor medio Teorema de la función constante Teorema de las diferencias constantes La integral indefini da 4.1 Antiderivada de una función 4.2 La integral indefinida 4.3 Propiedades básicas de la integración 4.4 Integrales usuales 4.5 4.6 Problemas propuestos 3 3 5 5 5 6 9 12 16 47 VIl
CAPIT\LO 2 lnt~~gracicfn par part- int~~gracián par IIUStituci!Sn 1 Integración por partes 2 Integración por sustitución o por cambio de variable 2.1 Teorema: formula del cambio de variable 2.2 Sustituciones trigonom!tricas 3 3.1 Integración por partes 3.2 Integración por sustitución 4 Problemas propuestos 53 56 56 59 63 63 74 83 CAPITlLO 3 La int~~gral d~inida Sumas 1.1 Definición l. 2 Propiedades de las sumas 1.3 Algunas _sumas 1.4 2 La integral definida como un límite de sumas 87 87 88 89 90 94 2.1 Suma de integral 2.2 La integral definida 2.2.1 Existencia y definición de la integral definida para funciones continuas 96 2.2.2 Cálculo de la integral definida usando sucesiones de sumas de integral 97 2.2.3 Area entre dos curvas 99 2.3 Propiedades de la integral definida 106 2.3.1 Teorema 106 94 96 VIII 2.3.2 Teorema 108
2.3.3 Teorema. -. 109 2. 3. 4 La integral definida S: f(x) con 2.4 2.5 b > a 2.3.5 Teorema Teorema fundamental del calculo 2.4.1 Teorema 2.4.2 Teorema fundamental del calculo integral 2.4.3 Teorema 111 111 113 113 115 118 119 2. 6 Integración por partes de integrales definidas L28 2.7 2.8 Calculo de integrales definidas por sustitución o cambio de variables 129 131 2.9 El teorema del valor medio para integrales 13"7 2.10 2.11 Problemas propuestos 139 141 CAPITULO 4 Definición 145 2 Integral impropia cuando la función es discontinua 146 3 Integral impropia cuando los límites de integración son infinitos L4"7 4 Algunos criterios para la convergencia de integrales impropias 149 4. l Criterio de comparación 149 4.2 Criterio de convergencia para funciones discon tinuas 150 4.3 Criterio de convergencia cuando un límite de integración es infinito 151 IX
4.4 Algunos ejemplos de integrales impropias 4.5. 152 155 CAPIT\LO S 1 Integración de funciones racionales 1.1 Definición de función racional 1.2 Calculo de integrales de la forma J Ax+B ax 2 + bx + e 1.3 Integración de una función racional general 169 169 169 181 1.3.1 Método de descomposición en fracciones parciales 182 l. 3.2 Método de Hermite 177 2 1.4 Integración de algunas funciones irracionales 182 195 2.1 2.2 Integra es de la forma J mx+ n 1 ar+ bx+ e Integrales de la forma J (x-d} lax 2 +bx +e 195 196 2.3 2.4 2.5 2.6 Integrales de la forma f lax 2 +bx +e Integrales de la forma J J Pn (x} ---;=;========- lai +bx+c Integrales de la forma ----::--;:::=========- (lt-d)n lax 2 + b x + e 197 198 200 201 X 2.7 Integrales de la forma ax +b )r J [ ( R X, Cx+"d', (...!!:!±..)r2 J cx+d ' 204
2.8 205 2.9 Integrales de la fo.rma fxp(a + bxq { 208 2.10 20 9 3 Integración de funciones trigonométricas 213 3.1 Integrales de la forma Jsenmx co ltx 213 3.2 218 3.3 Integrales de la forma Jsen mx sen nx fsen mx cos nx Jcos mx cos.nx 22 5 3.4 22 5 3.5 Integrales de la forma JR(sen x, cos x) 22 8 3.6 230 3. 7 Integrales de la forma f R(x, / ax 2 + bx + e ) 234 3.8 235 4 Integración de funciones hiperbólicas 237 4.1 Definición de funciones hiperbólicas 237 4.2 Integrales usuales 239 4.3 241 5 Fórmulas de reducción 246 5.1 247 XI
CONTEN DO CAPITULO 6 Aplicac:ian.. c;~mm~fttrica de la in~ec;~ral definida Area de figuras en coordenadas rectangulares 1.1 Definición 1.2 Area bajo una curva 1.3 Definición 1.4 Propiedades de la función área 1.5 253 253 254 254 255 255 2 Area bajo una curva dada en forma paramétrica 2.1 Teorema 2.2 265 265 266 3 Are a de figuras planas en coordenadas polares 3.1 Coordenadas polares 3.2 Cambio de coordenadas '3.3 Area en coo rdenadas polares 3.4 268 268 269 269 270 4 Longitud de arcó de una curva plana 4.1 Definición 4.2 Cálculo de la longitud del arco de una curva plana 4.2.1 En coordenadas rectangulares 4.2.2 Longitud del arco cuando la curva es dada por ecuaciones paramétricas 4.2, 3 Longitud del arco de curva en coordenadas polares 4.3 278 278 279 279 282 283 285 XII
S Volumen de sólidos 2 93 S.1 de un sólido en térmi Definición del vol~en nos del área secciona! 293 S. 2 Volumen de un sólido de revolución S. 2.1 Método del disco circular S. 2.2 Nota S.2.3 Método del anillo circular S. 2.4 Método del tubo cilíndrico 296 296 297 298 299 S. 3 Volumen de un sólido de revolución en coordenadas polares S.4 s.s Problemas propuestos 301 303 311 6 Area de una superficie de revolución 312 6. 1 6.2 6.3 6.4 Area en coordenadas rectangulares Area de una superficie de revolución cuando la curva es dada en forma paramétrica Area de una superficie de revolución en coorde nadas polares 312 313 314 315 CAPITULO 7 Aplicacion d la int~ral a prabl... da Fí ica ~lasa, momentos estáticos y de inercia, y centr~ de masa 1.1 Caso I : Sistemas de puntos materiales 1.2 Caso II: Curvas planas 1.3 Caso III: Figuras planas 325 325 326 329 XIII
1.4 Caso IV: Superficie de revolución 1.5 Caso V : Solidos 1.6 Teoremas de Pappus 1.7 Teorema de Steiner o de los ejes paralelos 1.8 1.9 Problemas propuestos 333 333 336 339 339 351 2 Problemas de física 2.1 Camino recorrido por un puntos 2.2 Trabajo realizado por una fuerza 2.3 Energía cinética 2.4 Presión de un líquido 2.5 352 352 353 353 354 355 INDICE ALFABETICO 367 XIV