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Unidad 3 Análisis de dualidad y sensibilidad Competencia-el estudiante debe convertir un modelo estático en dinámico a través del análisis de sensibilidad basado en dos situaciones cambios en la función objetivo y cambios en las restricciones Descripción general de la unidad- la unidad consta de una parte que consiste en construir modelos duales a través de los primales, para luego en una segunda parte resolver los modelos duales con el método simples y luego realizar el análisis de sensibilidad Introducción- La soluciòn òptima de los modelos obtenidos mediante las diferentes tècnicas, se obtuvo en un instante de las condiciones que prevalecen en el momento de formular y resolver el modelo En la pràctica los modelos rara vez permanecen estàticos,por lo que se debe analizar los modelos cuando cambian los parámetros del modelo,para ello se deben recurrir al análisis de sensibilidad,la misma que proporciona tècnicas de computo,para tratar el comportamiento dinàmico de la soluciòn òptima, como ser recurriendo a la teoría de la dualidad basado en el tratamiento algebraico y o método simplex Problema dual- El modelo dual es una programación lineal obtenida en forma directa y sistemáticamente a partir del modelo original(o primal) de programación lineal Los dos modelos estàn relacionados de manera que la resoluciòn òptima de uno de ellos produce automáticamente la resoluciòn òptima del otro El problema dual se expresa en forma de ecuaciones del problema primal, con todas las restricciones del lado derecho no negativo como todas las variables Procedimiento para obtener el modelo dual- 1-Se definie el modelo primal en forma de ecuaciones n Max ò min Z = cj xj J=1 Sujeto a : aij xj = bi donde i= 1,2, m ; J=1 xj 0 ; j= 1,2,3, n,incluye las variables excedentes,holguras y artificiales si las hay 2-Definiciòn del modelo dual - Se define una variable dual (yi) por cada una de las restricciones o ecuación primal - Se define una restricción dual por cada variable primal - Los coeficientes de restricciones(columna) de una variable primal define los coeficientes en el lado izquierdo de la restricción dual y su coeficiente objetivo define el lado derecho - Los coeficientes objetivos del dual son iguales ala lado derecho de las ecuaciones de restricción primal La misma que se puede sintetizar mediante el siguiente esquema: 30
CONSTRUCCIÒN DEL DUAL A PARTIR DEL PRIMAL Variables primales Coeficientes X1 x2 x j xn objetivos Variables duales c1 c2 cj cn duales y1 y2 ym a11 a12 a1j a1n a21 a22 a2j a2n am1 am2 amj amn b1 b2 bm Para determinar el sentido de la optimizaciòn (maximización o minimización) del tipo de restricciones(, =, ) y el signo de las variables duales(siempre no restringido) se procede de acuerdo al siguiente esquema: variables Objetivos del primal Objetivo tipo de restricciòn Signo de las variables Maximización Minimización No restringido Minimizaciôn Maximización No restringido Todas las restricciones primales tienen el lado derecho no negativo y todas las variables son no negativas Nota-El sentido de la optimizaciòn en el dual siempre es el opuesto al del primal Ejse tiene el modelo de maximizar Z = 5X1 +12X2+4X3 Sujeto: X1 + 2X2 +X3 10 2X1 X2 +3X3 =8 X1,X2,X3 0; Soluciòn- Obtener el modelo dual Modelo primal Primal en forma de ecuaciones V duales Max Z = 5X1 +12X2+4X3 Sujeto:X1 + 2X2 +X3 10 2X1 X2 +3X3 =8 X1,X2,X3 0 Max Z = 5X1 +12X2+4X3+0X4 Sujeto X1 + 2X2 +X3 +X4 = 10 2X1 X2 +3X3+0X4=8 X1,X2,X3 X4 0 y y2 Min W =10y1+8y2 Sujeto: y1+2y2 5 2yi y2 12 y1 +3y2 4 y1 +0y2 0 y1,y2 sin restricción y1 0, y2 sin restricción Ej Se tien el modelo Minimizar: Z = 15X1 +12X2 Sujeto: X1 + 2X2 3 2X1 4X2 5 X1,X2, 0 Obtener el modelo dual 31
Soluciòn- Modelo primal Primal en forma de ecuaciones vdual es Min Z = 15X1 +12X2 Sujeto: X1 + 2X2 3 2X1 4X2 5 X1,X2, 0 Min Z =15X1 +12X2+0X3+0X4 sujeto X1 + 2X2 -X3 +0X4 = 3 2X1 4X2 +0X3+X4=5 X1,X2,X3 X4 0 y1 y2 Max W =3y1+5y2 Sujeto: y1+2y2 15 2yi 4y2 12 - y1 0 y2 0 y1,y2 sin restricción y1 0, y2 0 Métodos de solución del dual- Solucion dual optimo-como la soluciòn primal y dual se relacionan estrechamente de modo que la soluciòn òptima del modelo primal produce en forma directa la solucion òptima del dualpara determinar la soluciòn se tiene dos mètodos alternativos: 1-Mètodo I- En forma matricial, Valores Optimos de las Variables duales vector renglón de los coeficientes = objetivos originales de las variables x Inversa primal òptima basicas òptimas primales 2-Mètodo II- La solucicòn òptima se puede determinar resolviendo las siguientes ecuaciones: Coeficiente z primal òptimo = Lado izquierdo de la - lado derecho de ( costo reducido de Xi) j-èsima restricción dual la j-èsima restricción dual EjSe tiene el siguiente modelo: Se pide obtener la soluciòn òptima mediante Maximizar Z = 5X1 +12 X2 +4X3 dos mètodos Sujeto : X1 +2 X2 +X3 10 2X1 - X2 +3X3 = 8 X1, X2,X3 0 Soluciòn para ello obtenemos el dual a partir del primal: Modelo Primal: Maximizar Z = 5X1 +12 X2 +4X3 - Mr Min W = 10 y1 +8y2 Sujeto : X1 +2 X2 +X3 + X4 =10 sujeto y1 + 2y2 5 2X1 - X2 +3X3 +R = 8 2y1 y2 12 X1, X2,X3, X4,R 0 y1 +3y2 4 y1 0 32
La tabla òptima primal Bàsica X1,X2,X3, X4,R soluciòn Z X2 X1 0 0 3/5 0 1-1/5 1 0 7/5 29/5-2/5 +M 2/5-1/5 1/5 2/5 274/5 12/5 26/5 Mètodo I 2/5-1/5 ( y1, y2) = (12, 5) 1/5 2/5 = [(24/5+5/5) (-12/5 + 10/5) ] = Mètodo II- Coeficiente Z de X4 = 29/5,coeficiente Z de R = -2/5+M De acuerdo a la regla 29/5 = y1-0 ; y1= 29/5-2/5M = y2 (-M) y2 = -2/5 Ej Se tiene el siguiente modelo primal, resolver por el dual mediante cualquiera de los dos mètodos Sol: el modelo dual: el primal en ecuaciones Maximizar Z= X1+X2 Min W = 5y1 +4y2 X1+ 5X2 +X3 = 5 Sujeto: X1+ 5X2 5 sujeto: y1 +2y2 2X1+X2 +X4 = 4 2X1+X2 4 5y1 +y2 1 X1+X2 0 Resoluciòn mediante el mètodo simplex -se elige la variable de entrada (X1 ò X2,por tener ambos el valor negativo iguales -1),elegimos X2, y la variable de salida X3 por tener mìnima razòn( 1) el elemento pivote es 5 de acuerdo a la siguiente tabla: Tabla del primal Bàsica Z X3 X4 X1 X2 X3 X4-1 -1 0 0 1 5 1 0 2 1 0 1 Soluciòn 0 5 4 Razòn X2 5/5 = 1 4/1= 4 Nuevo renglón pivote para X2= 1/5 ; 5/5 = 1 ; 1/5 ; 0/5=0 Nuevos renglones Para Z = -1-(-1)(1/5)= - 4/5 Para X4 = 2-(1)(1/5) =9/5-1-(-1)(1)= 0 1-(1)(1) = 0 0-(-1)( 1/5) = 1/5 0-(1)(1/5)= - 1/5 0-(-1)( 0)= 0 1-(1) ( 0) = 1 Nueva soluciòn cuando X1= 0 X3 =0 X1+ 5X2 +X3 = 5 0+ 5X2 +0 = 5 X2= 5/5 = 1 2X1+X2 +X4 = 4 2(0)+(1) +X4 = 4 X4= 4-1 = 3 Nueva soluciôn Z= X1+X2 Z = 0+1 =1 33
Nueva tabla del primal iterada con los nuevos valores,determinando las variables de entrada (X1= -4/5), de salida (X4 cuya razôn mìnima = 15/9 = 167) por lo tanto el elemento pivote= 9/5 Bàsica Z X2 X4 X1 X2 X3 X4-4/5 0 1/5 0 1/5 1 1/5 0 9/5 0-1/5 1 Soluciòn 1 1 3 Razòn X1 1/(1/5) =5 3/(9/5)=167 Nuevo renglón pivote para X1 (en reemplazo de X4) (9/5) / (9/5)= 1 ; 0/(9/5)= 0 ; (-1/5) / (9/5)= -1/9 ; 1/(9/5)= 5/9 Nuevos renglones Para Z = (-4/5)-(-4/5)(1) = 0 Para X2 = 1/5-(1/5)(1) = 0 0-(-4/5) (0) = 0 1-(1/5)( 0) = 1 1/5-(-4/5)(-1/9) = 1/9 1/5-(1/5)(-1/9)= 2/9 0-(-4/5)(5/9) = 4/9 0-(1/5)(5/9) = -1/9 Ùltima tabla iterada Bàsica Z X1 X2 X3 X4 0 0 1/9 4/9 Soluciòn 1 X2 0 1 2/9-1/9 1 X1 1 0-1/9 5/9 3 Soluciòn como X3=0, X4 = 0 X1+ 5X2 +X3 = 5 X1+ 5X2 =5 X1 = 5/3 2X1+X2 +X4 = 4 2X1+ X2 = 4 X2= 2/3 Z= X1+X2 Z = 5/3 + 2/3 = 7/3 Resolviendo mediante el Mètodo II Valores vector renglón de los coeficientes Optimos de las = objetivos originales de las variables x Inversa primal òptima Variables duales basicas òptimas primales [y1,y2] =[1,1] 2/9-1/9 =[ (2/9-1/9) (-1/9 +5/9)] =1/9, 4/9 y1= 1/9 y2= 4/9-1/9 5/9 Min W = 5y1 +4y2 Min W = 5(1/9) + 4(4/9)= 5/9 + 16/9 = 21 /9 = 7/3 Interpretación econòmica de la dualidad- Toda programación lineal se puede considerar como un modelo por el cual se asigna recursos con el objetivo de maximizar los ingresos o utilidades limitado a escasos recursos, Para realizar un análisis màs exhaustivo es necesario considerar el siguiente esquema de los dos modelos primal y dual 34
Modelo primal Maximizar Z = cjxj n m Minimizar W= biyi J =1 i=1 Sujeto n m aijxj bi ;i =1,2,m aijyi cj; j= 1,2, n J =1 i=1 Xj 0; j=1, 2 n yi 0 i = 1,2, m Es decir el modelo primal tiene n actividades econòmicas y m recursos,donde el Coeficiente cj del primal representa la utilidad / Unidad de actividad j El recurso i con disponibilidad màxima es bi,se consume a una tasa : de aij unidades / unidad de actividad j Interpretación econòmica de las variables duales- Sabemos qur tanto el modelo primal como dual estàn estrechamente relacionados de modo que las dossoluciones factibles primal y dual cualquiera,los valores de la funciones objetivos cuando son finitos deben cumplir la siguiente la condiciòn de desigualdad: n Z = cjxj biyi = W J =1 i=1 Sòlo se da la igualdad Z=W cuando las soluciones primal como dual son òptimas,es decir el modelo primal representa la utilidad monetaria,y como bi representa la cantidad disponible de unidades del recurso i entonces Z=W se puede expresar de manera dimensional como $ = (unidades del recurso i) x ($ / unidad del recurso i) es decir Yi= valor /unidad del recurso i ( o yi= precios duales o precios sombra Cuando Z < W es decir, la utilidad < valor de los recursos significa las soluciones primal y dual no son òptimas se dice que el sistema permanece inestable,la estabilidad se obtine cuando los recursos son iguales a la utilidad Ejemplo de interpretación del modelo primal como dual,de acuerdo a los datos de la Cìa de pinturas se tiene: m Modelo Primal Max Z = 5X1 + 4X2 Sujeto : 6X1 + 4X2 24 X1 + 2X2 6 -X1 + 4X2 1 X2 2 X1,X2 0 Soluciòn òptima : X1 = 3,X2 = 15 ; Z = 21 Min W = 24y1 +6y2+y3+2y4 Sujeta : 6y1 +y2 - y3 5 4y1 +2y2+y3+y4 4 y1,y2,y3,y4 0 Soluciòn òptima : y1 =075; y2 = 05, y3=y4 = 0 ; w = 21 35
Interpretación de la soluciòn del modelo primal: Como X1 = 3,X2 = 15 ; Z = 21, significa que para obtener una màxima utilidad de $ 21 mil diarios,la Cìa debe utilizar 3 toneladas de pintura para exteriores y 15 toneladas de pintura para interiores diariamente Interpretación de la soluciòn del modelo dual Como y1 =075; y2 = 05, y3=y4 = 0 ; w = 21,significa: Que para obtener un costo mìnimo de $ 21 mil se requiere gastar $ 075 mil o $ 750 /tonelada de la materia prima M1 y $05 o $ 500 /tonelada de la materia prima M2 Para los recursos y3=y4 = 0 que representan los requerimientos del mercado,los precios duales que son cero significa que los recursos asociados son abundantes Interpretación econòmica de las restricciones duales: Una vez analizados los valores de las variables duales(yi) ahora corresponde analizar las restricciones duales,para ello es necesario utilizar el siguiente esquema del mètodo II Coeficiente z primal òptimo = Lado izquierdo de la - lado derecho de la ( costo reducido de Xj) j-èsima restricción dual j-èsima restricción dual En forma sintètica representa: Coeficiente objetivo Xj = aij yi - cj donde cj = utilidad en $ / unidad de actividad j m aij yi = costo imputado de todos los recursos necesarios para producir una unidad de la i= 1 j-èsima actividad aij = cantidad del i-èsimo recurso que usa la j-èsima actividad yi = costo imputado / unidad del ièsimo recurso La condiciòn de optimalidad de maximización del mètodo simples indica que : un incremento en la cantidad de la j-èsima actividad no usada(no básica) puede mejorar la utilidad sólo en caso de que su coeficiente objetivo( aij yi - cj ) sea negativo por lo tanto se establece que Cj < Zj es decir el Costo imputado del recurso/ Unidad de la actividad j < utilidad / unidad de actividad j Por lo tanto la condición de optimalidad de maximización señalaque es económicamente bueno incrementar una actividad a un valor positivo si su utilidad unitaria es mayor que su costo unitario imputado Ej La empresa TOYCO arma tres tipos de juguetes trenes,camiones y coches con tres operacioneslos límites diarios de tiempo disponible para las tres operaciones son 430,460,y 420 minutos respectivamentelos tiempos de armado por tren en las tres operaciones son (1,3 y 1) minutos respectivamente, los tiempos por camión y coches son (2,0,4) y (1,2,0) Donde X1,X2, X3 son las cantidades diarias de unidades armadas de trenes,camiones y coches Cuyos modelos primal y dual se resumen en el siguiente cuadro: 36
Modelo primal Max Z = 3X1 +2X2+ 5X3 Sujeto X1 +2X2+ X3 430 3X1 +2X3 460 X1 +4X2 420 X1,X2,X3 0 Solución óptima X1 = 0, X2=100, X3 = 230 ; Z = $ 1350 Min W = 430 y1 +460y2 + 420y3 Sujeto: y1 +3y2 + y3 3 2y1 + 4y3 2 y1 +2y2 5 y1,y2,y3 0 Solución óptima y1 = 1;y2 = 2, y3 = 0 ; W = $ 1350 interpretación de la solución óptima del modelo primal: Como X1 = 0, X2=100, X3 = 230 ; Z = $ 1350, significa que la cía debe producir 100 camiones (X2=100,) y 230 coches(x3 = 230 ) y ningún tren(x1 = 0) porque no son rentables Representando una utilidad máxima de $ 1350 diarios Ahora suponiendo que por fuerza de la competencia la Cía debe también producir trenes, como se lograría equilibrar la producción Se deja al estudiante su análisis para satisfacer la interrogante 37