Desde la antigüedad, el hombre ha observado que distintos objetos y fenómenos que aparecen en la naturaleza están relacionados entre sí, lo que posibilita establecer una correspondencia de causa-efecto entre ellos. Imagínese una función como una máquina que le hace corresponder a un elemento de un primer conjunto, un elemento bien definido de un segundo conjunto. Así también, es posible usar dos o más máquinas (funciones), de forma tal que el resultado de la primera máquina alimente a la segunda máquina (función de función). Por lo tanto, una función es una regla de correspondencia que asocia a cada objeto x de un conjunto llamado dominio, un único objeto f(x) de un segundo conjunto. Esta definición no impone restricciones a los conjuntos citados, pero no permite que a una entrada le corresponda más de una salida. La teoría de funciones se convirtió en el problema preliminar del análisis infinitesimal. El concepto de función tenía dos aspectos: la función como correspondencia y la función como expresión analítica. En el transcurso de los años treinta y cuarenta del siglo XVIII, en lo fundamental gracias a Euler, fue cuando se elaboró, sistematizó y clasificó la teoría de las funciones elementales analíticas. Pero el trabajo más serio fue Teoría de las funciones analíticas, de Lagrange. En la actualidad, el concepto de función es una noción matemática fundamental en todas las ciencias. Ya sea en física, química, mecánica, medicina,... el estudio de numerosos problemas conduce a establecer fórmulas (funciones) que permiten relacionar dos (o más) cantidades variables. 30 Joseph Louis Lagrange (Italia, 1736-1813) Habitualmente se considera que Joseph Louis Lagrange era un matemático francés, pero la Enciclopedia italiana se refiere a él como un matemático italiano, lo cual es muy razonable, pues Lagrange nació en Turín y fue bautizado con el nombre de Giuseppe Lodovico Lagrangia. Una especulación financiera insensata, llevada a cabo por su padre, abandonó a Lagrange a sus propios recursos a una edad temprana. Pero este cambio de fortuna no resultó ser una gran calamidad, «pues de otro modo dijo él tal vez nunca hubiera descubierto mi vocación». Pasó sus primeros años en Turín, su activa madurez en Berlín y sus últimos años en París, donde logró su mayor fama. A los dieciséis años de edad fue nombrado profesor de Matemáticas en la Escuela Real de Artillería de Turín, donde el tímido muchacho que no poseía recursos de oratoria y era de muy pocas palabras mantenía la atención de hombres bastante mayores que él. Lagrange estaba dispuesto a apreciar el trabajo sutil de los demás, pero estaba igualmente capacitado para descubrir errores. En una temprana memoria sobre las matemáticas del sonido señaló defectos, incluso en la obra de Newton. Otros matemáticos lo reconocieron, sin envidia, primero como su compañero y, más tarde, como el mayor matemático viviente.
2 RELACIONES Y FUNCIONES 1 CONCEPTOS GENERALES SOBRE CONJUNTOS 1.1. INTRODUCCIÓN Se entiende por conjunto una agrupación o colección de objetos reunidos en virtud de una propiedad común. CIÓN Es habitual anotar el nombre de los conjuntos con letras mayúsculas y escribir sus elementos entre llaves, separados entre sí por comas. Ejemplo: M = {1, 2, 3, 4} 1.2. DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO Se dice que un conjunto está bien determinado cuando, dado un elemento cualquiera, es posible decidir si pertenece o no al conjunto. Un conjunto se determina por extensión cuando se enumera a cada uno de sus elementos. A = {a, b, c, d} A es el conjunto formado por: a, b, c y d (definido por extensión). Entonces d A (d pertenece al conjunto A), pero h A (h no pertenece a A). significa: pertenece significa: no pertenece MATEMÁTICA DE CUARTO 31
Un conjunto se determina por comprensión cuando se indica la propiedad común que tienen sus elementos: B = {x / x, 0 < x 3 < 125} B es el conjunto de los números naturales tales que elevados al cubo resultan entre cero y 125 (definido por comprensión). 4 B pero 7 B. Por extensión B = {1, 2, 3, 4} números naturales / significa: tal que < significa: menor que En todos los casos en que el dato del problema sea un conjunto determinado por comprensión, es necesario escribirlo por extensión para identificar sus elementos. EJEMPLO: Determinar por extensión: A = {x / x, x = 2 i, 2 < x < 10} Son los números naturales ( ) múltiplos de 2, que se encuentran entre 2 (incluido este) y 10 (sin incluirlo). A = {2, 4, 6, 8} 2 i significa: múltiplo de 2 Los elementos de un conjunto numérico se representan generalmente por una variable x. En consecuencia, un conjunto numérico está formado por todos los números x que cumplen con una determinada propiedad que caracteriza los elementos del conjunto, y que se denominará p(x). A = {x / p(x)} A es el conjunto de elementos x tal que x cumple la propiedad p. 32
Conjunto unitario: es un conjunto formado por un solo elemento. Por ejemplo: A = {a} Conjunto vacío: es un conjunto sin elementos. Se anota: φ Puede suceder que ningún elemento satisfaga la condición de pertenencia. Por ejemplo: a) El conjunto de los triángulos de cuatro lados es { } b) C = {x / x, x + 2 = 0} = { } ( 2 no es un número natural) Todos los conjuntos vacíos son iguales, lo que significa que existe un solo conjunto vacío. Se debe tener en cuenta que el conjunto vacío φ no es el mismo que {φ}. El conjunto vacío se anota por extensión como: { } EJEMPLO: Determinar por extensión A = {x / x, 3 < (2x 1) < 10} En este caso, los elementos del conjunto son los números naturales que hacen que la expresión (2x 1) tenga un valor entre 3 y 10. Para x = 1 2(1) 1 = 1 el resultado no es mayor que 3. Para x = 2 2(2) 1 = 3 el resultado no es mayor que 3. Para x = 3 2(3) 1 = 5 el resultado está entre 3 y 10, 3 pertenece al conjunto. Para x = 4 2(4) 1 = 7 el resultado está entre 3 y 10, 4 pertenece al conjunto. Para x = 5 2(5) 1 = 9 el resultado está entre 3 y 10, 5 pertenece al conjunto. Para x = 6 2(6) 1 = 11 el resultado es mayor que 10. A = {3, 4, 5} Dado el conjunto A = {0, a, José María, 3 de enero} Responder «verdadero» o «falso», y justificar la respuesta. 1) 0 A 2) 3 A 3) María A 4) 3 de enero A 5) φ A 6) { } A 7) José María A 8) {0} A Véanse los resultados en la página 195. MATEMÁTICA DE CUARTO 33
15 PROBLEMAS PROPUESTOS Véanse los resultados en la página 195. 58) La representación gráfica adjunta representa la variación de la temperatura (en ºC) según el tiempo (en horas) a lo largo del día. i) Con qué temperatura comenzó el día? ii) Con cuál finalizó? iii) Durante qué intervalo de tiempo la temperatura fue en ascenso? iv) Cuál fue la máxima del día? Y la mínima? v) En qué horarios hubo menos de 5 ºC? ºC 15 5 2 12 24 h g 59) La siguiente representación gráfica corresponde a la variación del peso de un bebé que pesó 3300 g al nacer. 100 2 A 12 24 días i) Qué ocurre en los primeros días de vida? ii) Qué día pesó el niño 150 g menos que al nacer? iii) Se sabe que en algún momento del mes el niño estuvo con fiebre. Cuándo crees que sucedió esto? Explica tu respuesta. iv) Indica el aumento de peso durante la tercera semana de vida. v) Cual fue el peso máximo del niño en el período graficado? Y el mínimo? En qué días se dieron? 60) Tomado de: PISA 2003 Estatura (cm) Estatura promedio de hombres jóvenes en 1998 La siguiente representación gráfica representa la estatura promedio de los hombres y mujeres jóvenes de Holanda en 1998. Estatura promedio de mujeres jóvenes en 1998 Edad (años) i) Desde 1980 la estatura promedio de las mujeres de 20 años ha aumentado 2,3 cm hasta alcanzar los 170,6 cm en 1998. Cuál era la estatura promedio de una mujer de 20 años de edad en 1980? ii) De acuerdo con este gráfico, en promedio, durante qué periodo de su vida son las mujeres más altas que los hombres de su misma edad? iii) Explica cómo el gráfico muestra que el crecimiento promedio de las mujeres es más lento después de los 12 años. 34