CALIFICACIÓN: PRUEBAS DE ACCESO A CICLOS FORMATIVOS DE GRADO SUPERIOR DE FORMACIÓN PROFESIONAL JUNIO DE 2013 Resolución de 02/04/2013, de la Viceconsejería de Educación, Universidades e Investigación (DOCM de 17 de abril de 2013) Apellidos Nombre Instrucciones Generales PARTE COMÚN MATERIA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS - Duración del ejercicio: 1:30 horas - Mantenga su DNI en lugar visible durante la realización de la prueba. - Realice el ejercicio en las hojas de respuestas entregadas al final de este documento y entregue este cuadernillo completo al finalizar la prueba. - Lea detenidamente los textos, cuestiones o enunciados. - Cuide la presentación y, una vez terminada la prueba, revísela antes de entregarla. - Se puede utilizar cualquier tipo de calculadora científica no programable. - Se pueden utilizar instrumentos de dibujo para las presentaciones si lo considera oportuno. Criterios de calificación - El aspirante debe realizar una de las dos opciones y realizar los cuatro ejercicios de la opción elegida. - Si el aspirante realiza ejercicios de la opción no elegida, no serán calificados. - Esta prueba se calificará numéricamente entre 0 y 10 puntos, en función de los siguientes criterios: Todos los ejercicios tienen una puntuación de 2,5 puntos, distribuidos de la siguiente manera: Opción A. Ejercicio 1 Ejercicio 2 a) 1,25 puntos. b) 1,25 puntos 2 5 puntos Ejercicio 3 a) 0,75 puntos b) 0,75 puntos c) 0 5 puntos d) 0 5 puntos Ejercicio 4 a) 1 punto b) 1 punto c) 0 5 puntos Opción B. Ejercicio 5 a) 1 5 puntos b) 1 punto Ejercicio 6 2 5 puntos Ejercicio 7 2 5 puntos Ejercicio 8 a) 0 75 puntos. b) 0,75 puntos. c) 1 punto - Se valorará el orden, la limpieza y la claridad en la presentación. - Se valorará el orden y el rigor en el planteamiento y el uso correcto del lenguaje matemático. - Se valorará la discusión de las soluciones si fuera preciso. - Se valorarán negativamente los errores conceptuales. La nota de la parte común será la media aritmética de las calificaciones obtenidas en cada una de las materias de las que consta, siempre que se obtenga, al menos, una calificación de cuatro puntos en cada una de ellas. Esta nota media de la parte común deberá ser igual o superior a cuatro puntos para que haga media con la parte específica.
Opción A Ejercicio 1 EJERCICIOS Resuelve, indicando todos los pasos y dando la solución de la manera más simplificada posible, las siguientes operaciones: Ejercicio 2 Para hacer un foso de 527 m 3 un equipo de 85 obreros ha necesitado 23 horas. Si tienen que hacer otro foso de 372 m 3 antes de 30 horas, cuántos obreros harán falta? Ejercicio 3 Dada la siguiente gráfica de f(x): a) Calcula el Dominio y el Recorrido (Imagen) b) Indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento. c) Indica las coordenadas de los Máximos y mínimos absolutos. d) Expresa la continuidad de la función. Ejercicio 4 Los siguientes valores representan los pesos de una serie de personas: 63 75 80 89 65 74 72 69 82 91 96 105 67 82 86 87 78 65 94 93 94 78 76 106 100 70 84 82 76 84 94 102 68 64 82 a) Agrupa los datos en intervalos de amplitud 10, halla las marcas de clase y realiza una tabla estadística con los datos. b) Calcula la media, mediana, moda, varianza y desviación típica. c) Realiza el diagrama de barras de los datos y el polígono de frecuencias. 2
Opción B Ejercicio 5 Sean las rectas y a) Halla el ángulo formado por las rectas r y s. b) Halla las coordenadas del punto de corte. Ejercicio 6 Hace seis años, la edad de mi hermano mayor era el triple que la mía. Dentro de 10 años, la edad de mi hermano será el doble que la mía menos 8 años. Calcula las edades de ambos. Ejercicio 7 Calcula la altura de la montaña con los datos que aparecen en el dibujo: Ejercicio 8 Una urna contiene 4 bolas blancas y 7 rojas. Se realizan dos extracciones devolviendo la bola extraída. a) Cuál es la probabilidad de que las 2 bolas extraídas sean rojas? b) Si la primera bola es roja, cuál es la probabilidad de que la segunda sea blanca? c) Responde a las mismas cuestiones en el caso de que no se devuelva la primera bola a la urna. 3
SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE LA P.G.S. JUNIO 2013 - OPCIÓN A Ejercicio 1 Resuelve, indicando todos los pasos y dando la solución de la manera más simplificada posible, las siguientes operaciones: Solución Ejercicio 2 Para hacer un foso de 527 m 3 un equipo de 85 obreros ha necesitado 23 horas. Si tienen que hacer otro foso de 372 m 3 antes de 30 horas, cuántos obreros harán falta? Estudiamos la relación de proporcionalidad que existe entre las magnitudes volumen del foso en m 3, tiempo en horas con respecto a número de obreros. El volumen en m 3 y el nº de obreros son directamente proporcionales ya que a más volumen que realizar se necesitará mayor número de obreros y en la misma proporción. El tiempo en horas y el nº de obreros son inversamente proporcionales ya que a más obreros, menos horas de trabajo harán entre todos (en la misma proporción) 4
Por lo tanto, tendremos el siguiente esquema de proporcionalidad: Volumen en m 3 Tiempo en horas Número de obreros 527 m 3 23 horas 85 obreros 372 m 3 30 horas x obreros Inversamente proporcionales Directamente proporcionales En ese caso, invirtiendo las inversamente proporcionales: Concluimos que necesitaremos más de 46 obreros para terminar en menos de 30 horas el foso de 372 m 2 trabajando al mismo ritmo que el grupo de obreros anterior. Ejercicio 3 Dada la siguiente gráfica de f(x): a) Calcula el Dominio y el Recorrido (Imagen) c) Indica las coordenadas de los Máximos y mínimos absolutos. No hay mínimo absoluto al haber dos asíntotas verticales. El Máximo absoluto está en el punto de coordenadas M(6, 8) d) Expresa la continuidad de la función. Dom(f) = ( 3, 3) (3, + ) Im(f) = (, +8] b) Indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Crece en x ( 3, 0 ) ( 3, 6 ) Decrece en x ( 0, 3 ) ( 6, + ) La función es continua en ( 2, 2 ) ( 2, + ) presentando discontinuidad de salto infinito en x = 2. 5
Ejercicio 4 Los siguientes valores representan los pesos de una serie de personas: 63 75 80 89 65 74 72 69 82 91 96 105 67 82 86 87 78 65 94 93 94 78 76 106 100 70 84 82 76 84 94 102 68 64 82 a) Agrupa los datos en intervalos de amplitud 10, halla las marcas de clase y realiza una tabla estadística con los datos. b) Calcula la media, mediana, moda, varianza y desviación típica. c) Realiza el diagrama de barras de los datos y el polígono de frecuencias. Solución a) Agrupa los datos en intervalos de amplitud 10, halla las marcas de clase y realiza una tabla estadística con los datos. x i n i f i N i F i % [63, 73) 68 9 9/35 = 0 26 9 0 26 26 % [73, 83) 78 9 9/35 = 0 26 18 0 52 26 % [83, 93) 88 8 8/35 = 0 23 26 0 75 23 % [93, 103) 98 7 7/35 = 0 20 33 0 95 20 % [103, 113) 108 2 2/35 = 0 05 35 1 5 % b) Calcula la media, mediana, moda, varianza y desviación típica. Calculamos mediante la tabla anterior los parámetros pedidos. Media. En el caso de hacer la media con los datos reales se obtiene 82 09 Mediana. Es el dato que deja un 50 % de la muestra por debajo. Teniendo en cuenta que son un número impar de datos, tendremos que la mediana es el que ocupa la posición 18 después de ordenada la muestra. Por lo tanto, el dato mediano corresponde al intervalo [73, 83] y podemos considerar que es un 78. Si queremos hacer la mediana con los datos reales de la muestra, tendremos que el que ocupa la posición 18 después de ordenada la muestra es 82. 6
Moda. Es el dato que más se repite en la muestra. Tendremos que los intervalos modales son [63, 73] y [73, 83]. Sin embargo, si queremos determinar la moda con los datos reales de la muestra, tendremos que el dato que más se repite es 82 con un total de 4 veces. Varianza. La varianza se calcula mediante, Calculando la varianza por intervalos, mediante la clase que los corresponde, tendremos que, x i n i n i x i 2 n i x i [63, 73) 68 9 9 68 = 612 9 68 2 = 41 616 [73, 83) 78 9 9 78 = 702 9 78 2 = 54 756 [83, 93) 88 8 8 88 = 704 8 88 2 = 61 952 [93, 103) 98 7 7 98 = 686 7 98 2 = 67 228 [103, 113) 108 2 2 108 = 216 2 108 2 = 23 328 2920 248 880 Desviación típica. Es la raíz cuadrada de la varianza. Por lo tanto, c) Realiza el diagrama de barras de los datos y el polígono de frecuencias. 7
SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE LA P.G.S. JUNIO 2013 - OPCIÓN B Ejercicio 5 Sean las rectas y a) Halla el ángulo formado por las rectas r y s. b) Halla las coordenadas del punto de corte. Solución. a) Halla el ángulo formado por las rectas r y s. Para que las rectas r y s formen un ángulo, tendrán que cortarse, cosa que se demuestra que hacen en el segundo apartado. El ángulo que forman las rectas r y s depende de sus vectores directores y ya que éste viene descrito mediante la fórmula, Un vector director de la recta r viene determinado por las coordenadas libres, mientras que las coordenadas libres, de un vector director de la recta s son, De este modo, el ángulo que forman las rectas r y s mide, Por lo tanto, el ángulo que forman las rectas r y s mide 27º 52 29.94 8
b) Halla las coordenadas del punto de corte. Para calcular el punto de corte de las rectas r y s sustituimos las paramétricas de la recta r en la ecuación continua de la recta s y despejamos el parámetro t Por lo tanto, las coordenadas del punto de corte de las rectas r y s es, Es decir, el punto de corte es P( 17 / 7, + 1 / 7 ) Ejercicio 6 Hace seis años, la edad de mi hermano mayor era el triple que la mía. Dentro de 10 años, la edad de mi hermano será el doble que la mía menos 8 años. Calcula las edades de ambos. Solución. Nombramos con x a la edad actual del hermano pequeño (el que cuenta el problema) e y la edad actual del hermano mayor. En ese caso, podremos describir el problema mediante las siguientes ecuaciones, Hace seis años, la edad de mi hermano mayor era el triple que la mía. Dentro de 10 años, la edad de mi hermano será el doble que la mía menos 8 años y 6 = 3 (x 6) y + 10 = 2 (x + 10) 8 Esto nos lleva a un sistema de ecuaciones lineales que se puede primeramente simplificar del siguiente modo: 9
Resolvemos por el método de reducción: En ese caso, sustituyendo x = 14 en la primera ecuación obtendremos el valor de y: 3 x + y = 12 3 14 + y = 12 42 + y = 12 y = 42 12 y = 30 Concluimos que las edades de los hermanos son 14 años y 30 años. Ejercicio 7 Calcula la altura de la montaña con los datos que aparecen en el dibujo: Solución. Llamamos x a la distancia OA entre la base de la montaña y el punto de medición del ángulo de 45 º y por otro llamamos h a la altura OC de la montaña. En ese caso, podemos aplicar la trigonometría a los dos triángulos rectángulos OAC y OBC que aparecen en el dibujo mediante las tangentes de los ángulos agudos conocidos. Podemos generar el siguiente sistema: Resolvemos el sistema mediante el método de igualación, despejando la altura en ambas ecuaciones, igualando y resolviendo inicialmente el valor x. 10
La altura de la montaña será: Concluimos que la montaña mide 204 9 m. Ejercicio 8 Una urna contiene 4 bolas blancas y 7 rojas. Se realizan dos extracciones devolviendo la bola extraída. a) Cuál es la probabilidad de que las 2 bolas extraídas sean rojas? b) Si la primera bola es roja, cuál es la probabilidad de que la segunda sea blanca? c) Responde a las mismas cuestiones en el caso de que no se devuelva la primera bola a la urna. Solución. Consideramos el siguiente diagrama de árbol que describe la situación. 11
a) Cuál es la probabilidad de que las 2 bolas extraídas sean rojas? Aplicando el teorema de la probabilidad compuesta obtenemos la probabilidad: b) Si la primera bola es roja, cuál es la probabilidad de que la segunda sea blanca? Se trata de la probabilidad condicionada expuesta ya en el diagrama: c) Responde a las mismas cuestiones en el caso de que no se devuelva la primera bola a la urna. El nuevo diagrama de árbol será En el apartado a), aplicamos de nuevo el teorema de la probabilidad compuesta obtenemos la probabilidad: En el apartado b), la probabilidad condicionada es 12