Geometría 3 Ejercicio. Sean los puntos P (,, ), Q (,, 3) R (,3,). ) Calcula el punto P que es la proección del punto P sobre la recta que determinan Q R ) Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos que equidistan de P de R. Ejercicio. Dados los puntos (,, ), B (,,) C (,, 3 ), A sean A el simétrico de A respecto de B, B el simétrico de B respecto de C C el simétrico de C respecto de A. Halla la ecuación del plano que pasa por A, B C. Ejercicio 3. Calcula, describiendo el procedimiento empleado, las ecuaciones de una recta que pasa por el origen de coordenadas es paralela a la recta en que se cortan los planos π π 3 5 Ejercicio 4. Considera el punto P (,,3) la recta de ecuaciones r a) Halla la ecuación de la recta que pasa por P corta perpendicularmente a r. b) Determina dos puntos A B de la recta r de forma que el triángulo PAB sea equilátero. Ejercicio 5. Considera el plano π : el punto A (,,). a) Determina la ecuaciones de la recta que es perpendicular al plano π pasa por el punto A. b) Halla las coordenadas del punto B que es simétrico del punto A respecto del plano π. Ejercicio 6. Determina el punto simétrico del (,,) respecto del plano de ecuación 3 calcula el cuadrado de la distancia entre dichos puntos (el (,,) su simétrico). Ejercicio 7. Dados los planos de ecuaciones π 3, π 3, π 3, π 4 λ 5, determina el valor de λ para el que los cuatro planos tienen un solo punto común calcula dicho punto.
Ejercicio 8. a) Halla el punto C que es la proección ortogonal del punto B (,,) sobre el plano π : 6 b) Halla el punto A que esté sobre el eje OX tal que el área del triángulo ABC valga 6. Cuántas soluciones eisten? Ejercicio 9. Considera el tetraedro formado por el origen de coordenadas los tres puntos en los que el plano π : 3 6 6 corta a los ejes coordenados. a) Describe un procedimiento para calcular el volumen del tetraedro calcula efectivamente su valor. b) Calcula raonadamente las coordenadas del punto simétrico al origen de coordenadas respecto al plano π. Ejercicio. Considera los puntos P (,,) Q (-,-,). a) Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos que se encuentran a igual distancia del punto P que del punto Q. b) Halla la ecuación del plano que corta perpendicularmente en su punto medio al segmento que une los puntos P Q. Ejercicio. Calcula raonadamente dibuja el lugar geométrico de los puntos P del plano que verifican la siguiente propiedad: El triángulo APB de vértices A (-7,), P B (7,) es rectángulo en P. Ejercicio. Sean π π los planos de ecuaciones: π 3 π 4. Eplica algún procedimiento para saber si un punto de R 3 se encuentra entre π π aplícalo para saber si el punto P (,,) se encuentra o no entre dichos planos. Ejercicio 3. Halla el punto Q simétrico del punto P (,,) respecto de la recta r que pasa por el punto A (,3,) es paralela a la recta s de ecuaciones s a) Halla la recta que pasa por A por el punto medio del segmento AB. b) Halla la recta paralela a la anterior que pasa por el punto (,,).
3 Ejercicio 4. Sea r la recta de ecuaciones r 3 a) Halla los puntos de r cua distancia al origen es de 7 unidades. b) Halla la ecuación del plano perpendicular a r que pasa por el punto P(,,-). Ejercicio 5. Halla las coordenadas del punto simétrico de A(,-,) con respecto a la recta 5 3 Ejercicio 6. Halla el punto de la recta del origen de coordenadas. 3 que equidista del punto A(,,) Ejercicio 7. Considera el plano 4. a) Halla el área del triángulo cuos vértices son los puntos de corte del plano dado con los ejes coordenados. b) Calcula la distancia del origen al plano dado. Ejercicio 8. Considera los puntos A(,,3), B(3,,) C(,,). Halla el punto simétrico del origen de coordenadas respecto del plano que contiene a A, B C. Ejercicio 9. Halla el punto de la recta P(,-,). 3 r que está más cercano al punto Ejercicio. Determina la recta que no corta al plano de ecuación 7 cuo punto más cercano al origen es (,,3). Ejercicio. Los puntos A(,,) B(-,,-) son vértices opuestos de un cuadrado. a) Calcula el área del cuadrado. b) Calcula el plano perpendicular al segmento de etremos A B que pasa por su punto medio. Ejercicio. Considera el plano π 3 el punto A(-,-4,). a) Halla la ecuación de la recta perpendicular a π que pasa por A.
b) Halla el punto simétrico de A respecto de π. Ejercicio 3. Considera los puntos A(,-,), B(,3,) C(,,). Halla el punto simétrico de A respecto de la recta que pasa por B C. Ejercicio 4. Se sabe que el plano II corta a los semiejes positivos de coordenadas en los puntos A, B C, siendo las longitudes de los segmentos OA, OB OC de 4 unidades, donde O es el origen de coordenadas. a) Halla la ecuación del plano II. b) Calcula el área del triángulo ABC. c) Obtén un plano paralelo al plano II que diste 4 unidades del origen de coordenadas. Ejercicio 5. Determina el punto P de la recta 3 r que equidista de los planos µ µ λ λ π π 6 3 3 Ejercicio 6. Los puntos A(,,) B(,,) son vértices consecutivos de un rectángulo ABCD. Además, se sabe que los vértices C D están contenidos en una recta que pasa por el origen de coordenadas. Halla C D. Ejercicio 7. Las rectas 6 6 4 s r contiene dos lados de un cuadrado. a) Calcula el área del cuadrado. b) Halla la ecuación del plano que contiene al cuadrado. Ejercicio 8. Halla la distancia entre las rectas 3 s r Ejercicio 9. Sean los puntos A(,,-) B(,-,3). a) Calcula la distancia del origen de coordenadas a la recta que pasa por A por B.
b) Calcula el área del paralelogramo de vértices consecutivos ABCD sabiendo que la recta determinada por los vértices C D pasa por el origen de coordenadas. Ejercicio 3. Se sabe que el triángulo ABC es rectángulo en el vértice C, que pertenece a la recta intersección de los planos e 3 3, que sus otros dos vértices son A(,,) B(,-3,). Halla C el área del triángulo ABC. Ejercicio 3. Sean los planos. 5 π π a) Calcula las coordenadas del punto P sabiendo que está en el plano π que su proección ortogonal sobre el plano π es el punto (,,-3). b) Calcula el punto simétrico de P respecto del plano π. Ejercicio 3. Calcula la distancia entre las rectas. 3 3 7 5 6 s r λ λ λ Ejercicio 33. Considera las rectas. 3 s r a) Halla la ecuación del plano π que contiene a s es paralelo a r. b) Calcula la distancia de la recta r al plano π. Ejercicio 34. Sea el punto P(,,-3) la recta r a) Halla la ecuación del plano que contiene a P es perpendicular a r. b) Calcula las coordenadas del punto simétrico de P respecto de r. Ejercicio 35. Considera el punto P(,,) la recta 6 r a) Halla la ecuación del plano que contiene a P a r. b) Calcula el punto simétrico de P respecto de la recta r. Ejercicio 36. Sea la recta r de ecuación 3 3 el plano π de ecuación
. Calcula el área del triángulo de vértices ABC, siendo A el punto de corte de la recta r el plano π, B el punto (,,) de la recta r C la proección ortogonal del punto B sobre el plano π. Ejercicio 37. Halla las ecuaciones paramétricas de una recta sabiendo que corta a la recta r de ecuación, es paralela al plano π de ecuación 3 4 pasa por el punto A(,,-). Ejercicio 38. Considera los puntos A(,,) B(,4,) la recta r de ecuación 3. a) Determina un punto C de la recta r que equidiste de los puntos A B. b) Calcula el área del triángulo de vértices ABC. Ejercicio 39. Halla la ecuación de un plano que sea paralelo al plano π de ecuación forme con los ejes de coordenadas un triángulo de área 8 3. 3 Ejercicio 4. Considera el punto P(3,,) la recta r de ecuaciones a) Halla la ecuación del plano que contiene al punto P a la recta r. b) Determina las coordenadas del punto Q simétrico de P respecto de la recta r. Ejercicio 4. Determina los puntos de la recta r de ecuaciones del plano π de ecuación del plano π de ecuación 3. - 3 - que equidistan Ejercicio 4. Considera los puntos A(,,-) B(-,3,). a) Determina los puntos del segmento AB que lo dividen en tres partes iguales. b) Calcula el área del triángulo de vértices A, B C es un punto de la recta de ecuación. Depende el resultado de la elección concreta del punto C?. Ejercicio 43. Considera el plano π de ecuación 6 el punto P(,,-). a) Calcula la recta que pasa por el punto P es perpendicular al plano π. b) Encuentra el punto simétrico de P respecto del plano π.
Ejercicio 44. Considera el plano π de ecuación 6. la recta r definida por. a) Calcula el área del triángulo cuos vértices son los puntos de corte del plano π con los ejes de coordenadas. b) Calcula, raonadamente, la distancia de la recta r al plano π. Ejercicio 45. a) Encuentra la ecuación de la recta r que pasa por el origen de coordenadas es paralela a los planos π de ecuación 3 3 π de ecuación. b) Halla la distancia de la recta r al plano π. Ejercicio 46. Considera el punto P(,,-) la recta r definida por - 4 a) Determina la recta perpendicular a r que pasa por P. b) Halla la distancia entre el punto P su simétrico Q respecto de la recta r. 5 7 Ejercicio 47. Calcula la distancia del punto P(,-3,7) a su punto simétrico respecto de la recta definida por 3 6 Ejercicio 48. Considera los planos de ecuaciones. a) Determina la recta que pasa por el punto A(,,3) no corta a ninguno de los planos dados. b) Determina los puntos que equidistan de A(,,3) B(,,) pertenecen a la recta de intersección de los planos dados. Ejercicio 49. Considera los puntos A(,3,-) B(,,5). a) Calcula los valores de sabiendo que el triángulo ABC de vértices A(,3,-), B(,,5) C(,4,3) tiene un ángulo recto en C. b) Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos (,,5) (3,4,3) es paralelo a la recta definida por las ecuaciones.
Ejercicio 5. Dados los puntos A(,,-) B(-,3,) la recta r definida por las ecuaciones 3 5 A B., halla las coordenadas de un punto de la recta r que equidiste de los puntos Ejercicio 5. Considera los puntos A(,,), B(-,,), C(,,) D(3,,). a) Calcula la ecuación del plano π que contiene a los puntos B, C D. b) Halla el punto simétrico de A respecto del plano π. Ejercicio 5. Dados los puntos A(,,) B(,,), halla los puntos C en el eje OX tales que el área del triángulo de vértices A, B C es. Ejercicio 53. Sea la recta s dada por 3 a) Halla la ecuación del plano π que es paralelo a la recta s que contiene a la recta r, dada por - 3. b) Estudia la posición relativa de la recta s el plano π, de ecuación 3, deduce la distancia entre ambos. Ejercicio 54. Dados los puntos A(,,), B(,,) C(,-,). a) Comprueba que no están alineados calcula el área del triángulo que determinan. b) Halla la ecuación del plano que contiene al punto A es perpendicular a la recta determinada por B C.