Curso Propedéutico de Cálculo Sesión 1: Joaquín Ortega Sánchez Centro de Investigación en Matemáticas, CIMAT Guanajuato, Gto., Mexico
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El cálculo se basa en las propiedades de los números reales, así que comenzaremos por dar una idea de cómo surge este conjunto de números y que propiedades tiene. En el camino iremos definiendo otros conjuntos de números que son necesarios para la descripción de los números reales.
Naturales Los números naturales o enteros positivos son los números que usamos para contar: 1, 2, 3,... El conjunto de los números naturales es infinito y usualmente se denota con el símbolo N, de modo que N = {1, 2, 3, 4,... }. Si a es un número entero usamos la notación a N para indicar que a es un elemento del conjunto N de los números naturales.
Enteros Si sumamos dos números naturales el resultado siempre es un número natural. En cambio, si restamos dos números naturales el resultado puede no ser un entero positivo. Por ejemplo, si restamos 5 menos 7 el resultado no es un entero positivo. Tampoco lo es el resultado de restar 5 menos 5. Para poder realizar estas operaciones tenemos que ampliar el conjunto de números que estamos considerando para incluir los enteros negativos y el cero.
Enteros El conjunto que incluye todos estos números, es decir, los naturales, el cero y los enteros negativos se conoce como el conjunto de los enteros y se denota por Z: Z = {..., 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... }. Ahora podemos sumar o restar enteros y el resultado será siempre otro entero. Esto nos permite resolver cualquier ecuación de la forma x + a = 0 dónde a es un número entero (a Z) y x es la incógnita. La solución de esta ecuación es x = a.
Enteros Consideremos ahora la operación de multiplicar dos números. Si multiplicamos enteros el resultado es otro entero, al igual que ocurre con las operaciones de suma y resta. Decimos por lo tanto que el conjunto de los números enteros es cerrado respecto de las operaciones de suma, resta y multiplicación. Sin embargo, si consideramos la operación de dividir dos números enteros, el resultado no siempre es otro entero. Por ejemplo, 4 dividido por 2 es 2, que es entero, pero 2 dividido por 4 no es un número entero.
Racionales De nuevo, si queremos realizar la operación de dividir dos enteros cualesquiera debemos considerar otro conjunto de números, más amplio que el conjunto de los enteros, que se conoce como el conjunto de los números racionales y se denota por la letra Q. Este conjunto está formado por todos los cocientes de números enteros: { a } Q = b : a, b Z. Q contiene a los números enteros; basta tomar b = 1 en el cociente que aparece en la definición.
Racionales Q es cerrado respecto de las operaciones de suma, resta, multiplicación y división. Por lo tanto, dentro de este conjunto podemos resolver cualquier ecuación lineal con coeficientes racionales, es decir, ecuaciones de la forma ax + b = 0 para a, b Q. Los números racionales tienen una característica importante cuando vemos sus desarrollos decimales. La parte decimal de un número racional o es finita o tiene un patrón que se repite indefinidamente. Por ejemplo 1/4 = 0.25, 1/3 = 0.3333... y 20/11 = 1.818181....
Pudiéramos pensar que con este conjunto tendríamos suficiente para todas las operaciones que queremos hacer pero si intentamos resolver ecuaciones con términos no lineales tendremos problemas. Por ejemplo, si queremos resolver x 2 = 2, la solución no es un número racional. Esto no es tan fácil de ver como en los ejemplos anteriores pero este era un hecho conocido por los matemáticos griegos. La demostración que presentamos a continuación aparece en los libros de Euclides y es una demostración por contradicción o reducción al absurdo.
Supongamos que la solución de esta ecuación es un número racional, es decir que existen a, b enteros tales que (a/b) 2 = 2. Podemos suponer que a y b no tienen factores comunes. Despejando obtenemos Por lo tanto a 2 es un número par. a 2 = 2b 2. (1) Como consecuencia a también es par, porque los cuadrados de números impares no pueden ser pares.
Como a 2 es par, existe un entero k tal que a 2 = 2k. Sustituyendo en la ecuación (1) obtenemos que 4k 2 = 2b 2 o equivalentemente b 2 = 2k 2. El mismo argumento anterior nos dice ahora que b también es par y en consecuencia tanto a como b son pares. Pero habíamos supuesto que a y b no tenían factores comunes. Esta contradicción muestra que no existe ningún número racional x que sea solución de la ecuación x 2 = 2.
Para poder resolver esta ecuación es necesario ampliar el conjunto de números e incluir, además de los racionales a los llamados números irracionales. Los números irracionales son aquellos cuyo desarrollo decimal no termina (o sea que su desarrollo decimal es infinito) y tampoco tiene un patrón que se repite. Ejemplos de números irracionales son 2 y π. Es posible demostrar que todo número irracional se puede obtener como límite de una sucesión de números racionales, pero como aún no hemos introducido la idea de límite, no podemos profundizar en esta idea.
Este conjunto ampliado, que incluye tanto a los racionales como a los irracionales se conoce como los números reales, se denota por el símbolo R y va a ser el conjunto con el cual vamos a trabajar. Una propiedad fundamental de los números reales es que están ordenados, es decir, existe una relación de orden que denotamos por < tal que dados dos números reales x, y cualesquiera, siempre se tiene que una y sólo una de las relaciones x < y; x = y; y < x, es cierta. Esta relación es transitiva: si x < y, y < z entonces x < z. Además si x < y entonces 0 < y x.
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Una noción fundamental en Cálculo es la de función. Definición Una función es una regla que a cada elemento a de un conjunto A le asocia un único elemento f (a) en un conjunto B. El conjunto A se conoce como el dominio de la función f y B es el codominio o conjunto de llegada de la función f. Usamos la siguiente representación simbólica para una función de A a B: f : A B Decimos que el valor de la función f (a) es la imagen de a por la función f. El recorrido de f es el conjunto de valores que toma la función
Aunque en la definición los conjuntos A y B pueden ser cualesquiera, en lo que sigue vamos a considerar funciones que están definidas entre conjuntos de números. Veamos algunos ejemplos. 1 La función f : R R definida por la fórmula f (x) = x le asocia a cada número real, el mismo número real. Se conoce como la función identidad. 2 La función f (x) = 2x asocia a cada número real, el doble de su valor.
3 La función f (x) = x 2 es una función que va de los números reales a los números reales positivos. En este caso todo número real tienen una única imagen (el dominio de la función es el conjunto de los números reales) pero dos números reales distintos pueden tener la misma imagen. Por ejemplo, f ( 2) = f (2) = 4. Esto está permitido por la definición. Observamos que no todos los números reales son imagen de otro número real, es decir, que el recorrido no es el conjunto de los números reales sino un subconjunto, el de los números reales positivos, que denotamos por R +.
4 La relación x 2 + y 2 = 4 define una circunferencia de radio 2, pero la variable y no es una función de x porque para cada valor de x hay dos valores de y asociados: Tenemos que y 2 = 4 x 2 y por lo tanto para 2 < x < 2, y = ± 4 x 2.
Con frecuencia sólo damos una fórmula para definir una función, por ejemplo, decimos que f (x) = 3x + 5 o g(x) = x 5. En estos casos está implícito que el dominio de la función es el conjunto de números reales en el cual la fórmula que define la función tiene sentido. La función f está definida en todo R porque a cualquier número real lo podemos multiplicar por 3 y sumarle 5, sin embargo en el caso de g tenemos que tener en cuenta que las raíces de números negativos no están definidas (dentro de los números reales; hay que introducir los números imaginarios para poder hacer esto).
Por lo tanto es necesario que x 5 sea positivo, es decir, x 5 0 y x 5. Así vemos que el dominio de esta función es el conjunto de los reales que son mayores o iguales a 5: Dom(f ) = {x R : x 5}. Este conjunto con frecuencia se conoce como el dominio natural de la función g.
Representación Gráfica La gráfica de una función es la representación gráfica respecto de un sistema de coordenadas cartesianas de la colección de pares ordenados (x, f (x)). Esta representación generalmente es una curva en el plano xy, aunque en ocasiones la representación puede ser más complicada. Veamos algunos ejemplos.
Representación Gráfica 1 La gráfica de la función f (x) = 0.5x 1 es una recta con pendiente 0.5 e intercepto -1. Su gráfica es 1 2
Representación Gráfica 1 La gráfica de f (x) = x 2 es una parábola que pasa por el origen y se abre hacia arriba. Su gráfica es la siguiente 1 1 1
definidas a trozos En todos los ejemplos que hemos visto el dominio de la función es un intervalo, posiblemente infinito, pero esto no siempre es así. El dominio de una función puede ser la unión de intervalos disjuntos o incluso conjuntos más complicados. En general, aunque no siempre, este tipo de funciones requiere dos o más fórmulas para su definición. Veamos algunos ejemplos de las situaciones que se presentan
definidas a trozos 1 La función definida por { x 1 para x < 0, f (x) = x + 1 para x 0. es una función definida a trozos. f(x) 4 2 0 2 4 3 1 0 1 2 3 x
definidas a trozos 2 La función f (x) = x se puede escribir más explícitamente como f (x) = { x si x 0 x si x < 0. f(x) 1 0 1 2 3 3 1 0 1 2 3 x
definidas a trozos 3 La función f (x) = x 2 4 está definida sólo si x 2 4 0, es decir, si x 2 o x 2, y estos intervalos son disjuntos y no son contiguos. f(x) 0 2 4 6 6 2 0 2 4 6 x
inyectivas, sobreyectivas y biyectivas Definición Una función f : A B es inyectiva si dados dos elementos x, y en el dominio de f con x y se tiene que f (x) f (y). La definición nos dice que elementos distintos del dominio tienen imágenes distintas y es equivalente a la siguiente condición: Dados dos puntos x, y en el dominio, si f (x) = f (y) entonces necesariamente x = y.
Ejemplo inyectivas, sobreyectivas y biyectivas 1 La función f (x) = 2x 3 es inyectiva porque si x y, también se tiene que 2x 2y y de manera similar 2x + 3 2y + 3. 2 En cambio la función f (x) = x no es inyectiva porque f ( 1) = f (1) = 1. f(x) 5 0 5 10 f(x) 1 0 1 2 3 4 2 0 2 4 3 1 0 1 2 3 x x
inyectivas, sobreyectivas y biyectivas Definición Una función f : A B es sobreyectiva si todo elemento de B es imagen de un elemento de A, es decir, para todo y B existe x A tal que y = f (x). Una función es biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva. Una función es sobreyectiva si el recorrido de la función es igual al conjunto de llegada o codominio de la función. Una función f : A B es biyectiva si todos los elementos de A tienen una única imagen en B y todo elemento de B es imagen de algún elemento de A.
inyectivas, sobreyectivas y biyectivas 1 La función f : R R definida por f (x) = ax + b con a 0 es sobreyectiva porque dado cualquier número real y, podemos ver que y es la imagen según f de x = (y b)/a: f (x) = ax + b = a y b a + b = y Como f también es inyectiva, vemos que es biyectiva. 2 La función f : R R definida por f (x) = x 2 no es inyectiva porque f ( 1) = f (1) y tampoco es sobreyectiva porque ningún número negativo es imagen de otro número real según esta función.
inyectivas, sobreyectivas y biyectivas 3 Si restringimos el dominio de la función del ejemplo anterior a los números positivos f : R + R, obtenemos una función inyectiva, porque ahora la imagen de cada número positivo es única, pero no es sobreyectiva por la misma razón del ejemplo anterior. Si modificamos el codominio de la función y consideramos f : R + R + entonces la función es inyectiva y sobreyectiva, y por lo tanto es biyectiva.
Paridad Definición Una función f es par si su gráfica es simétrica respecto al eje y, o equivalentemente si f ( x) = f (x) para todo x en el dominio de f. Una función f es impar si su gráfica es simétrica respecto al origen, o equivalentemente si f ( x) = f (x), para todo x en el dominio de f.
Paridad 1 La función f (x) = x es un ejemplo de una función par pues si x > 0, f ( x) = x = f (x). Tambíén lo es la función f (x) = x 2 y en general las potencias pares: f (x) = x 2k, para k N. 2 La función f (x) = x es una función impar pues f ( x) = x = f (x). También lo son todas las potencia impares: f (x) = x 2k 1 para k N. 3 Hay funciones que no son pares ni impares, como por ejemplo f (x) = 2x 1, ya que no satisface ninguna de las dos condiciones que aparecen en la definición: f ( x) = 2x 1 2x 1 = f (x) f ( x) = 2x 1 2x + 1 = f (x).
Paridad La gráfica de una función par es simétrica respecto al eje y: Una gráfica es simétrica respecto al eje y si cada vez que un punto (x, y) está en la gráfica, el punto ( x, y) también lo está. Recordemos que la gráfica de una función f está dada por la colección de puntos (x, y) con y = f (x). Si la función es par y tomamos un punto cualquiera (x, f (x)) sobre su gráfica, teniendo en cuenta que f ( x) = x vemos que el punto ( x, f ( x)) = ( x, f (x)) también está sobre la gráfica, de modo que ésta es simétrica.
Paridad En cambio, la gráfica de una función impar es simétrica respecto al origen de coordenadas. Una gráfica tiene esta propiedad si dado cualquier punto (x, y) en la gráfica, el punto ( x, y) también está en la gráfica. Geométricamente esta propiedad quiere decir que si unimos con una recta al origen con el punto (x, y) de la gráfica, hay otro punto de la gráfica que se encuentra sobre esta misma recta y a la misma distancia que (x, y) del origen, pero en dirección contraria. No es difícil ver que este punto es ( x, y).
Paridad Consideremos ahora la gráfica de una función impar y recordemos que la propiedad que caracteriza a estas funciones es que f ( x) = f (x). (2) El punto (x, f (x)) está en la gráfica de esta función para toda x en el dominio de la función. Pero usando la ecuación (2) vemos que ( x, f (x)) también está en la gráfica y por lo tanto ésta es simétrica respecto al origen. Observamos además que si el origen está en el dominio de la función, la gráfica de la función tiene que pasar por él.
Monótonas Definición Decimos que la función f es creciente si se tiene que f (x) f (y) siempre que x y. f es estrictamente creciente si la desigualdad x < y implica que f (x) < f (y). Decimos que la función f es decreciente si se tiene que f (x) f (y) siempre que x y. f es estrictamente creciente si la desigualdad x < y implica que f (x) > f (y). En cualquiera de los casos anteriores decimos que f es una función monótona. Si f es estrictamente creciente o estrictamente decreciente decimos que es estrictamente monótona.
Monótonas 1 Si f es una función lineal: f (x) = ax + b con a, b R entonces f es estrictamente creciente si a > 0, estrictamente decreciente si a < 0 y es constante si a = 0. a>0 a<0 a=0 f(x) 5 0 5 10 4 2 0 2 4 f(x) 5 0 5 10 4 2 0 2 4 f(x) 0.5 0.5 1.0 1.5 4 2 0 2 4 x x x
Monótonas 1 La función f (x) = x 2 no es monótona. Si restringimos el dominio de la función a los reales negativos entonces es estrictamente decreciente, mientras que si restringimos el dominio a los reales positivos la función es creciente. Algo similar ocurre con la función f (x) = x. f(x) 0 5 10 15 f(x) 1 0 1 2 3 4 2 0 2 4 3 1 0 1 2 3 x x
Monótonas 1 En general, la función f (x) = x n es creciente si n es impar mientras que para n par la función no es monótona. En este último caso se presenta una situación análoga a la del ejemplo anterior: la función es creciente para x 0 y decreciente para x 0
Monótonas Una función estrictamente monótona es inyectiva porque si x y, por las propiedades de los números reales o bien x < y o y < x. Supongamos que este último es el caso y que la función es estrictamente creciente, entonces y f (x) f (y). y < x f (y) < f (x) Un argumento similar muestra el resultado en los otros casos
Polinomios Definición Un polinomio o una función polinomial f es una función de la forma f (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 donde a i R para i = 0, 1,..., n. Si a n 0 decimos que f tiene grado n. Observamos que un polinomio tiene como dominio al conjunto de los números reales. Si el grado del polinomio es impar entonces el recorrido de la función también es el conjunto de los números reales. Si el grado es par entonces el recorrido es solo un subconjunto de los números reales.
Polinomios Ejemplo La función f (x) = x 3 x es un polinomio de grado 3 mientras que g(x) = x 18 3x 9 + 2 es un polinomio de grado 18. Definición Si g y h son polinomios, decimos que la función es una función racional. f (x) = g(x) h(x) Observamos que una función de este tipo sólo estará definida si el denominador no se anula, de modo que el dominio de f excluye los puntos en los cuales h(x) = 0, o sea, las raíces del polinomio h.
Polinomios Consideremos la función f (x) = 1 x 2 + a Veamos cuál es el dominio de f. Esta función está definida para todos los números reales x excepto cuando x 2 + a = 0. Por lo tanto necesitamos hallar las raíces de este polinomio. Hay tres casos: Si a > 0 entonces la ecuación x 2 = a no tiene raíces reales y por lo tanto x 2 a no se anula para ningún x R, de modo que la función f está definida para todos los números reales.
Polinomios Si a = 0 la ecuación x 2 + a = 0 tiene una única solución x = 0. Por lo tanto el dominio de f es el conjunto de los números reales distintos de 0. Si a < 0 la ecuación x 2 = a tiene dos soluciones, x = ± a, de modo que el dominio de f es el conjunto de los números reales excepto = ± a. a>0 a=0 a<0 f(x) 0 5 10 15 f(x) 0 5 10 15 f(x) 0 5 10 15 4 2 0 2 4 x 4 2 0 2 4 x 4 2 0 2 4 x
Transformaciones de Veamos cuál es el resultado de hacer una transformación lineal sobre el argumento o sobre una función dada f. Sea c > 0 y consideremos inicialmente las traslaciones. Si definimos g(x) = f (x c), la gráfica de g se obtiene trasladando la gráfica de f c unidades a la derecha. En cambio la gráfica de g(x) = f (x + c) se obtiene trasladando la gráfica de f c unidades a la izquierda.
f(x+1) Transformaciones de f(x 1) f(x) 15 5 5 15 f(x) 15 5 5 15 3 1 0 1 2 3 3 1 0 1 2 3 x x f(x) f(x) 15 5 5 15 3 1 0 1 2 3 x
Transformaciones de Si la traslación se aplica a la función en lugar del argumento, el resultado es distinto. La gráfica de la función g(x) = f (x) + c se obtiene trasladando c unidades hacia arriba la gráfica de f y la gráfica de g(x) = f (x) c corresponde a trasladar la gráfica de f c unidades hacia abajo.
f(x) 5 Transformaciones de f(x)+5 f(x) 15 5 5 15 f(x) 15 5 5 15 3 1 0 1 2 3 3 1 0 1 2 3 x f(x) x f(x) 15 5 5 15 3 1 0 1 2 3 x
Transformaciones de Sea f una función y c > 1 una constante. La gráfica de g(x) = f (cx) se obtiene comprimiendo horizontalmente la gráfica de f por un factor de c unidades. La gráfica de g(x) = f (x/c) se obtiene estirando horizontalmente la gráfica de f por un factor de c unidades.
f(1.5x) Transformaciones de f(x/1.5) f(x) 50 0 50 f(x) 2 1 0 1 2 3 1 0 1 2 3 3 1 0 1 2 3 x f(x) x f(x) 15 5 5 15 3 1 0 1 2 3 x
Transformaciones de La gráfica de g(x) = cf (x) se obtiene estirando verticalmente la gráfica de f por un factor de c unidades. La gráfica de g(x) = f (x)/c se obtiene comprimiendo verticalmente la gráfica de f por un factor de c unidades.
5f(x) Transformaciones de f(x)/5 f(x) 15 5 5 15 f(x) 15 5 5 15 3 1 0 1 2 3 3 1 0 1 2 3 x f(x) x f(x) 15 5 5 15 3 1 0 1 2 3 x
Composición de Definición Sean f y g funciones tales que los valores de f caen dentro del dominio de g, de modo que tiene sentido considerar el valor de g en f (x) para cualquier x. Definimos la composición de g y f, que se denota por g f por (g f )(x) = g(f (x)).
Composición de 1 Sean f (x) = ax para a R y g(x) = x + b para b R, entonces la composición de g y f es (g f )(x) = g(f (x) = g(ax) = ax + c que es una transformación lineal. Si hacemos la composición en el orden inverso obtenemos (f g)(x) = f (g(x) = f (x + c) = a(x + c) y vemos que el resultado es diferente, de modo que la composición de funciones no es conmutativa.
Composición de 2 Sean f (x) = x y g(x) = 2x + 3. Observamos que la función f sólo está definida para x 0 mientras que g está definida para todo x R. El resultado de la composición g f es la función (g f )(x) = 2 x + 3 que está definida para x 0. Si buscamos componer las funciones en el orden inverso queremos que la raíz cuadrada de ax + b esté definida, y por lo tanto tenemos que restringirnos los valores de x para los cuales 2x + 3 0, o sea x 3/2. En este conjunto tenemos (f g)(x) = 2x + 3, para x 3/2.
Trigonométricas Las funciones trigonométricas tienen su origen en el estudio de los triángulos rectángulos. Las principales funciones trigonométricas son el seno, el coseno y la tangente y sus funciones inversas, arcoseno, arcocoseno y arcotangente. Veamos la definición de las tres primeras.
Trigonométricas h x a b Consideremos un triángulo rectángulo como el de la figura con hipotenusa de longitud h y sea x el valor en radianes del ángulo de la base del triángulo opuesto al angulo recto, definimos sen x = b h ; cos x = a h ; tan x = b a = sen x cos x.
Trigonométricas Algunas identidades trigonométricas importantes son sen( x) = sen x; cos( x) = cos x; tan( x) = tan x; sen 2 x + cos 2 x = 1. La función seno La función coseno sin(t) 1.0 0.0 0.5 1.0 10 5 0 5 10 cos(t) 1.0 0.0 0.5 1.0 10 5 0 5 10 t t
Función Exponencial Definición Dado un número a > 0, la función exponencial con base a es la función f (x) = a x. El dominio es el conjunto de los números reales mientras que el recorrido es el conjunto de los números reales (estrictamente) positivos. Si a > 1 la función f es estrictamente creciente mientras que si a < 1 la función es estrictamente decreciente. Si a = 1 entonces f (x) = 1 para todo x y la función es constante.
Función Exponencial La función exponencial con base a satisface las siguientes propiedades, que son consecuencia de las propiedades de la operación de potenciación de números reales. 1 a r a s = a r+s, es decir, f (r)f (s) = f (r + s). 2 a r /a s = a r s, es decir, f (r)/f (s) = f (r s). 3 (a r ) s = a rs, es decir (f (r)) s = f (rs). 4 a 0 = 1, es decir f (0) = 1.
Función Exponencial La siguiente figura muestra la gráfica de las funciones exponenciales con bases 2 y 1/2. Función exponencial f(x) 0 2 4 6 8 a=2 a=1/2 3 2 1 0 1 2 3 x
Función Exponencial La función exponencial se puede definir con cualquier base a > 0 pero hay un valor de a que juega un papel muy especial en el cálculo y en las matemáticas en general, que es el número de Euler, denotado por la letra e. Este número usualmente se define como el límite de una sucesión, e = lim (1 + 1 ) n n n y su valor es aproximadamente 2.7182818.... Si hablamos de la función exponencial sin especificar la base, se sobreentiende que la base es el número e.
Función Exponencial Para denotar la función escribimos f (x) = e x o también f (x) = exp(x). Al igual que en el caso general tenemos las siguientes propiedades 1 e r e s = e r+s. 2 e r /e s = e r s. 3 (e r ) s = e rs. 4 e 0 = 1. 5 Como e > 1 la función e x es estrictamente creciente.
Inversas Definición Sea f una función con dominio A y recorrido B, f : A B. Decimos que la función g con dominio B y recorrido A, g : B A es una inversa de f si para todo x A y = f (x) si y sólo si x = g(y). Como x A, x tiene una imagen según f. Como B es el recorrido de f, todos los elementos de B son imagen de algún elemento x del dominio A. Esto último nos dice que la función f es sobreyectiva.
Inversas Supongamos que f tiene una inversa g y veamos que f necesariamente es inyectiva: Supongamos que x y pero f (x) = f (y) = z B. Como x A y f (x) = z, por la definición vemos que g(z) tiene que ser igual a x. Análogamente como y A y f (y) = z, g(z) = y. Pero x y de modo que g toma dos valores distintos en z y en consecuencia no es una función. Esta contradicción muestra que f tiene que ser inyectiva.
Inversas En consecuencia una función con inversa tiene que ser biyectiva. Recíprocamente, si una función es biyectiva, entonces tiene una función inversa ( puedes demostrar esto?).
Inversas A partir de la definición vemos que (g f )(x) = g(f (x)) = g(y) = x, de modo que g f es la identidad en A: (g f )(x) = x para todo x A. De manera similar (f g)(y) = f (g(y)) = f (x) = y, de modo que f g es la identidad en B. La notación usual para la función inversa de f es f 1.
Inversas Si f es una función estrictamente creciente, entonces es inyectiva y es sobreyectiva si consideramos que su codominio es el recorrido de la función. Por lo tanto esta función es biyectiva y tiene una inversa. Es posible demostrar que esta inversa también es estrictamente creciente. De manera similar una función estrictamente decreciente tiene inversa y esta inversa es estrictamente decreciente.
Inversas 1 La función f (x) = x n para n es impar es estrictamente creciente y por lo tanto tiene una inversa que denotamos por f 1 (y) = y 1/n, la n-ésima raíz de y. 2 La función f : R + R + definida por f (x) = x 2 tiene función inversa g : R + R +, g(y) = y. inversas f(x) 0.0 0.4 0.8 1.2 0.0 0.4 0.8 1.2 x
Inversas 3 La función f (x) = x n para n par no es inyectiva porque tenemos que f ( x) = ( x) n = x n = f (x). Sin embargo, si restringimos el dominio de la función a x 0 como hicimos en el ejemplo anterior, la función es estrictamente creciente y tiene una inversa f 1 (y) = y 1/n. Para ambas funciones el dominio y recorrido es el conjunto de los reales positivos R +.
Logaritmo Definición Sea a un número real positivo. El logaritmo con base a: f (x) = log a (x) es la función inversa de la función exponencial g(x) = a x. El logaritmo natural f (x) = ln(x) es la función inversa de la exponencial con base e, g(x) = e x. En general vamos a considerar sólo el logaritmo natural y usaremos las notaciones ln(x) o log(x) indistintamente.
Logaritmo Esta función tiene las siguientes propiedades El dominio de la función logaritmo son los números reales positivos mientras que su recorrido son todos los números reales. Se tiene que log(e x ) = x y e log x = x. La función logaritmo es estrictamente creciente. Tenemos que log(xy) = log(x) + log(y), log(x/y) = log(x) log(y), log(x s ) = s log(x)