CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN Mg. Amancio R. Rojas Flores
Un circuito de segundo orden se caracteriza por una ecuación diferencial de segundo orden. Consta de elementos R, L y C
VALORES INICIALES Y FINALES DE LAS VARIABLES DE LOS CIRCUITOS Puntos a a tener presente en la determinación de las condiciones iniciales. Se debe tener cuidad la polaridad de la tensión v (t) en el capacitor y la dirección de la corriente i (t) a través del inductor. Tener presente que: La tensión del capacitor siempre es continua v( o ) v( o La corriente del inductor siempre es continua i( o ) i( o ) )
Ejemplo 1 El interruptor en la figura ha estado cerrado mucho tiempo. Se abre en t = 0 Hallar:
Solución a) Si el interruptor esta cerrado mucho tiempo antes de t = 0 esto significa que el circuito ha llegado al estado estable de cd en t =0. en el estado estable de CD - El inductor actúa como un cortocircuito - El capacitor actúa como un circuito abierto Entonces tenemos el circuito de la figura (a) 12 i( o ) 2A 4 2 v( o ) 2i( o ) 4v Dado que la corriente del inductor y la tensión del capacitor no pueden cambiar abruptamente i( o ) i( o ) 2A v( o ) v( o ) 4v
b) En t=0 +, el interruptor esta abierto ; el circuito equivalente se muestra en la fig. tanto por el inductor como por el capacitor fluye la misma corriente. Así i c ( o ) i( o ) 2A dado que i c C dv dt dv dt ic C dv(0 ) ic (0 ) 2 20V / s dt C 0.1 de igual manera v L d i L dt di dt vl L Se obtiene v L aplicando la LTK al lazo de la figura (b) d i( o ) vl ( o ) 0 por lo tan to 0A/ dt L 25 s
c) Para t>0, el circuito pasa por un trasiente. Pero como t, llega otra vez al estado estable. El inductor actúa como un cortocircuito y el capacitor como circuito abierto, de modo que el circuito de la fig (b) se convierte en el que aparece en la fig(c), del que se tiene i( ) 0A v( ) 12V
Practica1 El interruptor de la figura estuvo abierto mucho tiempo, pero se cerro en t=0 hallar:
Ejemplo 2 En el circuito de la figura calcular Solución a) Para t<0, 3u(t) =0. En t = 0 -, dado que el circuito ha llegado al estado estable, el inductor puede remplazarse por un cortocircuito, mientras que el capacitor se remplaza por un circuito abierto, como se ve en la figura
Para t>0, 3u(t)=3, así que ahora el circuito es el equivalente al de la figura. Puesto que la corriente del inductor y la tensión del capacitor no pueden cambiar abruptamente i L v c ( o ( o ) i L ) v ( o c ( o ) 0 ) 20V La aplicación de la LCK al nodo a de la figura da..(2)..(3) Aplicamos la LTK al lazo intermedio de la figura b da:..(4) como vc ( o ) 20V De la ecuación (2), la ecuación (4) implica que..(5) De la ecuación (3), y (5) se obtiene
d i b) Puesto que v L L dt La aplicación de la LTYK a la malla derecha de la figura da como resultado De ahí que dv de igual manera como i c C dt Aplicamos la LCK al nodo b para obtener i c dado que v0(0 ) 4, il (0 ) 0, ic (0 ) 4 / 4 1A d vr o ) para obtener dt ( La aplicación de la LCK al nodo a produce Al tomar la derivada de cada termino y establecer t = 0 + se obtiene (10)
También se aplica la LTK al lazo intermedio de la figura (b) de lo que resulta Al tomar la derivada de cada termino y establecer t = 0 + se obtiene d vc ( o ) la sustitución 2, dt da (11) De las ecuaciones (10) y (11) se obtiene
Como t, el circuito llega al estado estable. Asi se tiene el circuito equivalente de la figura (a), salvo que ahora esta en operación la fuente de corriente de 3A. Por la regla de división de corriente
Practica 2 En referencia al circuito de la figura, hallar
CIRCUITO RLC EN SERIE Sea el circuito mostrado en la figura. Este circuito se excita con energía almacenada en el capacitor y el inductor. Tal energía esta representada por la tensión inicial del capacitor V 0 y la corriente inicial del inductor I 0. Así en t = 0 1 v(0) C i(0) I 0 0 idt V Al aplicar la LTK en la malla de la figura 0 (2) Ri L 1 C t idt Para eliminar la integral, se deriva con respecto a t y se reordenan los términos 2 d i 2 dt R L di dt i LC 0 di dt (4) 0 (3)
Resolver la ecuación diferencial de segundo orden requiere que haya dos condiciones iniciales, como el valor inicial de i y de su primera derivada o el valor inicial de algunas i y v. El valor inicial de i se da en la ecuación (2b). Se obtiene el valor inicial de la derivada de i de las ecuaciones (2a) y (3) O sea (0) ( 0) di Ri L V 0 dt di(0) 1 ( RI 0 V 0 ) dt L 0 (5) Con las dos condiciones iniciales en las ecuaciones (2b) y (5), ahora se puede resolver la ecuación (4). Con la experiencia sobre circuitos de primer orden, indica que la solución es de forma exponencial. i st Ae (6) Donde A y s son contantes a determinar
De la sustitución de la ecuación (6) en la ecuación (4) y de la realización de las derivaciones necesarias se obtiene (7) (8) Esta ecuación cuadrática se conoce como ecuación característica de la ecuación diferencial (4), ya que sus raíces dictan el carácter de i, las dos raíces de la ecuación (8) son (9)
Una forma mas compacta de expresar estas raíces es: (10) donde Las raíces s 1 s 2 se denominan frecuencias naturales, medidas en nepers por segundo (Np/s), porque se asocian con la respuesta natural del circuito 0 se conoce como frecuencia resonante, o mas estrictamente como frecuencia natural no amortiguada. Expresada en radianes por segundo (rad/s), es la frecuencia neperiana o factor de amortiguamiento, expresada en nepers por segundo. En términos de y 0, la ecuación (8) puede escribirse como.
Los dos valores de s en la ecuación (10) indican que hay dos posibles soluciones para i, cada una de las cuales es de la forma de la supuesta solución en la ecuación (6), es decir Como la ecuación (4) es una ecuación lineal, cualquier combinación lineal de las dos distintas soluciones i 1 e i 2 también es una solución de la ecuación (4). Una solución completa o total de la ecuación (4) requeriría por lo tanto una combinación lineal de i 1 e i 2. Así la respue4sta natural del circuito RLC en serie es: (13) Donde las constantes A 1 A 2 se determinan a partir de los valores iniciales de i(0) y di(0)/dt en las ecuaciones (2b) y (5) De la ecuacion (10) se puede inferir que hay tres tipos de soluciones 0 0 0, sobreamortiguado, críticamente amortiguado, amortiguado
caso sobreamortiguado ( ) 0 (Cuando las rices de la ecuación característica del circuito son diferentes y reales ) Con base en las ecuaciones (9) y (10). > 0 implica que C=4L/R 2, cuando esto sucede, las raíces s 1 y s 2 son negativas y reales. La respuesta es:
caso criticamente Cuando = 0, C= 4L/R 2 amortiguado ( ) 0 ( cuando las raíces son iguales y reales) En este caso, la ecuación (13) da por resultado Donde A 3 = A 1 + A 2,. Esta no puede ser la solución, porque las dos condiciones iniciales no pueden satisfacer con la condición sencilla A 3 La suposición de una solución exponencial es incorrecta para el caso especial de amortiguamiento critico. Usamos la ecuación (4). Cuando = 0 =R/2L. La ecuación (4) se convierte en: O sea (16) Haciendo (17) La ecuación (16) se convierte en
La cual es una ecuación diferencial de primer orden con solución Donde A 1 es una constante. La ecuación (17) se convierte entonces en O sea f 1 A e t (18) Esta puede escribirse como La integración de ambos miembros produce O sea (20) Donde A 2 es otra constante. Así, la respuesta natural del circuito críticamente amortiguado es una suma de dos términos: una exponencial negativa y una exponencial negativa multiplicada por un termino lineal, o sea
caso subamortiguado ( ) 0 ( cuando las raíces son complejas) Cuando < 0, C< 4L/R 2 Las raíces pueden escribirse como (22) donde j 2 1 y d 2 0 La cual se llama frecuencia de amortiguamiento Tanto 0 como d son frecuencias naturales, porque contribuyen a determinar la respuesta natural La respuesta natural es 0 suele llamarse frecuencia natural no amortiguada d suele llamarse frecuencia natural amortiguada (23)
Usando las identidades de Euler Se obtiene (24) (25) Al remplazar las constantes (A 1 +A 2 ) y j(a 1 -A 2 ) por las constantes B 1 y B 2, se escribe
CIRCUITO RLC EN PARALELO Sea el circuito RLC en paralelo, que se representa en la figura. Suponiendo que la corriente inicial del inductor I 0 y la tensión inicial del capacitor V 0 (27) Puesto que los tres elementos están en paralelo, tienen la misma tensión v en sus extremos. De acuerdo con la convección pasiva de los signos, en cada elemento entra corriente; esto es, la corriente a través de cada elemento sale por el nodo superior. Así la aplicación de la LCK al nodo superior nos da. (28)
Al tomar la derivada respecto a t y dividir entre C resulta (29) Se obtiene la ecuación característica remplazando la primera derivada por s y la segundad derivada por s 2. Siguiendo el mismo razonamiento que el utilizado al establecer las ecuaciones (4) y (8), la ecuación característica se obtiene como (30) Las raíces de la ecuación características son o sea s 2 2 1,2 0 (31) Donde (32)
caso sobreamortiguado ( ) 0 A partir de la ecuación (32) 0, L 4R Las raíces de la ecuación característica son reales y negativas. La respuesta es 2 C caso críticamente amortiguado ( ) 0 Para 0, L 4R Las raíces son reales e iguales, así que la respuesta es 2 C
caso subamortiguado cuando 0, L 4R ( ) 0 En este caso las raíces son complejas y pueden expresarse como La respuesta es 2 C donde Las constantes A 1 A 2 pueden determinarse en cada caso con base en las condiciones iniciales. Se necesita v (o) dv(0)/dt. El primer termino se conoce a partir de la ecuación (27b). El segundo se halla combinando las ecuaciones (27) y (28), en esta forma O sea
Problema 1 Dado el circuito que se muestra en la Figura 8.1, que ha permanecido así durante mucho tiempo, encontrar: V ( 0), VC 2(0), il 1(0), y i 2(0) C1 L
Solución Cuando un circuito alcanza el estado de equilibrio, un inductor se parece a un corto circuito y un condensador se ve como un circuito abierto. Por lo tanto, utilizamos el siguiente circuito para encontrar los valores iniciales. Usamos transformaciones de fuente para simplificar el circuito.
Ahora es evidente que Usamos análisis nodal para hallar V 1, V 2, y V 3 En el nodo 1 En el nodo 2 En el nodo 3
Sustituyendo la ecuación del nodo 2 en la ecuación del nodo 1 V1 25 Entonces V2 12. 5V 2 2 Por lo tanto
Problema 2 Dado el circuito de la figura 8.1, que ha alcanzado el estado estacionario antes de que el interruptor se cierra, encontrar i (t) para todo t > 0. Solución Usamos la LTK para escribir la ecuación de malla para t > 0
Multiplicando por 1/L y derivando con respecto al tiempo Reordenando los términos y la inserción de los valores de R, L y C, asumiendo una solución de Ae st por lo tan to ( S 1)( S 2) 0 que da raíces reales y desiguales en S 1 1 y S2 2 por lo tan to i( t) A e 1 t A e 2 2t
En t = 0 + el circuito es por lo tan to i(0) tambien V di(0) y dt por lo tan to L A 1 A 2 o A 2 A di(0) di(0) ( 0 ) 10 10 o 1 dt dt A e 0 0 1 2A2e A1 2 1 A A 1 2A2 A1 2 2 A 1 1 A 1 luego A 1 1 y A2 1