1 LA DERIVADA EN EL TRAZADO DE CURVAS Significados de los signos de la Primera y Segunda derivada. Plantearemos a través del estudio del signo de la primera derivada, las condiciones que debe cumplir una función para que sea constante, creciente o decreciente. Veremos que si el gráfico de una función sube o baja depende directamente del signo de la primera derivada. Teorema Sea f una función continua en a, b y derivable en ( a, b ). Entonces: i) Si para todo, f es Creciente en a, b ii) Si para todo, f es Decreciente en a, b Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente o decreciente en dicho punto: Una función Una función es creciente en un punto a, si su derivada es positiva es decreciente en un punto a, si su derivada es negativa. f ( a) lím h0 f ( a h) h f ( a) 0 Tiene la siguiente interpretación geométrica: si la función f ( x ) es creciente en el intervalo a, b, la recta tangente a la curva, forma con el eje X un ángulo agudo f ( a) lím h0 f ( a h) h f ( a) 0 Si la función f ( x ) es decreciente en el intervalo a, b, la recta tangente a la curva forma con el eje X un ángulo obtuso Estudiar la monotonía de una función es hallar los intervalos en los que es creciente y decreciente Se procede de la siguiente forma: Se halla la derivada, se iguala a cero y se resuelve la ecuación resultante o Con los puntos en los que se anula la derivada dividimos el dominio en intervalos.
2 Se estudia el signo de la derivada en un punto cualquiera de cada uno de los intervalos resultantes. Determinar los intervalos de monotonía de la función: f ( x ) = x 3 3x + 1, x R Solución: Se debe realizar un estudio del signo de la primera derivada, lo que realizaremos con ayuda de una cuadro apropiado. f ( x ) = 3x 2 3x = 3 ( x 2 1 ) = 3 ( x + 1 )( x 1 ) Por lo tanto, f es Creciente en ( -, -1 y 1, + ) f es Estrictamente Decreciente en -1, 1 (ver gráfico de f ( x ) en la figura) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función 3 f ( x) x 2 6x 9x 2 Hallamos la derivada 2 f ( x) 3x 12 x 9 La igualamos a cero y resolvemos la ecuación resultante: 3x 2 12x 9 0 2 x 4x 3 0 4 16 12 4 2 3 x 2 2 1 Dividimos el dominio R por los puntos y y obtenemos los intervalos (,1), ( 1,3) y ( 3, ) Estudiamos el signo de la derivada en un punto cualquiera de cada intervalo: Para x = 0, f ( 0) 9, es decir, positiva Para x = 2, f ( 2) 3, es decir, negativa Para x = 4, f ( 4) 9, positiva La monotonía de la función queda reflejada en la siguiente tabla:
3 Intervalos (-, 1) (1, 3) (3, + ) Signo de la derivada + - + Función Máximos y mínimos. Son los puntos en que la función cambia de monotonía. Definición Diremos que una función f tiene un: Máximo Local ( o Relativo ) en x o si existe un intervalo abierto ( a, b ) que contiene a para todo x en Mínimo Local ( o Relativo ) en x o si existe un intervalo abierto ( a, b ) que contiene a para todo x en. Máximo Global ( o Absoluto ) en x o si f ( x o ) f ( x ) para todo x en Dom f Mínimo Global ( o Absoluto ) en x o si f ( x o ) f ( x ) para todo x en Dom f. Consideremos el gráfico de la siguiente función: y = x 3 + 3x 2 9x 10. tal que tal que Podemos observar que f tiene un: Máximo Local en x o = -3, Mínimo Local en x o = 2 Si una función derivable presenta un máximo o un mínimo en un punto c ( a, b) en
4 El mínimo o máximo de una función en un intervalo se llaman valores extremos o extremos de la función. Dónde ocurren los valores extremos? Los puntos claves en la teoría de máximos y mínimos son los llamados puntos críticos. Punto Crítico Sea f continua en a, b, se dice que es punto crítico si o si no existe. : Para f (x ) = x 3 3x + 1, x R del ejemplo 1) son puntos críticos los valores de y 3 2 Para f ( x) x 6x 9x 2 del ejemplo 2) son puntos críticos los valores de y CRITERIOS Para la determinación de máximos y mínimos podemos utilizar los siguientes criterios: Criterio de la primera derivada: Se determinan los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Existe máximo relativo en los puntos en que la función pasa de creciente a decreciente. Existe mínimo relativo en los puntos en que pasa de decreciente a creciente. Criterio de la segunda derivada: Calculamos la primera derivada, la igualamos a cero y resolvemos la ecuación resultante. Hallamos la segunda derivada. Las raíces de la ecuación obtenida se sustituyen en la segunda derivada. Si el resultado obtenido es positivo existe mínimo y si es negativo máximo. 2 3 Halla los máximos y mínimos de la función f ( x) 3x x Solución: Hallamos la primera derivada y resolvemos la ecuación f ( x) 0 :
5 f ( x) 3 3x 0 x 2 1 x 1 2ª derivada: f ( x) 6x Valores de la segunda derivada en los puntos obtenidos: f ( 1) 6( 1) 6 0 mínimo para x = - 1 f ( 1) 6.1 6 0 máximo para x = 1 Concavidad y convexidad. Otra característica cualitativa importante del gráfico de una función es su concavidad, la cual está vinculada estrechamente al signo de la segunda derivada. Definición Una curva es Cóncava hacia arriba o convexa si toda la curva está situada encima de la recta tangente en cualquier punto dado de la curva. ( figura ) Una curva es Cóncava hacia abajo si toda la curva está situada por debajo de la recta tangente en cualquier punto dado de la curva ( figura ) A continuación enunciaremos los criterios que permiten determinar la concavidad del gráfico de una función
6 Criterios para analizar concavidad Suponga que f ( x ) existe en un intervalo( a, b ). Entonces: Si f ( x ) > 0 es Cóncava hacia arriba en ( a, b ) Si f ( x ) 0 en ( a, b ), f es Cóncava hacia abajo en ( a, b ). Puntos de inflexión son aquellos en los que la función cambia de convexa a cóncava o de cóncava a convexa. Solución. Estudiar la concavidad del gráfico de la función f ( x ) = x 4 + 2x 3-36x 2 + 24x + 12 De acuerdo al criterio debemos estudiar el signo de la segunda derivada. f ( x ) = 4x 3 +6x 2 72x + 24 f ( x ) = 12x 2 + 12x 72 = 12 ( x 2 + x 6 ) = 12 ( x +3 )( x- 2 ) Por lo tanto el gráfico de la función dada es : Cóncava hacia arriba en (-00, -3 ) y en ( 2, +00 ) Cóncava hacia abajo en ( -3, 2 ) Notemos que f (-3 ) = 0 y f ( 2 ) = 0, además en x = -3 y x = 2 se produce un cambio de concavidad, por lo tanto, ( -3, f ( -3 ) ) y (2, f ( 2 ) ) son puntos de inflexión del gráfico de la función f ( x ).