MÓDULO 4 TRANSFORMACIONES DE COORDENADAS

MÓDULO 4 TRANSFORMACIONES DE COORDENADAS En muchos casos las ecuaciones caacteísticas de algunas cuvas son tan complejas que dificultan su análisis. Paa estas situaciones es necesaio ecui a técnicas que pemitan obtene ecuaciones equivalentes a las oiginales peo más sencillas. Definición 4.1 Una tansfomación es una opeación po la cual una elación, expesión o figua se cambia en ota siguiendo una ley dada. La ley mencionada anteiomente se expesa po una o más ecuaciones, llamadas ecuaciones de tansfomación. En la tansfomación de coodenadas se van a tata la taslación y otación de ejes en E y 3 E y las coodenadas polaes. En geneal, cuando un punto P( x, y, z ) es efeido a un oto sistema x' y ' z' utilizando las ecuaciones x f 1 ( x ', y ', z ') y f ( x ', y ', z ') (1) z f 3 ( x ', y ', z ') Se tiene una tansfomación de coodenadas en foma diecta. El sistema x y z se conoce como sistema pimitivo (S.P.) y el sistema x' y ' z' se llama nuevo sistema (N.S.) y se obtiene al tansfoma el pimeo de alguna manea. 1

Del sistema de ecuaciones (1) anteio, se puede obtene: x' g ( x, y, z) 1 y ' g ( x, y, z) () z' g ( x, y, z) que es el sistema de tansfomación de coodenadas en foma invesa. De las tansfomaciones en 3 n E se ocupa el cálculo vectoial. 4.1 TRASLACIÓN DE EJES Se entiende como la opeación de move los ejes coodenados a una posición difeente de manea que los nuevos ejes sean paalelos a los ejes oiginales y en misma diección. 4.1.1 Taslación de ejes en el plano La figua 4.1 ilusta la taslación de ejes del sistema x y, con oigen en el punto O, al sistema x' y ' con oigen en el punto O '. Paa obtene las ecuaciones de taslación se toma como efeencia un punto A. Figua 4.1. Taslación de ejes en el plano

Sean: R x, y OA : Vecto ada del punto A con especto al oigen O del sistema x y. R x, y O' A: Vecto ada del punto A con especto al oigen O ' del 1 1 1 sistema x' y '. R x, y OO ' : Vecto ada del oigen del nuevo sistema x' 0 0 0 especto al oigen del sistema x y. y ' con Entonces po suma de vectoes se obtiene: la cual es equivalente a R R0 R1 (3) x, y x, y x, y (4) 0 0 1 1 De la ecuación (4) po igualdad de vectoes esulta que x x1 x0 y y1 y0 (5) que son las ecuaciones paa la tansfomación diecta po taslación en Igualmente de (5) esulta x1 x x0 y1 y y0 (6) que son las ecuaciones paa la tansfomación invesa po taslación en E. E. 3

4.1. Taslación en el espacio En foma simila a como se obtuvieon en las ecuaciones de E, se logan las de 3 E (efeise a la figua 4..). Si x y z es el S.P. y x' y ' z ' el N.S. y se definen los vectoes adaes de manea semejante, entonces Figua 4.. Taslación en el espacio po suma de vectoes, R R0 R1 que es equivalente a x, y, z x, y, z x, y, z (7) 0 0 0 1 1 1 De (7) esulta po igualdad de vectoes x x1 x0 y y1 y0 (8) z z z 1 0 Que son las ecuaciones paa la tansfomación diecta po taslación en el espacio. De (8) se loga 4

x1 x x0 y y y (9) 1 0 z z z 1 0 que son las ecuaciones de tansfomación invesa po taslación en el espacio. Ejemplos 1. Encuente la tanslación que hace que el punto A(1,3, ) sea A( 1, 3,0). Solución: Se tiene que A( x, y, z) A(1,3, ) A( x, y, z ) A( 1, 3,0) 1 1 1 Lo que queda faltando es el oigen O'( x0, y0, z0) del sistema x' y ' z'. Reemplazando en (8): x1 x x0 x0 x x 1 1 ( 1) y1 y y0 y0 y y 1 3 ( 3) 6 z1 z z0 z0 z z 1 0 Luego O'( x0, y0, z0) O'(,6, ). Un sistema x' y ' tiene como oigen el punto O'(3, ), halla: a. Las coodenadas ( x, y ) del punto P cuyas coodenadas ( x', y ') son (3,5). b. Las coodenadas ( x', y ') del punto cuyas coodenadas ( x, y ) son (3,4). 5

Solución: a. En esta pate se pegunta po P( x, y ), teniendo en cuenta que se conoce P( x', y ') P(3,5), es deci : x x' x 3 3 6 0 y y ' y 5 3 0 Luego P( x, y) P(6,3) b. Paa este numeal se pegunta po P( x', y '), teniendo en cuenta que se conoce P( x, y) P(3,4). x' x x 3 3 0 0 y ' y y 4 6 0 Luego P( x', y ') P(0,6) 3. Cuál seá el punto del nuevo oigen paa tansfoma la ecuación 9x 5y 7x 50 y 106 0 es una ecuación sin téminos lineales. Enconta la ecuación en el nuevo sistema. Solución: Paa halla el punto oigen que se busca se hace x x' x 0 y y y ' y 0, y eemplazando en la ecuación se obtiene: ó también 9( x' x ) 5( y ' y ) 7( x' x ) 50( y ' y ) 106 0 0 0 0 0 9 x' 5 y ' (18x 7) x' ( 50 y 50) y ' 9x 5y 7x 50 y 106 0 0 0 0 0 0 0 Paa elimina los téminos lineales se hacen ceo los coeficientes de 18x 7 0 y 50 y 50 0 0 0 x ' y y ' : 6

Po lo tanto x0 4 y y0 1, es deci el oigen se debe taslada a O'( x, y ) O '(4,1). 0 0 En este punto la ecuación en el nuevo sistema es 9 x' 5 y ' 5, o también x' y ' 5 9 1, que epesenta, como se veá más adelante, una hipébola cuyo cento está en el oigen de coodenadas y su eje tansvesal es paalelo a x '. 4. Taslada los ejes a un nuevo oigen de tal foma que no apaezcan téminos lineales en la ecuación tansfomada, siendo la ecuación oiginal Solución: x y x y 8 4 9 0 Se puede emplea oto pocedimiento difeente del ejemplo anteio, el cual es completando cuadados, es deci, ( x 8x 16) ( y 4 y 4) 9 16 4 ( x 4) ( y ) 41 Luego se hace la taslación x x ' 4, y y ' con lo que la ecuación se educe a x' y ' 41 y las coodenadas del nuevo oigen coesponden a O'( x, y ) O'( 4, ) 0 0 4.1.3 Ejecicios 1. Detemine la nueva ecuación en cada caso si el oigen es tasladado al punto dado. a. 3x y 6, (4, 3) 7

b. 5x 4 y 3 0, (1,) c. 9x y 36x 8 43 0, (,4) d. 3x 3 18y 36x 4 y 36 0, (, 3). En cada ecuación elimine el témino constante y uno de los téminos de pime gado mediante una taslación de ejes. a. y y x 6 4 5 0 b. c. x x y 8 15 0 y x y 10 4 4 0 d. 3y 11x 6 y 19 0 3. Elimine mediante una tanslación de ejes, si es posible, los téminos lineales en las ecuaciones siguientes: a. x y x y z 8 3 9 0 b. c. 9x 16 y 36z 18x 7z 171 4x 4 y z 16x 8y 6z 5 0 d. 5x 5y 5z 10x 10 y 10 0 4. Halle a qué nuevo oigen podán tasladase los ejes coodenados de tal manea que el plano y x 3z 1 0 quede pasando po el punto P( 5,,1). 5. Halle a qué punto sobe el eje x se deben taslada los ejes coodenados paa que la gáfica de la ecuación xy 0 quede pasando po el punto(,1). 6. Halle un nuevo oigen paa el sistema coodenado de tal foma que la ecuación 3x y 7 0 quede pasando po el punto ( 1,3) vista desde el nuevo sistema. 8

7. Detemine a qué punto sobe el eje y debe tasladase el oigen de coodenadas paa que en la ecuación x y x 3 6 0 desapaezca el témino independiente. 8. Encuente al menos un punto al cual pueda tasladase el oigen paa que el punto P(5, 1) veifique la ecuación y x 3 0 vista desde el nuevo oigen. 9. Halle en téminos de a un punto al cual pueda tasladase el oigen de coodenadas de tal foma de la ecta ax ay 3 0 quede pasando po el nuevo oigen; luego ealice la taslación paa halla la ecuación de la ecta. 4. TRANSFORMACIÓN POR ROTACIÓN Hace una tansfomación po otación consiste en efei un punto de un espacio euclidiano a un nuevo sistema que se obtiene po la otación o gio del sistema pimitivo teniendo como cento de gio el oigen. Como todos los ejes gian el mismo ángulo, los nuevos ejes también son mutuamente pependiculaes. 4..1 Rotación en E Y Y P( x, y) P( x, y ) j j i X i X Figua 4.3. Rotación en E 9

: Ángulo de otación. i, j : Vectoes unitaios del sistema pimitivo. i ', j' : Vectoes unitaios del sistema nuevo. OP R xi y j x' i ' y ' j' : ada de P (1) Ahoa, los vectoes i ', j' se pueden expesa en téminos de i, siguiente: i ' cos( ) i cos( ) j cos( ) i sen( ) j () j' cos( ) i cos( ) j sen( ) i cos( ) j (3) Reemplazando en (1) y asociando: j de la manea xi y j ( x'cos( ) y ' sen( )) i ( x' sen( ) y 'cos( )) j (4) Aplicando igualdad de vectoes en (4): x x'cos( ) y ' sen( ) (5) y x' sen( ) y 'cos( ) Que son las ecuaciones paa la tansfomación diecta. Actividad paa el estudiante: Obtene las ecuaciones paa la tansfomación invesa dadas como: x' xcos( ) ysen ( ) (6) y ' xsen( ) y cos( ) Nota: Una taslación seguida de una otación, se llama tansfomación po otación mixta y en este caso las ecuaciones de tansfomación seán: Al hace la taslación: x x' x0 (7) y y ' y Y al ota este nuevo sistema esultan las ecuaciones: x' x''cos( ) y '' sen( ) (8) 0 10

y ' x'' sen( ) y ''cos( ) eemplazando (7) en (8) esulta que : x x''cos( ) y '' sen( ) x (9) y x'' sen( ) y ''cos( ) y 0 0 4.. Rotación en el espacio Sean: Figua 4.4. Rotación en el espacio i, j, k la base canónica del sistema pimitivo. i ', j', k ' la base canónica del sistema nuevo. 1, 1, 1 los ángulos ente i e i ', j', k ',, los ángulos ente j e i ', j', k ' 3, 3, 3 los ángulos ente k e i ', j', k ' Si P es un punto de 3 E, entonces: OP R xi y j zk x' i ' y ' j' z' k ' (10) Donde: i ' cos( ) i cos( ) j cos( ) k (11) 1 1 1 11

j' cos( ) i cos( ) j cos( ) k (1) k ' cos( ) i cos( ) j cos( ) k (13) 3 3 3 eemplazando (11), (1) y (13) en (10), asociando y aplicando la igualdad de vectoes, se obtiene : x x'cos( ) y 'cos( ) z'cos( ) 1 3 y x'cos( ) y 'cos( ) z'cos( ) 1 3 z x'cos( ) y 'cos( ) z'cos( ) 1 3 que coesponden a las ecuaciones de tansfomación diecta po otación en 3 E. Notas: a. cos( 1),cos( 1),cos( 1) son los cosenos diectoes de i ' con especto a i, j, k, cos( ),cos( ),cos( ) son los cosenos diectoes de j ' con especto a k ' con especto a i, j, k, cos( 3),cos( 3),cos( 3) son los cosenos diectoes de i, j, k. b. Algunas veces la otación en el espacio se hace otando un plano coodenado alededo del eje coodenado pependicula. Po ejemplo se puede ota el plano XY al ededo del eje z : Figua 4.5. Rotación de un plano 1

Donde x x'cos( ) y ' sen( ) y x' sen( ) y 'cos( ) z z' son las ecuaciones paa la tansfomación diecta. Ejemplos 1. Tansfoma la ecuación x y 16 mediante una otación de 45 de los ejes coodenados. Solución: Paa 45 las coodenadas de tansfomación diecta po otación quedan así: x' y ' x x'cos( ) y ' sen( ) x' y ' y x' sen( ) y 'cos( ) Reemplazando estas ecuaciones en la ecuación oiginal, ésta queda así: lo cual nos lleva al esultado x' y ' x' y ' 16 x' y ' 16 ó también x' y ' 8 que coesponde a la ecuación en el nuevo sistema x' y ' al se otado el oiginal un ángulo de 45.. Halla las nuevas coodenadas de un punto P(6, 3,3) cuando los ejes coodenados son giados de tal manea que los cosenos diectoes de los nuevos ejes con especto a los ejes oiginales x, y, z 1/3, /3, /3; /3, /3, 1/ ; /3,1/3, 1/3 espectivamente. son 13

Solución: Tomando las ecuaciones paa la tansfomación diecta paa la otación de ejes en 3 E : x x'cos( ) y 'cos( ) z'cos( ) 1 3 y x'cos( ) y 'cos( ) z'cos( ) 1 3 z x'cos( ) y 'cos( ) z'cos( ) 1 3 Y eemplazando los cosenos diectoes y las coodenadas del punto P en el sistema oiginal x y z se hallan las coodenadas del punto P en el nuevo sistema x' y ' z ' : Que es equivalente a: 1 6 x' y ' z ' 3 3 3 1 3 x' y ' z ' 3 3 3 1 3 x' y ' z ' 3 3 3 x' y ' z' 18 x' y ' z' 9 x' y ' z' 9 Al esolve este sistema de ecuaciones, la solución obtenida paa las coodenadas del punto P en el nuevo sistema x' y ' z' son P( x', y ', z') P(,7,1). 14

4..3 Ejecicios 1. Enconta la nueva ecuación cuando los ejes se otan el ángulo indicado en cada caso : a. x y 6, 45 b. 3x y 4, 60 c. x y a, 50 d. x xy y 3, 30 e. xy 1, 45 3. Enconta el ángulo agudo de otación tal que la ecuación tansfomada de x 3xy y 8 no tenga témino x' y '. 4. Reduci las siguientes ecuaciones a la foma más simple posible, empleando taslación de ejes, otación de ejes o ambas según el caso : a. x xy y 3 0 b. x xy y x 4 4 5 5 0 c. x xy y x 8 8 0 d. xy x y 0 e. f. x xy y x y 4 5 5 1/ 4 0 3 3x 10xy 3y x 6 y 43 0 5. Halla el ángulo de otación que convieta al punto (,0)en el punto ( 5, 1) 6. Qué ángulo deben otase los ejes paa que la ecta x y 0 quede pasando con el punto (1,3)? 6. A qué nuevo oigen debe tasladase el sistema de coodenadas catesianas paa que la gáfica de la ecuación x x y 5 6 3 0 quede pasando po el 15

punto (1,7) y luego qué ángulo deben otase los ejes paa que este punto se convieta en el punto (5,5)? 7. Halla el ángulo que deben otase los ejes de tal foma que el punto (1 3, 3 ) se convieta en el punto (, 4). 8. Se tiene en coodenadas catesianas el punto P(1, 5), se ealiza una taslación con nuevo oigen O'(1, 3) y luego una otación que conviete al punto en P ( x, ). Halla x. 9. Al ealiza una otación de ejes se loga que el punto ( 3,0) se convieta en (1, y 1). Halla y 1. 10.Rota el ángulo necesaio paa que se elimine el témino cuzado de la ecuación 3x 3xy x 3 y. Cuál es la nueva ecuación?, seá posible elimina po taslación los téminos lineales en la nueva ecuación? 4.3 COORDENADAS POLARES EN EL PLANO 13.3.1 El sistema de coodenadas polaes Cietas cuvas en el plano no tienen una ecuación catesiana simple, po eso es necesaio usa otos tipos de coodenadas que sean más ventajosas paa el tatamiento analítico de estas cuvas. Uno de estos sistemas es el de coodenadas polaes. En éstas, a difeencia de las coodenadas catesianas, no se usan las distancias diigidas a dos ectas fijas paa efeencia un punto en el plano sino que se usan una distancia diigida y un ángulo de efeencia. 16

Definición 4. En coodenadas polaes un punto P en el plano queda efeido po una paeja odenada (, ) en la que (figua 4.6): es la distancia diigida desde un punto fijo O, llamado polo (oigen), al punto P. Esta distancia se conoce como adio vecto. es la medida del ángulo ente una ecta fija po el polo, llamada eje pola, y el adio vecto. Esta coodenada se conoce como ángulo pola. P(, ) o Figua 4.6. Coodenadas polaes Po convención, el eje pola se suele toma hoizontal. El ángulo pola es positivo si la medida se toma en sentido de las manecillas del eloj y negativo si se toma al evés, teniendo al eje pola como lado inicial. El adio vecto es positivo si OP, o sea si P esta en el lado teminal del ángulo, y es negativo si P está en la semiecta opuesta al lado teminal del ángulo, OP. Un plano pola esta fomado po una ed de cicunfeencias concénticas en el polo cotadas po ectas adiales que pasan po el polo. Esto facilita la localización 17

de un punto cuando se dan sus coodenadas polaes (figua 4.7) Ilustación: Localiza en el plano pola los puntos P (3, / 3), P ( 1, / 4), P ( 4, / 4) y 1 3 P4(, /3) Solución: En la siguiente figua apaece un plano pola con los cuato puntos: 3 4 3 3 4 5 6 P 3 P P 1 4 6 P 7 6 11 6 5 4 4 3 3 5 3 7 4 Figua 4.7. Plano pola En coodenadas catesianas existe una coespondencia biunívoca ente los puntos del plano y las paejas odenadas de númeos eales ( x, y ). En el sistema de coodenadas polaes esto no ocue dado que a un punto del plano se le pueden asigna infinitas paejas polaes. En el ejemplo anteio, (, /3) también son coodenadas del punto 4 P. Sólo en el caso en que 0,0 P y si se 18

estingen 0, y 0 la coespondencia con los puntos del plano es única y (, ) se llama pa pincipal de P. La tansfomación de coodenadas catesianas a polaes y vicevesa se obtiene al hace coesponde el eje pola con el eje x y el polo con el oigen (el eje y queda coincidiendo con el lado teminal del ángulo de / ). Teoema 4.1 Si ( x, y ) son las coodenadas catesianas de un punto P y (, ) las coodenadas polaes, entonces las ecuaciones de tansfomación diecta de coodenadas catesianas a polaes son, x cos( ) y sen( ) y las ecuaciones de tansfomación invesa son, x y 1 y tan x Excepto paa x, y 0,0 al que le coesponde 0, Actividad en clase: Demosta e ilusta este teoema. 4.3. Gáfica de una cuva en coodenadas polaes La ecuación en coodenadas polaes de una cuva se conoce como su ecuación pola. Si f ( ) o f (, ) 0 epesenta a una cuva pola, entonces todos 19

los puntos P del plano que tengan al menos un pa de coodenadas que satisfagan esta ecuación petenecen a la cuva. En el pocedimiento paa taza una cuva pola hay que tene en cuenta cietas consideaciones: a. No necesaiamente dos paejas de coodenadas polaes equivalentes satisfacen las mismas ecuaciones. Po ejemplo, el punto (3, /3) satisface la ecuación /, sin embago, el punto equivalente ( 3,4 /3) no la satisface. b. Una misma cuva puede esta epesentada po vaias ecuaciones polaes. Si f ( ) epesenta la cuva, otas posibles ecuaciones están dadas po ( 1) n f ( n ) con n. Pate impotante del pocedimiento es detemina las simetías de la cuva. Teoema 4. Dada una ecuación pola f ( ), entonces a. La cuva es simética con el eje pola si al eemplaza en la ecuación (, ) po (, ) o po (, ) se loga una ecuación equivalente. b. La cuva es simética con el eje / si al eemplaza en la ecuación (, ) po (, ) o po (, ) se obtiene una ecuación equivalente. c. La cuva es simética con el polo si al eemplaza en la ecuación (, ) po (, ) o po (, ) se consigue una ecuación equivalente. Actividad en clase: Demosta e ilusta este teoema. Nota: Paa las cuvas polaes que se suelen maneja más comúnmente estas puebas son suficientes paa gaantiza que haya o no simetía. Peo podía 0

ocui que alguna cuva aa no las veifique y sin embago tenga alguna simetía. Po esto no se puede asegua con ceteza que alguna cuva que no cumpla las condiciones del teoema anteio no tiene simetías. Aunque en la matemática de hoy las calculadoas electónicas son un valioso instumento de apoyo a la hoa de obtene la gáfica de una cuva, no deja de se inteesante (y más poductivo paa el ejecicio intelectual) taza la gáfica a mano de una ecuación. En seguida se esumen los pasos paa taza la gáfica de una ecuación pola f ( ) :. 1) Hace un análisis de simetías de la cuva según el teoema 4. ) Halla los cotes con el eje pola y el eje de /. Los cotes con el eje pola se obtienen hallando cuando n con n enteo. Los cotes con el eje de / dan al eemplaza en la ecuación po n / siendo n enteo impa. 3) Veifica si la cuva pasa po el polo. Paa esto hay que halla los valoes de que hagan 0. 4) Compoba si la cuva es ceada o no. Se analiza lim f ( ) 0, si hay algún valo de 0 que haga que este límite sea infinito, la cuva es abieta. Si, en cambio, el límite es finito paa todo 0, la cuva es ceada. 5) Con base en los cuato puntos anteioes se escoge un intevalo de tabulación (ve ejemplos). En la siguiente gáfica apaecen las gáficas típicas de las cuvas polaes más usadas en matemática. Cuando la gáfica pedida sea alguna de éstas no es necesaio hace todo el pocedimiento sino enconta como está situada la cuva en el plano pola. 1

Gáficas polaes más comunes Nombe Ecuación Gáfica típica Recta po el polo c, constante 0 Recta paalela a un eje acsc( ) asec( ) 0 Cicunfeencia con cento en el polo c, constante 0 Cicunfeencia tangente a un eje asen( ) a cos( ) 0

Limazón o caacol a bsen( ) con izo cuando 0 a / b 1 Cadioide cuando a / b 1 con hendidua cuando 1 a / b convexo cuando a / b 3

lemniscata a sen( ) a cos( ) Rosas de n pétalos asen( n ) acos( n ) si n es pa, n pétalos si n es impa, n pétalos Espiales De Aquímedes a Logaítmica a e k ab más geneal Recípoca hipebólica o k / Actividad paa el estudiante: Compoba, siguiendo el pocedimiento, algunas de estas gáficas. 4

Paa detemina los puntos de intesección de dos gáficas polaes se esuelven simultáneamente las ecuaciones de ambas cuvas. Si con esto no se obtienen todos los puntos de intesección entonces se hace lo mismo con las ecuaciones equivalentes (ve ejemplos). También puede se de ayuda tene las gáficas. Ejemplos 1. Halla la ecuación pola de la cicunfeencia Solución: Usando las ecuaciones del teoema 4.1, x cos( ) y y sen( ), la ecuación queda : De aquí, 0 o 6 sen( ) x y y 6 0 ( cos( )) ( sen( )) 6( sen( )) 0 sen sen (cos ( ) ( )) 6 ( ) 0 ( 6 sen( )) 0 0 es el polo y la cicunfeencia pasa po el polo. La ecuación pola de la cuva es entonces 6 sen( ). Halla la ecuación pola de la elipse 3x 4 y 4x 4 0 Solución: Al eemplaza x cos( ), y sen( ) queda 3( cos( )) 4( sen( )) 4( cos( )) 4 0 3 cos ( ) 4 sen ( ) 4cos( ) 4 0 3 cos ( ) 4 sen ( ) 4 cos( ) 4 Sumando a ambos lados de la ecuación cos ( ) : 4 cos ( ) 4 sen ( ) cos ( ) 4 cos( ) 4 O mejo, 4 ( cos( ) ) 5

y al fin, cos es la ecuación pola. cos( ) ( cos( ) 3. Halla la ecuación catesiana de sen( ) Solución: sen( ) equivale a y y dado que sen( ) y cos( ) 4 sen( )cos( ) x 4 ( ) 4 4xy 4xy x y xy 4 4 x x y y xy 4 0 En este ejemplo se ve que la ecuación catesiana es bastante más complicada que la ecuación pola lo que justifica plenamente el uso de las coodenadas polaes paa tabaja con cietas cuvas. 4. Enconta una fómula paa halla la distancia euclidiana ente dos puntos P1 ( 1, 1) y P (, ) en coodenadas polaes. Solución: Refeise a la siguiente figua. 6

P d P 1 1 1 O 0 Figua 4.8. Distancia ente dos puntos Sea d la distancia. En el tiángulo OPP 1, el ángulo opuesto a PP 1 mide 1 Po el teoema del coseno, po lo tanto es la fomula buscada. d cos( ) 1 1 1 d cos( ) 1 1 1. 5. Taza la gáfica de la cuva pola de 4 sen ( /) Solución: Con la identidad sen, la ecuación se conviete en (1 cos( )) que 1 cos coesponde a un cadioide. Dado que ya se conoce la foma de la cuva, solo falta sabe como está situada en el plano pola. Al tabula algunos valoes impotantes, 0 / 3 / 0 4 0 se tiene toda la infomación paa taza la gáfica. 7

0 Figua 4.9. Ejemplo 5 6. Taza la gáfica de una cuva pola 4 4cos ( / 4). Solución: La ecuación no coesponde a ninguna de las de la tabla, po eso se debe segui todo el pocedimiento: 1) Análisis de simetías : a) Con el eje pola. Al cambia (, ) po (, ) queda 4 4cos ( / 4) 4 4cos ( / 4) y po tanto la cuva es simética con el eje pola. b) Con el eje /. Si se cambia (, ) po (, ) da 4 4cos ( / 4) 4 4cos ( / 4) que no es una ecuación equivalente. Si se cambia (, ) po (, ) queda 4 cos 4 4 8

4 cos( / 4)cos( / 4) sen( / 4) sen ( / 4) 4 cos sen 4 4 4 que no es una ecuación equivalente. La conclusión es que lo más pobable es que la cuva no es simética especto a /. c) Con el polo. Ninguna de las puebas da simetía (veificalo) po tanto lo más pobable es que no haya simetía. ) Cotes con lo ejes. a) Con el eje pola. Al cambia po n, n enteo queda 4 4cos ( n / 4) En esta ocasión si : n 0,4,8,... 4 b) Con el eje / si : n,6,10,... 0 si : n 1,3,5,... 1 Al cambia po n / n 1, 3,... n queda Si n 8 4 4cos n 1, 7, 9,....91 n 3, 5, 11,... 8.58x10 3) La cuva pasa po el polo? Al esolve la ecuación cos( / 4) 0 4 4cos ( / 4) 0 n n impa es deci n n impa 4 4 9

luego la cuva pasa po el polo cuando, 6, 10,... 4) Es ceada la cuva? Dado que no hay ningún valo de 0 que haga que se concluye que la cuva es ceada. lim 4cos 0 4 4 5) Tabulación: del análisis de simetías y los cotes con lo ejes se puede conclui que hay que tabula paa 0, con el eje pola y se ciea al cabo de dos vueltas de.. Esto debido a que la cuva es simética 0 /6 /4 /3 /3 3/4 5/6 7/6 5/4 4/3 5/3 7/4 11/6 4 3.86 3.70 3.48.5 1.91 1.58 0.55 0.38 0.5.018.006.001 10 =4(cos(t/4)) 4 90 1 0.8 60 150 0.6 0.4 0. 30 180 0 10 330 40 70 300 Figua 4.10 Ejemplo 5 Con la pate tabulada se obtiene la mitad de la gáfica, el esto po simetía. 30

6. Halla los puntos de cote de las cuvas polaes 3sec( ) y 4 4cos( ) Solución: De la tabla de cuvas se sabe que se tata de una ecta y un cadioide con lo que se espea que se coten en dos puntos. Si se igualan las ecuaciones: 3sec( ) 4 4cos( ) o mejo 3/cos( ) 4 4cos( ) o sea 4cos ( ) 4cos( ) 3 0 (cos 1/)(cos 3/) 0 De aquí solo sive la posibilidad cos( ) 1/ con lo que /3, 5 /3 Po lo tanto los puntos de cote son (6, /3) y (6,5 /3) 4.3.3 Ejecicios En los ejecicios del 1 al 10 halla la foma pola de la ecuación catesiana que se da: 1. 5x 4 y 3 0 6.. 3. x x y x 6 y 3 0 7. x y 4 8. xy 3 3 x y axy 3 0 4 y 4 0 4. ( x y ) 6( x y ) 9. 9x 4 y 36 5. x y 5 x y 10. x y x x y 0 En los ejecicios del 11 al halla la foma catesiana de la ecuación pola dada: 11. cos( ) 0 17. sen(3 ) 1. 3 sen ( ) 4cos ( ) 0 18. sen cos( ) ( ) 1 31

13. sec ( /) 19. 6 3sen( ) 14. cos( ) 4 0. sen( ) cos( ) 15. 16. sen( ) 4 1. sen ( ( ) cos ( )) 1 a cos ( ) csc( ). tan( ) En los ejecicios del 3 al 40 taza la gáfica pola de la cuva que se da: 3. sen( )tan( ) 4a 7. 4cos( ) 3 sen( ) 1 4. 5. asen 3 ( /3) 8. cos( / 4) 4sec ( /) 9. se n( ) 4 6. se n(3 ) 30. se n(3 /) 31. asen( ) bcos( ) 3. 33. se n( )tan( ) conocida como Cisoide 4 sen( ) 34. asec( ) b conocida como Concoide de Nicómedes 35. sec( ) cos( ) conocida como Cisoide de Diocles 36. asen ( )cos ( ) conocida como Bifolio 37. a conocida como Lituus 38. sec( ) cos( ) conocido como Estofoide 39. ase n( ) conocida como Cocleoide o cuva del tableo de Ouija. 40. a conocida como Espial Paabólica. En los ejecicios 41 al 48 halla todos los puntos de cote de cada pa de cuvas: 41. 4se n( ) cos( ) 43. se n( ) 8 cos( ) 3

4. se n( ) cos( ) 44. 4tan( ) sen( ) 4cos( ) 45. cos( ) 1 sen( ) 47. 3 cos( ) cos( ) 1 46. 4a cos( ) a(1 cos( )) 48. csc ( /) 3 8(1 cos( )) 49. Demosta que el áea de un tiángulo con un vétice en el polo y los otos dos en los puntos P1 ( 1, 1) y P (, ) está dada po: 1 A 1 sen( 1 ) 4.4 Ejecicios de final de capítulo 4.4.1 Peguntas de epaso 1. En qué consiste una tansfomación de coodenadas?. Qué pemanece fijo en le otación de ejes? 3. Con la taslación de ejes, qué téminos se pueden elimina? 4. Seá única la epesentación de un punto mediante la paeja (, )? 5. Qué impotancia tiene el tansfoma una ecuación catesiana a coodenadas polaes? 33

6. Cómo detemina los puntos de cote de dos ecuaciones polaes? 7. Qué utilidad tienen el análisis de las simetías de las cuvas en coodenadas polaes? 8. Cómo se sabe que una ecuación pola pasa po el polo? 4.4. Peguntas de falso y vedadeo: Justifica si los enunciados siguientes son vedadeos o falsos: 1. En una otación de ejes siempe se elimina el témino cuzado. Sea f ( ) ; entonces ésta cuva es ceada si lim f ( ) c con c. 3. Si se ota la cuva cambia. y x 5 un ángulo, la ecuación de la cuva no 4. Paa que la ecta Ax By C quede paalela al eje x se debe ota un ángulo A B. 1 tan 5. El ángulo que se deben ota los ejes coodenados paa que la ecta y 3x 3 0 quede con pendiente 1 es 4. 6. El ángulo necesaio paa elimina el témino cuzado en la ecuación 1 xy x 0 es 7. 4. 3 ( 7, 3 ),(7, 5 3 ) y ( 7, 3 ) epesentan el mismo punto en coodenadas polaes. 8. (1 cos ) es una cuva abieta. 9. En coodenadas catesianas, el polo epesenta el semieje positivo x. 34

4.4.3 Ejecicios: 1. Tansfome la ecuación x 3x y 3x 4 y 5 0 tasladando los ejes coodenados al nuevo oigen en el punto (1,). Haga un gáfico del conjunto y los dos sistemas de ejes coodenados.. Po una taslación de ejes coodenados, tansfome la ecuación x y x y 4 6 8 1 0 en ota ecuación que caezca de téminos de pime gado. 3. Tansfome la ecuación dada tasladando los ejes coodenados al nuevo oigen dado : a. x y x 6 y 6 0; (1,3) b. 3x y 1x 4 y 8 0; (,1) c. 4x y 8x 10y 5 0; (1, 5) 4. Simplifique la ecuación dada po una taslación de ejes coodenados : a. b. x x y 8 3 10 0 16x 16 y 8x 48y 5 0 c. 30xy 4x 5y 80 0 d. y x x y 6 4 3 0 5. En cada uno de los ejecicios siguientes tansfome la ecuación dada en ota que caezca de téminos de pime gado : a. b. 16x 6z 9 x 3z 0 36z 4 y 36x 18x 16 y 11 0 c. d. x y z x y z 4 6 8 8 9 0 3 x 6x y 6z 8x 10 35

6. Halle las coodenadas del punto A(3, 4) cuando los ejes coodenados gian un ángulo de 30. Realice lo mismo paa un gio de /. 7. En cada uno de los ejecicios siguientes, halle la tansfomación de la ecuación dada al gia los ejes coodenados un ángulo igual al indicado. 1 a. x 5y 3 0; tan.5 b. x xy y x 0; 30 c. y xy 3 3 1 0; 60 1 10 d. 5x 3xy y 4 0; sen 10 1 e. x xy y 11 4 4 0 0; tan 0.75 4 4 f. x y x y 6 3 0; 45 8. Po otación de los ejes coodenados, tansfome la ecuación x y 0 en ota que caezca del témino en y '. 9. Po otación de los ejes coodenados, tansfome la ecuación x y 0 en ota que caezca de témino en x '. 10. En cada uno de los ejecicios siguientes, po una otación de los ejes coodenados, tansfome la ecuación dada en ota que caezca del témino en x' y '. a. b. c. d. 4x 4xy y 5x 1 9x 3xy 9y 5 5x 4xy y 5 16x 4xy 9y 5x 0 36

11. La ecuación de una cicunfeencia es x y. Demueste que la foma de esta ecuación no se altea cuando se efiee a los ejes coodenados que han giado cualquie ángulo. 1. Po una otación de 45 una cieta ecuación se tansfomó en 4x 9y 36. Halle la ecuación oiginal. 1 1 13. Po tansfomación de coodenadas demueste que la ecuación geneal de una ecta ax by c 0, puede tansfomase en y 0 que es la ecuación del eje x ''. 14. Halle las coodenadas del nuevo oigen si los ejes coodenados se tasladan de manea que la ecuación ax bxy cy dx cy f 0 se tansfome en ota ecuación que caezca de téminos de pime gado. 15. Halle las nuevas coodenadas del punto ( 11,3), cuando los ejes son tasladados pimeo al nuevo oigen (4,5) y después se les gia un ángulo de 60. 16. Demueste analíticamente que la distancia ente dos puntos en el plano coodenado no se altea con la tansfomación de coodenadas. 17. Halle las nuevas coodenadas del punto (,) cuando los ejes coodenados son giados pimeo un ángulo de 45y después son tasladados al nuevo oigen ( 1,1). 18. En cada uno de los ejecicios siguientes simplifique la ecuación dada po otación y taslación de coodenadas : a. x xy y x y 10 10 13 0 b. 5x 7xy 73y 104x 7y 48 0 c. 16x 4xy 9y 60x 80y 100 0 d. 3x y 5 0 37

19. En cada uno de los ejecicios siguientes halle la ecuación que satisface al conjunto de puntos y simplifíquela con una tansfomación de coodenadas : a. El punto A( x, y ) se mueve de tal manea que su distancia del punto (,) es siempe igual a su distancia a la ecta x y 1 0. b. El punto B( x, y ) se mueve de tal manea que la suma de sus distancias a los puntos (1,1) y ( 1, 1) es siempe igual a 4. c. El punto C( x, y ) se mueve de tal foma que su distancia del punto (,1) es siempe igual al doble de su distancia de la ecta x y 0. 0. Halle las nuevas coodenadas de un punto A(8,, 1) cuando los ejes coodenados son giados de tal manea que los cosenos diectoes de los nuevos ejes con especto a los oiginales son 1/3, /3, /3; /3, /3, 1/3; /3, 1/3, /3. 1. Si las nuevas coodenadas de un punto B son (3,9, 6) con efeencia a los ejes giados del ejecicio anteio, halle las coodenadas de B con especto a los ejes oiginales.. Halle la tansfomación de la ecuación 3x 41y 31z 48xy 7xz 4 yz 0 al hace gia los ejes coodenados de tal manea que los cosenos diectoes de los nuevos ejes con especto a los oiginales sean: /7, 3/7, 6 /7; 6/7, 3/7, 3/7; 3/6, 6 /7, /7. 3. Pase la ecuación ectangula dada a su foma pola: a. x y 4 b. y 7 x c. 5x 4 y 3 0 38

d. x y x 6 y 3 0 e. x y x x y f. xcos w ysenw p 0 g. xy h. 3 3 x y xy 0 i. x y 4 4. Pase la ecuación pola dada a su foma catesiana : a. cos 0 b. 4 sen c. 9cos d. cos 16 e. /(cos ) f. g. sen 4cos 0 cos 16 h. 3 3sec i. 5/(3cos 8 sen ) 5. Dos de los vétices de un tiángulo equiláteo son (0,73 ),(1, ). Halle el pa pincipal de coodenadas del tece vétice. 6. En cada uno de los ejecicios siguientes tace la cuva, teniendo en cuenta todo el poceso (intesecciones, simetías,...) 1) sec 11) 3cos ) 6 1) /3 3) 13) 1 cos 4) 5 5sen 14) tan 5) 3sen4 15) 4 cos 39

6) 4sen 16) 5cos 7) 4 /( cos ) 17) 5sec ( /) 8) 6tansen 18) 5 3 9) 5 sen ( /3) 19) 10) 16 0) 3 sen 4cos 0 7. Encuente los puntos de intesección de las cuvas dadas :, 4sen 6) / 4, 3 1) ) cos 4, sen 4 7) 3) cos ( /), 3 8(1 cos ) 4) cos, 3cos 5) 8) 3 9cos, 3 sen, 6sen 4sen, sen( ) 9) 1 cos, 3 sen 8. Sea (,) en coodenadas catesianas. Halle 3 paejas polaes paa dicho punto con y, y halle si es simético con especto al eje y con especto al polo en coodenadas polaes. 9. A qué punto debe tasladase el oigen de los ejes catesianos paa que los puntos de la cuva 6sen equidisten del punto (1,5)? 30. Halle la ecuación pola de x y 9. En la ecuación pola halle un punto que petenezca a la gáfica y halle otas dos paejas polaes paa ese punto. 31. Se tiene en coodenadas catesianas, el punto (1, 5) ; se ealiza una taslación al punto (1, 3) y luego una otación que lo conviete en ( x, ). Halla x y enconta las coodenadas polaes de éste último punto. 40

3. Sea la ecuación pola (tan 1) sec. Pasala a la foma catesiana y simplificala lo máximo posible. 33. Dé la ecuación pola de una línea que sea simética con especto al eje pola, al eje y al polo y pasala a coodenadas catesianas. 41