UNIVERSIDADES DE ANDALUCIA PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Miguel A. Jorquera BACHILLERATO MATEMÁTICAS II JUNIO 2
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Índice General 1 Examen Junio 2. Opción B 1 2 SOLUCIONES del examen de junio 2 Opción B 3 2.1 Solución del ejercicio (1)..................................... 3 2.2 Solución del ejercicio (2)..................................... 4 2.3 Solución del ejercicio (3a).................................... 4 2.4 Solución del ejercicio (3b).................................... 5 2.5 Solución del ejercicio (4a).................................... 5 2.6 Solución del ejercicio (4b).................................... 5 iii
iv ÍNDICE GENERAL
Capítulo 1 Examen Junio 2. Opción B Ejercicio 1. [2 5 puntos] Se dispone de 288. pts. para vallar un terreno rectangular colindante con un camino recto. Si el precio de la valla que ha de ponerse en el lado del camino es de 8 pts/metro y el de la valla de los restantes lados es de 1 pts/metro, cuáles son las dimensiones y el área del terreno rectangular de área máxima que se puede vallar?. Solución a Ejercicio 2. [2 5 puntos] Determina a, b y c para que la curva y = x 2 +bx+c sea la siguiente: Solución Y -3-1...-2 1 X Figura 1.1: Ejercicio 3. Los puntos A = (3, 3, 5) y B = (3, 3, 2) son vértices consecutivos de un rectángulo ABCD. El vértice C consecutivo de B está en la recta de ecuaciones x = y 6 1 = z+1 2. a) [1 75 puntos] Determina el vértice C. Solución b) [ 75 puntos] Determina el vértice D. Solución 1
2 CAPÍTULO 1. EXAMEN JUNIO 2. OPCIÓN B Ejercicio 4. Considera la matriz A = λ 1 1 λ, a) [1 punto] Halla los valores de λ para los que la matriz A no tiene inversa. Solución b) [1 5 puntos] Tomando λ = 1, resuelve es sistema escrito en forma matricial Solución A x y z =
Capítulo 2 SOLUCIONES del examen de junio 2 Opción B 2.1 Solución del ejercicio (1) Vamos a llamar x a la longitud en metros de la valla que pondremos colindante con el camino. Llamamos y a la longitud en metros de la valla del otro lado del terreno rectangular. La función que queremos maximizar es A(x, y) = x y y la condición que relaciona x e y es 8x + 1(2y + x) = 288., ya que el trozo de valla x que está junto al camino vale 8 pts/metro, y el resto de trozos de la valla (el lado paralelo al que está junto al camino que también mide x metros, y los otros dos lados que mide cada uno y metros) cuestan 1 pts/metro. Vamos a despejar y de la expresión 8x + 1(2y + x) = 288. y = 288. 9x 2 = 144 4 5x y sustituyendo y en la función A(x, y) resulta: A(x) = 144x 4 5x 2 que es la función que tenemos que maximizar. Para ello calculamos su derivada y la igualamos a. A (x) = 144 9x = x = 114 9 = 16 sustituyendo ahora en la expresión de y resulta y = 144 4 5 16 = 72 Por último, como A (x) = 9 <, podemos concluir que las dimensiones hacen el área del terreno rectangular máxima. x = 16 metros y = 72 metros 3
4 CAPÍTULO 2. SOLUCIONES DEL EXAMEN DE JUNIO 2 OPCIÓN B 2.2 Solución del ejercicio (2) Nos dan la gráfica de la función la racional y = a x 2 +bx+c y tenemos que determinar el valor de a, b y c. Para ello, vamos a utilizar en primer lugar el dominio de la función, que gráficamente nos damos cuenta de que es Dom f = R { 3, 1} Analíticamente, el dominio de la función racional será todo Dom f = R {las raices del denominador}. Por lo tanto, el denominador de la función debe descomponerse en la forma x 2 + bx + c = (x + 3) (x 1) x 2 + bx + c = x 2 x + 3x 3 x 2 + bx + c = x 2 + 2x 3 b = 2 y c = 3 y ya tenemos el valor de b y c. Para calcular el valor de a vamos a utilizar que la imagen de 1 es 2, es decir f( 1) = 2. f( 1) = 2 a ( 1) 2 + 2( 1) 3 = 2 a 1 2 3 = 2 a 4 = 2 a = 8 En definitiva resulta que la función es: y = 8 x 2 +2x 3 2.3 Solución del ejercicio (3a) Vamos a llamar r a la recta x = y 6 recta r son: 1 = z+1 r 2 donde está el punto C. Las ecuaciones paramétricas de la x = + λ y = 6 λ z = 1 + 2λ Podemos entonces tomar C = (λ, 6 λ, 1 + 2λ), el vector AB = (,, 3) y el vector BC = (λ 3, 3 λ, 3 2λ) Ahora, como ABCD es un rectángulo y los vértices A y B son consecutivos y también lo son B y C, los vectores AB y BC tienen que ser perpendiculares. AB BC AB BC = (,, 3) (λ 3, 3 λ, 3 + 2λ) = 9 6λ = λ = 9 6 = 3 2 Por lo tanto C = ( 3 2, 6 3 2, 1 + 3) = ( 3 2, 9 2, 2)
2.4. SOLUCIÓN DEL EJERCICIO (??) 5 2.4 Solución del ejercicio (3b) Hay que calcular ahora el punto D = (a, b, c). BA = (,, 3) BA = 2 + 2 + 3 2 = 3 Por ser ABCD un rectángulo, podemos poner D = C + BA = ( 3 2, 9 2, 2) + (,, 3) = ( 3 2, 9 2, 5) 2.5 Solución del ejercicio (4a) Una matriz cuadrada tiene inversa si, y sólo si, su determinante es distinto de cero. Tenemos que calcular el determinante de A y ver los valores de λ para los que se anula. A = λ 1 1 λ = [λ + λ + ] [ + + 2λ2 ] = 2λ 2λ 2 = λ λ 2 = λ(1 λ) = λ = y λ = 1 2.6 Solución del ejercicio (4b) Tomando λ = 1, tenemos el sistema siguiente: 1 1 1 1 x y z = El sistema es homogéneo y la solución sería única (,,) si A, pero no es así. Por lo tanto vamos a resolverlo por el método de Gauss. 1 1 1 1 F 2 F 1 1 1 1 1 F 3 + F 2 1 1 1 El sistema es COMPATIBLE INDETERMINADO y por tanto tiene infinitas soluciones que se expresarán en función de un parámetro. El sistema equivalente que hemos obtenido es:
6 CAPÍTULO 2. SOLUCIONES DEL EXAMEN DE JUNIO 2 OPCIÓN B x + 2y + z = y z = } Tomamos z = λ R Despejando de la segunda ecuación y = z = λ y sustituyendo en la primera ecuación x = 2y z = 2λ λ = λ En definitiva, las soluciones son: x = λ, y = λ y z = λ