ERROR EN ESTADO ESTACIONARIO. TIPOS DE SISTEMAS. COEFICIENTES DE ERROR.

ERROR EN ESTADO ESTACIONARIO. TIPOS DE SISTEMAS. COEFICIENTES DE ERROR. Ojeivo: Analizar el error en eado eacionario para iema con realimenación uniaria y no uniaria. Como aí amién definir el ipo de iema, e decir a que eñal de referencia e capaz de eguir, con error nulo en régimen permanene. Inroducción. Ane de emprender el análii del error en eado eale, e dee clarificar cuál e el ignificado de error del iema. En general el error e puede ver como una eñal que rápidamene dee er minimizada y i e poile reducida a cero.- Conidéree un iema de conrol SISO, como el indicado en la figura SR G R E a C G - B Fig. Equema de loque para un conrol SISO El error verdadero e define como la diferencia enre la eñal de referencia Sr y la eñal de alida c, mienra que el error acuane, o eñal aciva, e la enrada al loque G, que e denominara en adelane e a, i eá en la unidade de r y e a i la dimenión e la mima que iene la eñal de referencia Sr.- E SR C Error Verdadero; la unidad e la mima quela de Sr. Ea R B R C SR G C : ErrorAcuane, o Señal Aciva La dimenión de la ea e igual a la de r, generalmene en [Vol], pero amién uele expreare en la mima unidad que la referencia, e a, por ejemplo: [ºC, rad., rad/eg., m/eg.,...ec.], con u valor equivalene como e verá ma adelane. La función de ranferencia, e upondrá de acá en má que no iene polo ni cero en el origen y repreena al iema de medición, que generalmene realiza la medición de la variale conrolada c y la conviere en ora variale,, má conveniene de procear y ranmiir como er, enión, corriene, preión, ec. Por lo ano ce. Como e puede apreciar la relación enre la dimenión de la eñal de alida, por ejemplo, ºC, mero, rad/eg. ec., y la eñal de realimenación, o la eñal de enrada que e por lo general Vol, eará dada por la ganancia eáica de la función de ranferencia del elemeno de medición o ea. Por lo ano deerá er la mima relación enre la eñal de referencia y la eñal de enrada, o ea, la ganancia eáica de G deerá er amién. Error en Eado Eacionario de Siema de Conrol Prof. Ing. Carlo F. Marín Año: 8

Como la función de ranferencia G, del llamado elecor de referencia, uualmene una ganancia y iempre iene una dimenión, por ejemplo [Vol/rad, Vol/ºC, Vol/m ec.], repreena al elemeno que conviere la eñal de referencia Sr en una variale adecuada, la de enrada r, para poder er comparada con la medición de la alida,, por ende, G Si e upone que G, la ganancia eáica de la función de ranferencia del C SR G SR iema erá: M M SR G G Como e puede ver olo ig,, en conecuencia i G no iene polo en el origen y e hace el iema endrá un error de eado eacionario a una enrada ecalón, el iema erá Tipo cero.- Si el error verdadero fuera iempre nulo para una referencia ecalón, deerá ener en el valor : SR, pero ya no e repearía la G G relación comenada enre Sr y la de enrada r. Si G, iene un polo en el origen, y e hace igual a la ganancia eáica de, en eo cao e endrá dicho error nulo, iema Tipo uno.- Por lo ano la eñal de referencia ería: r Sr que e empleará aí: En conecuencia la eñal del error verdadero erá: Sr r r r e c que e omará aí: e c Para el iempo endiendo a infinio erá el error de eado eacionario en eudio. Cuando y G valen, e dice que el iema e de realimenación uniaria y, para ee cao lo do errore coinciden y ademá Sr r SR R. Siema con realimenación uniaria Eo iema ienen un diagrama en loque como el indicado en la figura. En ello la eñal de referencia y la de enrada coinciden o ea: SR R SR R E Ea C G _ B C Fig.. Diagrama en loque para un iema de realimenación uniaria. En general cualquier función ranferencia puede er ecria como: Error en Eado Eacionario de Siema de Conrol Prof. Ing. Carlo F. Marín Año: 8

G n n z... zm p... p k n n k m j i z p i j donde n k m Para lo iema de realimenación uniaria el ipo de iema e define egún ea el valor de n en la expreión anerior. E decir egún el número de inegracione pura en la cadena direca. Ejemplo: El ipo de iema indica que orden de eñale de referencia puede eguir un iema con error nulo en régimen eacionario. Aquí el orden e refiere a la poencia de en la ranformada de Laplace de la referencia. Para ver eo, inveigaremo el error en eacionario para vario ipo de iema, deido a la eñale de referencia: impulo R, ecalón R/, rampa R/ y paráola R/ 3. El error para el iema de realimenación uniaria, e oiene como: En régimen permanene, el error e oiene aplicando el eorema del valor final, de la ranformada de Laplace:.- Enrada Impulo: R Siema Tipo Siema ipo Siema ipo y uperiore Error en Eado Eacionario de Siema de Conrol Prof. Ing. Carlo F. Marín Año: 8 3

Reumen: Un impulo puede er eguido en régimen permanene, in error, por odo lo ipo de iema..-enrada ecalón R/ Siema Tipo Siema Tipo y mayore Reumen: Un ecalón puede er eguido in error, en régimen permanene, por lo iema ipo uno y uperiore. 3.- Enrada rampa R/ Siema ipo Siema Tipo Siema Tipo y uperiore Error en Eado Eacionario de Siema de Conrol Prof. Ing. Carlo F. Marín Año: 8 4

Reumen: Una rampa puede er eguida en régimen permanene por iema ipo y uperiore. 4.-Enrada paráola R/ 3 Siema Tipo, Siema Tipo, Siema ipo, Siema ipo 3 y uperiore Reumen: Una enrada paráola puede er eguida in error en eacionario por lo iema ipo re y uperiore. Coeficiene de error. Se definen lo coeficiene de error como: Error en Eado Eacionario de Siema de Conrol Prof. Ing. Carlo F. Marín Año: 8 5

Coeficiene de error al ecalón: c. e. e. p limg, como E y C ienen la mima unidade, por ano o e adimenional.- Coeficiene de error a la rampa: c. e. r. v lim G, iene la dimenione de egundo -.- Coeficiene de error a la paráola: c. e. p. a lim G, iene la dimenione de egundo -.- Luego lo errore en eado eacionario para la eñale de pruea uniaria on: Para el ecalón uniario en la enrada: Para la rampa uniaria en la enrada: Para la paráola uniaria en la enrada: e o e e Reumiendo lo reulado oenido en un cuadro de valore, para la diferene eñale de referencia uniaria e endrá, recordar que SR R : Error en Eado Eacionario de Siema de Conrol Prof. Ing. Carlo F. Marín Año: 8 6

Ejemplo. a Dado el error calcular el rango de la ganancia del lazo prolema invero. Sea el iema de realimenación uniaria, cuya plana iene la ranferencia: allar el valor de de manera que el error en eacionario ea e <. Solución: El iema e ipo cero, de manera que el error e: Dado el iema calcular lo errore Prolema direco Conidere el iema con realimenación uniaria, cuya plana e: El rango de para la eailidad del iema e: < <. 34.- Deermine el error en eacionario cuando el iema e exciado con diferene ipo de eñale de referencia, con la ganancia variando enre: < <. 34.- Enrada ecalón e : pue el iema e ipo. Enrada rampa: En ee cao e, puede regulare, ajuando denro del rango ya mencionado. Enrada paráola e Error en eacionario deido a peruracione. Cuando ore el iema acúa una peruración, ademá de la referencia, por ejemplo el iema de conrol de poición de una anena como e indica la figura 3. Error en Eado Eacionario de Siema de Conrol Prof. Ing. Carlo F. Marín Año: 8 7

Dc [Nm] G Dm G R Ea U.5 Pm / π C Gc.5 [Vol] _ [Vol] η Figura 3. Siema con peruración El error deido a la peruración eá dado por. η G E C Dc Gc G G Si la peruración del par perurador en la carga e de forma ecalón uniario el error en eacionario e deermina mediane: e lim E lim η G Gc G G η e lim limgc G G La peruración e uualmene una carga que acúa ore el iema fuera del modelo normal. Nooro deemo eperar que no haya error de poición, deido al polo del origen creado por el moor. Perfeco! Ahora, upongamo que e levana vieno, dando lugar a la aparición de una cupla ore la anena de Nm, deplazando la anena de u e-poin. Ea cupla e conoce como cupla de peruración, la cual impacará ore el error en eado eacionario. En ee cao la cupla de peruración reducida por la relación de engranaje η., aparece ore el eje del moor, generando una corriene de peruración, que a u vez genera un par de reacción a la peruración, en el eje del moor. Si el conrolador e uno proporcional, Gc c, el diagrama en loque acondicionado iene el apeco indicado en la figura 4: Dc Dm / π C..5 _.5c Figura 4. Diagrama en loque del conrol de poición modificado. Error en Eado Eacionario de Siema de Conrol Prof. Ing. Carlo F. Marín Año: 8 8

Donde la peruración Dc e un ecalón de Nm.- Cómo afeca eo al error en eacionario? Como e ae el error en eacionario eá dado por. e e R e D ; C El error deido a la enrada de referencia ecalón erá nulo pue el iema e ipo. El error deido a la peruración lo calculamo con la relación ya deducida: η ed C lim limgc G G Para nuero cao erá: e..5.5 c lim lim / π. c D C 5 Por lo ano: e.4 c El cálculo realizado muera que aumenando la ganancia del conrolador, c e diminuye el efeco de la peruración ore nuero iema de conrol auomáico. Siema con realimenación no uniaria a error verdadero. El cao general e indica en la figura 5, llamaremo G Gc Gp, donde Gc y Gp on la funcione de ranferencia del conrolador y de la plana.- SR G R E a C G - B Figura 5. Siema SISO con realimenación no uniaria Error en Eado Eacionario de Siema de Conrol Prof. Ing. Carlo F. Marín Año: 8 9

Se coniderará en ee eudio en principio que la ganancia del elecor de referencia iene un valor cualquiera, como e dijo por aneriormene e igual a la ganancia eáica de la función de ranferencia del camino de realimenación.- El error verdadero e: G E SR C SR G SR G G [ G ] E SR G El cálculo efecuado con el error verdadero, e imilar a coniderar una adecuación del diagrama en loque indicado en la figura 5, al como e muera en la figura 6. Ea / G SR E SR G G C _ G Figura 6. Diagrama en loque equivalene. Reduciendo el diagrama en loque equivalene precedene, oenemo el indicado en la figura 7. SR E G G C G [ G ] _ Figura 7. Diagrama en loque reducido de realimenación uniaria. Calculando el error verdadero, en el diagrama de la figura 7, oenemo el mimo reulado que el ya oenido precedenemene. [ G ] G E G SR Error en Eado Eacionario de Siema de Conrol Prof. Ing. Carlo F. Marín Año: 8

Al iema de realimenación uniaria de la figura 7 le aplicamo odo lo ya dicho repeco al error verdadero en régimen eacionario, ipo de iema y coeficiene de error de lo iema con realimenación uniaria. El diagrama e puede implificar aí: SR E C _ G equiv. Donde la e: G equiv. G equiv. Figura 7 a. G G G [ G ] i G : G equiv. G G [ ] Como e puede apreciar i Ce, la función equivalene del camino direco del iema con realimenación uniaria erá Gequiv. G, por lo ano el Tipo del iema coincidirá iempre con lo polo en el origen que enga la función de raferencia real del camino direco G. Si e una función con polo y cero, recordar que no pueden ear el origen como e ha upueo, el Tipo del iema quedará deerminado por lo inegradore de la función G, olo en lo cao que la mima enga uno o ningún polo en el origen. Si G iene do o má inegradore, el Tipo del iema erá el indicado por lo inegradore de la función G, olamene en el cao que la función de ranferencia ea una conane, Ce.- Comenario: Coniderar como error del iema al error verdadero, ignifica omar como alida del mimo la variale conrolada verdadera, e decir C, la cual e compara con la eñal de referencia SR. Ora forma de calcular el error verdadero e con lo coeficiene de lo polinomio de la función de ranferencia del iema M. r Se eguirá uponiendo que: lim y ademá que: Sr con: El error verdadero erá: r e c Aplicando el eorema del valor final er endrá: Error en Eado Eacionario de Siema de Conrol Prof. Ing. Carlo F. Marín Año: 8

Error en Eado Eacionario de Siema de Conrol Prof. Ing. Carlo F. Marín Año: 8 [ ] lim lim E e e E E [ ] E dee ener odo u polo en el emiplano izquierdo del plano, eo equivale a decir que el iema ea eale. Tranformado por Laplace la primera ecuación: [ ] R M R M R C R E Como M M, e endrá: [ ] R M e EE lim Si,. S R R r r r Sr µ µ µ Como R R, e endrá: lim M uniario ecalón referencia e EE Si,. S R R r r r Sr µ µ µ Como R R, e endrá: M uniaria rampa referencia e EE lim Si,. S S R R r r r Sr µ µ µ Como 3 3 R R, e endrá: lim M paraólica referencia e EE Se upondrá que la función de ranferencia del iema R C M, no iene polo en el origen y e de la forma:...... R C M n n n m m m m ; donde: > y m n Por lo ano M erá:

Error en Eado Eacionario de Siema de Conrol Prof. Ing. Carlo F. Marín Año: 8 3...... SR C M n n n m m m m Si llamamo:. ; ; ec...... SR C M n n n m m m m Por ende e endrá: [ ]... M n n n n Reemplazando en la re expreione del error verdadero de eado eacionario, para la re eñale de referencia uniaria e llega al valor de lo mimo, en función de lo coeficiene de la función de ranferencia M y e reumen de la ala iguiene: Si la magniud de lo ecalone o pendiene de la rampa de la eñale de referencia, no on uniaria, lo errore aquí indicado e deerán muliplicar por el valor de ea magniude. M Sr Sr S µ Sr S µ Sr S µ

Error acuane. El error acuane e puede deerminar en la mima dimenión o unidad que ale del comparador, generalmene en Vol, o en la mima unidad de la eñal de referencia o de la de alida, por ejemplo ºC, rad/eg., mero, radiane, ec. Como e ae: R Ea ; en Vol generalmene, por lo ano: L Ea SR ; aplicando el eorema del valor final: L ea limea lim Ea lim SR L Si Sr µ S SR Por lo ano e endrá: ea ecalón de referencia ; Generalmene en Vol. L Si Sr µ S SR Por ende el error acuane erá: ea rampa de referencia lim L ; Generalmene en Vol. Si Sr µ S SR 3 ea paráola de referencia lim L ; Generalmene en Vol. Para coniderar el error acuane, en la mima unidad que SR, como ya e menciono, el diagrama en loque de la figura 5, conviene diujarlo como indica la figura 8. SR E a G Ea C G B _ G Figura 8. Indicación del error acuane. Llamaremo e a al error acuane en la mima dimenión que la Sr.- Como e puede apreciar la relación enre ea y e a, i G erá. Error en Eado Eacionario de Siema de Conrol Prof. Ing. Carlo F. Marín Año: 8 4

e a ea El error acuane eá dado por: E a SR C G Reemplazando la alida C en función de SR oenemo, la expreión para el cálculo del error acuane, en la mima unidade que la eñal de referencia: E a SR G Ee error acuane, podría coniderare como el que e oendría de un iema de realimenación uniaria como el indicado en la figura 9. SR E a G G _ C alida / Medición de la variale G conrolada B Medición Fig. 9. Siema equivalene de realimenación uniaria morando E a. Al iema repreenado por el diagrama en loque de la figura 9, e le puede aplicar odo lo dicho repeco de lo iema de realimenación uniaria, en cuano al cálculo del error, ipo de iema y coeficiene de error.- Llamando: G G G G y / G /, G G, la función del lazo e igual a la real.- La ganancia eáica de la función de ranferencia e iempre uno. Recordar que el error acuane eá en la mima unidad que la eñal de referencia.- Comenario: Coniderar como error del iema al error acuane, ignifica omar como alida del iema la medición de la variale conrolada verdadera, e decir B C, la cual e compara con la eñal de referencia SR. G Concluión: Dede el puno de via eórico cualquiera de lo do errore definido como verdadero o acuane, pueden coniderare como correco. No oane hay que ener ien preene cuále on la variale que e oman como alida del iema, ya que i e pierde de via ee concepo pueden preenare dificulade en la inerpreación del error en eado eacionario, ipo de iema y coeficiene de error, como aí amién ore la inerpreación y análii de lo reulado oenido con iema reale en la prácica. Error en Eado Eacionario de Siema de Conrol Prof. Ing. Carlo F. Marín Año: 8 5

Análii del error verdadero y acuane para alguno iema reale. Ejemplo. Conrol de poición angular con moor de CC. Sea un iema de conrol de poición aado en un moor de CC, como el indicado en la figura..- En la mima e ha hecho p y p. Se omarán re valore de p, menor, igual y mayor que p. SR R Ea C p [rad].7 [rad] [V/rad] _ [V/V] [rad/v] [V/rad] Figura. Diagrama en loque del conrol de poición. A lo fine de deerminar el comporamieno en eacionario, adoparemo lo iguiene valore para lo parámero: : Ganancia del Amplificador : [ V / V ] p G Ce del poenciomero de enrada : re valore:.5;.8; y. [ V / rad] p : Ce. del poenciomero de alida :.8 [ V / rad] a Error verdadero. En ee cao el diagrama en loque equivalene erá el indicado en la figura, donde e explician el error verdadero y la alida verdadera. p SR E C p [rad] _ [rad].7 p p [rad] Salida verdadera Fig.. Diagrama equivalene de realimenación uniaria con la alida verdadera. De acuerdo a la figura, el iema dede la alida verdadera a la eñal de referencia, e de Tipo cero i p p y Tipo uno i p p pue G, eo úlimo ería lo correco y eá de acuerdo con lo ya comenado aneriormene.- Con lo cual podemo afirmar que el iema iene error verdadero conane al ecalón uniario en la eñal de referencia, e infinio a la uniaria i p p. En camio i p p el iema ería Tipo uno y el error verdadero al ecalón eria nulo, iuación ma real ya que G iene un polo en el origen.- Error en Eado Eacionario de Siema de Conrol Prof. Ing. Carlo F. Marín Año: 8 6

Lo coeficiene de error on repecivamene, para lo re valore de p : p c. e. ecalón. o limgequiv. limg,67 ; y 5 p p c. e. rampa. lim G equiv. lim G ; 4.67836 Luego lo errore verdadero en eacionario erian: e ecalón,375 ; y.5 o e rampa ;.375 e Concluión: Aplicando un ecalón de ampliud rad. en la eñal de referencia, la alida poición verdadera del eje del moor en eado eacionario ermina en un ecalón de ampliud igual a.65 rad, i p, < p p. 5, por ende con un error verdadero de.375 rad.-. Aplicando una rampa uniaria en la eñal de referencia, la alida poición verdadera del eje del moor en eado eacionario, ermina en una rampa de menor pendiene, i p p, por eo el error verdadero e infinio. Si p p el error al ecalón uniario en Sr erá nulo y a la rampa uniaria la pendiene e igual y el error erá finio, iema erá ipo uno como aemo- Si p > p el error al ecalón uniario en Sr erá negaivo, por lo ano la poición final erá mayor que la deeada. A una rampa el mimo erá infinio. El iema de conrol coniderado, omando como alida verdadera a la variale C, e compora como de ipo cero, i p p, y puede decire que el mimo: igue a un ecalón con error verdadero conane y no igue a una rampa.- Si p p, el iema e compora como de ipo uno y puede decire que el mimo igue a un ecalón con error verdadero nulo y iene un error finio para una eñal de referencia rampa uniaria.- Si p > p el error erá negaivo para el ecalón de referencia, la alida erá mayor que la deeada, y ademá no igue a una rampa.- Como en ee iema iene la G con un polo en el origen, ya e dijo que i la Ce., y la ganancia del elecor de referencia e: p. 8, el error verdadero al ecalón de regencia erá nulo pue el iema ería de Tipo uno.- Empleando Simulink puede oenere el error verdadero en función del iempo, y en epecial del referido error para comporamieno en régimen eacionario. En la grafica de la figura e puede ver odo lo comenado para lo re valore de la ganancia del elecor de referencia, p. y Error en Eado Eacionario de Siema de Conrol Prof. Ing. Carlo F. Marín Año: 8 7

Error verdadereo con una eñl de referencia ecalón uniario.8.6.4 p < p i. Tipo p.5.375. -. -.4 p p i. Tipo p > p i. Tipo p.8 p -.5 -.6 -.8 5 5 4 Error verdadero para una eñal de referencia rampa uniaria 3 p < p p p.375 - - p > p Giraria en enido conrario -3 3 4 5 6 7 8 9 Fig.. Error verdadero para Sr ecalón y rampa uniario. Error en Eado Eacionario de Siema de Conrol Prof. Ing. Carlo F. Marín Año: 8 8

Error acuane. Cuando conideramo el error acuane, en la mima unidade que SR, la alida del iema e la eñal de alida medida B, y la enrada la eñal de referencia SR, como e indica en el diagrama en loque de la figura 3 Como G p y p, e endrá el diagrama de loque iguiene: SR E a C p B p [rad] [rad].7 [rad] p [rad] _ Figura 3. Diagrama en loque indicando como alida la medición. De acuerdo a la figura 3 dede la alida medida en radiane, a la enrada de referencia, el iema e de Tipo, iempre con lo cual podemo afirmar que en ea condicione el iema endrá error acuane nulo al ecalón y conane a la rampa. Ademá i p p, c { rad} { rad}, erian iguale, y no proporcionale.- Lo coeficiene de error que on independiene del valor de p y erán: c. e. e. ecalón o limg p c. e. r. rampa lim G 4.68.7 c. e. p. paráola lim G Lo errore acuane en eado eacionario amién erán independiene del valor de p y u valore on: e a ecalón o e a rampa. rad. 4.68 e a paráola Concluión. Coniderando como alida del iema a la medición, puede decire que el mimo e compora como de ipo uno y, que en ee cao el mimo igue a un ecalón con error acuane nulo, y a una rampa con error acuane conane y no igue a una paráola. En forma gráfica empleando Simulink, e oiene la repuea emporal para enrada ecalón y rampa, donde e puede oervar el error acuane en función del iempo y, en epecial para régimen eacionario. Ver figura 3. Error en Eado Eacionario de Siema de Conrol Prof. Ing. Carlo F. Marín Año: 8 9

Error acuane para eñal de referencia ecalón uniario.8.6.4. -. -.4 3 4 5 6 7 8 9.45 Error acuane para eñal de referencia rampa uniaria.4.35.3.5...5..5 3 4 5 6 7 8 9 Figura 4. Error acuane al ecalón y rampa uniario. Error en Eado Eacionario de Siema de Conrol Prof. Ing. Carlo F. Marín Año: 8

Ejemplo. Conrol de emperaura. Sea el iema de conrol de emperaura indicado en la figura 5. [V/ºC] SR R Ea [ V ] C p. 5 [ºC] [V] [V].5. Temperaura Temperaura _ de alida de referencia [V/V] [ºC/V] [ºC] Medición [V / ºC] Figura 5. Conrol de emperaura Se omarán re valore de la ganancia del elecor de referencia p, uno menor, igual y el oro mayor a la.- p.4v [ V /º C] ; p.48[ V /º C] y p.5[ V /º C] con p.48 [ V /º C]. Para lo do valore primero el iema erá Tipo cero, lo correco ería omar p.48v [ V /º C], como ya e mencionó al principio.- Si p.5 V [ V /º C], el error verdadero al ecalón de referencia ería nulo, pue el iema ería Tipo uno: p / G..48.5.. a Error verdadero. En ee cao el diagrama de loque conviene exprearlo como indica la figura 6, donde e explician el error verdadero y la alida verdadera, en el diagrama equivalene con realimenación uniaria: 4.8 SR E.5 p Salida C 3.5.5.5p.5 5p Temperaura de referencia _ [rad] [rad] [ºC] [ºC] Figura 6. Diagrama equivalene de realimenación uniaria con la alida verdadera. Tomando como alida la variale verdadera c y como enrada la de referencia Sr, en ºC, el iema reula er de Tipo cero i p. 4, o para cualquier valor diino de.5, e decir que eguirá con error verdadero conane a una eñal de referencia ecalón y no eguirá a una enrada rampa. Si e hace p. 5, el iema e de Tipo uno. Sería como aumenar la eñal de enrada haa que la alida coincida con el valor deeado, pero como e ve la Error en Eado Eacionario de Siema de Conrol Prof. Ing. Carlo F. Marín Año: 8

relación enre la alida c y la eñal de realimenación no ería igual a la relación enre la eñal de referencia Sr y la eñal de enrada r. Volviendo al ejemplo lo coeficiene de error on para p.4 ;.48. 5 : y c. e. e. ecalón. limgeq..5.. 4 ; 4 y. c. e. r. rampa lim Geq. ; y.5..6 Lo errore verdadero en eacionario eán dado por: e ecalón o 4. ;.4 y. e rampa ; y.94. Cuando p p. 48, el coeficiene de error e o 4 y en conecuencia el error en eado eacionario eria : e.4º C, el cual ería el má lógico de acuerdo a lo comenado con anerioridad.- Concluión: Lo cálculo precedene indican que al exciar en la referencia con un ecalón uniario de ºC, con p. 4, el iema e compora como de Tipo cero y, la alida verdadera del iema e poiciona aproximadamene en.8 ºC. Eo da lugar a un error verdadero de. ºC. Si p p. 48 al exciar en la referencia con un ecalón uniario de ºC, el iema e compora como de Tipo cero y, la alida verdadera del iema e poiciona aproximadamene en.96ºc. Eo da lugar a un error verdadero de.4ºc. Eo ería lo adecuado por odo lo ya eudiado en lo párrafo aneriore. Si p. 5 al exciar en la referencia con un ecalón uniario de ºC, el iema e comporaría como de Tipo uno y, la alida verdadera del iema e poiciona en ºC. Eo da lugar a un error verdadero nulo.- Empleando Simulink puede oenere el error verdadero en función del iempo, y en epecial el referido error para comporamieno en régimen eacionario, para p.4 ; p.48 y p.5. Ver figura 7: Error en Eado Eacionario de Siema de Conrol Prof. Ing. Carlo F. Marín Año: 8

Error Verdadero para una Referencia Ecalón Uniario.5 p.4 p.48 p.5..4 -.5 4 6 8 4 Error Verdadero para Referencia Rampa Uniaria 8 p.4 6 4 p.48 p.5.94 4 6 Figura 7. Error verdadero para ecalón y rampa uniario Error en Eado Eacionario de Siema de Conrol Prof. Ing. Carlo F. Marín Año: 8 3

Error acuane Cuando conideramo el error acuane, la alida del iema e la eñal de medición, como e indica en el diagrama en loque de la figura 8. Previamene e inroduce denro del equema de loque la ranferencia del acondicionador de referencia, en ee cao la conane p [V/ºC], para ener la E a en [ºC].- SR E a.5 p C 4.8/ p B Temperaura [ºC ].5. [ºC] Medición de referencia _ de la variale [ºC] de Salida en [ºC] Figura 8. Diagrama en loque indicando como alida la medición. De acuerdo a la figura 8 dede la alida de medición a la enrada de referencia el iema e de Tipo cero con lo cual e puede afirmar que en ea condicione el iema endrá error acuane conane al ecalón. Lo coeficiene de error, erán odo iguale para lo diferene p, pue on independiene del valor de p:. c. e. e. ecalón o limg 4..5 c. e. r. rampa lim G Lo errore acuane en eacionario on: e a ecalón.4 o 4 e a rampa Como e puede ver i p p. 48, en general i, el error acuane de eado eale, en la unidad de la eñal de referencia coincide con el error verdadero de eado eacionario en la mima dimenión iempre que lo iema equivalene con realimenación uniaria ean Tipo cero.- Pue en eo cao e C B, ya que.- Eo e una concluión general y juifica amién por que. Concluión: Lo cálculo precedene indican que al exciar en la referencia con un ecalón uniario de ºC, la alida de medición del iema e poiciona en. 96 ºC. Eo da lugar a un error acuane de.4 ºC. Empleando Simulink puede oenere el error acuane en función del iempo, y en epecial el referido error para comporamieno en régimen eacionario. Ver figura 9: Error en Eado Eacionario de Siema de Conrol Prof. Ing. Carlo F. Marín Año: 8 4

Error acuane con eñal de referencia ecalón uniario.5.4 -.5 3 4 5 6 7 8 4.5 Error acuane con eñal de referencia rampa uniaria 4 3.5 3.5.5.5 3 4 5 6 7 8 Figura 9. Error acuane para enrada ecalón y rampa uniario Error en Eado Eacionario de Siema de Conrol Prof. Ing. Carlo F. Marín Año: 8 5

Ejemplo 3. Plana de egundo orden con inercia pura. Sea la plana de egundo orden con inercia pura indicado en la figura. La ganancia del elecor de enrada la llamaremo p y la función de ranferencia del elemeno de medición una ganancia Ce p. SR [V] [V] [V] [V] Salida Verdadera p C A [rad] [rad] [V/rad] _ [V/V] _ [V] [V] [rad/v] Referencia p [V/rad] [V/rad] Figura. Plana de º orden con inercia pura. A lo fine de analizar el comporamieno de lo errore, inonizaremo el lazo con lo iguiene valore de lo parámero : A [V/V] p.5 [V/rad] y p p.7 [V/rad] p.7 [V/rad] [V/rad/eg.] 3 a Error Verdadero. En ee cao el diagrama en loque conviene exprearlo como indica la figura, donde e explician el error verdadero y la alida verdadera. SR E Salida Verdadera C A p [rad] [rad] Referencia p p Figura. Siema equivalene indicando alida y error verdadero Error en Eado Eacionario de Siema de Conrol Prof. Ing. Carlo F. Marín Año: 8 6

Reolviendo el lazo inerno, oenemo el diagrama de la figura : R E Salida verdadera Ap C Referencia [rad] _ A p p [rad] Figura. Diagrama equivalene indicando la alida y el error verdadero. El iema, coniderando como variale de alida la verdadera e de ipo, cuando p p, i p p, ería ipo uno, con lo cual lo coeficiene de error para p.5 erán: p.5 c. e. e limgequiv..5 p p.7.5 c e. r. lim G. equiv. y para p.7 on: c e. e limg. equiv. Ap.7 c. e. r. lim Gequiv. 7 Lo errore verdadero en régimen permanene erán para p.5: e ecalón.86 c. e. e. 3.5 e rampa c. e. r. y para p.7: e ecalón c. e. e. e rampa.43 7 Si p p. 7 el iema ería Tipo uno, y el error verdadero en eado eale al ecalón uniario en la Sr erá nulo y a la rampa aproximadamene.43. Concluión: Lo cálculo precedene indican que al exciar en la referencia con un ecalón uniario de rad, el iema, omando como alida la verdadera e compora como de Tipo cero i p p y, la alida verdadera del iema e poiciona en.74 rad. Eo da lugar a un error verdadero de.86 rad. Si p p y ee error e nulo y a la rampa e finio.- Empleando Simulink puede oenere el error verdadero en función del iempo, y en epecial el referido error para comporamieno en régimen eacionario. Ver figura 3: Error en Eado Eacionario de Siema de Conrol Prof. Ing. Carlo F. Marín Año: 8 7

Error verdadero para eñal de referencia ecalón uniario.8.6.4. -. p.5 p.7.86 -.4 -.6 5 5 4.5 Error verdadero para eñal de refencia rampa uniaria 4 3.5 p.5 3.5.5.5 p p.7 -.5 5 5.4857 Figura 3. Error verdadero con enrada ecalón y rampa uniaria con p.5. 7 y Error en Eado Eacionario de Siema de Conrol Prof. Ing. Carlo F. Marín Año: 8 8

3 Error acuane. Cuando conideramo el error acuane, la alida del iema e la eñal de medición, como e indica en el diagrama en loque de la figura 4. Previamene e inroduce denro del equema de loque la ranferencia del acondicionador de referencia, en ee cao la conane p [V/rad].- Medición de la variale SR E a Ap C p de alida B p Poición de Referencia _ [rad] [rad] Figura 4. Diagrama en loque indicando como alida la medición. De acuerdo a la figura 4 dede la alida de medición a la enrada de referencia el iema e de Tipo uno, ea cualquiera el valor de p,con lo cual podemo afirmar que en ea condicione el iema iene el error acuane nulo al ecalón y conane a la rampa. Sore la ae de lo indicado lo coeficiene de error on: El error acuane en eacionario e. Concluión: Lo cálculo precedene indican que al exciar en la referencia con un ecalón uniario de rad, la alida de medición del iema e poiciona en rad. Eo da lugar a un error acuane de rad. Cuando e excia con una rampa uniaria la alida de medición e una rampa paralela a la de referencia, de manera que el error acuane e de.43, igual al error verdadero cuando, pue lo iema equivalene on del mimo Tipo, uno en ee cao.- Error en Eado Eacionario de Siema de Conrol Prof. Ing. Carlo F. Marín Año: 8 9

Empleando Simulink puede oenere el error acuane en función del iempo, y en epecial el referido error para comporamieno en régimen eacionario. Ver figura 5. Error acuane con referencia ecalón uniario.8.6.4. -. -.4 -.6 5 5.45 Error acuane con referencia rampa uniaria.4.35.3.5..5.43..5 -.5 5 5 Fig. 5. Error acuane con enrada ecalón y rampa uniario. Error en Eado Eacionario de Siema de Conrol Prof. Ing. Carlo F. Marín Año: 8 3

Ejemplo 4: Un iema de conrol de velocidad iene la configuración indicada en la figura 6: [Vol] SR R Ea c C [rad/eg.] [Vol/rad/eg.] _ B 5 _ E Figura 6: Deerminar:. El rango del parámero c para que el iema ea eale.-. La ganancia eáica del elemeno de medición. 3. El valor apropiado de la ganancia del elecor de referencia.- 4. Con el valor de deerminado en 3, la eñale de enrada r para la re referencia ípica uniaria. 5. Si c. 5, iempre con deerminado en 3, la G equiv. del iema equivalene con realimenación uniaria y el ipo del iema de conrol. 6. Uando la G equiv. y la función de ranferencia M, lo errore verdadero de eado eacionario para la re eñale de referencia ípica de pruea uniaria, Sr µ ; Sr µ y Sr..- S S µ S 7. Lo errore acuane de eado eacionario en la mima dimenión que Sr, para la referencia ípica de pruea uniaria.- Solución: La ecuación caraceríica del iema e: 5 c ; dearrollando quedará: 4 3 5 5 c c Por urwiz la rericcione erán la iguiene: c > Condición Necearia 5 5 > c c < 37. 5 5 5 c c > c c < 6. 5 5 El rango oal erá en conecuencia: < c < 6.5 Error en Eado Eacionario de Siema de Conrol Prof. Ing. Carlo F. Marín Año: 8 3

lim lim 4 4 5 3 4 r r 4 Si Sr µ S 4 r 4µ S R 4. r r Sr µ S 4 r 4µ S R 4. r r 4 Sr µ S r µ S 4 R 4. 5 Uando: G Gequiv G G 4c 5 Gequiv. para c.5 : 3 5 5 6c 5 5 Gequiv. 3 5 5 El iema equivalene erá Tipo uno a pear de lo do inegradore de G, eo e dee a que la función de ranferencia iene dinámica y ademá do inegradore.- 6 Para el ecalón uniario en la referencia: p eee Para una rampa uniaria en la referencia: 5 v lim Gequiv..5 eee.8[ rad / eg.] v Para la paráola uniaria en la referencia: a lim Gequiv. e [ rad / eg.] Uando a la función de ranferencia M : M EE C 4c 5 M ; para c.5 < 6.5. 4 3 SR 5 5 c c 5 5 M, por lo ano: 4 3 5 5 5 5 Al ecalón uniario en la referencia: e ; EE pue. 5 5 A la rampa uniaria en la referencia: e EE.8 [ rad / eg.] Error en Eado Eacionario de Siema de Conrol Prof. Ing. Carlo F. Marín Año: 8 3

A la paráola uniaria en la referencia: eee pue y. 7 Para el error acuane en la mima unidad que Sr, como: c L G ; 5 El iema equivalene para deerminar el error acuane erá de Tipo do, por ende el error acuane al ecalón y la rampa erán nulo. Lo do iema equivalene para deerminar el error verdadero y para el error acuane on de diferene Tipo eo e deido a que lo inegradore de G on do y la no e una conane.-.- Ahora e endrá que: e a ; ecalón en Sr e a ; rampa en Sr e a ; paráola uniaria en Sr lim L.4c.5 c.5.5. [ unidad de Sr ] Eo e puede ver con el diagrama de loque de la figura 7. SR E a c C B [rad/eg.] [rad/eg.] [rad/eg.] 5 _ B Figura 7: Como e puede ver i 4, la ganancia eáica del función del úlimo loque e la unidad, por lo ano c, o ea lo valore finale de c y erán iguale en rad/eg. Por lo ano, e Sr c y e a Sr B erán iguale i lo iema equivalene fueran del mimo ipo.- Al mimo reulado e llegaría i e emplea la relación: ea paráola [ Vol] e a paráola [ rad / eg.].8[ Vol]. [ rad / eg.] 4[ V / rad / eg] En la figura 8 e mueran oda la eñale oenida con un equema de Simulink para una eñal de referencia rampa uniaria. Error en Eado Eacionario de Siema de Conrol Prof. Ing. Carlo F. Marín Año: 8 33

5 4.5 4 3.5 3.5 r Señale del Siem a para Sr u Sr C.5.5 e.8 ea -.5 3 4 5 6 7 8 9 Figura 8. Ejemplo 5: Analizar lo errore del iema que iene: 5 G y.5 4 3 6 8.5 6 Deerminar lo errore verdadero y acuane en eado eacionario para eñale de referencia ecalón y rampa uniario.- Si e oma, como e hace haiualmene, el iema erá Tipo cero y endrá un error verdadero de eado eale finio para Sr µ, lo cual implica que: r µ. 6 Si e elige, coa no común: 3. 3. G 5 El iema ería al meno ipo uno.- Pero e elegirá, por odo lo ya comenado con anerioridad. Calculo de lo errore verdadero: Error en Eado Eacionario de Siema de Conrol Prof. Ing. Carlo F. Marín Año: 8 34

Como: M M 3 6 6 o Gequiv. 3 6 6 Como el iema equivalene e Tipo cero el error verdadero al ecalón uniario en la referencia erá: e EE 3 ecalón.375 o 5/ 3 8 Para el error acuane en la mima unidad que Sr e endrá:.5 4 L, 3 6 8.5 6 Tamién Tipo cero por lo ano el error acuane deerá er igual al verdadero como e comeno. Por lo ano e endrá para Sr µ, como r h, que: e a ecalón lim L.375 5 / 3 [ enla mima unidad quela Sr ] Para la rampa como v ea Uando un diagrama de Simulink la eñale e mueran en la figura 9 y 3 para eñale de referencia ecalón uniario y rampa uniaria repecivamene: Error en Eado Eacionario de Siema de Conrol Prof. Ing. Carlo F. Marín Año: 8 35

.5 Señale del Siem a para Sr u, con r h r.5 e Sr c.5 ea Como e aprecia -.5 einf. eàinf. - 5 Figura 9. Señale del Siem a para Sr u; con r h 4 Srinf. y Cinf. no ienen la mima pendiene por lo ano lo errore en eado de regimen on infinio r Sr 6 e c ea - 4 8 Figura 3. Error en Eado Eacionario de Siema de Conrol Prof. Ing. Carlo F. Marín Año: 8 36

Ejemplo 6: En el iema de la figura e un conrol de velocidad y la funcione de ranferencia repreenada ienen la iguiene caraceríica: Gp e un iema de primer orden, in cero, con conane de iempo T egundo y ganancia eáica o 36.- M iene enre oro elemeno olo un cero en -.- e un iema de primer orden in cero.- Gc e una función de ranferencia con un único polo, ningún cero y la ganancia e un número enero poiivo.- R Ea U C Gc Gp _ M Conruya uno de lo poile ejemplo para la funcione Gc, Gp y que ajo la condicione aneriore cumpla con la iguiene epecificacione del iema:. Evidenemene que el iema ea eale.-. Que el iema M enga una ganancia eáica de 5 Rad/eg./ Vol, por ejemplo que la eñal de enrada r varia enre ± Vol para que c varíe enre ± 5 Rad/eg., e decir, cuando la enrada e 5 Vol la alida e 5 Rad/eg.- 3. Que el iema enga un error de poición nulo para una eñal de referencia ecalón y menor o igual a.65 radiane para una eñal referencia rampa de pendiene 5rad/eg.- Solución: Se iene que: c Gp T 36 Gp 3.6 Gp. Como el iema iene un cero en, y ni el conrolador ni la plana ienen uno, por ende la deerá ener un polo en, o ea: Ademá endrá que cumplire la expreión iguiene: Rad / eg vol 5 Rad / eg. Vol En conecuencia:.. 5 Error en Eado Eacionario de Siema de Conrol Prof. Ing. Carlo F. Marín Año: 8 37

Como o. 4 En conecuencia: 4 La Gc deerá er por lo dao y epecificacione pedida Donde c e un número enero que eerá ear en el rango eale Y cumplir con la epecificación del error a la rampa de enrada.- Enconrando la G equiv., e endrá: G Gc Gp Gc equiv. ; remplazando la funcione, no queda: Gc G [ ].7 c G equiv. ; Tipo uno, como era de eperar. [..7c ] El error a la rampa uniaria erá: 5Rad / eg. 5.7c e rampa. 65 c. 85 v eg 4.4c El rango de c para que el iema ea eale, e puede deerminar por cualquier crierio. La ecuación caraceríica erá: 3. 4.4c, Evidenemene c dee er poiivo y aplicando el crierio de urwi, e endrá:. > 4.4c c <.796 Como el dao e que dee er enero y ademá ear en el rango: c.85< c <.79, e elegirá c Con lo cual e deermino la re funcione pedida.- Gc La mima cumplen con la epecificacione oliciada.- El error de eado eacionario a una rampa de referencia de pendiene 5rad/eg. erá: e rampa.486 <.65. Error en Eado Eacionario de Siema de Conrol Prof. Ing. Carlo F. Marín Año: 8 38

Reumen Final: Tipo de un iema: E el número de polo en el origen, o de inegradore que iene la G equiv. del iema correpondiene con realimenación uniaria: Llamaremo Gc y Gp a la Funcione de Tranferencia del Conrolador y la Plana repecivamene. El Diagrama de Bloque del Siema Real e: SR R Ea C Gc Gp Figura 3: El Diagrama de Bloque del Siema Equivalene para Deerminar el Error Verdadero e: SR E C Gc Gp Gequiv. Gc Gp [ ] _ Coeficiene de error: p limg v lim G equi. a lim G equiv. equiv. Figura 3: TIPO 3 ep /p ev Inf. /v ea Inf. Inf. /a Recordar que no iene polo ni cero en el origen.- Si no iene polo en el origen: G equiv. p ce., v a ep ce., ev ea inf. Si iene un polo en el origen: G equiv. p inf., v ce., a ep, ev ce., ea inf. Si G equiv iene do polo en el origen :. p inf., v inf., a ce. ep ev, ea ce. Si G equiv. iene re o má polo en el origen: Todo lo errore on nulo.- Noa: Si e una conane,, enonce Gequiv. Gc Gp.- Expreione y afirmacione válida ólo i Ce.- Error en Eado Eacionario de Siema de Conrol Prof. Ing. Carlo F. Marín Año: 8 39

Diagrama de Bloque del Siema Equivalene para Deerminar el Error Acuane en la Mima Dimenión que la Señal de Referencia: SR Ea C B Gc Gp _ Figura 33 Como no iene polo en el origen, la función que define el Tipo del Siema para el error acuane erá Gc Gp, en lugar de la G equiv. La magniud del error acuane eará en general eará dada por la función L Gc Gp. Pero cuando, coincide con la Gequiv. Gc Gp, en conecuencia la magniud de lo do errore erán iguale o ea: e e a.-. Concluión: Del eudio eórico realizado y de lo ejemplo dearrollado, puede concluire que el raamieno del error en régimen permanene puede efecuare con el error verdadero o con el error acuane. Amo errore aporan informacione equivalene, deiendo enere preene que en un cao la alida del iema e la alida verdadera C y en el oro la alida del iema e la medición de la mima B en la mima unidade que C. Dede el puno de via del ingeniero en conrol o del inrumenia, quizá el error acuane ea má adecuado, ya que en la prácica la alida verdadera no e conoce, alvo a ravé de u medición, lo que repreena coniderar la mima como formando pare de la cadena direca, y al iema como de realimenación uniaria. Ademá i la función de ranferencia e una conane h, y la ganancia del elecor de referencia e hace, r h, lo iema equivalene para deerminar el error verdadero y el acuane endrán el mimo Tipo, y erá el indicado por lo polo en el origen de la G real, ya que en eo cao la Gequivh.G.- Cuando la función iene dinámica eo generalmene no e cumple como e demoró en el ejemplo 4 en el mimo el iema equivalene para deerminar el error verdadero era Tipo uno y el iema para deerminar el error acuane era Tipo do.- Error en Eado Eacionario de Siema de Conrol Prof. Ing. Carlo F. Marín Año: 8 4