1.3. La recta en el plano afín La recta está formada por puntos del plano en una dirección dada. La ecuación de la recta es la condición necesaria y suficiente que deben cumplir las coordenadas de un punto del plano para pertenecer a la recta. Definición 1.28 (Determinación de una recta) Una recta en el plano viene determinada por un punto y un vector libre, no nulo, r (P; u ) Propiedad 1.10 (Ecuación vectorial de la recta) Condición necesaria y suficiente para que un punto del plano pertenezca a la recta r (P; u ). p P PX x X Sea X un punto genérico de la recta r (P; u ). Vectorialmente: OX = OP + PX. El vector PX es linealmente dependiente con el vector director u, PX u, si y sólo si, existe un escalar λ tal que PX = λ u. La ecuación vectorial de la recta es: x = p + λ u, λ R (1.1) O Ejemplo La ecuación vectorial de la recta determinada por el punto P(1,3) y el vector u = (7,3) es: x = (1,3) + λ (7,3), λ R Propiedad 1.11 (Ecuaciones paramétricas de la recta) Considerando las componentes del vector director y las coordenadas de los puntos, la ecuación (1.1) se escribe: x = x 0 + λ (x,y) = (x 0,y 0 ) + λ(,u 2 ) = (x,y) = (x 0 + λ,y 0 + λu 2 ) = y = y 0 + λu 2 Las ecuaciones paramétricas de la recta son: x = x 0 + λ y = y 0 + λu 2 λ R (1.2) Ejemplo x = 1 + 7λ Las ecuaciones paramétricas de la recta r del ejemplo anterior son: r λ R El y = 3 + 3λ punto Q(4, 5) pertenece a la recta? Si al sustituir en las ecuaciones paramétricas las coordenadas del punto Q, el valor del parámetro λ es igual, entonces el punto Q r. x = 1 + 7λ = 4 = 2 + 7λ = λ = 2 7 Es decir Q r y = 3 + 3λ = 5 = 3 + 3λ = λ = 2 3 Departament de matemàtiques - 10 - I.E.S. Joan Ramon Benaprès
Propiedad 1.12 (Ecuación continua de la recta) La ecuación continua de la recta se obtiene despejando en las ecuaciones paramétricas (1.2) el parámetro, λ, e igualando: λ = x x 0 λ = y y 0 u 2 x x 0 = y y 0 u 2 (1.3) Observaciones Los dos denominadores simultáneamente no pueden ser cero. El vector director de una recta siempre es no nulo. Un denominador si que puede ser cero. NO ESTÁ DIVIDIENDO POR CERO. Es una proporción. Ejemplos (i) Calcular la ecuación continua de la recta determinada por el punto P( 5,2) y el vector u = (3, 2) Directamente aplicando (1.3): x ( 5) 3 = y 2 2 = x + 5 3 = y 2 2 (ii) Ecuaciones vectorial, paramétricas y continua de los ejes de coordenadas El eje de abscisas viene determinado por el origen de coordenadas, O(0,0), y el primer vector de la base canónica, e 1 = (1,0): x = 0 + λ x (x,y) = (0,0) + λ(1,0) y = 0 1 = y 0 El eje de ordenadas viene determinado por el origen de coordenadas, O(0,0), y el segundo vector de la base canónica, e 2 = (0,1): x = 0 x (x,y) = (0,0) + λ(0,1) y = 0 + λ 0 = y 1 Propiedad 1.13 (Ecuación general o implícita de la recta) Multiplicando en la ecuación continua (1.3): (x x 0 ) u 2 = (y y 0 ) = u 2 x u 2 x 0 = y y 0 = u 2 x y + y 0 u 2 x 0 = 0 A = u 2 Llamando: B = C = y 0 u 2 x 0. La ecuación general es: Ax + By + C = 0 (1.4) La ecuación general es la condición que verifican las coordenadas, (x, y), de los puntos del plano que pertenecen a la recta Si en la ecuación implícita, C = 0, la recta pasa por el origen de coordenadas O(0,0). Departament de matemàtiques - 11 - I.E.S. Joan Ramon Benaprès
Ejemplos (i) Hallar la ecuación general de la recta, r, determinada por el punto P(3, 4) y el vector u = ( 1,2) La ecuación continua de la recta, (1.3): x 3 1 = y + 4 2. Multiplicando: 2(x 3) = (y + 4) = 2x 6 = y 4 = r 2x + y 2 = 0 (ii) Razonar si los puntos: Q(4,2) y R(5, 8) pertenecen a la recta r. Q(4,2) sustituyendo: 2 4 + 2 2 = 4 0 = El punto Q NO PERTENECE a la recta R(5, 8) sustituyendo: 2 5 8 2 = 0 = El punto R SÍ PERTENECE a la recta (iii) Hallar las ecuaciones generales (implícitas), de los ejes de coordenadas. Eje de abscisas: x 1 = y 0 = y = 0. Los puntos situados en el eje de abscisas sus ordenadas son cero. Eje de ordenadas: x 0 = y 1 = x = 0. Los puntos situados en el eje de ordenadas sus abscisas son cero. (iv) Hallar la ecuación vectorial de la recta r 3x 5y + 12 = 0. El procedimiento es a la inversa: 3x 5y + 12 = 0 = 3x = 12 + 5y = x = 4 + 5 y,llamando λ a y, 3 x = 4 + 5 3 λ y = λ ( ) 5 De las ecuaciones paramétricas se deduce: (x, y) = ( 4, 0) + λ 3,1, por lo tanto: λ R Un punto de la recta: P( 4,0) Un vector director: ( ) 5 u = 3,1 (5,3) Definición 1.29 (Pendiente de una recta) La pendiente de un recta es la tangente trigonométrica del ángulo,, que forma la recta con el semieje positivo de abscisas. Se denota con la letra m La recta viene determinada por un punto P y un vector director u = (u1,u 2 ). Si 0, por trigonometría: u u u 2 tan = La pendiente de la recta r es: cateto opuesto cateto contiguo = u 2 = m m = tan = u 2, 0 (1.5) Departament de matemàtiques - 12 - I.E.S. Joan Ramon Benaprès
Observaciones El ángulo está comprendido entre 0 y 180, por lo tanto: Si = 0 = m = tan 0 = 0 Si 0 < < 90 = m > 0 Si = 90 = la recta no tiene pendiente, rectas perpendiculares al eje de abscisas Si 90 < < 180 = m < 0 m = tan > 0 m = 0 m = tan < 0 Propiedad 1.14 (Ecuación explícita de la recta) Despejando en la ecuación general (1.4) si B 0: y = A B x C B. Si x = 0 entonces y = C = n, el punto (0,n) es el punto de corte de la recta con el eje B de ordenadas, por ello, a n se le llama ordenada en el origen de la recta. A = u 2 Además en la ecuación general: = tan = u 2 = A B = B = A B = m y = mx + n (1.6) Propiedad 1.15 (Ecuación punto-pendiente) La ecuación implícita de la recta es: y = mx+n. La recta pasa por el punto P(x 0,y 0 ), las coordenadas del punto verifican la ecuación: } y = mx + n restando = y y y 0 = mx 0 + n 0 = m(x x 0 ) P(x 0,y 0 ) La ecuación punto-pendiente de la recta: y y 0 = m(x x 0 ) (1.7) Definición 1.30 ( Haz de rectas) Se llama haz de rectas de vértice P al conjunto de TODAS las rectas del plano que pasan por el punto. La ecuación del haz de rectas es: y y 0 = m(x x 0 ) Forma punto-pendiente m R x = x 0 Ecuación general (1.4) Ax + By + C = 0 Forma implícita, cartesiana o general Las rectas pasan por el punto P(x 0,y 0 ) Ax 0 + By 0 + C = 0 Restando las dos ecuaciones: A(x x 0 ) + B(y y 0 ) = 0, A,B R (1.8) Departament de matemàtiques - 13 - I.E.S. Joan Ramon Benaprès
Ecuación de la recta determinada por dos puntos La ecuación de puede calcular de, al menos, dos formas: Forma vectorial Si los puntos son P(x 0,y 0 ) y Q(x 1,y 1 ), el vector director de la recta es PQ = (x1 x 0,y 1 y 0 ) y el x x 0 punto P o Q. Forma continua (1.3): = y y 0 y 1 y 0 m = tan = y 1 y 0 Q(x 1,y 1 ) P(x 0,y 0 ) PQ y 1 y 0 Figura 1.9: Recta determinada por dos puntos Forma explícita. Punto pendiente La pendiente es el cociente entre el incremento de ordenadas y el incremento de abscisas: m = y 1 y 0. y y 0 = y 1 y 0 (x x 0 ) 1.3.1. Posición relativa de dos rectas en el plano Por geometría clásica, la posición relativa de dos rectas en el plano es: Secantes: un punto en común, r s = A. Paralelas estrictas: ningún punto en común, r s =. Paralelas coincidentes: infinitos puntos en común, r s A PQ Departament de matemàtiques - 14 - I.E.S. Joan Ramon Benaprès
Forma vectorial Dadas dos rectas, r (P; u ) y s (Q; v ): Forma explícita Si los vectores directores, u, v, son linealmente independientes, u v, entonces las recta son secantes. Si los vectores directores, u, v, son linealmente dependientes, u v, entonces: Paralelas estrictas Si los vectores, u, PQ, son linealmente independientes, u PQ. Paralelas coincidentes Si los vectores, u, PQ, son linealmente dependientes, u PQ. Dadas las rectas: r y = m 1 x + n 1 s y = m 2 x + n 2 : Si m 1 m 2 entonces rectas secantes. Si n 1 n 2 entonces paralelas estrictas. Si m 1 = m 2 entonces paralelas: Si n 1 = n 2 entonces paralelas coincidentes. Forma implícita o cartesiana r A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 Las ecuaciones de las rectas en forma general: s A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 las dos rectas es la solución del sistema formado por las dos ecuaciones:, la posición relativa de Si el sistema tiene única solución, entonces las rectas se cortan el punto de coordenadas la solución del sistema. Las rectas son secantes. Si el sistema no tiene solución, entonces las rectas no se cortan. Las rectas son paralelas. Si el sistema tiene infinitas soluciones, entonces las rectas se cortan en infinitos puntos. Las rectas son paralelas coincidentes. r A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ( A 2 ) r A 1 A 2 x B 1 A 2 y C 1 A 2 = 0 s A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 (A 1 ) s A 1 A 2 x + B 2 A 1 y + C 2 A 1 = 0 sumando (A 1 B 2 A 2 B 1 )y C 1 A 2 + C 2 A 1 = 0 Si A 1 B 2 A 2 B 1 0 entonces el sistema tiene única solución las rectas son secantes y las coordenadas del punto de corte son: y = A 2C 1 A 1 C 2 A 1 B 2 A 2 B 1 x = B 1C 2 B 2 C 1 A 1 B 2 A 2 B 1 Si A 1 B 2 A 2 B 1 = 0 y A 2 C 1 A 1 C 2 0 entonces el sistema no tiene solución. Las rectas son paralelas. La condición de rectas paralelas estrictas es: A 1 B 2 A 2 B 1 = 0 = A 1 B 2 = A 2 B 1 = A 1 A 2 = B 1 B 2 (1.9) Si A 1 B 2 A 2 B 1 = 0 y A 2 C 1 A 1 C 2 = 0 entonces el sistema tiene infinitas soluciones. Las rectas son paralelas coincidentes. La condición de rectas paralelas estrictas es: A 1 B 2 A 2 B 1 = 0 = A 1 B 2 = A 2 B 1 = A 1 = B 1 = C 1 (1.10) A 2 C 1 A 1 C 2 = 0 = A 2 C 1 = A 1 C 2 A 2 B 2 C 2 Departament de matemàtiques - 15 - I.E.S. Joan Ramon Benaprès