Material para el curso de Lógica (primavera 2016) Facultad de Filosofía, Universidad de Sevilla Última modificación: 18 Junio 2016. Detalles prácticos Curso impartido por Fernando R. Velázquez Quesada. Clases: Martes (18:00-20:00), Miércoles (18:00-19:00) y Jueves (20:00-21:00), desde el 9 de Febrero hasta el 2 de Junio (15 sesiones de 2 horas, 30 sesiones de 1 hora). Aula: F2. Contenido del curso y forma de evaluación. Notas (con ejemplos y ejercicios) en las cuales se basa el curso (versión actual: 2016-04-25-15:53). MUY IMPORTANTE: estas notas están en proceso de elaboración, y por lo tanto serán actualizadas varias veces a lo largo del curso. Cuando las consulten, asegúrense de tener la versión mas reciente. El curso, día a día He aquí una lista con los resultados finales del curso. Aquellos que aprobaron los tres exámenes tiene como nota final el promedio de dichos exámenes. Aquellos que se presentaron al examen final tiene como nota final el resutlado de dicho examen. Para cualquier duda o aclaración, pueden contactarme por correo electrónico o el Lunes 20 de Junio en la oficina. la tarde del lunes llenaré las actas, y no entonces será posible hacer cambios. Miércoles 15 de Junio (17hrs). Examen final. Para adecuarnos al calendario oficial de la Facultad de Filosofía, el examen final se ha cambiado para esta fecha (aula F2). He aquí una lista con los resultados de los tres exámenes. Aquellos que no aprobaron todos los exámenes se pueden presentar al examen final en la fecha y lugar indicados mas abajo. Aquellos que aprobaron todos los exámenes tienen ya una calificación final (el promedio de los tres resultados), aunque pueden presentarse al examen final en caso de que deseen 1 de 8 09/03/17 23:15
intentar obtener un mejor resultado. Miércoles 25 de Mayo. Revisión del tercer examen. Martes 31 de Mayo. Tercer examen. Miércoles 25 de Mayo. Revisamos argumentos en lenguaje natural, reescribéndolos con fórmulas del lenguaje de predicados y decidiendo entonces su validez. Martes 24 de Mayo. Revisamos argumentos en lenguaje natural, reescribéndolos con fórmulas del lenguaje de predicados y decidiendo entonces su validez. Jueves 19 de Mayo. No hay clases. Miércoles 18 de Mayo. No hay clases. Martes 17 de Mayo. No hay clases. Jueves 12 de Mayo. En este documento aparecen tanto los enunciados en lenguaje natural que durante clase tradujimos al lenguaje de predicados como fórmulas del lenguaje de predicados y los modelos en los cuales las evaluamos. En la última página pueden encontrar una lista de fórmulas/argumentos cuya validez puede ser demostrada utilizando el método de derivación por deducción natural. Jueves 12 de Mayo. No hay clases. Miércoles 11 de Mayo. Presentamos ejemplos del método de derivación por deducción natural para demostrar tanto la validez de argumentos en el lenguaje de predicados como la validez de fórmulas en el mismo lenguaje. Martes 10 de Mayo. En la primera parte de clase presentamos otro argumento que muestra una limitación fundamental del método de tablas semánticas. Este argumento muestra que, en general, dicho método no funciona: existen argumentos que no son válidos, pero ante los cuales el método de tablas semánticas no nos dará ninguna respuesta. En la segunda parte de la clase presentamos las reglas para cuantificadores del método de derivación por deducción natural. Jueves 5 de Mayo. Presentamos un argumento que muestra una limitación en las reglas para cuantificadores del método de tablas semánticas, y mostramos como 'corregir' las reglas a fin de que estas funcionen de manera correcta. Miércoles 4 de Mayo. Presentamos ejemplos del método de tablas semánticas para decidir tanto la validez de argumentos en el lenguaje de predicados como la validez de fórmulas en el mismo lenguaje. 2 de 8 09/03/17 23:15
Martes 3 de Mayo. Repasamos algunos detalles de la interpretación semántica de fórmulas del lenguaje de predicados (aquellos relacionados con la función de interpretación de variables). Entonces empezamos a discutir los métodos para decidir la validez de argumentos, iniciando con el método de tablas semánticas. Primero discutimos la diferencia que hay entre las reglas para operadores Booleanos en el caso del lenguaje modal y las reglas para los mismos operadores en el caso del lenguaje de predicados, y luego presentamos las reglas tanto para el cuantificador existencial como para el cuantificador universal. Jueves 28 de Abril. Presentamos formalmente la interpretació semántica de fórmulas del lenguaje de predicados, introduciendo los conceptos de variables libre, variable acotada, dominio, función de interpretación para constantes, funciones y predicados (I) y función de interpretación para variables (g). Miércoles 27 de Abril. Continuamos con la semántica de la lógica de predicados de manera informal (ejemplos 3.5, 3.6, 3.7 y 3.8 en la versió 2016-04-25-15:53 de las notas). Presentamos varios modelos y decidimos si algunas fórmulas dadas son verdaderas o falsas en el modelo dado. Martes 26 de Abril. La semántica de la lógica de predicados de manera informal (ejemplo 3.1 en la versió 2016-04-25-15:53 de las notas). Presentamos un modelo, es decir, una estructura cuyos objetos pueden tener ciertas propiedades y ciertas relaciones, y decidimos si algunas fórmulas dadas son verdaderas o falsas en el modelo dado. Lunes 25 de Abril. Nueva versión de las notas del curso (2016-04-25-15:53), con algunos ejemplos nuevos, y las reglas básicas de cuantificadores tanto para el método de tablas semánticas como para el método de deducción natural. Jueves 21 de Abril. Presentamos formalmente la sintaxis de fórmulas del lenguaje de predicados, y revisamos algunos ejemplos. Miércoles 20 de Abril. El lenguaje de la lógica de predicados de manera informal. Continuamos revisando enunciados y dimos su traducción como fórmulas en el lenguaje de predicados. Martes 19 de Abril. El lenguaje de la lógica de predicados de manera informal. Revisamos algunos enunciados en lenguaje natural y dimos su traducción como fórmulas en el lenguaje de predicados. Lunes 11 de Abril. Nueva versión de las notas del curso (2016-04-11-17:01). Esta versión expande la anterior con el siguiente material sobre la lógica de predicados (capítulo 3): ejemplos de traducciones de lenguaje natural a lenguaje formal y 3 de 8 09/03/17 23:15
también de evaluación de fórmulas en modelos dados, y ejercicios para todo el capítulo. Lunes 11 de Abril. Aunque la versión actual de las notas del curso (2016-04-11-17:01) contiene ejercicios sobre la lógica de predicados, estos temas no están desarrollados en el texto. Aquellos que busquen notas para poder leer y entender los conceptos que revisaremos pueden consultar el capítulo 4 del texto Logic in Action, y también las presentaciones basadas en ese capítulo (disponibles en Ingles y en Castellano). Adicionalmente, pueden consultar el capítulo 3 de L. T. F. Gamut. Logic, Language, and Meaning, volume 1: Introduction to Logic. The University of Chicago Press, Chicago and London, 1991. ISBN 0-226-28084-5, el cual también está disponible en la biblioteca de la facultad. Lunes 11 de Abril (12hrs). Solución del segundo examen. Aula S112 (seminario de lógica), la cual se encuentra al fondo del pasillo en el cual está mi oficina. Jueves 7 de Abril. Segundo examen, segunda parte. Miércoles 6 de Abril. Segundo examen, primera parte. Martes 5 de Abril. Respuestas a dudas sobre los temas vistos hasta ahora. Jueves 31 de Marzo. Ejemplos del uso del método de tablas semánticas para la lógica modal. Miércoles 30 de Marzo. Presentamos las reglas del método de tablas semánticas para la lógica modal. Martes 29 de Marzo. En la clase anterior, dado un modelo y una fórmula, presentamos un método para decidir si dicha fórmula es verdadera o no en dicho modelo. Esta clase realizamos tareas ligeramente diferentes. La primera es, dado un modelo, encontrar fórmulas que caractericen a cada uno de sus mundos posibles; la segunda es, dada una fórmula, encontrar un modelo que la haga verdadera y un modelo que la haga falsa. Martes 22 de Marzo. Nueva versión de las notas del curso (2016-03-22-14:37). Esta versión expande la seccioón 2.2.1 con un ejemplo largo el cual evalua distintas fórmulas mudales en un modelo de mundos posibles dado (Ejemplo 2.11). También se han agregado dos ejercicios nuevos (2.15 y 2.16). Jueves 17 de Marzo. Vimos un ejemplo de un modelo relacional, y evaluamos distintas fórmulas en él. Aquellos que quieran seguir practicando la evaluación de fórmulas dadas en modelos dados pueden utilizar las herramientas disponibles en Modal Logic 4 de 8 09/03/17 23:15
Playground. En particular, he aquí el modelo que utilizamos en clase Miércoles 16 de Marzo. Presentamos las estructuras en las cuales se evaluan fórmulas del lenguaje modal proposicional. Estas estructuras, llamadas modelos relacionales, son tuplas M = W, R, V en las cuales M es un conjunto de mundos posibles, R es la relación de accesibilidad (indicando los mundos que se consideran posibles a partir de cada uno de ellos) y V es la función de evaluación (indicando qué interpretación representa cada mundo posible). Definimos también lo que necesitamos a fin de que una fórmula de nuestro lenguaje sea verdadera en un mundo dado de un modelo relacional. Martes 15 de Marzo. Presentamos el lenguaje modal proposicional, el cual extiende el lenguaje proposicional con dos operadores modales, y, los cuales nos permiten expresar las nociones de necesidad y posibilidad, respectivamente. Además de presentar formalmente la sintaxis del lenguaje y de extender la definición de árboles sintácticos para incluir los nuevos operadores, presentamos diversas fórmulas discutiendo la idea que expresan, y hablamos muy brevemente sobre otras interpretaciones modales de los nuevos operadores. Jueves 10 de Marzo. Primer examen, segunda parte. Miércoles 9 de Marzo. Primer examen, primera parte. Martes 8 de Marzo. Respuestas a dudas sobre los temas vistos hasta ahora. Viernes 4 de Marzo. Nueva versión de las notas del curso (2016-03-04-11:22). Con respecto al capítulo 1 (lógica proposicional), la nueva versión simplemente expande algunas discusiones y corrige algunas erratas. El cambio más drástico es en el capítulo 2 (lógica modal), el cual contiene ahora el material que será discutido en la segunda parte del curso. Jueves 3 de Marzo. Vimos algunos ejemplos de derivaciones con el sistema de deducción natural. Miércoles 2 de Marzo. Mostramos como el método de derivación por deducción natural nos permite también demostrar la validez de una fórmula. Vimos algunos ejemplos de derivaciones con el sistema de deducción natural. Martes 1ro de Marzo. Presentamos el método de derivación por deducción natural, el cual nos permite demostrar que un argumento es válido. El método consiste en reglas gracias a las cuales es posible 'extraer' la información contenida en las premisas para eventualmente llegar a la conclusión. Este método difiere de 5 de 8 09/03/17 23:15
los anteriores (tablas de verdad, eliminación, tablas semánticas) en un punto fundamental: no es un método de decisión, tan solo un método de demostración. En otras palabras, los métodos anteriores pueden ser aplicados sobre cualquier argumento, y siempre nos dirán si dicho argumento es válido o no. Este método tan solo nos permite demostrar la validez del argumento, pero si este no es válido, en general no nos dará ninguna respuesta. Jueves 25 de Febrero. Discutimos las razones por las cuales el método de tablas semánticas es correcto (i.e., cuando da una respuesta positiva, la interpretación que encuentra realmente cumple los requisitos especificados) y también completo (i.e., cuando da una respuesta negativa, realmente no existen interpretaciones que cumplan los requisitos especificados). Miércoles 24 de Febrero. Observamos como el método de tablas semánticas, el cual nos permite decidir si un argumento es válido o no, es en realidad mas general: es una manera sistemática de intentar construir interpretaciones con ciertos requisitos. Visto de esta manera, el método nos permite también resolver otras cuestiones, como el decidir si una fórmula es válida, satisfactible, contingente o contradictoria. Martes 23 de Febrero. Presentamos las reglas del método de tablas semánticas, el cual nos permite decidir si un argumento es válido o no. Este método trabaja intentando construir un contraejemplo, es decir, intentando construir una interpretación que haga verdaderas a las premisas pero falsa a la conclusión. Si el método tiene éxito, el contraejemplo demuestra que el argumento en cuestión no es válido; si el método no tiene éxito, no es posible construir un contraejemplo, y por lo tanto el argumento es válido. Jueves 18 de Febrero. Presentamos otro método para decidir la validez de un argumento, el método de eliminación, el cual hace explícita la información contenida en cada una de las premisas. El método inicia listando todas las interpretaciones posibles para las proposiciones atómicas involucradas, y entonces 'procesa' las premisas una por una, eliminando en cada caso aquellas interpretaciones que hacen falsa a la premisa. Al terminar el proceso, las interpretaciones 'sobrevivientes' son exactamente aquellas que hacen verdaderas a todas las premisas (las que hacen falsa a al menos una premisa son precisamente aquellas que han sido eliminadas), y entonces podemos verificar si la conclusión se cumple en cada una de ellas. Este método tiene la ventaja de permitirnos no solo decidir la validez de un argumento, sino tambén de mostrarnos qué podemos concluir a partir de cierta información dada. Miércoles 17 de Febrero. Recordamos la definición de argumento válido, discutiendo que información nos da el hecho de que un argumento tenga esta propiedad. Iniciamos la presentación 6 de 8 09/03/17 23:15
de métodos para decidir la validez de un argumento; el presentado en esta clase es simplemente una aplicación directa de la definición: encontremos las proposiciones atómicas que aparecen en el argumento, listemos todas las interpretaciones posibles para dichas proposiciones, y construyamos la tabla de verdad para todas las premisas y la conclusión en cada una de estas interpretaciones. Con esta información podemos identificar a las interpretaciones que hacen verdaderas a todas las premisas, y entonces aplicar la definición: si efectivamente la conclusión es verdadera en todas ellas, el argumento es válido; en caso contrario (es decir, existe al menos una interpretación que hace verdaderas a todas las premisas pero hace falsa a la conclusión), el argumento no es válido. Martes 16 de Febrero. Presentamos un método, el juego de evaluación, que también nos permite decidir si una fórmula del lenguaje proposicional es verdadera o falsa. Los puntos mas importantes sobre este método son, (1) utilizamos fórmulas que no contienen ni ni, y en las cuales las negaciones actúan tan solo sobre proposiciones atómicas. Por qué esto no es un problema? (2) Qué necesitamos para poder afirmar que la fórmula es verdadera bajo la evaluación dada? Qué necesitamos para poder afirmar que la fórmula es falsa bajo la evaluación dada? (3) Por qué funciona este método? Es decir, cuál es la razón de ser de cada una de sus reglas? Jueves 11 de Febrero. Discutimos algunos ejemplos de traducciones de enunciados en lenguaje natural a fórmulas del lenguaje proposicional. Hicimos algunos ejemplos decidiendo si algunas fórmulas dadas son contradicciones, satisfactibles, contingentes o válidas, y presentamos el concepto de equivalencia lógica. Demostramos que dos fórmulas φ y ψ son logicamente equivalentes si y solo si la fórmula φ ψ es válida. Miércoles 10 de Febrero. Discutimos qué necesitamos para poder decidir si una fórmula del lenguaje proposicional es verdadera o falsa. Presentamos el concepto de interpretación y también las tablas de verdad que definen el comportamiento de los conectivos Booleanos. Presentamos las definiciones de diferentes tipos de fórmulas: contradicción, satisfactible, contingente y válida. Martes 9 de Febrero. Presentación del curso. Presentamos los ingredientes del lenguaje proposicional (proposiciones atómicas y conectivos Booleanos,,,, ) y dimos las reglas para construir fórmulas de dicho lenguaje. Presentamos los árboles sintácticos para las fórmulas proposicionales, y definimos lo que significa que una fórmula de este lenguaje sea ambigua. 7 de 8 09/03/17 23:15
8 de 8 09/03/17 23:15