Tema 7: Matrices. 7.1 Concepto de Matriz. Tablas grafos. Una matriz A es un cuadro de elementos dispuestos en m filas n columnas, donde el elemento es aquel que está situado en la fila 3 en la columna 2. La dimensión de una matriz es el número de filas de columnas que contiene. Una matriz A con m filas n columnas se dice que es de orden m x n (m por n) se designa como. Dos matrices son iguales si tienen la misma dimensión verifica que = para cualquier i cualquier j. Un ejemplo de matriz A de orden 3 x 2 sería: es una matriz de 3 filas 2 columnas, donde por ejemplo el elemento es 4. Cuando una matriz tiene el mismo número de filas que de columnas, se denomina matriz cuadrada. Las matrices cuadradas son de orden n. Se llama diagonal principal de una matriz cuadrada al conjunto de elementos de la forma Un ejemplo de matriz cuadrada A de orden 3 sería: es una matriz de 3 filas 3 columnas, donde la diagonal principal será la compuesta por los elementos, que corresponden al 1, 0 3. Tablas: La información que proporciona una tabla se puede resumir, de forma simplificada, mediante una matriz. Una agencia de viajes que vende billetes de avión realiza las siguientes ofertas para los traectos entre cuatro ciudades, dando el precio en euros en la siguiente tabla: Grafos: Un grafo es un conjunto de objetos, llamados vértices, que están unidos entre sí por líneas, llamadas arcos, que pueden ser orientadas (un único sentido) o no (doble sentido). Cuando todos los arcos de un grafo son de doble sentido, se denominan aristas. Un grafo se representa mediante una serie de puntos (los vértices) conectados por líneas (los arcos o aristas). Se llama matriz de adacencia a la matriz que representa al grafo, donde indicaremos con un 1 la existencia de conexión, con un 0 la no existencia. Paris Lisboa Londres Roma Paris ---------- 100 80 85 Lisboa 95 ---------- 75 105 Londres 80 70 ---------- 75 Roma 85 110 75 ---------- Los Pueblos A, B, C, D E están unidos por carreteras de doble sentido. Escribe la correspondiente matriz de adacencia. A B C D E Ejercicio 1 Sean los grafos siguientes: a) Escriba la matriz de adacencia asociada a los grafos A B. b) Si las matrices C D unen los nodos numerados con las etiquetas 1, 2 3, represente los grafos asociados a dichas matrices de adacencia.
7.2 Tipos de Matrices. Matriz Fila: Es aquella matriz que contiene una única fila (m = 1). A = (- 3 6 2 4) A es una matriz fila de orden 1 x 4. Matriz Columna: Es la matriz que está formada por una única columna (n = 1). B es una matriz columna de orden 3 x 1. Matriz Nula: Es la matriz donde todos sus elementos son nulos. Se designa con la letra O. La matriz nula de orden 2 sería: Matriz Triangular (Superior o Inferior): o Matriz triangular superior, cuando todos los elementos de una matriz cuadrada situados por debajo de la diagonal principal son nulos. o Matriz triangular inferior, cuando todos los elementos de una matriz cuadrada situados por encima de la diagonal principal son nulos. B Matriz Diagonal: Es la matriz cuadrada donde todos sus elementos son nulos excepto los situados en la diagonal principal. Matriz Escalar: Es la matriz diagonal cuos elementos de la diagonal principal son todos iguales. B Matriz Unidad o Matriz Identidad: Matriz escalar cuos elementos de la diagonal principal son todos 1. La matriz unidad de orden n se denota por. Matriz Transpuesta: Es la matriz que se obtiene al cambiar las filas por las columnas. La matriz transpuesta de A se denomina por. Ejercicio 2 Halla las matrices transpuestas de las siguientes matrices: Matriz Simétrica: es un matriz cuadrada cuos elementos son simétricos respecto de la diagonal principal. Es decir con Si una matriz es simétrica, su transpuesta coincide con ella misma A = 7.3 Operaciones con Matrices. Suma diferencia de Matrices. Para sumar dos matrices tienen que tener ambas la misma dimensión. La suma de dos matrices A = ( B = ( de la misma dimensión es una operación que da como resultado otra matriz de la misma dimensión que A B con término genérico A + B = ( La diferencia de dos matrices A B de la misma dimensión es una operación que da como resultado otra matriz de la misma dimensión que A B con término genérico A B = (
Propiedades de la suma de matrices: - Conmutativa: A + B = B + A - Asociativa: A+ (B + C) = (A + B) + C - Elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A - Elemento opuesto: A + ( A) = ( A) + A = 0 Ejercicio 3: Halla si son posibles las operaciones siguientes, explicando por qué son posibles o no: a) A+C b) C-D c) D-B Producto de un número real por una matriz. El producto de una matriz A = ( por un número real k es otra matriz de la misma dimensión que A, cuos elementos se obtienen multiplicando se representa como k A = (. Siempre es posible realizar esta operación. Ejercicio 4: Halla si son posibles las operaciones siguientes, explicando por qué son posibles o no: a) 2A-B b) A+3C c) B-2A Condición para poder multiplicar matrices. Dos matrices se pueden multiplicar cuando el número de columnas de la primera matriz coincide con el número de filas de la segunda matriz. La matriz resultante tendrá como número de filas, el número de filas de la primera matriz, como número de columnas, el número de columnas de la segunda matriz: Producto de dos matrices. El producto de la matriz = ( por la matriz = ( es la matriz = ( tal que cada elemento se obtiene multiplicando la fila i de la primera matriz por la columna j de la segunda, es decir: Así para: A B = A B = Propiedades del producto de matrices: - No es Conmutativo, en general: A B B A - Asociativa: A (B C) = (A B) C - Elemento neutro: = = Ejercicio 5: Halla el orden del resultado de las operaciones siguientes, explicando por qué son posibles o no: a) 2A B D+ E t b) (A t C+E) B Ejercicio 6: Halla si son posibles las operaciones siguientes, explicando por qué son posibles o no: a) B A t b) A B c) 2A B t d) C A e) C 2 f) B 2 g) C 3
7.4 Matriz Inversa. Dada la matriz cuadrada A, se llama matriz inversa de A se denota por a la matriz que verifica que: No todas las matrices tienen matriz inversa. Una condición necesaria es que la matriz sea cuadrada. Cuando una matriz cuadrada tiene inversa, se dice que es regular o inversible. Un procedimiento para calcular la matriz inversa es aplicar la definición resolver el correspondiente sistema de ecuaciones. Calcula la inversa de Ejercicio 7 Halla las matrices inversas si es posible de: Criterios Generales selectividad: Modelo de prueba Ejercicio 8: En un instituto I ha alumnos de tres pueblos, A, B C. La distancia entre A B es 6 km, la de B a C es 7 km, la de A a C es 10 km la de A a I es 8 km. Una empresa de transporte escolar hace dos rutas: la ruta 1 parte de B recorre sucesivamente C, A e I; la ruta 2 parte de C recorre sucesivamente B, A e I. a) Determine la matriz M, 2x3, que expresa los kilómetros que recorren los alumnos de cada pueblo por cada ruta. A B C b) El número de alumnos que siguen cada ruta de cada pueblo es: Pueblo A: 10 alumnos la ruta 1 9 alumnos la ruta 2. Pueblo B: 15 alumnos la ruta 1 8 alumnos la ruta 2. Pueblo C: 5 alumnos la ruta 1 9 alumnos la ruta 2. Determine la matriz N, 3x2, que indique los alumnos que siguen cada ruta de cada pueblo. Ruta 1 Ruta 2 c) Si la empresa cobra 12 céntimos por Km a cada persona, determine la matriz, e interprete cada uno de sus elementos Ejercicio 9: En una empresa de fabricación de móviles ha 3 categorías de empleados: A, B C se fabrican dos tipos de móviles: M P. Diariamente cada empleado de la categoría A fabrica 4 móviles del tipo M 3 del tipo P, mientras que cada uno de la categoría B fabrica 5 móviles del tipo M 4 del tipo P, cada uno de la categoría C fabrica 6 móviles del tipo M 5 móviles del tipo P. Para fabricar cada móvil del tipo M se necesitan dos chips 4 conexiones para fabricar cada móvil del tipo P 4 chips 6 conexiones. a) Escriba una matriz X, 3x2, que describa el número de móviles de cada tipo otra matriz Y, de orden 2, que exprese el número de chips conexiones de cada tipo de móvil. b) Realice el producto de matrices e indique que expresa dicho producto.
Ejercicio 10: Un proveedor que suministra materia prima a 3 fábricas, F, G H, transporta una parte de sus envíos a cada fábrica por carretera la otra parte por tren, según se indica en la matriz T, cuos elementos son las toneladas de materia prima que recibe cada fábrica por cada vía de transporte. F G H Los precios del transporte de cada tonelada de materia prima son 200 euros por carretera 180 euros por tren, como indica la matriz. Explique qué operación debe efectuarse con estas matrices para determinar una nueva matriz cuos elementos sean los costes de llevar este material a la fábrica. Ejercicio 11: Una persona tiene que comprar 2 kg de manzanas, 1 kg de ciruelas 1.5 kg de plátanos otra necesita 0.5 kg de manzanas, 2.5 kg de ciruelas 3 kg de plátanos. En la frutería A, los precios de las manzanas son 1.8 euros/kg, los de las ciruelas 2.1 los de los plátanos 1.9 en la frutería B son 1.7, 2.3 1.75 respectivamente. Se escriben las matrices: a) Determine e indique qué representa cada uno de los elementos de la matriz producto. b) En qué frutería le conviene a cada persona hacer la compra? Ejercicio 12: Un fabricante de productos lácteos, que vende 3 tipos de productos, leche, queso nata, a dos supermercados, S H, ha anotado en la matriz A los pesos en Kg de cada producto que vende a cada supermercado, en la matriz B, las ganancias que obtiene en cada supermercado por cada Kg de esos productos. leche queso nata leche queso nata Efectúe el producto explique el significado económico de cada uno de los elementos de la diagonal principal de la matriz resultante.