El espacio euclideano

Capítulo 1 El espacio euclideano 1. Definiciones básicas El espacio Euclideano, denotado por R n, está definido por el conjunto (1.1) R n = {x = (x 1, x 2,..., x n ) : x i R}. Es decir, R n es efectivamente el producto cartesiano de n copias de R, el conjunto de los números reales. Recordemos que R es un campo ordenado completo, es decir, todo conjunto no vacío acotado por arriba tiene una mínima cota superior (supremo). Una manera equivalente de enunciar la completitud de R es el hecho de que toda sucesión de Cauchy en R converge. Hablaremos más sobre sucesiones de Cauchy, particularmente en R n, más adelante. Notemos que, en la ecuación (1.1), las coordenadas de cada vector en R n se donotan con superíndices, en lugar de subíndices: x 1, x 2, etc. Esto nos simplificará la notación más adelantes. R n es un espacio vectorial con suma y multiplicación escalar x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,..., x n + y n ) = (x i + y i ) Además, posee el producto interno αx = (αx 1, αx 2,..., αx n ) = (αx i ). x y = x 1 y 1 + x 2 y 2 +... + x n y n = n x i y i. 1

2 1. El espacio euclideano Este, a su vez, induce la norma x = x x = n (x i ) 2 llamada la norma euclideana. Proposición 1.1. 1. x = 0 si y sólo si x = 0; 2. αx = α x para todo α R, x R n ; 3. Si x, y R n, (1.2) x y x y ; 4. Si x, y R n, (1.3) x + y x + y. La ecuación (1.2) es conocida como la desigualdad de Cauchy-Schwarz, mientras que la (1.3) como la desigualdad del triángulo. Demostración. La demostración de las propiedades (1) y (2) se dejan como ejercicio. Para (3), Si x = 0, entonces ambos lados de la ecuación (1.2) son cero. Supongamos entonces que x 0. Sea w el vector w = y x x 2 x. El vector w es llamado la proyección de y sobre x (véase la figura 1). Entonces, y w x Figura 1. Proyección de y en x 0 y w 2 = (y w) (y w) = ( y y x ) ( x 2 x y y x ) x 2 x = y 2 (y x)2 (y x)2 2 x 2 + x 4 x 2 = y 2 (y x)2 x 2, de lo cual la ecuación (1.2) se sigue inmediatamente.

1. Definiciones básicas 3 Para (4), x + y 2 = (x + y) (x + y) = x 2 + 2x y + y 2 x 2 + 2 x y + y 2, donde la última desigualdad se sigue por la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Por lo tanto, tenemos x + y 2 ( x + y ) 2. Decimos que los vectores u 1, u 2,..., u m R n generan R n si para todo x R n existen α 1,..., α m tales que x = α 1 u 1 + α 2 u 2 +... + α m u m. Es decir, todo x R n es una combinación lineal de los vectores u 1, u 2,..., u m. Decimos que u 1, u 2,..., u m son linealmente independientes si implica que α 1 u 1 + α 2 u 2 +... + α m u m = 0 α 1 = α 2 =... = α m = 0. Si u 1, u 2,..., u m generan R n y son linealmente independientes, entonces decimos que forman una base. Enunciaremos el siguiente teorema, cuya demostración se puede encontrar en cualquier libro de álgebra lineal. Teorema 1.2. Si u 1, u 2,..., u m forman una base de R n, entonces m = n. Es preciso observar que las bases no son únicas y, además, que si u 1, u 2,..., u m forman una base de R n y x R n, entonces existen únicos α 1,..., α n tales que x = α 1 u 1 + α 2 u 2 +... + α n u n. Ejemplo 1.3. La base estándar de R n está formada por los vectores e 1, e 2,..., e n, donde i-ésimo {}}{ e i = (0, 0,..., 1,..., 0). De hecho, x = (x 1, x 2,..., x n ) = x 1 e 1 + x 2 e 2 +... + x n e n. Ejemplo 1.4. En R 2, los vectores u 1 = (1, 1), u 2 = (1, 1) forman una base, ya que (x 1, x 2 ) = x1 + x 2 u 1 + x1 x 2 u 2 2 2 y son linealmente independientes.

4 1. El espacio euclideano Decimos que los vectores x, y R n son ortogonales si x y = 0. Por ejemplo, como e i e j = 0 si i j, entonces los vectores e 1,..., e n de la base estándar son ortogonales entre sí. Decimos que u 1, u 2,..., u n forman una base ortonormal (o.n.) si los vectores son ortogonales entre sí y unitarios, es decir, u i = 1 para todo i. Por ejemplo, e 1,..., e n forman una base estándar. Los vectores u 1 = (1, 1) y u 2 = (1, 1) son ortogonales, pero no unitarios. Sin embargo, se pueden normalizar dividiendo cada vector entre su norma: v 1 = u ( 1 1 u 1 = 1 ) 2,, v 2 = u ( 2 1 2 u 2 = 2, 1 ). 2 Proposición 1.5. Sea u 1, u 2,..., u n una base ortonormal de R n. 1. Si x R n, x = (x u 1 )u 1 +... + (x u n )u n. 2. Si x R n, x = i (x u i) 2. 3. Si x, y R n, x y = n (x u i )(y u i ). 4. Si V es el subespacio de R n generado por los vectores ortonormales v 1, v 2,..., v r, entonces Proy V x = r (x v i )v i. El espacio generado por los vectores v 1, v 2,..., v r es el subespacio de R n formado por todas las combinaciones lineales de v 1, v 2,..., v r, y se denota por gen{v 1, v 2,..., v r }. Proy V x es la proyección ortogonal de x sobre el subespacio V, es decir, el único vector y V tal que x y es ortogonal a todo vector en V. Demostración. 1. Si x = α 1 u 1 + α 2 u 2 +... + α n u n, entonces x u i = (α 1 u 1 + α 2 u 2 +... + α n u n ) u i = α i u i u i = α i. 2. ( n ) ( n ) x 2 = x x = (x u i )u i (x u i )u i = n (x u i )(x u j )u i u j = i,j=1 n (x u i ) 2.

1. Definiciones básicas 5 3. Similarmente al inciso anterior, ( n ) ( n ) x y = (x u i )u i (y u i )u i = n (x u i )(y u j )u i u j = i,j=1 n (x u i )(y u i ). 4. Si y = r (x v i)v i, entonces y V y, para z V, ( r ) ( r ) (x y) z = x (x v i )v i (z v i )v i = x r (z v i )v i r (x v i )(z v i ) = 0. El siguiente teorema nos garantiza que, dado un espacio generado por vectores v 1, v 2,..., v r, siempre podemos escoger en él una base ortonormal. Su demostración es constructiva, y al algoritmo resultante se le conoce como el proceso de Gram-Schmidt. Teorema 1.6 (Proceso de Gram-Schmidt). Sean v 1, v 2,..., v r vectores linealmente independientes en R n. Entonces existen vectores ortonormales u 1, u 2,..., u r tales que para k = 1,..., r. Demostración. Tomamos Para construir u 2, sea gen{u 1, u 2,..., u k } = gen{v 1, v 2,..., v k } u 1 = v 1 v 1. w 2 = v 2 (v 2 u 1 )u 1. Vemos que w 2 es ortogonal a u 1 (figura 2), así que tomamos u 2 = w 2 w 2. Como u 1 y u 2 son combinaciones lineales de v 1 y v 2, gen{u 1, u 2 } gen{v 1, v 2 }. De manera similar, v 1 y v 2 son combinaciones lineales de u 1 y u 2, así que gen{v 1, v 2 } gen{u 1, u 2 }. Por inducción, para construir u k+1 tomamos w k+1 = v k+1 Proy gen{u1,...,u k } v k+1.

6 1. El espacio euclideano v2 u2 w2 u1 Figura 2. La construcción del vector w 2. Entonces es fácil ver que w k+1 u i = 0, i = 1,.., k, y w k+1 0 por que los v i son linealmente independientes. Por lo que escogemos Es fácil ver, como antes, que u k+1 = w k+1 w k+1. gen{u 1,..., u k+1 } = gen{v 1,..., v k+1 }. La proposición 1.5 y el proceso de Gram-schmidt implican que podríamos escoger cualquier producto interno en R n y no darnos cuenta, es decir, tendríamos la misma geometría siempre y cuando tomemos una base ortonormal respecto de dicho producto. 2. Bestiario 2.1. Rectas. La recta que pasa por x 1 y x 2 está parametrizada por γ(t) := (1 t)x 1 + tx 2, t R, Notemos que γ(0) = x 1 y γ(1) = x 2. La restricción de γ a [0, 1] es el segmento de x 1 a x 2. 2.2. Hiperplanos. Un hiperplano es un conjunto de la forma P = {x R n : x x 0 = c}, donde x 0 R n y c R. El hiperplano ortogonal a n R, que pasa por x 0, está dado por {x : (x x 0 ) n = 0}. Un hiperplano P divide a R n en dos semiespacios {x : x x 0 > c} y {x : x x 0 < c}. Si x 0 = e n, c = 0, a estos se les llama semiespacio superior e inferior, respectivamente.

2. Bestiario 7 2.3. Esferas y Bolas. La esfera en R n es el conjunto La bola está dada por S n 1 = {x : x = 1}. B n = {x : x 1}. La esfera de radio R alrededor de x 0 está dada por S R (x 0 ) = {x : x x 0 = R} = RS n 1 + x 0, mientras que la bola de radio R alrededor de x 0 está dada por B R (x 0 ) = {x : x x 0 R} = RB n + x 0. La bola abierta de radio R alrededor de x 0 es el conjunto B 0 R (x 0) = {x : x x 0 < R}. 2.4. Conjuntos convexos y estrella. Decimos que A R n es un conjunto convexo si, para todo x, y A, el segmento de x a y está en A. Decimos que A R n es un conjunto estrella si existe x 0 A tal que, para x A, el segmento de x 0 a x está en A. Véase la figura 3. Más adelante estudiaremos (a) (b) Figura 3. Ejemplos de un conjunto convexo (a) y un conjunto estrella (b). los conjuntos convexos con más profundidad. 2.5. Rectángulos. Un rectángulo en R n es un conjunto de la forma R = I 1 I 2... I n donde los I i son intervalos acotados en R. Si cada es un intervalo abierto, entonces decimos que R es un rectángulo abierto. Si cada I i es cerrado, entonces decimos que R es un rectángulo cerrado 1. Recordemos que A 1 A 2... A n R n es el producto cartesiano de los conjuntos A 1,..., A n {(x 1, x 2,..., x n ) R n : x i A i i}. 1 Los rectángulos en R n también son conocidos por los nombres cubo o hipercubo.

8 1. El espacio euclideano 3. Topología de R n Definición 1.7. Decimos que U R n es un conjunto abierto si para cada x U existe un rectángulo abierto R tal que x R y R U. Ejemplo 1.8. Un rectángulo abierto es un conjunto abierto. Ejemplo 1.9. Los conjunto y R n son abiertos. Ejemplo 1.10. Una bola abierta es un conjunto abierto. Para mostrar esto, consideremos la bola B 0 r (x) = {y R n : x y < r} y tomamos y Br 0 (x). Sea δ = r x y, y definimos ( R = y 1 δ, y 1 + δ ( ) y 2 δ, y 2 + δ ( )... y n δ, y n + δ ). n n n n n n El rectángulo abierto R es tal que, si z R, entonces y z < δ, como se puede observar en la figura 4. Entonces, si z R, δ n δ y δ n Figura 4. El rectángulo R del ejemplo 1.10. x z x y + y z < x y + δ = x y + r x y = r, por lo que z B 0 r (x). Por lo tanto, R B0 r (x). Proposición 1.11. U R n es abierto si, y sólo si, para todo x U existe r > 0 tal que Br 0 (x) U. Demostración. Sea U abierto y x u. Entonces existe R = (a 1, b 1 ) (a 2, b 2 )... (a n, b n ) tal que x R y R U. Sea r = 1 2 mín{x1 a 1, b 1 x 1,..., x n a n, b n x n }. Entonces B 0 r (x) R U. R = Supongamos ahora que Br 0 (x) U. Sea ( x 1 r, x 1 + r ) n n ( x 2 r n, x 2 + r n )... ( x n r n, x n + r n ).

3. Topología de R n 9 Entonces x R y R B 0 r (x) U, así que U es abierto. Observación 1.12. La demostración de la proposición anterior muestra que dado x en el rectángulo abierto R, existe r > 0 tal que Br 0 (x) R y, para toda bola abierta Br 0 (x), existe un rectángulo abierto R tal que x R y R B r (x). Esto implica que podemos utilizar, en cualquier definición topoloógica, rectángulos abiertos o bolas abiertas, y obtener definiciones equivalentes. Definición 1.13. Sea A R n y x R n. Decimos que x es un punto de acumulación de A si, para todo rectángulo abierto R tal que x R, R A es infinito. Si el conjunto A tiene algún punto de acumulación, entonces A, por la definición anterior, es infinito. Además, si x es un punto de acumulación de A, entonces no necesariamente x A. Sin embargo, si x es un punto de acumulación de A y x / A, entonces nos podemos acercar desde A a x arbitrariamente, es decir, para todo ε > 0 existe y A tal que x y < ε. Definición 1.14. Decimos que A R n es cerrado si contiene todos sus puntos de acumulación. Proposición 1.15. A R n es cerrado si, y sólo si, R n \ A es abierto. Demostración. Supongamos que A es cerrado y x R n \ A. Como x / A, x no es punto de acumulación de A, así que existe un rectángulo abierto R tal que R A =. Es decir, R R n \ A. Así que R n \ A es abierto. Supongamos ahora que R n \ A es abierto y x / A. Entonces x R n \ A. Como R n \ A es abierto, existe un rectángulo abierto R tal que x R y R R n \ A. Entonces R A =, por lo que x no es punto de acumulación de A. Definición 1.16. Sea A R n. La frontera de A, A, es el conjunto de x R n tales que, para todo rectángulo abierto R, Véase la figura 5. R A y R (R n \ A). Notemos que, si x A, entonces x es un punto de acumulación de A ó de R n \ A. Más aún, si x es un punto de acumulación de A y x / A, entonces x A. Podemos observar que, además, A = (R n \ A). Ejemplo 1.17. R n = =.

10 1. El espacio euclideano A A C Figura 5. Un punto en la frontera de A. Ejemplo 1.18. La frontera de un bola es una esfera. De hecho, Más aún, S r (x) = S r (x). B r (x) = B 0 r (x) = S r (x). Ejemplo 1.19. Si R = (a 1, b 1 )... (a n, b n ), entonces R = {a 1 } [a 2, b 2 ]... [a n, b n ] {b 1 } [a 2, b 2 ]... [a n, b n ] Es decir, R es la unión de las caras de R.... [a 1, b 1 ]... {b n }. Ejemplo 1.20. Sea Q = [0, 1] Q y consideremos Q [0, 1] R 2. Véase la figura 6. Si x [0, 1] [0, 1] y x (a, b) (c, d) entonces existe 1. 0 1/3 1/2 2/3 1 Figura 6. Representación simple del conjunto A = Q [0, 1]. Nótese que A está formado por la unión de rectas verticales, cada una sobre un número racional en [0, 1].

3. Topología de R n 11 q (a, b) [0, 1] Q, así que (q, x 2 ) Q [0, 1]. Además, existe α (a, b) [0, 1] \ Q, así que (α, x 2 ) R 2 \ (Q [0, 1]). Por lo tanto (Q [0, 1]) = [0, 1] [0, 1]. Definición 1.21. Sea A R n. La cerradura de A, denotada por Ā, está definida como la unión de A y sus puntos de acumulación. La siguiente proposición establece algunas propiedades de la cerradura. Proposición 1.22. Sea A R n. 1. Ā es cerrado. 2. Si E es cerrado y E A, entonces Ā E. 3. Si A B entonces Ā B. 4. Ā = Ā. Demostración. 1. Sea x un punto de acumulación de Ā y R un rectángulo que contiene a x. Queremos mostrar que R A es infinito. Si no, como R Ā es infinito, podemos tomar y R Ā \ A. Pero entonces y es un punto de acumulación de A y, como y R, R A es infinito, lo cual es una contradicción. 2. Si x es un punto de acumulación de A y A E, entonces x es un punto de acumulación de E. Como E es cerrado, x E. Pero esto implica que Ā E 3. La demostración es similar a (2). 4. Por (1), Ā es cerrado, así que Ā Ā. Por (2), como A Ā, Ā Ā. Definición 1.23. Sea A R n. El interior de A es el conjunto int(a) = A 0 = {x A : rectángulo abierto R tal que x R, R A}. El exterior de A está definido como ext(a) = {x R n \ A : rectángulo abierto R con x R, R A = }. Nótese que ext(a) = int(r n \ A). La siguiente proposición es muy fácil de demostrar (ejercicio 7). Proposición 1.24. Sea A R n. 1. A 0 = A \ A. 2. ext(a) = (R n \ Ā).

12 1. El espacio euclideano 3. A = Ā (Rn \ A). Ejemplo 1.25. Q = y Q = R. Nótese que, en este caso, el interior es vacío, aún cuando la cerradura es grande. 4. Conjuntos Compactos Definición 1.26. Sea A R n. Una cubierta de A es una colección {U α } de conjuntos abiertos tales que A α U α. Si {U α } es una cubierta de A, una subcubierta es un subconjunto de {U α }, digamos {U αβ } {U α }, tal que A β U α β. Decimos que A es compacto, si toda cubierta de A tiene una subcubierta finita. Ejemplo 1.27. es compacto. Ejemplo 1.28. Un conjunto finito {x 1, x 2,..., x k } es compacto. Si {U α } es una cubierta de {x 1, x 2,..., x k }, existe, para cada i = 1, 2,.., k, α i tal que x i U αi. Entonces {U α1, U α2,..., U αk } es una subcubierta finita. Proposición 1.29. Sean E F R n. Si E es cerrado y F es compacto, entonces E es compacto. Demostración. Sea {U α } una cubierta de E. Como E es cerrado, entonces R n \ E es abierto, así que {R n \ E} {U α } es una cubierta de F. Como F es compacto, tiene una subcubierta finita, digamos {R n \ E, α1, U α2,..., U αk }. Entonces {U α1, U α2,..., U αk } es una subcubierta finita para E. El siguiente teorema clasifica los conjuntos cerrados en R n, y es conocido como el Teorema de Heine-Borel. Teorema 1.30 (Heine-Borel). A R n es compacto si y sólo si A es cerrado y acotado. Decimos que A es acotado si existe un rectángulo cerrado R A. Para demostrar este teorema, por la proposición 1.29, es suficiente con demostrar que un rectángulo cerrado es compacto. Para ello necesitaremos los siguientes lemas. Lema 1.31. [a, b] R es compacto. Demostración. Sea {U α } una cubierta una cubierta de [a, b], y sea S = {x [a, b] : {U α } tiene una subcubierta finita para [a, x]}. Mostraremos que S = [0, 1]. Sabemos que, al menos, a S, así que S. Como S es acotado (S [a, b]), entonces tiene un supremo, por el axioma de completitud, digamos m = sup S. Vamos a demostrar que m S y m = b.

4. Conjuntos Compactos 13 Como m [a, b], m U αm para algún α m. U αm es abierto, así que existe x S U αm. Como [a, x] tiene una subcubierta finita, entonces, agregando U αm a dicha subcubierta, obtenemos una subcubierta finita para [a, m]. Entonces m S. Si m < b, entonces existe m < y b tal que y U αm. Agregando U αm a una subcubierta finita para [a, m], obtenemos una subcubierta finita para [a, y], y y S. Esto contradice que m = sup S. Por lo tanto m = b. Es fácil ver que, si x R n, y B R m, y es compacto, entonces {x} B R n R m = R n+m es compacto. El siguiente lema ofrece una versión mucho más fuerte de este hecho. Lema 1.32. Si {U α } es una cubierta de { }xb. Entonces existe V R n, con x V, tal que {U α } tiene una subcubierta finita para V B. Demostración. Para cada (x, y) {x} B, existe U α(x,y) tal que (x, y) U α(x,y). Como cada U α(x,y) es abierto, existe un rectángulo abierto R x,y tal que (x, y) R x,y y R x,y U α(x,y). Podemos escribir R x,y = S x,y T x,y, donde S x,y es un rectángulo abierto en R n y T x,y uno en R m. Ahora bien, {T x,y } es una cubierta de B. Como B es compacto, existen T x,y1, T x,y2,..., T x,yk tales que B T x,y1 T x,y2... T x,yk. Si tomamos V es un rectángulo abierto y V = S x,y1 S x,y2... S x,yk, V B (S x,y1 T x,y1 )... (S x,yk T x,yk ) = R x,y1 R x,y2... R x,yk U α(x,y1 ) U α(x,y2 )... Uα (x,yk ). Lema 1.33. Si A R n, B R m son compactos, entonces A B es compacto. Demostración. Sea {U α } una cubierta de A B. Para cada x A existe, por el lema 1.32, un abierto V x R n y una subcubierta Θ x finita para

14 1. El espacio euclideano V x B. Pero los V x forman una cubierta para A y A es compacto, así que existen V x1,..., V xp tales que A V x1... V xp. Entonces p Θ x i es una subcubierta finita para A B. Los lemas 1.31 y 1.33 implican el siguiente corolario. Corolario 1.34. Un rectángulo cerrado R = [a 1, b 1 ]... [a n, b n ] es compacto. Ahora sí, la demostración del teorema de Heine-Borel es fácil. Demostración del Teorema de Heine-Borel. Si A es acotado, entonces existe un rectángulo cerrado R tal que A R. Por la proposición 1.29 y el corolario 1.34, si A es cerrado, entonces A es compacto. 5. Sucesiones en R n Una sucesión en R n es una función f : N R n. Si f(k) = x k, simplemente denotamos f como (x k ). Notemos que x k = (x 1 k, x2 k,... xn k ), por lo que cada una de las coordenadas de los x k definen una sucesión (x i k ) en R. Definición 1.35. Decimos que la sucesión (x k ) converge a L R n si, para todo ε > 0, existe N tal que, si k N, L x k < ε. Proposición 1.36. La sucesión (x k ) converge en R n si, y sólo si, cada (x i k ) converge en R. Demostración. Suponemos que x k L y sea ε > 0. Sea N tal que k N implica x k L < ε. Entonces, para k N, x i k Li (x 1 k L 1) 2 +... + (x i k Li ) 2 +... + (x n k Ln ) 2 < ε. Suponemos ahora que cada x i k Li, y sea ε > 0. Tomamos N i tal que si k N i, x i k Li < ε. n Tomamos N = máx i N i. Entonces si, k N, ε x k L (x 1 k L1 ) 2 +... + (x n k Ln ) 2 2 < n +... + ε2 n = ε.

5. Sucesiones en R n 15 Decimos que (x k ) es una sucesión en A R n si x k A para todo k. La siguiente proposición clasifica los conjuntos cerrados en términos de sucesiones. Proposición 1.37. Un conjunto A R n es cerrado si, y sólo si, para toda sucesión (x k ) en A que converge a L, entonces L A. Demostración. Supongamos que A es cerrado y sea (x k ) en A una sucesión que converge a L. Sea R un rectángulo abierto que contiene a L, y ε > 0 tal que B ε (L) R. Entonces, como x k L, existe K tal que x K R. Como x K A, hemos demostrado que R A. Entonces, L está en A ó es un punto de acumulación de A. Como A es cerrado, en ambos casos L A. Supongamos ahora que toda sucesión en A que converge tiene su límite en A. Sea x un punto de acumulación de A. Para cada k 1, sea x k A tal que x k x < 1/k. Tal x k debe existir porque B 1/k (x) A. Entonces x k es una sucesión en A y x k x, por lo que x A. Definición 1.38. Decimos que la sucesiíon (x k ) es acotada si existe un rectángulo R tal que x k R para todo k. El siguiente teorema es muy importante, y es conocido como el Teorema de Bolzano-Weierstrass. Para su demostración asumiremos el teorema en el caso real. Teorema 1.39 (Bolzano-Weierstrass). Toda sucesión acotada tiene una subsucesión que converge. Demostración. Si (x k ) es acotada, cada (x i k ) es acotada. Por el teorema de Bolzano-Weierstrass en R, (x 1 k ) tiene una subsucesión que converge, digamos (x 1 k l ) l. Inductivamente, si (x 1 k l ) l, (x 2 k l ) l,..., (x p k l ) l son subsucesiones convergentes de (x 1 k ),..., (xp k ), respectivamente, entonces tomamos una subsucesión de (k l ) de tal forma que (x p+1 k lm ) m converge. Al final, obtenemos subsucesiones (x 1 k l ) l, (x 2 k l ) l,..., (x n k l ) l convergentes, por lo que (x kl ) es un subsucesión de (x k ) convergente, por la proposicion 1.36. El Teorema de Bolzano-Weierstrass nos permite demostrar la siguiente importante propiedad de los conjuntos cerrados, de la cual haremos uso más adelante. Proposición 1.40. Sea A un conjunto cerrado, A, y x R n. Entonces existe un punto y A tal que x y es mínimo.

16 1. El espacio euclideano Demostración. Sea x R n y definimos d : A R por d(y) = x y. Sea r 0 = inf{d(y) : y A}. Entonces, para todo k 1, existe y k A tal que r 0 d(y k ) < r 0 + 1/k. La sucesión (y k ) claramente es acotada y, por el Teorema de Bolzano- Weierstrass, tiene una subsucesión que converge, digamos y kl y. Como A es cerrado, la proposición 1.37 implica que y A. Además d(y) = r 0. Nota que, si x A, entonces d(x) = 0, por lo que d toma su mínimo en x. Si x / A, entonces, como A es cerrado, x no es un punto de acumulación de A y existe r > 0 tal que B r (x) A =. Entonces r 0 r > 0. Ejercicios 1. Muestra la desigualdad del triángulo inversa: Si x, y R n, x y x y. 2. Demuestra la identidad del palalelogramo: Si x, y R n, x 2 + y 2 = 1 2( x + y 2 + x y 2). Explica qué tiene que ver esta identidad con un paralelogramo. 3. Muestra que, si x 1, x 2 R n, el conjunto es un hiperplano. {x R n : x x 1 = x x 2 } 4. Muestra que si {U α } es una colección de conjuntos abiertos en R n, entonces la unión α U α es un conjunto abierto. 5. Muestra que la intersección de dos rectángulos en R n es vacía o es otro rectángulo. 6. Muestra que si U 1, U 2,..., U k son conjuntos abiertos en R n, entonces la intersección k U i es un conjunto abierto. 7. Demuestra la Proposición 1.24. 8. Una sucesión (x k ) en R n es de Cauchy si, para todo ε > 0, existe N tal que si k, l N entonces x k x l < ε. Muestra que la sucesión (x k ) es de Cauchy en R n si y sólo si cada sucesión (x i k ) es de Cauchy en R. 9. Concluye, del problema anterior, que toda sucesión de Cauchy en R n converge. 10. Muestra que todo conjunto infinito y acotado en R n tiene un punto de acumulación.