Ceros y Valores especiales de L-funciones: Applicaciones Nathan Ryan Bucknell University 18 Mayo, 2011
Números coprimos Proposicíon Elegimos dos números al azar; son coprimos con probabilidad 6. π 2 interpretamos P = ) p primo (1 1p como la probabilidad 2 que dos números son coprimos calculamos 1/P en alguna manera (e.g., con métodos elementarios)
La función ζ(s) Definición Sea s C tal que Re(s) > 1. Entonces ζ(s) = n 1 1 n s Por teorema fundamental de la aritmética, dice que ζ(s) = p primo (1 p s ) 1 ; i.e, ζ(s) tiene un producto Euler. Para n Z, ζ(n) es un valor especial. Los ceros de ζ(s) nos dicen mucho sobre la distribución de los primos.
ζ(2n), n > 1 Notamos que la probabilidad que dos números son coprimos es 1/ζ(2). En general, si elegimos n números al azar la probabilidad que son mutualmente coprimos es ζ(2n) = B 2n(2π) 2n 2(2n)! donde B 2n es un número Bernoulli.
ζ(2n + 1), n > 1 Preguntas: existe algún m tal que ζ(2n + 1)/π m Q? Probablemente no, pero no sabemos. ζ(3) es irracional. ζ(3) es irracional? No sabemos. Sí sabemos que uno de ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) es irracional (W. Zudilin) Por qué hay tanta diferencia entre el caso par y el caso impar?
ζ(n), n < 1 Definición Sea C con Re(s) > 0. La funcíon Gamma es dada por Γ(s) = 0 t s 1 e s dt. Notamos que Γ(s) tiene una continuación meromórfica a C con polos simples en s = 0, 1, 2,.... Notamos que Γ(1) = 1 y Γ(n + 1) = n! para n Z >0.
ζ( n), n > 1 Definición La función zeta completada es Z (s) = s(s 1) ( s ) 2π s/2 Γ ζ(s). 2 La función Z (s) satisface la ecuación funcional Z (s) = Z (1 s).
ζ( n), n > 1 Si n > 1, ζ( 2n) = 0 porque tiene que cancelar el polo de Γ( n). En general se puede obtener el valor de ζ(s) (Re(s) < 0) del valor de ζ(1 s) (Re(s) > 0). La región 0 Re(s) 1 es la franja crítica. ζ(2n) ζ(1 2n) y no hay problema; ζ(2n + 1) ζ( 2n) = 0 porque tenemos que cancelar un polo. ζ( 1) = 1 12 En general, ζ( n) = B n+1 n+1.
ζ(1), ζ(0) Hay un polo cuando s = 1; lim ε 0 + ζ(1 + ε) = +, lim ε 0 = ζ(0) = 1/2
ζ(s) Jeff Stopple
L(s, χ) Definición Decimos que χ : Z C es un carácter de Dirichlet mod N si 1. chi(n) = χ(n + N) para todos n Z; 2. χ(n) = 0 sii gcd(n, N) > 1; 3. χ(1) = 1; y 4. χ(mn) = χ(m)χ(n) para todos m, n Z. Entonces podemos definir para Re(s) > 1. L(s, χ) = n 1 χ(n) n s,
Propiedades de L(s, χ) Producto Euler: L(s, χ) = (1 χ(p)p s ) 1. Continuación a C: esta vez es una funcíon entera. Sea Λ(s, χ) = ( N π ) s+ε ( 2Γ s+ε ) 2 L(s, χ) donde ε {0, 1} es el orden de χ( 1). Entonces ( N Λ(s, χ) = ( i) ε N n=1 χ(n)e 2πi/N ) Λ(1 s, χ). En general, considero L(s, χ D ), donde χ D (n) = ( D n ).
Valores Especiales s = 1, tenemos el class number formula: Sea h(d) la cantidad de clases de formas quadráticas de discriminante (fundamental) D. Entonces w D h(d) = 2π L(1, χ D ), D < 0 D ln ε L(1, χ D), D > 0. donde para d < 0, w = 2 si d < 4, w = 4 si d = 4, y w = 6 si d = 3, y para d > 0, ε = (t + u d)/2 donde (t, u) es la solución mínima de t 2 du 2 = 4. también hay fórmula para L(s, χ D ) cuando s Z.
Curvas Elípticas Definición Un curva elíptica definida sobre un cuerpo K es una curva definida por una ecuación de la forma y 2 = x 3 + ax + b donde a, b K y 16(4a 3 + 27b 2 ) 0.
L(E,s) Definición Sea E una curva elíptica de conductor N y a p = p + 1 E(F p ). Entonces, definimos L(E, s) = L p (p s ), p primo 1 a p T + pt 2 si p N L p (T ) = 1 + T o 1 T si p N 1 si p 2 N. La cota de Hasse-Weil ( a p 2 p) nos dice que define una L-series Es definido como un Euler product Tiene una ecuación funcional (Taylor-Wiles) y una continuación analítica a C
Rangos Rango algebraíco: E(Q) es un grupo abeliano (Mordell) con una base finito de puntos; entonces se puede escribir como: E(Q) = Z r alg E(Q) tors. Rango analítico: la ecuación functional Λ(E, s) = ±Λ(E, 2 s) tal que s = 1 es el valor central. Si miramos la expansión Taylor cerca de s = 1, tenemos algo como L(E, s) = a(s 1) ran +
Conjetura Sea E una curva elíptica sobre Q. Entonces r alg = r an. Conjetura Para una curva elíptica E de conductor N, tenemos L (ran) (E, 1) = #Sha Ω ER E p N c p r an! E(Q) 2 tors donde todos las constantes son invariantes importantes para la curva.
La filosofía de valores especiales (Deligne) Sea M un motive y L(s, M) una L-función motivic. Entonces hay dos números complejos c ± (M) tal que para cada punto crítico m tenemos L(m, M) c ± (M) Q. Sea L(s, m) = α β donde α Q y β Q\Q. Una conjetura tipo Beilinson pide una descripción de β. Una conjetura tipo Bloch-Kato pide una descripción de α. Típicamente las descripciones contienen información aritmética.
Conjeturas y teoremas ζ(2n + 2)/ζ(2n) Q (T), Manin (T), Beilinson (C), Bloch-Kato (C), Deligne (C) algebraicidad de valores especiales Class number formula (T), Birch y Swinnerton-Dyer (C), Waldspurger (T), Böcherer (C) fórmulas para valores especiales (valores centrales, en particular) la hipótesis de Riemann (C), la GRH (C), la TMA (C) donde quedan los ceros de L-funciones y como se distribuyen Hida (T), Diamond (T), Ono (T), Harder (C) propiedades de periodos (se relatan con valores especiales) exigen la existencia de congruencias entre formas modulares particulares
La filosofía de L-funciones no hay una definición estandard supongamos que tenemos un objeto X, que se describe por unos datos a 1, a 2, a 3,..., podemos estudiar la secuencia de datos (y el objeto original) por la L-series (formal) a n L(s, X) = n s. n=1 supongamos que para algún m Z >0 particular tenemos a n = O(n m ); i.e., que satisfacen la cota de Ramanujan. Esta cota implique que la L-serie converge en un semi-plano en C. igual que en los ejemplos de ante deseamos una continuación meromórfica a C, una ecuación funcional y un producto Euler.
L(s) es dada por un product de Euler de grado r: L(s) = donde α p,i = 1. p primo Sean ( s Γ R (s) := π s/2 Γ, 2) 1 (1 α p,1 p s ) (1 α p,r p s ), γ(s) := ɛn 1 2 (s 1 2 ) r Γ R (s + µ j ), j=1 donde ɛ = 1, N Z >0 y Re(µ j ) 1 2. Λ(s) := γ(s)l(s), Λ(s) = Λ(1 s),
Sea g : C C una función entera que, para s fijo, satisface Λ(z + s)g(z + s)z 1 0 (0.1) para Im z, en franjas verticales, x 0 Rez x 0. Y sea L(s) = a n n s. Theorem Λ(s)g(s) = l k=1 r k g(s k ) s s k + Q s n=1 a n n s f 1(s, n, g)+ + εq 1 s n=1 a n n 1 s f 2(1 s, n, g) donde todo puede ser definido explícitamente en términos de las partes de la ecuación funcional.
Hay dos inputs para este método de calcular: precisamos la ecuación funcional: el signo, el conductor, las funciones Γ, y la forma general del producto Euler para cada primo p. precisamos los datos particulares para una lista particular de primos.
El primer input sale de la mecánica de Langlands: se usan las representaciones de algo que se llama el grupo Weil-Deligne, representaciones de algo que se llama el grupo dual, etc. Tengo un paper con Farmer y Schmidt donde lo hacemos en un caso particular. El segundo input viene del objeto aritmético: el carácter de Dirichlet, una curva elíptica, una forma modular, etc.
En todos los casos que hemos visto, la receta para calcular la secuencia a 1, a 2,... ha sido muy facil; en cada caso podemos calculus miles de a n. En unos casos es mas difícil. Pregunta Qué hacemos si solamente podemos calcular pocos coeficientes de L(s)? Ejemplo Hay un tipo de objeto aritmético llamado un Siegel modular form. Consideramos uno particular de peso 20. Tiene una L-serie de grado 5. Solamente tenemos a 1,..., a 82 y no podemos calcular más. Cómo calculamos L(1/2) o L(1/2 + 10i)?
Usando la función g(s) = e 3is/2 se puede calcular que Z ( 1 2 + 10i, Υ 20, stan) = 3.0393070808076 ± 4.19 10 9 donde la función Z (t) es una función real que tiene los mismos ceros en la línea crítica como L(1/2 + it). 10 5 0 5 2 1 1 2 3
Usando nuestro método (con Farmer), se puede calcular el valor Z ( 1 2 + 10i, Υ 20, stan) = 3.0393070864895284810824603284422250910 ± 2.79 10 35.
Por qué importa tener tan poco error? Nos puede ayudar calcular a 83 en este caso precisaríamos un error menor que 10 76. Nos puede ayudar investigar la algebraicidad de valores especiales (y centrales). Nos ayuda identificar ceros.
Gracias por su atención!