MOVIMIENTO de un cuepo TRANSLACIÓN + ROTACIÓN + DEFORMACIÓN 3.11 Gados de lbetad y cnemátca del sóldo ígdo El sóldo ígdo es un modelo de los objetos que pemte descb su foma, tamaño, y otacón. Un cuepo ígdo es un sóldo ndefomable: dos puntos cualquea (, j) del cuepo se hallan sempe a la msma dstanca. Po ello, paa especfca su poscón y oentacón sólo se necesta conoce la poscón de un punto del sóldo más tes ángulos (en total, 6 gados de lbetad). S un cuepo ga alededo de un eje fjo (tambén eo al cuepo), cada punto del cuepo se mueve a lo lago de un cculo con velocdad v ωr, donde es la dstanca del punto R al eje de otacon. En foma vectoal esto es v ω, sendo el vecto dstanca, y ω el vecto velocdad angula (nstantánea), que es paalelo al eje de otacón. Sea ahoa Cun punto cualquea del sóldo. La poscón de oto punto del sóldo puede C C escbse: + ( C ), y su velocdad v v + v( C). El 1 témno de ambas ecuacones descbe el movmento del punto Cespecto del sstema de efeenca. El º, el movmento de especto de C. Ya que la dstanca ente y C no puede vaa, el º témno tene que se un movmento de otacón: Ademas, sendo el sóldo ígdo la velocdad angula es v ω d dc C ( C) la msma paa todo punto. Se ha pues: C v + ω v la velocdad del punto es la velocdad de tanslacón de un punto Cmás una otacón especto a C. Esto vale paa C cualquea, ncluso s Cen ealdad está gando! Solo se necestan 6 coodenadas paa descb la poscon de un soldo gdo; paa especfca su movmento sólo hay que conoce dos vectoes v y C ω (6 coodenadas en total) La otacón es una vaacón de la oentacón del cuepo especto al sstema de efeenca. S la oentacón no camba, entonces ω 0 (ndependentemente de que punto C se escoja)
3.11 Ecuacones geneales de la dnámca de un sóldo ígdo Un objeto enso es una coleccón contnua de patículas, cada una de masa nfntésma dm. El cento de masas, la enegía cnétca y los momentos lneal y angula de un sóldo ígdo se defnen gual que paa un sstema de más patículas, emplazando sumatoas po ntegales con las susttucones: m dm ρdv Así: R 1 1 m dm ρdv y dm dv ρ Además: 1 1 E C dmv dvρv P mv dmv dvρv L dm( v dvρ v m con m v v C + ω Movmento de un cuepo ígdo las msmas ecuacones que paa un sstema de patculas : & P & M ( Q ) L( F y, con Q fjo o La 1ª ecuacón (momento lneal) descbe la taslacón, la ª (momento angula) la otacón
3. Cento de masas de un sóldo Popedades mpotantes del cento de masas () 1) F ma : dnámca de taslacón movmento del ) El momento lneal total tene la foma smple P mv & 3) M L (ncluso s el tene aceleacón 0!!) ( ) ( ) 4) El peso se aplca en el cento de masas (ve adelante) Paa cuepos homogéneos y smétcos, CENTRO DE MASAS CENTRO GEOMÉTRICO : CENTRO DE MASAS de algunos otos objetos homogéneos:
4. 3. Cento de de masas de cento un sóldo de gavedad compuesto S un cuepo ígdo está fomado po pates de foma smple C, 1,.., N ( ) de masa y cento de masas { m, }, el cento de masas del cuepo es: 1 1 1 (1) ( N ) R dm dm... dm ( m1... mn ) m m + + + + m C1 C... CN C1 CN N 1 ( ) R m ( m m es la masa total del sóldo) m S N : R 1 m 1 m m1 (1) () ( ) (1) () 1 (1) () (1) m () (1) ( m + m ) ( m m + m ) + ( ) 1 ) (1) R m Q-3..5 Se puede calcula del de un cuepo ígdo con agujeos, tomando las masas m de los agujeos con sgno negatvo. Paa velo, memos la fgua de la zqueda. Se ha: ( ect lleno) ( ) ( tozo gs) ( agujeo) mtot m mtozo gs + magujeo ( tozo gs) ( ect lleno) ( agujeo ) ( ) m m m m tozo gs R 1 tot P-3.., P-3..5; P-3.3. () (1) agujeo ± m N m N Ej.: objeto en foma de L P-3..4, P-3..6, Q-3.., Q-3..3, Q-3..7, Q-3..8
3.11 y 4. Dnámca de un sóldo ígdo y sstemas de fuezas equvalentes Las ecuacones del movmento paa un cuepo ígdo son las msmas que paa un sstema de patículas; en ellas no apaecen las fuezas ntenas del sóldo ( fuezas de cohesón ): F dp dt ma ; M ( Q ) dl( dt, con Q fjo o Q P-3.11. + compaa con 3.11.1 Estas ecuacones vectoales coesponden a 6 ecuacones en las coodenadas catesanas. Un cuepo ígdo tene 6 gados de lbetad; así pues, tenemos 6 ecuacones paa 6 ncógntas: las ecuacones de fuezas y momentos son sufcentes paa esolve la dnámca. De esto sgue que s dos conjuntos de fuezas aplcadas sobe el msmo sóldo tenen gual esultante e gual momento esultante (especto al msmo punto), causaán los msmos efectos. Se dce entonces que los dos sstemas de fuezas son equvalentes. Ejemplo: cento de gavedad. Sóldo de masa men el campo de gavedad teeste. Cada tocto de masa dmdel sóldo está sujeto al peso df dm g, de modo que la fueza peso total es ( ) df dm g dm g mg dm El momento total de las fuezas df especto de un punto Qvale: M dmg ( dm) g mr( g R Q mg Q ) ( ) df dm g Po tanto el sstema de fuezas peso de cada tozo del sóldo es equvalente a una únca fueza mg aplcada al cento de masas, ya que en los dos casos los vectoes F y M ( son los Q ) msmos: CENTRO DE MASAS CENTRO DE GRAVEDAD
3.11 Fuezas ntenas y enegía de un sóldo ígdo F 1 1 1 dstanca constante F 1 Las fuezas ntenas (de cohesón) de un sóldo no entan en las ecuacones de la dnámca. Además, al se las dstancas ente los puntos del sóldo fja, la enegía potencal asocada a las fuezas nteoes no vaía nunca. Así, a la hoa de consdea 1) la enegía, ) el momento lneal, y 3) el momento angula de un sóldo ígdo, podemos olvdanos de las fuezas ntenas (apat de ahoa ndcaemos las fuezas eoes smplemente con F ). Paa los sóldos ígdos, solo cuentan las fuezas enas. La enegía potencal de la fueza peso vale: U mgh U dmgz g dmz gmz tambén desde el punto de vsta enegétco la fueza peso puede consdease aplcada en el, de foma que la enegía potencal sólo depende de la altua del cento de masas (). (NOTA: esto vale tambén paa la fueza de gavtacón unvesal y la coespondente enegía potencal, p. ej. ente planetas)
3.11 Movmento de taslacón pua La otacón es una vaacón de la oentacón del cuepo especto al sstema de efeenca. S la oentacón no camba, entonces ω 0 movmento de pua taslacón: ω 0 v vc v L dm v dm v ( ( ) ( ) ( ) dm( ) v mr( ) v 0 M ( ) dl( ) dt 0 el momento angula y el momento de las fuezas de un sóldo que no ga son ambos ceo especto del cento de masas F ma Así, paa un sóldo que no ga: ; ( ) 0 La enegía cnétca de un sóldo sn otacón, ya que todo punto tene la msma velocdad (esto no es ceto s el sóldo ga!!), vale: 1 1 E C dmvc mvc M dnámca de pua taslacon s un cuepo no ga, se pueden aplca las ecuacones que valen paa una patícula, tomando como poscón de la patícula la coodenada del cento de masas del sóldo; en patcula valen la ecuacón y la ecuacón del tabajo y la enegía con 1 F ma Además vale: U mgh M E C mv y ( ) 0 v v C P-3.10.1, P-3.4.3(a) + calcula punto de aplcacón de N P.4 fnal juno 11
3.10 Enegía de sóldos ígdos en pesenca de eaccones deales Se llama enlace o lgadua cualque lmtacón al movmento de un cuepo (ej.: atculacón, paed, plano, cuedas, cales ), y eaccón la fueza coespondente (nomal, tensón,...). (una paed mpde el movmento a tavés de ella; una cueda o una atculacón mponen una tayectoa ccula, etc.). Se dce que el enlace es deal s la eaccón asocada no hace tabajo. S un cuepo está sujeto sólo a fuezas consevatvas y lgaduas deales, su E const enegía mecánca se conseva: a v 45 Ejemplo: hmax? a hmax Conjunto de eaccones deales Como en el caso de más patículas, en un poblema con más cuepos ígdos se dce que las eaccones foman un conjunto de eaccones deales s su tabajo total es ceo. Ejemplo: dos sóldos atados a la msma cueda: las dos tensones T y T ' foman un conjunto de eaccones deales. S sobe un sstema de más cuepos actúa un conjunto de eaccones deales la enegía mecánca total se conseva: E tot E + E 1 (nose conseva la enegía de cada sóldo po sepaado) P-3.10.5 const P-3.8. +P-3.10.6 Oto ejemplo: P-3.8.1, 1 T T ' T T '
4.1 Estátca del sóldo ígdo S un cuepo ígdo no se mueve o tene velocdad de tanslacón unfome, (con Q cualquea). Entonces dp P L( Q ) ct dt 0 y dl dt 0. De las ecuacones del sóldo ígdo sgue pues: F 0, M 0 ( Q ) Condcones paa la estátca (equlbo) Coolaos mpotantes de las ecuacones de la estátca: P-4.1.3, P-4.4.7 1) s a un cuepo se aplcan sólo fuezas, estas tenen que se guales y opuestas y tene la msma ecta de accón ) S a un cuepo se aplcan sólo 3 fuezas, además de tene esultante gual a ceo, las ectas de accón tendán que se o todas paalelas o convege al msmo punto Ej. del coolao 1: equlbo en apoyo. El peso se aplca en el ; s aplcamos una fueza gual a mg cuya ecta de accón pase po el (y no hay más fuezas) el sóldo queda en equlbo. Sóldo apoyado en un plano hozontal: s la poyeccón del cento de masas cae fuea de la base del cuepo, éste cae: mg N N N?? Sobe un plano nclnado, paa que haya equlbo tene que habe tambén una fueza de fccón estátca (coolao ): NOTA: Un sstema de fuezas sobe un sóldo con esultante ceo se llama un pa N F RE Q-4.4.8, P-4..1 + equlbo baa atculada en un lado y apoyada en una paed Q-3..1
Una pelota de masa m esta atada, en puntos dametalmente opuestos, a dos hlos déntcos. S el cabo suelto de uno de los dos hlos se fja al techo y se ta del oto haca abajo, cuál se ompe pmeo? Un sstema de fuezas sobe un sóldo con esultante ceo se llama pa (de fuezas). Paa el equlbo, las fuezas aplcadas tenen que se un pa, peo esto no es sufcente: el momento esultante tene tambén que anulase. El momento de un pa (de fuezas) es ndependente del punto especto al que se calcula; asì es sufcente que se anule especto de un punto cualcquea Estátca de más sóldos ígdos S hay más sóldos 1,,, paa cada uno de ellos se aplcaán sendas ecuacones de la estátca F 0 y M. Paa cada sóldo se consdean sólo fuezas que actúen sobe el, ncludas 0 las fuezas debdas a los demás cuepos. Estas fuezas (ntenas) cumplen la 3ª Ley de Newton: F j F j actúan sobe sóldos dstntos! 1 dagama del sóldo lbe paa cada cuepo: F 1 F 1 F 3 F 3 F 1 A 3 F 1 F 1 1 A
4.3 Fludoestátca y fuezas geneadas po un fludo sobe un sóldo Un líqudo o fludo está compuesto po moléculas que ebotan contnuamente conta las paedes del contenedo. Las colsones causan fuezas (llamadas de pesón) debdas al líqudo sobe paedes u objetos sumegdos. S el líqudo no es vscoso las colsones son sn fccón y las fuezas de pesón son en cada punto otogonales a las supefces. Empuje de Aquímedes ρ fludo flud ρ sóldo Consdeamos un volumen de líqudo de foma cualquea. Sobe su supefce se ejecen fuezas de pesón (flechas negas). Dado que el líqudo está en equlbo, la esultante de estas fuezas tene que contasta el peso de la pocón de líqudo; es dec, la fueza de pesón total(flecha azul) es gual y contaa al peso del volumen de líqudo consdeado, y se aplca en el msmo punto, o sea en el cento de masas del líqudo. S consdeamos un sóldo que ocupe el msmo volumen, sobe la supefce del sóldo en contacto con el líqudo se ejece una fueza de pesón gual a la que s hubea el líqudo. Este es el pncpo de Aquímedes: el empuje de Aquímedes, E A, es gual en módulo al peso del líqudo desalojado: E A m fludo g ρ fludo V ' g La fueza de Aquímedes se aplca en el cento de masas del volumen de fludo desalojado, que ecbe el nombe de cento de empuje(ce) y se calcula como un cento de masas. mg flud E A P-4.3.6, Q-4.3.5+cálculo dee A, P-4.3.7 Q-4.3., Q-4.3.3, P-4.3.
Flotacón Cuál es la condcón paa que un cuepo flote? La fueza peso del sóldo vale mg ρ V g. sóldo Paa el equlbo E A + mg 0 o sea m, es dec: fludog + mg ( ρ fludov ' + ρsóldov ) g 0 ρ ρ V ' V. S el cuepo flota, seá V < V ; po lo tanto: sóldo Pesón fludo un cuepo sóldo flota en un líqudo s ρ sóldo < ρ fludo La fueza de pesón de un fludo es más gande cuanto más gande sea la supefce conta la que se ejece. Po ello es útl defn una pesóncomo fueza po undad de supefce: (la undad SI de pesón es el Pascal: 1Pa 1N m ) Dado que la pesón no es la msma en todo punto de un fludo, hay que consdea una supefce nfntésma ds df ds y defn la pesón como: df pds p F S Como vaa la pesón con la pofunddad? Sobe el clndo de fludo de la fgua, la fueza hozontal total es ceo po smetía. En equlbo, las dos fuezas vetcales sobe las bases del clndo, de áea S, compensan el peso del clndo: Fp Fatm + mg patms + ρvg, sendo p atm la pesón atmosféca y ρ la densdad del fludo, que es constante al se el fludo ncompesble. Con V Sz, se halla: p( z) patm + ρgz P-4.3.3, P-4.3.5 S ρ F atm mg F p z La cantdad ρgz p fludo p atm se llama pesón manométca. aplcacón: pensa hdáulca
Fueza de pesón sobe una supefce plana La vaacón de pesón de un gas con la altua es menospecable especto a la de un líqudo: p atm es una constante que empuja de la msma manea todos cuepos en todas deccones, y desapaece de los poblemas de equlbo, donde po lo tanto se consdea sólo la pesón manométca ρgz P-4.3.1 Podemos ahoa calcula la fueza debda a fludo sobe la supefce ectangula de un sóldo o del contenedo. La fueza sobe un elemento ds de aea es: df pds. Utlzando p ρgz e ntegando, se ha: F ρ g zds ρgsz (donde se ha usado F ρgs( z 1 + z) / 1 + 1 1 z z ds S S zds σ σ ), o sea: La fueza de pesón sempe empuja, es nomal a la supefce, y se aplca ( 4.3) a una dstanca ( z + z ) ( z z ) x F L + 1 3 del punto de máxma pofunddad, sendo: L la longtud lateal y z las pofunddades máxma y mínma z1 1 z z x F x 0 F z 1 x L P-4.4.3, Q-4.4.16 P-4.4.1, Q-4.4.5, Q-4.4.6
4.4 Reglas útles paa hace poblemas con sóldos ígdos y enlaces (1) Tensón de una cueda: la fueza sempe es paalela a la cueda, ta (no puede empuja), y se aplca en el punto donde está atada. S la cueda no tene masa n está sujeta a fccón (no oza otos cuepos), el módulo de la tensón es el msmo en cada punto. () Poleas: camban deccón y módulo de la tensón de una cueda; la fueza de una P-4.5.10 cueda sobe una polea se aplca en el punto en que dejan de esta en contacto (demo) ( hay genealmente dos fuezas debda a una cueda sobe una polea) aplcacón: polpasto (3) la fueza de fccón (s la hay) estáen el plano de contacto ( plano tangente a N F f al menos una de las dos supefces en contacto). Fccón estátca: su magntud max vaía según la stuacón. Como mucho su módulo vale F ; cuando llega RE µ E N a su valo máxmo, el deslzamento es nmnente P-4.4. Q-4.4.9 (4) Fueza nomal: sempe otogonal al plano de contacto; sempe empuja. El punto equvalente de aplcacón de la nomal, que se halla N P-4.5.3 con la condcón de momento total ceo, como mucho puede se la esquna del cuepo: condcón de vuelco nmnente (5) En una atculacón, la eaccón puede tene cualque deccón. S además hay fccón o empotamento cabe añad un momento (un pa) N M f F f (7) La eaccón de una guía o cal puede tene cualque deccón en el plan nomal a la guía; s hay ozamento la fccón es paalela al cal P-4.1. (6) Paa el equlbo de una palancao de una balanza, tenen que compensase los momentos especto del fulco (peno) P-4.5.9 T P-4.4.11 M R empeza en aula o como test P-4.4.5, P-4.1.1, P-4.4.8, P-4.4.10, P-4.5.5, Q-4.4.10
Máqunas smples Se llaman máqunas smples las que utlzan, amplfcándola, la fueza humana o anmal, facltando así una taea. Ej. de máqunas smples: plano nclnado, cueda, ueda y polea, matllo, polpasto (polea compuesta), tono, palanca, pensa hdáulca Poblemas con más sóldos ígdos: P-4.5., P-4.5.6, P-4.5.19 P-4.5.4, P-4.5.13, Q-4.5.1, Q-4.5., Q-4.5.3
4.7 Estátca y equlbo de un sóldo ígdo con eaccones deales Paa una fueza (consevatva) que depende de la poscon x (en 1D), el equlbo (estatca) coesponde a un maxmo o a un mnmo de la enega potencal, poque en tales puntos a devada hozontal la fueza (que es la devada de Ucambada de sgno) es ceo. Esto vale en geneal: paa sstemas consevatvos, el equlbo se ha cuando la enega potencal total es mnma o maxma, una condcon que puede escbse du 0. S hay solo un gado de lbetad λ(coodenada, angulo) que descbe el sstema, la condcon que U sea maxma o mnma es: du ( λ λ eq ) 0 condcón de equlbo dλ Esta condcon se cumple solo paa un valo especal λ eq del paameto λ, o sea solo paa el valo que coesponde a la poscon de equlbo. S en coespondenca de estos valoes la funcón U tene un mínmo local, o sea s su devada segunda cumple la condcon: d U U ( λ λ ) > 0 equlbo estable eq d λ el equlbo es estable, ya que aún con un pequeño ncemento de enegía el cuepo no puede escapase del mínmo local. S la devada ª es negatva, el equlbo es nestable. S po oto lado la funcón Ues constante en un ntevalo de valoes de λ, el equlbo es ndfeente. S la devada segunda es ceo en λ eq peo no paa otos valoes del gado de lbetad, hay que segu devando hasta enconta una devada dstnta de ceo λ eq P-4.7.16, P-4.7., P-4.7.9 P-3.10.8, P-4.7.10, P-4.7.4,P-4.7.7,P-4.7.1
Poblemas de equlbo con fuezas constantes Además de sstemas con fuezas peso o de Hooke, las ecuacones de la condcón de equlbo se usan tambén cuando hay fuezas constantesaplcadas al sstema: s una fueza es constante en módulo y deccón (tal y como la fueza peso), se puede defn una enegía potencal asocada, y po lo tanto se podá enconta la condcón de equlbo po devadas. P-4.7.5, P-4.7.15 P-4.7.13 4.7 Estátca y equlbo de mas sóldos ígdos con eaccones deales λ...,λ L S un sstema de mas soldos gdos tene mas gados de lbetad ndependentes, la condcon que U sea un mnmo o un maxmo local (condcon de equlbo) es U λ ( λ,..., λ ) 0 1,..., L 1 L Es dec, cada una de las devadas pacalesde Uespecto a sus vaables tene que se ceo. NOTA mpotante: esto vale solo s los gados de lbetad son completamente ndependentes. Esto noes el caso, en geneal, s tomamos como vaables del poblemas las poscones de cada soldo, poque nomalmente hay una coelacon ente la poscon de un cuepo y de oto. hay que sabe ndvdua los gados de lbetad ndependentes (po ejemplo, dos angulos) P-4.7.8, P-4.7.3 1,
MOVIMIENTO de un cuepo TRANSLACIÓN + ROTACIÓN + DEFORMACIÓN 3.11 Cnemátca del sóldo ígdo Un cuepo ígdo es un sóldo contnuo ndefomable: dos puntos cualquea (, j) del cuepo se hallan sempe a la msma dstanca: dj j const. S un cuepo ga alededo de un eje (tambén eo al cuepo), la velocdad de sus puntos se puede expesa (en foma vectoal) como, sendo la dstanca del punto de un punto Csobe el eje, y v ω ω el vecto velocdad angula (nstantánea) que es paalelo al eje de otacón. Esta es la vesón vectoal de la fomula ωr del movmento ccula en el plano. Sea ahoa Cun punto cualquea del sóldo. La poscón de oto punto del sóldo puede C C escbse: +, y su velocdad. El 1 témno de ambas ecuacones v v + v( C) descbe el movmento del punto Cespecto del sstema de efeenca. El º, el movmento de especto de C. Como la dstanca ente y Cno puede vaa, el movmento de elatvo a Csólo puede se un movmento de otacón, o sea: v ω Dado que el sóldo es ígdo, el módulo de la velocdad angula tene que se el msmo paa todo punto. Se ha pues: d dc C ( C) C v v + ω Así, la velocdad del punto es la velocdad de tanslacón de un punto Cmás una otacón especto a C. Esto vale paa C cualquea, ncluso s Cen ealdad está gando! Un movmento de otacón es una vaacón de la oentacón de un cuepo especto al sstema de efeenca. S la oentacón no camba, entonces ω 0 (ndependentemente de que punto Cse escoja) v T
5.1 Cnemátca de otacón en un plano (D) La ecuacón de la cnemátca de un sóldo ígdo es: v vc + ω (C). Aquí se ve que la velocdad angula es ndependente de que punto Cse escoge, ya que especto del punto tambén vale: vc v ω v + ω C( ). Esto tene sentdo poque la velocdad angula es la velocdad con la que vaía la oentacón del sóldo especto del sstema de efeenca y no depende de donde esté el ogen.s en ceto nstante se conoce la velocdad de dos puntos, j del sóldo, ω se calcula a pat de: v v + v v ω j ω ( j) j ( ) j El cálculo es smple ya que en D ω sempe es otogonal al plano de otacón. Ota foma de enconta ω es a tavés del cento nstantáneo de otacón (CIR) : s consdeamosun plano soldao con el sóldo (se puede magna una hoja de plástco tanspaente atada al sóldo), el CIR es el punto de tal plano que tene velocdad ceo: v vcir + ω ( CIR) ω ( CIR) v ( CIR) Po lo tanto, el CIR puede po tanto encontase gáfcamente v ( CIR) CIR v 1 cuzando las pependculaes a dos velocdades conocdas. ( CIR)1 A pat del CIR, la velocdad de un punto cualquea del sóldo puede escbse, en módulo, como:, d (CIR) donde dstanca del punto al CIR. v ω d (CIR) P-5.1.1, P-5.1. Q-5.1.3 Nota: el CIR es un punto que va cambando en el tempo, en geneal de manea complcada.
5.3 Dnámca de otacón y momento de neca Q fjo o La leyes de la dnámca de un sóldo ígdo son F ma y M ( Q ) dl( dt Q Paa halla el movmento de otacón hay que esolve la ecuacón de los momentos, que es en geneal complcada. Sn embago, en muchos casos de otacón en el plano, el momento angula de un sóldo es dectamente popoconal a su velocdad angula: Esta expesón vale sólo paa puntos Qpatculaes. La constante de popoconaldad depende de Q: L I ω L ( ω, y se llama momento de neca especto de Q. Qpuede se o un punto fjo del sóldo (s exste), o el. Ejemplo: momento de neca de un ao delgado de ado R y masa mque ga alededo de su cento C: L dm( v dmrv dmr ω R ω R dm mr ω I( C) mr R m C Demonstacón paa un objeto D cualquea que se taslada y a la vez ga en un plano: Q la velocdad de un punto del sóldo es v v + ω, sendo Q oto punto cualquea del sóldo. Se ha: Q L dm( v dm( ( ω ) + dm( v El º témno es ceo s Qes un punto fjo ( v ), y tambén s Q, ya que: Q 0 dm( ) v ( dm( ) ) v mr( ) v 0. Se tene pues: L dm( ( ω ) 0 Dado que el cuepo ga en un plano, el vecto ω tene deccón constante otogonal al msmo, po lo que: ω ω. El momento angula se educe entonces a: ( ) ( ) ( ) ( Q Q ) L dmω ( ) ω dm( ( ) ( I( ω, con Q fjo del sóldo o Q
5.3 Momento de neca L I ω La ecuacón vale tambén paa algunos cuepos tdmensonales. En tal caso, la defncón de momento de neca es I Q dm (, sendo ( la componente de ( que es otogonal al eje de otacón. Se demuesta que el momento de neca es el msmo paa todo punto del msmo eje. S L I( ω, entonces la ley dnámca de la otacón se escbe M dl dt I d, o sea M ω dt. αi Q Esta ecuacón tene una fuete smltud con la ª Ley de Newton. En patcula, en D pemte calcula el ángulo de otacón en funcón del tempo θ (t) po ntegacón, s M ( y po tanto α ( t) & θ ( t) se conocen. P. ej., s M ( Q )( t) es constante, α tambén lo es, lo que da ogen a un movmento angula unfomemente aceleado (o unfome, s α 0 ) Q-5.3.7 (Q-4 test ExFnal juno 11), P-5.4.11, P-5.3.1, P-5.3.5 P-5.4.13 Momentos de neca de algunos cuepos homogéneos especto de su P-5.4.7 Como paa el cento de masas, los valoes de I ( ) de cuepos con foma smple son conocdos: Paa cuepos compuestos, el momento de neca total es la suma de los momentos de neca de los tozos que foman el cuepo: I I( C )1 + I( C ). Lo msmo vale tambén s hay un agujeo, tomando el momento de neca del agujeos con sgno negatvo.
5.3 Teoema de Stene Cuando un cuepo ga alededo de uno de sus puntos C, que se mantene fjo duante el movmento, convene calcula los momentos y escb el momento de neca especto de C. Se puede calcula el momento de neca especto de un punto dstnto del gacas al teoema de Stene: I dm ( x + ( y + d) ) dm ( x + y + y d + d ) dm ( C) ( C) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Cos Cos Cos Ya que po defncón de es y dm ( ) 0 Cos, esto da I I( ) I ( C ) I ( ) + md x C d y Ej: paa una masa puntual mse obtene I m ( S un cuepo ga alededo de uno de sus puntos C, que pemanece fjo, la cnemátca y la dnámca son dadas smplemente po (ya que v C 0) : v ω (C ), y M I α I + m( d ) ( )α ( ) C Po qué se pone la manja de una pueta en el lado opuesto al peno? Q-5.3.5, Q-5.3.1, Q-5.3.3
una aplcacón de la ley dl M dt I( Q )α Hombo Codo θ F Antebazo D M ( codo) ( F) F snθ I( codo)α el momento y la aceleacón o angula son máxmos paa θ 90 po qué el punto de aplcacón de F (el tendón) está tan ceca del codo? No es una buena estatega paa levanta cosas pesadas, peo pemte movmentos más ápdos p. ej. de las manos: s el músculo se contae de l en un tempo de espuesta muscula t, la velocdad del tendón es v v l / t ω, la de la mano vale: mano tendón contaccón v ωd v D / >> v contaccón contaccón
5.3 Consevacón del momento angula de un sóldo ígdo dl d ω La ecuacón M I (con Q fjo o Q ) mplca que: dt dt s, entonces M 0 L ( Q ) const Este es el teoema de consevacón del momento angula paa un sóldo ígdo. Coolao muy mpotante: cuando un sóldo está sujeto sólo a fuezas aplcadas en su (peso, gavtacón unvesal), el momento angula especto al se conseva S duante el movmento no vaía, M I ( Aplcacones y consecuencas mpotantes: Estacones, goscopo, amas de fuego (, ) 0 L Q const ω const ( ) fútbol amecano
Rodadua C dϕ R P ω v C dt v C S un sóldo con seccón ccula (esfea, clndo) de ado R ueda con velocdad angula ωsobe una supefce, en un nstante dtsu cento se desplaza de v C dt, mentas un punto de su supefce ecoe una dstanca Rdφ. S el cuepo no deslza los dos ecodos son guales y po lo tanto vale: v C ωr condcón de odadua (vectoalmente vc ω R, ve dbujo). La velocdad del punto de contacto P es pues nula: P vp vc + ω vc + ω R 0 Esto mplca que: 1) s hay odadua hay fccón, poque s no el cuepo deslzaía sn ga ; ) la fccón es un ozamento de tpo estátco, y además es deal(no hace tabajo)! Los poblemas de odadua se esuelven utlzando las ecuacones de la dnámca (con C) M I α y, y con además la condcón de odadua ( ) ( ) F ma C ac Rα P-5.3.3, P-5.3.8, P-5.3.7 Q-5.1.4,Q-5.1., P-5.4.3
5.4 Enegía de otacón La velocdad de un punto de un sóldo es v vc + ω, con Ccualquea. La enegía cnétca total es: 1 1 1 1 Ec dmv dm( vc + ω ( C) ) dmvc + dm( ω ( C ) ) + vc ( ω dm ( C) ) 0 s C El últmo témno es ceo s C es un punto fjo ( ), y tambén s C concde con el cento de masas. Descomponendo el vecto v C 0 en dos pates, una paalela y ota otogonal a (C ) ω, se ha: ω C C C tˆ ( ) ω ( ) ω 1 1 1 ( ) y po tanto: dm( ω ( C )) ω dm I ( ) ω C La enegía total de un cuepo que ga en un plano es pues, según el caso: -otacón especto de C fjo: - ototanslacón (ej.: odadua): E c 1 I ( C) ω 1 E c mω + 1 I ( ) ω En el caso de la odadua, la fccón es deal la enega se conseva!! Dos esfeas de la msma masa y msmo ado eo se dejan cae odando po el msmo plano nclnado. S una esfea es macza y la ota es hueca, cual de las dos llega abajo po pmea? P-5.4.16, P-5.4., P-5.4.10, P-5.4.1, P-5.4.14 P-5.4.5, P-5.4.15, P-5.4.18, P-5.4.19, P-5.4.1, Lee: P-5.4.1+5.4.6
Choques ente sóldos ígdos (con otacón) En los poblemas de choques con cuepos ígdos que no se mueven sólo de tanslacón hay que tene en cuenta el efecto de la otacón. Paa esolve un poblema de choque con otacón se aplcan uno o más pncpos de consevacón, según el caso: -momento lneal total : se conseva s nnguno de los cuepo está sujeto a enlaces (es dec, s no hay fuezas de eaccón mpulsvas) -momento angula total especto de un punto P: se conseva s no hay lgaduas (con P cualquea), peo tambén s uno o ambos cuepos tenen un enlace puntual en el punto P (atculacón, apoyo smple, etc.) - enegía mecánca total: solamente se conseva s el choque es elástco. Fómulas mpotantes con le momento angula: Paa un sóldo que se mueva de taslacón pua (sn ga) con velocdad v (t) : L( ) ( t) mr( ) ( t) v ( t) Q Q Paa un sóldo que ga alededo de un punto C fjo vale: L I ω con I I + m d ( ) Ejemplo de poblema de ototaslacón sn odadua: P-5.3.10 P-5.3.6, P-5.4.17 Q-5.3.6 Ejemplo: en un saque de tens, la pelota de 100 g sale dspaada a 100 km/h. La aqueta es como una baa de 75 cm de longtud y 400 g de masa, que ga alededo de la muneca del jugado, que se puede consdea fja. S la colson ente la aqueta y la pelota es elastca,?cuanto vale la velocdad angula de la aqueta justo antes y justo después del saque?
- Cnemátca, ecuacones geneales: Resumen cnemátca y dnámca sóldo ígdo de masa m 1) velocdad de un punto especto de oto Ccualquea: v vc + v ( ) (C) v j ω j ) poscón del CIRespecto de un punto Qcualquea: CIR ( Q ) ω v Q ω 3) aceleacón : dv v a a t + a n tˆ + dt nˆ R ( ) ω ( ) cuv & - Dnámca: ecuacones geneales P mv ; F P ma ; M ( Q ) dl( dt con Qfjo o Casos patculaes: (1) Estátca(EQUILIBRIO): F 0 y M ( Q ) 0 con Qfjo cualquea ( v, P, L 0 0 ( ) 0, E Q cn 0) F ma M 0 ( ) sólo especto () Pua tanslacón(con velocdad v (t)): y del! L ( ) 0 ( ) t v ( t) v ( t), P( t) mv ( t), 1, E cn ( t) mv ( t) L( Q ) ( t) mr( Q ) ( t) v ( t) (3) Pua otacón alededo de un punto fjoc: M αi I I ( ) + m d v con 1, L I C 0 v ω d C ω, Ecn ( t) I ω ( t) 4) Rotacón + tanslacón: F ma y M ( ) I ( ) α P( t) mv 1 1 ( t), Ecn ( t) mv ( t) + I ( ) ω ( t), L ( ) I ( ) ω caso patcula odadua: v Rω, a Rα 1 Rodadua sobe un plano fjo: CIR punto de contacto con el plano, E cn I ( CIR ) ω P-5.3.9, P-5.3.11, P-5.4.0, P-3.10.8, Q-5.3.6
- Analogía fomal ente cnemátca/dnámca de tanslacón y de otacón: θ ; v ω ; a α ; m I ; F M ; P F ma M I α ; ½mv ½I ω L Resumen ecuacones con la enegía paa un sóldo ígdo o un conjunto de sóldos ígdos (A) Estátca: du 0 (B) Dnámca consevatva: de dt 0 o (C) Con fuezas no consevatvas: E E f E W NOcons -S toda eaccón es deal, Ees la enegía de cada cuepo po sepaado; -S actúa un conjunto de eaccones deales, Ees la enegía total (suma de todas) - Fuezas CONSERVATIVAS: peso, muelle, toda fueza constante (en módulo y deccón), toda fueza en 1D - Reaccones deales o conjunto de eaccones deales: fuezas nomales, fccón estátca, fccón de odadua, tensones de cuedas - Fuezas no consevatvas: fuezas de fccón dnámca: seca y vscosa
Fómulas comunes a patículas y sóldos ígdos Cento de masas: R Cnemátca: -Punto mateal o cento de masas -Punto cualquea de un sóldo ígdo W Enegía: Dnámca: W F NO v F 1 ( ) m m dv dvˆ a( t) vˆ + v nˆ a T + a N dt dt cons v + ω C dp dt ma F ( 0 P ct ) M ( Q ) dl ( Q ) dt, con Qfjo o Q Dnámca del F ma sóldo ígdo sn otacón ( ) 0 E E E + U, c (C) Ec + U + paejas U a N Estátca del sóldo ígdo nt j v nˆ R CURV 1 m1m F( ) d U ; U mgh ; U H k( x) ; U GU G (s F es consevatva) M (Q!) casos patculaes: E const F 0 M 0 R CURV v paa un soldo ígdo, sempe es constante g RDS µ D ; W dvˆ dt, Q cualquea de Sstema consevatvo: o tambén 0 U dt nt Nl U (s N const) nt 0