CONSIDERACIONES METODOLÓGICAS Material de apoyo para el docente UNIDAD 5 Preparado por: Héctor Muñoz Diseño Gráfico por: www.genesisgrafica.cl
EL LENGUAJE DE LAS FRACCIONES 1. DESCRIPCIÓN GENERAL DE LA UNIDAD La Unidad trata los siguientes puntos: Lectura y escritura de fracciones positivas. Interpretación de información dada con esos números. Amplificación y simplificación de fracciones. Representación en la recta numérica. Comparación de fracciones. Procedimientos de cálculo de adiciones y sustracciones de fracciones. 2. DURACIÓN APROXIMADA 5 semanas. 3. CONTENIDOS Interpretación, lectura y escritura de fracciones Amplificación y simplificación de fracciones Representación de fracciones en la recta numérica Fracciones y números naturales Relación entre las fracciones y la división Comparación de fracciones Adición y sustracción de fracciones: interpretaciones y procedimientos de cálculo 4. 4.1 Interpretación, lectura y escritura de fracciones La Unidad se inicia con una revisión de conocimientos anteriores relativos a fracciones. El primer aparendizaje esperado se refiere a la lectura y escritura de fracciones simples. El segundo y el tercer aprendizaje esperado se refieren a la interpretación de fracciones y a su empleo en situaciones cotidianas como forma de expresar información cuantitativa relativa a partes de una unidad. Interpretación, lectura y escritura de fracciones Leen y escriben fracciones simples. Interpretan la información que proporcionan fracciones simples en contextos de la vida cotidiana. Emplean este tipo de fracciones para comunicar información cuantitativa. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 1
4.2 Amplificación y simplificación de fracciones En este contenido se revisan las operaciones de amplificación y simplificación de fracciones. El primer aprendizaje esperado implica la identificación de estas operaciones y, en especial, el reconocimiento de que estas operaciones varían tanto el numerador como el denominador de una fracción pero mantienen inalterado su valor. El segundo aprendizaje esperado corresponde a la capacidad de identificar fracciones equivalentes y construir fracciones equivalentes a una fracción dada basándose en las operaciones de amplificación y simplificación. Amplificación y simplificación de fracciones Identifican y denominan las operaciones de amplificación y simplificación de fracciones y reconocen que dichas operaciones no modifican el valor de una fracción. Identifican y construyen fracciones equivalentes a una fracción dada. 4.3 Representación de fracciones en la recta numérica En este contenido se espera que los estudiantes puedan representar fracciones simples en la recta numérica (primer aprendizaje esperado) así como identificar las fracciones que están representadas en una recta numérica (segundo aprendizaje esperado). Representación de fracciones en la recta numérica Representan fracciones en la recta numérica. Identifican las fracciones que están representadas en una recta numérica. 4.4 Fracciones y números naturales Aquí se espera que los estudiantes conozcan e interpreten fracciones iguales o mayores que 1 (primer aprendizaje esperado) y, en especial, aquellas en que el numerador es múltiplo del denominador y que, por lo tanto, son equivalentes a números naturales (segundo aprendizaje esperado). Fracciones y números naturales Interpretan fracciones cuyo numerador es igual o mayor que su denominador. Identifican fracciones que son equivalentes a números naturales. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 2
4.5 Relación entre las fracciones y la división El aprendizaje esperado correspondiente a este contenido se refiere a la interpretación de una fracción como cuociente entre el numerador y el denominador: lo que hace explícita la estrecha relación que existe entre las fracciones y la división de números naturales. Relación entre las fracciones y la división Reconocen que toda fracción puede ser interpretada como el cuociente entre su numerador y su denominador. 4.6 Comparación de fracciones Dado que las fracciones son números que pueden representar cantidades, es posible establecer entre ellos comparaciones que permiten determinar si una fracción es igual, mayor o menor que otra. Se espera que los estudiantes puedan establecer este tipo de comparaciones ya sea para comparar dos fracciones dadas o para ordenar fracciones de mayor a menor o viceversa (primer aprendizaje esperado). Se espera asimismo que reconozcan que en la recta numérica las fracciones tienen el mismo comportamiento que los números naturales de modo que las fracciones mayores quedan a la derecha de las fracciones menores (segundo aprendizaje esperado). Comparación de fracciones Manejan procedimientos para determinar cuál es mayor o menor de dos fracciones dadas o para ordenar fracciones de menor a mayor. Reconocen que en la recta numérica las fracciones mayores están representadas a la derecha de las fracciones menores. 4.7 Adición y sustracción de fracciones: interpretaciones y procedimientos de cálculo Una vez establecidas las ideas centrales relativas a fracciones, este contenido avanza en el sentido de introducir las operaciones con fracciones, en especial, la adición y sustracción de fracciones. El procedimiento básico es la adición o sustracción de fracciones de igual denominador (primer aprendizaje esperado). Mediante amplificación o simplificación, cualquier suma o resta de fracciones de distinto denominador puede transformarse en una suma o resta de fracciones de igual denominador (segundo aprendizaje esperado). Adición y sustracción de fracciones: interpretaciones y procedimientos de cálculo Emplean procedimientos para sumar o restar fracciones cuyos denominadores son iguales. Emplean procedimientos para sumar o restar fracciones cuyos denominadores pueden igualarse fácilmente mediante amplificación de una o ambas fracciones involucradas. Resuelven problemas que implican suma o resta de fracciones. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 3
Estos procedimientos de cálculo pueden ser utilizados para resolver problemas que involucran adiciones o sustracciones de fracciones (tercer aprendizaje esperado). 5. PROFUNDIZACIÓN DE CONTENIDOS Y RECOMENDACIONES METODOLÓGICAS 5.1 Dos interpretaciones para las fracciones Para interpretar fracciones, conviene partir por aquellas cuyo numerador es 1. Una fracción del tipo 1/q representa cada una de las partes que resultan cuando una unidad se divide en q partes equivalentes. Esta interpretación resulta relativamente fácil de comprender por los estudiantes, especialmente si presentamos una variedad suficientemente amplia de ejemplos. Una vez establecida una interpretación para las fracciones del tipo 1/q, pasamos a las fracciones del tipo p/q, es decir, fracciones con numerador distinto de 1. Y aquí tenemos dos posibles interpretaciones. La que se presenta con mayor frecuencia es aquella que considera que la fracción p/q equivale a p veces 1/q. Otra posible interpretación que conviene introducir desde temprano concibe la fracción p/q como el resultado de dividir p unidades en q partes equivalentes. Esta interpretación establece una directa relación entre las fracciones y la operación de división. Supongamos que dividimos una cuerda de 1 metro en 4 partes de igual longitud. Cada una de estas partes corresponde a 1/4 de metro y 3 de estas partes corresponden a 3/4 de metro. Esta situación ilustra la primera de las interpretaciones para la fracción 3/4. En este caso, dado que 1 metro equivale a 100 centímetros, 3/4 de metro corresponden a una longitud de 75 centímetros. Supongamos ahora que disponemos de una cuerda de 3 metros y queremos dividirla en 4 partes de igual longitud. Esta situación correspondería a la segunda de las interpretaciones de la fracción 3/4. Y si cortamos la cuerda en 4 partes iguales, veremos que efectivamente cada parte tiene una longitud de 75 centímetros. 5.2 Fracciones, números decimales y porcentajes Las fracciones son números que, a diferencia de los números naturales, permiten cuantificar partes de una unidad. Ellas permiten representar cantidades mayores que 0 pero menores que 1 y, en general, representar cantidades mayores que un número natural n cualquiera pero menores que su sucesor n + 1. No son el único tipo de número que puede hacer esto. También los números decimales permiten cuantificar partes de una unidad. En tal sentido, fracciones y decimales constituyen dos lenguajes para expresar partes de una unidad. No son, sin embargo, lenguajes totalmente equivalentes. Como sabemos, hay cantidades que pueden ser representadas mediante números decimales pero que no pueden representarse mediante fracciones. Se trata de los llamados números irracionales, cuyo descubrimiento significó en su momento un remezón muy fuerte al esquema numérico de Pitágoras. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 4
Otro lenguaje que permite representar partes de una unidad es el lenguaje de los porcentajes. En esencia, el porcentaje es una forma de expresar una comparación por cuociente en que el resultado se multiplica por 100. Pertenece a una familia de magnitudes similares como el tanto por mil, los ppm (partes por millón) o los ppb (partes por billón). De acuerdo con el marco curricular, en NB2 los estudiantes conocen las fracciones por primera vez, en 5º básico se introducen los números decimales y en 6º básico se inicia el tratamiento de los porcentajes. Aunque hay un desfasamiento en el momento en que se introducen estos contenidos, es conveniente ir subrayando las relaciones que existen entre ellos. 5.3 Fracciones en la recta numérica Al igual que los números naturales, las fracciones también pueden ser representadas en la recta numérica. Así, si se divide la distancia entre el 0 y el 1 en p partes iguales, el punto en que termina la primera de estas partes representa la fracción 1/p, el punto en que termina la segunda de estas partes representa la fracción 2/p, el punto en que termina la tercera de estas partes representa la fracción 3/p, y así sucesivamente. Y, por supuesto, esto se puede prolongar más allá de 1. Es importante subrayar que en la recta numérica la fracción, como todo número, queda representado por un punto y no por un trazo. Una característica importante de la recta numérica es que los números representados en ella crecen de izquierda a derecha. Es decir, de dos números representados en la recta numérica, el que está a la derecha es mayor que el que está a la izquierda. Esto es válido también para las fracciones. Y si a 2 o más fracciones les corresponde un mismo punto, como sucede con las fracciones 1/2, 2/4, 3/6, etc., ellas son equivalentes, es decir, representan el mismo valor. 6. DESCRIPCIÓN DEL MATERIAL DE TRABAJO PARA EL AULA GUÍA DE TRABAJO Nº 1 (TRABAJO INDIVIDUAL) REVISIÓN DE CONOCIMIENTOS ANTERIORES En esta guía se revisan algunos conocimientos básicos sobre fracciones, en especial, su interpretación en diversas situaciones. Las primeras actividades se refieren a la interpretación de fracciones de numerador 1. Luego, se amplía el rango de situaciones para incluir fracciones de numerador distinto de 1, interpretando las fracciones del tipo p/q como p veces 1/q. GUÍA DE TRABAJO Nº 2 (TRABAJO INDIVIDUAL) LAS FRACCIONES Y LA DIVISIÓN En esta guía se introduce y ejercita otra interpretación para fracciones de numerador distinto de 1, a saber, que una fracción del tipo p/q puede ser interpretada como el resultado de dividir p unidades en q partes iguales. Esta interpretación permite establecer una estrecha relación entre las fracciones y la operación de división. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 5
GUÍA DE TRABAJO Nº 3 (TRABAJO INDIVIDUAL) FRACCIONES EQUIVALENTES En esta guía se presenta la noción de fracciones equivalentes sobre la base de situaciones concretas. Esta idea es importante para entender otras propiedades de las fracciones que se estudian más adelante. GUÍA DE TRABAJO Nº 4 (TRABAJO GRUPAL) AMPLIFICACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES En esta guía se introducen los conceptos de amplificación y simplificación de fracciones. La guía se orienta a lograr una adecuada comprensión no solo de la definición de estos conceptos sino también de su propiedad más importante, a saber, que ellas no modifican el valor representado por la fracción. GUÍA DE TRABAJO Nº 5 (TRABAJO GRUPAL) FRACCIONES DE NUMERADOR IGUAL O MAYOR QUE EL DENOMINADOR En esta guía se analiza el caso de fracciones iguales o mayores que la unidad. Con distintos ejemplos se muestra que si el numerador es igual al denominador, entonces la fracción es equivalente a la unidad, si el denominador es mayor que el denominador entonces la fracción representa un valor mayor que la unidad y si el numerador es un múltiplo del denominador, entonces la fracción es equivalente a un número natural. GUÍA DE TRABAJO Nº 6 (TRABAJO GRUPAL) FRACCIONES EN LA RECTA NUMÉRICA En esta guía se ejercita la representación de fracciones en la recta numérica tanto en el tramo 0 a 1 como más allá de 1. GUÍA DE TRABAJO Nº 7 (TRABAJO GRUPAL) COMPARACIÓN, ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES En esta guía se presentan procedimientos para comparar, sumar y restar fracciones. Se distinguen dos casos: fracciones con igual denominador y fracciones con distinto denominador. En general, se trabaja con fracciones simples de modo que la búsqueda de un denominador común sea casi inmediata. GUÍA DE TRABAJO Nº 8 (TRABAJO GRUPAL) FRACCIONES EN DIVERSAS SITUACIONES La última guía de la Unidad presenta actividades que pueden servir de base para una sistematización de los conocimientos aprendidos y constituyen aplicaciones de esos conocimientos. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 6