FUNCIONES ELEMENTALES

0 FUNCIONES ELEMENTALES Página 5 REFLEIONA RESUELVE Asocia a cada una de las siguientes gráficas una ecuación de las de abajo: A B C D 80 (, π) 50 0 5 E F G H 0 (5, ) 50 0 50 0 (, ) 5 I J K L LINEALES L : y = L : y = ( ) + 5 L : +y = 0 L : y = + CUADRÁTICAS C : y = 8 + 5 C : y = ( + )( +5) C : y =, > 0 C : y = π, > 0 DE PROPORCIONALIDAD INVERSA P.I. : y = P.I. : y = P.I. : y = P.I. : y =, > 0 RADICALES R : y = + R : y = + R : y = EPONENCIALES E : y = E : y = 0,5 E : y = 0 + 80 0,95 Unidad 0. Funciones elementales

A 8 L B 8 R C 8 L D 8 C E 8 P.I. F 8 E G 8 C H 8 E I 8 L J 8 P.I. K 8 P.I. L 8 R Cada uno de los siguientes enunciados corresponde a una gráfica de las de arriba. Identifícala.. Superficie (cm ) de un círculo. Radio en centímetros.. Aumento de una lupa. Distancia al objeto, en centímetros.. Temperatura de un cazo de agua que se deja enfriar desde 00 C. Tiempo en minutos.. Número de amebas que se duplican cada hora. Se empieza con una. 5. Longitud de un muelle (dm). Mide dm y se alarga 75 mm por cada kilo que se le cuelga.. Dimensiones (largo y ancho, en centímetros) de rectángulos cuya superficie es cm.. D. E. F. H 5. A. J Página 8. Halla el dominio de definición de las siguientes funciones: y = + y = c) y = d) y = e) y = f) y = g) y = + h)y = i) y = j) y = k) El área de un cuadrado de lado variable, l, es A = l. Á [, +@) c) ( @. ] d) [, ] e) ( @, ] «[, +@) f) ( @, ) «(, +@) g) Á h) Á {0} i) Á {0} j) Á {, } k) l > 0 Página 9. Representa esta función: f () = +, é [, 0) +, é [0, ], é (, 7) Unidad 0. Funciones elementales

UNIDAD 0. Haz la representación gráfica de la siguiente función: +, < g() =, Ó Página 50. Representa las siguientes funciones relacionadas con la función parte entera: y = Ent () + y = Ent ( + 0,5) c) y = Ent ( ) d) y = Ent () y = Ent () + y = Ent ( + 0,5) c) y = Ent ( ) d) y = Ent () 8 8 8 8 Unidad 0. Funciones elementales

. Representa: y = Mant () 0,5 y = Mant () 0,5 c) y = 0,5 Mant () 0,5 Comprueba que esta última significa la distancia de cada número al entero más próimo. Su gráfica tiene forma de sierra. y = Mant () 0,5 y = Mant () 0,5 c) y = 0,5 Mant () 0,5 Página 5. Representa: y = + + 5 8. Representa gráficamente: y = ß ß 8 0 Unidad 0. Funciones elementales

UNIDAD 0 Página 5. Representa y =. A partir de ella, representa: y = + 5 y = y = 0 8. Teniendo en cuenta el ejercicio anterior, representa: y = y = + 8 Unidad 0. Funciones elementales 5

Página 5. Representa y =. A partir de ella, representa: y = y = c) y = +8 8 8 y = c) 8 8. Representa y = /. A partir de ella, representa: y = y = c) y = y = c) Unidad 0. Funciones elementales

UNIDAD 0 Página 5 5. Representa y =. A partir de esta gráfica, representa estas otras: ( 8) ( +) y = y = 8 y = 8 8 8 8. Representa y =. A partir de esta gráfica, representa estas otras: y = +5 y = c) y = d) y = ( ) 9 9 y = 5 9 9 5 8 c) 9 5 9 d) 7 9 Unidad 0. Funciones elementales 7

Página 55 7. Si y = f () pasa por (, 8), di un punto de: y = f (), y = f ( + ), y = f (), y = f (), y = f (), y = f ( ), y = f ( ) + y = f() 8 (, ) y = f( + ) 8 (, 8) y = f() 8 (, ) y = f() 8 (, ) y = f() 8 (, 8) y = f( ) 8 (, 8) y = f( ) + 8 (, ) 8. Representa: y = + 8 y = + 0 y = + 8 Representamos y = 8 y = 8 y = 8 y = +8 + 8 + 8 y = y = + 8 0 7 9 9 0 7 y = + 8 0 7 9 y = + 8 5 7 8 Unidad 0. Funciones elementales

UNIDAD 0 y = + 0 Representamos y = 8 y = 8 y = ( 0) 9 9 y = y = 9 9 9 y = + 0 9 0 Página 5. Si f () = 5 + y g () =, obtén las epresiones de f [ g()] y g [ f ()]. Halla f [ g()] y g [ f ()]. f [g()] = f [ ] = 5 + g [ f ()] = g [ 5 + ] = ( 5 + ) f [g()] = 79; g [ f ()] =. Si f () = sen, g () = + 5, halla f g, g f, f f y g g. Halla el valor de estas funciones en = 0 y =. f g () = sen ( + 5); f g(0) = 0,9; f g() = 0, g f () = sen + 5; g f (0) = 5; g f () = 5,8 f f () = sen (sen ); f f (0) = 0; f f () = 0,79 g g () = ( + 5) + 5; g g (0) = 0; g g () = 8 Unidad 0. Funciones elementales 9

Página 57. Representa y =, y = / y comprueba que son inversas. y = y = y = /. Comprueba que hay que descomponer y = en dos ramas para hallar sus inversas respecto de la recta y =. Averigua cuáles son. y = si 0 y = si < 0 y = + y = + y = y = y = y = y = + y = +. Si f () = + y g() =, comprueba que f [g ()] =. Son f () y g () funciones inversas? Comprueba que el punto (a, a + ) está en la gráfica de f y que el punto (a +, está en la gráfica de g. Representa las dos funciones y observa su simetría respecto de la recta y =. f [g()] = f ( ) = ( ) + = Son funciones inversas. y = + y = 0 Unidad 0. Funciones elementales

UNIDAD 0 Página 59. La masa de madera de un bosque aumenta en un 0% cada 00 años. Si tomamos como unidad de masa vegetal (biomas la que había en el año 800, que consideramos instante inicial, y como unidad de tiempo 00 años, la función M =, t nos da la cantidad de masa vegetal, M, en un instante cualquiera, t epresado en siglos a partir de 800 (razona por qué). Averigua cuándo habrá una masa de madera triple que en 800 (, t = ) y cuándo había la tercera parte. Observa que los dos periodos de tiempo son iguales. Calcula la cantidad de madera que habrá, o había, en 900, 990, 000, 00 y 550. M =, t Buscamos el valor de t para el cual, t = :, t = 8 ln (,) t ln = ln () 8 t ln (,) = ln () 8 t =,7 ln, Cuando pasen,7 00 = 7 años, se habrá triplicado la masa de madera. Esto es, en el año 800 + 7 = 7. Buscamos el valor de t para el cual, t = = :, t = 8 ln (,) t = ln () ln 8 t ln (,) = ln () 8 t =,7 ln, Hace,7 00 = 7 años, había la tercera parte de masa de madera. Esto es, en el año 800 7 = 7. 900 8 t = 8 M =, =, 990 800 990 8 t = =,9 8 M =,,9,90 00 000 800 000 8 t = = 8 M =, =,9 00 00 800 00 8 t = = 8 M =, 0,5 00 550 800 550 8 t = =,5 8 M =,,5 0, 00 Unidad 0. Funciones elementales

. Comprueba que, en el ejemplo anterior referente a la desintegración de una cierta sustancia radiactiva, M = m 0,7 t (t epresado en miles de años), el periodo de semidesintegración (tiempo que tarda en reducirse a la mitad la sustancia radiactiv es de, aproimadamente, 500 años. Para ello, comprueba que una cantidad inicial cualquiera se reduce a la mitad (aproimadamente) al cabo de 500 años (t =,5). M = m 0,7 t Si t = 0 8 M = m 0,7 0 = m m Si t = 0,5 8 M = m 0,7,5 m 0,5 = La cantidad inicial se ha reducido (aproimadamente) a la mitad en 500 años. Unidad 0. Funciones elementales

UNIDAD 0 Página 7 EJERCICIOS PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Dominio de definición Halla el dominio de definición de estas funciones: y = y = + ( ) c) y = d) y = e) y = + + 5 f) y = + Á {, 0} Á {} c) Á { /} d) Á e) Á {0, 5} f ) Á {, } Halla el dominio de definición de estas funciones: y = y = c) y = d) y = ( @, ] [/, +@) c) ( @, ] d) ( @, 0] Halla el dominio de definición de estas funciones: y = 9 y = + + c) y = d) y = 5 e) y = f ) y = 9 Ó 0 8 ( + ) ( ) Ó 0 8 Dominio = (+@, ] «[, +@) + + Ó 0 8 Dominio = Á c) Ó 0 8 ( ) Ó 0 8 Dominio = [0, ] d) 5 Ó 0 8 ( + ) ( 5) Ó 0 8 Dominio = ( @, ] «[5, +@) e) > 0 8 > 8 Dominio = ( @, ) f) > 0 8 ( ) > 0 8 Dominio = ( @, 0) «(, +@) Unidad 0. Funciones elementales

Observando la gráfica de estas funciones, indica cuál es su dominio de definición y su recorrido: Los dominios son, por orden: [, ]; ( @, ) «(, +@) y [, +@). Los recorridos son, por orden: [0, ], (0, +@) y [0, +@). 5 De un cuadrado de cm de lado, se cortan en las esquinas triángulos rectángulos isósceles cuyos lados iguales miden. Escribe el área del octógono que resulta en función de. Cuál es el dominio de esa función? su recorrido? A () = Dominio: (0, ). Recorrido: (8, ) Una empresa fabrica envases con forma de prisma de dimensiones, / y cm. Escribe la función que da el volumen del envase en función de. Halla su dominio sabiendo que el envase más grande tiene l de volumen. Cuál es su recorrido? V () = Dominio: (0, 0). Recorrido: (0, 000) Gráfica y epresión analítica 7 Asocia a cada una de las gráficas su epresión analítica. y =,5 y = c) y = 0,5 d) y = I II III II c) I d) IV III IV Unidad 0. Funciones elementales

UNIDAD 0 8 Asocia a cada gráfica la epresión analítica que le corresponda entre las siguientes: I y = + y = 0,75 c) y = log d) y = II II III c) IV d) I III IV Página 8 Representación de funciones elementales 9 Representa las siguientes parábolas hallando el vértice, los puntos de corte con los ejes de coordenadas y algún punto próimo al vértice: y = + + y = + + c) y = + 5 d) y = + + Vértice: (, 0) Cortes con los ejes: (, 0), (0, ) Vértice: (, ) Cortes con los ejes: (0, ); ( 7 ; 0); ( + 7 ; 0) Unidad 0. Funciones elementales 5

c) ( Vértice:,. Cortes con los ejes: ( 5, 0) ) d) ( 9 Vértice:,. ) Cortes con los ejes: (0, ); (, 0); (, 0) 8 0 Representa las siguientes funciones en el intervalo indicado: y =, [0, ] y =, Ó y =, [0, ] y =, Ó Representa gráficamente las siguientes funciones: si < 0 si < y = si 0 Ì < y = ( 5)/ si Ó si Ó Unidad 0. Funciones elementales

UNIDAD 0 Representa: (/) + si Ì ( + )/ si < y = y = (/) si > + si Ó Representa las siguientes funciones: y = y = c) y = d) y = + c) d) Representa las siguientes funciones: y = y = + c) y = + d) y = 8 Unidad 0. Funciones elementales 7

c) d) 8 5 Haz una tabla de valores de la función y =. A partir de ella, representa su función inversa y = log. 0 /9 / 9 /9 / 9 log 0 8 y = (0, ) y = log (, 0) Representa gráficamente las siguientes funciones: y = 0, y =, 0 y,,78,7 0, 0, 0, y = 0, 8 Unidad 0. Funciones elementales

UNIDAD 0 f() =, Composición y función inversa 7 Considera las funciones f y g definidas por las epresiones f () = + y g() =. Calcula: ( f g) () ( g f ) ( ) c) ( g g) () d) ( f g) () 5 c) g (g()) = d) f (g()) = 0 + 8 Dadas las funciones f () = cos y g() =, halla: ( f g) () ( g f ) () c) ( g g) () f [g()] = cos g[ f ()] = cos c) g[g()] = 9 Halla la función inversa de estas funciones: y = y = + 7 c) y = = y 8 y = 8 f () = = y + 7 8 y = 7 8 f () = 7 + c) = y 8 y = 8 f () = + Unidad 0. Funciones elementales 9

0 Representa la gráfica de y = log / a partir de la gráfica de y = ( ). y = ( ) 5 y = log / Comprueba que las gráficas de y= e y= ( ) son simétricas respecto al eje O. y = ( ) 8 y = (0, ) Transformaciones en una función Representa f () = y, a partir de ella, representa: g() = f () h() = f ( + ) f () = 0 Unidad 0. Funciones elementales

UNIDAD 0 Esta es la gráfica de la función y = f (): Representa, a partir de ella, las funciones: y = f ( ) y = f () + A partir de la gráfica de f () = /, representa: g() = f () h() = f ( ) c) i() = f () d) j() = f () f () = g () = f () Unidad 0. Funciones elementales

c) h() = f ( ) i () = f () d) j() = f () 5 Representa la función f () = y dibuja a partir de ella: g() = f ( + ) h() = f () f () = g () = + h() = Unidad 0. Funciones elementales

UNIDAD 0 Página 9 Representa las funciones: y = + y = Utiliza la gráfica de y =. 0 8 y = + y = y = 0 8 y = y = y = 7 Representa las siguientes funciones: y = ) y = ( + c) y = d) y = 0 8 ( 0, ) ( 0, 8) Unidad 0. Funciones elementales

c) d) y = 5 0 8 (0, ) 8 Representa estas funciones a partir de la gráfica de y = log : y = + log y = log ( ) c) y = log d) y = log ( ) y = + log (, 0 ) y = + log y = log 5 y = log ( ) = y = log 5 y = log ( ) Unidad 0. Funciones elementales

UNIDAD 0 c) y = log y = log 5 y = log d) y = log ( ) y = log ( ) = y = log 5 5 9 La epresión analítica de esta función es del tipo y = + b. a Observa la gráfica y di el valor de a y b. a = b = Valor absoluto de una función 0 Representa la función y = 5 y comprueba que su epresión analítica en intervalos es: y = + 5 si < 5 5 si Ó 5 8 0 Unidad 0. Funciones elementales 5

Representa las siguientes funciones y defínelas por intervalos: y = y = y = si < + si Ó 8 0 y = + si < si Ó 8 0 Representa y define como funciones a trozos : y = y = + c) y = d) y = si < y = y = si Ó si < + si Ó c) y = + si < d) y = si Ó si < + si Ó Unidad 0. Funciones elementales

UNIDAD 0 Representa la función: si < y = + si Ó Puedes definirla como valor absoluto? 8 0 Sí. y = Representa estas funciones: y = y = c) y = + d) y = + Mira el ejercicio resuelto número 5. 5 c) d) 5 Unidad 0. Funciones elementales 7

PARA RESOLVER 5 Dibuja la gráfica de las siguientes funciones: si Ì si < y = y = si > si Ó c) y = si Ì si < < si Ó c) dividendo resto Utilizando la relación = cociente + podemos escribir la divisor divisor + función y = de esta forma: y = +. + + Comprueba que su gráfica coincide con la de y = / trasladada unidad hacia la izquierda y hacia arriba. y = y = + + 5 8 Unidad 0. Funciones elementales

UNIDAD 0 7 Representa las siguientes funciones utilizando el procedimiento del problema anterior. y = y = c) y = d) y = + + + y = = + y = = + 8 8 0 + + c) y = = + d) y = = + + + 8 Unidad 0. Funciones elementales 9

8 Con las funciones: f () = 5 g() = h() = + hemos obtenido, por composición, estas otras: p () = 5 ; q() = 5; r() = + Eplica cómo, a partir de f, g y h, se pueden obtener p, q y r. p = g f q = f g r = h g 9 La gráfica de una función eponencial del tipo y = ka pasa por los puntos (0; 0,5) y (;,7). Calcula k y a. Representa la función. 0,5 = k a 0 0,5 = k 8,7 = k a,7 = k a k = 0,5 a =, La función es y = 0,5 (,) 0 Halla la función inversa de las siguientes funciones: y = y = + = y ; = y ; log = y y = + log 8 f () = + log = + y ; = y ; log ( ) = y 8 f () = log ( ) 0 Unidad 0. Funciones elementales

UNIDAD 0 Página 70 Busca la epresión analítica de estas funciones: f () = si Ì f () = si > si Ì si > Utiliza la calculadora en radianes para obtener el valor de y en cada una de estas epresiones: y = arc sen 0,8 y = arc sen ( 0,9) c) y = arc cos 0, d) y = arc cos ( 0,75) e) y = arc tg,5 f ) y = arc tg ( 7) 0,9 rad 8 5 7' 8", rad 8 9' 9" c),0 rad 8 8 5' 59" d), rad 8 8 5' 5" e),9 rad 8 7 ' 7" f ), rad 8 8 5' " Obtén el valor de estas epresiones en grados, sin usar la calculadora: y = arc sen y = arc cos c) y = arc tg d) y = arc sen ( ) e) y = arc cos ( ) f) y = arc tg 0 0 c) 5 d) 90 e) 0 f ) 0 La factura del gas de una familia, en septiembre, ha sido de,8 euros por m, y en octubre, de,8 por m. Escribe la función que da el importe de la factura según los m consumidos y represéntala. Cuánto pagarán si consumen 8 m? y =,8 + 0, ( ) y (8) =,9 euros Unidad 0. Funciones elementales

IMPORTE (euros) 50 0 0 0 0 0 0 0 0 50 CONSUMO (m ) y =,8 + 0, ( ) = 0, + 7, 5 Midiendo la temperatura a diferentes alturas, se ha observado que por cada 80 m de ascenso el termómetro baja C. Si en la base de una montaña de 800 m estamos a 0 C, cuál será la temperatura en la cima? Representa gráficamente la función altura-temperatura y busca su epresión analítica. TEMPERATURA ( C) 0 h T (h) = 0 ; T (800) = 5,5 C 80 8 00 00 00 800 000 ALTURA (m) Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba desde lo alto de un edificio. La altura que alcanza viene dada por la fórmula h = 80 + t t (t en segundos y h en metros). Dibuja la gráfica en el intervalo [0, 5]. Halla la altura del edificio. c) En qué instante alcanza su máima altura? ALTURA (m) 0 80 metros. c) segundos. 0 00 80 0 0 0 5 TIEMPO (s) Unidad 0. Funciones elementales

UNIDAD 0 7 La dosis de un medicamento es 0,5 g por cada kilo de peso del paciente, hasta un máimo de 5 g. Representa la función peso del paciente-cantidad de medicamento y halla su epresión analítica. y = 0,5 hasta un máimo de 5 g: 0,5 = 5 8 = 0 kg DOSIS (g) 5 0 5 y = 0,5 0 < < 0 5 Ó 0 0 0 0 80 00 PESO (kg) 8 El coste de producción de unidades de un producto es igual a (/) + + 5 + 5 euros y el precio de venta de una unidad es 50 (/) euros. Escribe la función que nos da el beneficio total si se venden las unidades producidas, y represéntala. Halla el número de unidades que deben venderse para que el beneficio sea máimo. Los ingresos por la venta de unidades son (50 (/)) euros. B () = 50 ( + 5 + 5 ) = + 5 5 5 El máimo se alcanza en el vértice de la parábola: = = 5 Deben venderse 5 unidades. 9 Un fabricante vende mensualmente 00 electrodomésticos a 00 euros cada uno y sabe que por cada 0 euros de subida venderá electrodomésticos menos. Cuáles serán los ingresos si sube los precios 50 euros? Escribe la función que relaciona la subida de precio con los ingresos mensuales. c) Cuál debe ser la subida para que los ingresos sean máimos? En este caso vendería 90 electrodomésticos a 50 euros cada uno; luego los ingresos serían de 50 90 = 0 500 euros. I () = (00 + 0) (00 ) = 0 + 00 + 0 000 ( = decenas de euros) c) El máimo se alcanza en el vértice de la parábola: b 00 = = = 5 8 50 euros a 0 Unidad 0. Funciones elementales

50 Elena va a visitar a su amiga Ana y tarda 0 minutos en llegar a su casa, que está a km de distancia. Está allí media hora y en el camino de vuelta emplea el mismo tiempo que en el de ida. Representa la función tiempo-distancia. Busca su epresión analítica. DISTANCIA A SU CASA (km) 0 50 70 TIEMPO (min) f () = (/0) si 0 Ì Ì 0 si 0 < Ì 50 /0 ( 70) si 50 < Ì 70 5 Un cultivo de bacterias comienza con 00 células. Media hora después hay 5. Si ese cultivo sigue un crecimiento eponencial del tipo y = ka t (t en minutos), calcula k y a y representa la función. Cuánto tardará en llegar a 5 000 bacterias? y = ka t t = 0, y = 00 8 00 = k a 0 8 k = 00 t = 0, y = 5 8 5 = 00 a 0 8 a 0 =,5 8 a =,5 /0 8 a,05 La función es y = 00,05. N.º BACTERIAS 000 900 800 700 00 500 00 00 00 00 0 0 0 0 50 Si y = 5 000 8 5 000 = 00,05 50 =,05 log 50 8 = 80 min log,05 Tardará 80 minutos, aproimadamente. TIEMPO (min) Unidad 0. Funciones elementales

UNIDAD 0 5 Un negocio en el que invertimos 0 000, pierde un % mensual. Escribe la función que nos da el capital que tendremos según los meses transcurridos, y represéntala. Cuánto tiempo tardará el capital inicial en reducirse a la mitad? y = 0 000 0,9 CAPITAL ( ) 0 000 000 000 8 0 8 0 TIEMPO (meses) Si y = 5 000 8 5 000 = 0 000 0,9 0,9 log 0,5 = 0,5 8 =,98 meses log 0,9 Tardará 7 meses, aproimadamente. Página 7 CUESTIONES TEÓRICAS 5 Si f () = y g() = log, cuál es la función ( f g) ()? ( g f ) ()? ( f g) () = (g f ) () = 5 Dada la función f () = +, halla f (). Representa las dos funciones y comprueba su simetría respecto de la bisectriz del. er cuadrante. f () = ( ), Ó 8 y = ( ), y = y = + 8 Unidad 0. Funciones elementales 5

55 Dada la función y = a, contesta: Puede ser negativa la y? la? Para qué valores de a es creciente? c) Cuál es el punto por el que pasan todas las funciones del tipo y = a? d) Para qué valores de se verifica 0 < a < siendo a >? La y no puede ser negativa, la sí. a > c) (0, ) d) Para < 0. 5 Calcula en las siguientes epresiones: arc sen = 5 arc cos = 0 c) arc tg = 7 d) arc sen = 75 π e) arc cos = rad f ) arc tg =,5 rad c),078 d) 0,9 e) f ),0 PARA PROFUNDIZAR 57 Una parábola corta al eje de abscisas en = y en =. La ordenada del vértice es y =. Cuál es la ecuación de esa parábola? y = k ( ) ( ) = k ( + ) Vértice 8 = = 8 y () = k = 8 k = La ecuación es: y = ( + ) = + 58 Halla el dominio de definición de estas funciones: + 9 y = y = + Ó 0 > > 0 + Ó 0 Dominio = ( @, ] «(, +@) + Ì 0 Ì < 0 Unidad 0. Funciones elementales

UNIDAD 0 9 Ó 0 Ó 9 > 0 9 Ó 0 Dominio = ( @, 0) «[9, +@) 9 Ì 0 < 0 < 0 59 Representa y epresa en intervalos las funciones: y = y = y = si Ó 0 y = + si < 0 si Ì 0 si 0 < < si Ó 0 Las tarifas de una empresa de transportes son: 0 euros por tonelada de carga si esta es menor o igual a 0 t. Si la carga es mayor que 0 t, se restará, de los 0 euros, tantos euros como toneladas sobrepasen las 0. Dibuja la función ingresos de la empresa según la carga que transporte (carga máima: 0 t). Obtén la epresión analítica. INGRESOS 000 800 00 00 00 0 0 0 CARGA (t) f () = 0 si 0 Ì Ì 0 [0 ( 0)] si 0 < Ì 0 Es decir: f () = 0 si 0 Ì Ì 0 0 si 0 < Ì 0 Unidad 0. Funciones elementales 7

Página 7 AUTOEVALUACIÓN. Halla el dominio de definición de las siguientes funciones: y = y = La función está definida para los valores de tales que Ó 0. Resolvemos la inecuación: Dom = ( @, 0] «[, +@) Los valores de que anulan el denominador no pertenecen al dominio de la función. = 0 8 ( ) = 0 Dom = Á {0, } > 0 > 0 0 = 0 =. Representa gráficamente las siguientes funciones: + si < y = + y = si Ó La recta y = + corta al eje en =. Para valores menores que, cambiamos el signo de la ordenada. Por ejemplo: (, ) 8 (, ). y = + y = + Para valores menores que, la gráfica es una parábola de vértice (0, ). Para valores mayores que, es una recta. 8 Unidad 0. Funciones elementales

UNIDAD 0 +5. Representa y =. A partir de ella, dibuja la gráfica de y =. +5 8 +5 = + y = y = + (*) (*) +5 La gráfica de y = es como la de y = trasladada unidades a la derecha y unidades hacia abajo.. Ponemos al fuego un cazo con agua a 0 C. En 5 minutos alcanza 00 C y se mantiene así durante media hora, hasta que el agua se evapora totalmente. Representa la función que describe este fenómeno y halla su epresión analítica. Di cuál es su dominio y su recorrido. 00 75 50 5 TEMPERATURA ( C) 0 0 0 0 TIEMPO (min) La gráfica pasa por los puntos (0, 0) y (5, 00). Hallamos la ecuación de esta recta: 00 0 Pendiente: = 8 8 y = 8( 0) + 0 5 0 Para valores de mayores que 5, la temperatura se mantiene constante 8 8 y = 00 Epresión analítica: f() = 8 + 0 si 0 Ì < 5 00 si 5 Ì Ì 5 Dominio: f () está definida para valores de entre 0 y 5, ambos incluidos. Por tanto, Dom f = [0, 5]. Recorrido de f = [0, 00] Unidad 0. Funciones elementales 9

5. El precio de venta de un artículo viene dado por la epresión p = 0,0 ( = número de artículos fabricados; p = precio, en cientos de euros). Si se fabrican y se venden 500 artículos, cuáles serán los ingresos obtenidos? Representa la función n - de artículos-ingresos. c) Cuántos artículos se deben fabricar para que los ingresos sean máimos? Si se venden 500 artículos, su precio será: p(500) = 0,0 500 = 7 cientos de euros 8 Ingresos = 500 700 = 50 000 INGRESOS 000 000 000 000 I() = p = 0,0 00 00 00 N.º DE ARTÍCULOS c) Hallamos el vértice de la parábola: = = 00 artículos 0,0 y = 00 0,0 00 = 00 cientos de euros Deben fabricar 00 artículos para obtener unos ingresos máimos (0 000 euros).. Depositamos en un banco 5 000 al % anual. Escribe la función que nos dice cómo evoluciona el capital a lo largo del tiempo. Qué tipo de función es? En cuánto tiempo se duplicará el capital? t C = 5 000 ( + 8 C = 5 000 (,0) t. 00 ) Es una función eponencial creciente, por ser a >. 0 000 = 5 000,0 t 8 =,0 t log 8 log = t log,0 8 t = =,9 log,0 Tardará años en duplicarse. 0 Unidad 0. Funciones elementales

UNIDAD 0 7. Dadas f () = + y g () =, halla: f [g ()] g [ f (5)] c) f g d) g f ( f [g()] = f = f ( ) = + = 0 5 + g[f (5)] = g ( ) = g() = = c) f g() = f [g()] = f = + = + d) g f () = g[ f()] = g( ) = ) ( ) + Unidad 0. Funciones elementales