ÍNDICE GENERAL. 10. El punto falso (falsa posición) Problemas misceláneos 92 Bibliografía 95

Índice General apítulo 1. onceptos y teoremas básicos 1 1. ngulos entre paralelas. 1 2. ngulos en circunferencias 3 3. El Teorema de Tales 9 4. Triángulos semejantes 11 5. uadriláteros cíclicos. 18 6. El Teorema de Pitágoras 24 7. Potencia de un punto 28 8. rea de triángulos y cuadriláteros 37 apítulo 2. Puntos notables en el triángulo 43 1. Las medianas y el gravicentro 43 2. Las bisectrices y el incentro 47 3. Las alturas y el ortocentro 53 4. Las mediatrices y el circuncentro 56 5. ircunferencias exinscritas 59 6. Simedianas 63 apítulo 3. Teoremas selectos 69 1. Teorema de Ptolomeo 69 2. Teorema de arnot 71 3. TeoremadeevaydeMenelao 72 4. Línea de Euler 74 5. ircunferencia de los nueve puntos 75 6. Línea de Simson 76 7. Teorema de esargues y Teorema de Pappus 77 apítulo 4. lgunas estrategias en Geometría 79 1. Prolongar segmentos 79 2. Trazar perpendiculares 83 3. Trazar paralelas 84 4. Trazar tangentes y cuerdas comunes 86 5. onstruir un ángulo 89 6. Reflejar puntos 90 7. onstruir triángulos equiláteros 91 8. Ir hacia atrás 91 9. Usando a eva y Menelao 92 i

ii ÍNIE GENERL 10. El punto falso (falsa posición) 92 11. Problemas misceláneos 92 ibliografía 95

PíTULO 1 onceptos y teoremas básicos 1. ngulos entre paralelas. onsideremos líneas que se hallan en un mismo plano y que no se intersectan por más que se prolonguen. este tipo de líneas las llamaremos líneas paralelas. Si una línea corta a un par de paralelas (l y m) entonces forma ángulos con éstas, los cuales mantienen la siguiente relación: ]1 =]2 ysellamanángulosopuestos por el vértice, ]1 =]3 ysellamanángulosalternos internos, ]1 =]4 ysellamanánguloscorrespondientes, ]2 =]4 ysellamanángulosalternos externos, l 4 5 3 m 1 2 además, también tenemos que ]4 +]5 = 180 ysediceque]4 y ]5 son suplementarios. provechando todo esto podemos probar el siguiente teorema: Teorema 1. La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180. θ β l β emostración. Sea l una línea paralela a, la demostración es evidente al observar la figura anterior, ya que ] + ]θ + ]β = 180. 1

2 1. ONEPTOS Y TEOREMS ÁSIOS 1.1. Ejercicios. Ejercicio 1. Encuentracuántovaleelánguloexteriorθ en la siguiente figura si son conocidos los ángulos y β: β θ Ejercicio 2. Encuentracuántovalelasumadelosángulosinternosde un polígono convexo 1 de n vértices. Ejercicio 3. Encuentra cuánto vale el ángulo x en la siguiente figura. 140 140 x 140 Ejercicio 4. alcula la suma de los ángulos internos en los vértices,,, y E. 1 Una figura se dice que es convexa, si para cualesquiera dos puntos en ella, el segmento que los une está totalmente contenido en la figura.

2. NGULOS EN IRUNFERENIS 3 E 2. ngulos en circunferencias Existen distintos tipos de ángulos en las circunferencias, los cuales podemos calcular en función de los arcos que intersectan. La manera en que se calculan depende de si el vértice del ángulo se encuentra dentro, sobre, ó fuera de la circunferencia. Veamos cada uno de ellos y la manera de calcularlos: efinición 1. Un ángulo central es el que tiene su vértice en el centro de un círculo y su valor es igual al arco que intersecta medido en radianes, es decir = _ 2. O efinición 2. Un ángulo inscrito es el que tiene su vértice sobre la circunferencia y su valor es igual a la mitad del arco que intersecta, es decir β = _ 2. 2 on _ XY denotamosalarcodelacircunferenciaentrelospuntosx y Y.

4 1. ONEPTOS Y TEOREMS ÁSIOS β efinición 3. Un ángulo semi-inscrito es el que tiene su vértice sobre la circunferencia y está formado por una línea tangente y una secante. Su valor es igual a la mitad del arco que intersecta, es decir β = β _ 2. Teorema 2. Elvalordeunánguloinscritoesigualalamitaddelángulo central que intersecta el mismo arco. emostración. Probaremos esto para el caso cuando uno de los lados del ángulo coincide con un diámetro: O β En la figura anterior sea un diámetro, sean ] = (ángulo inscrito) y ]O = β (ángulo central). ebemos probar que = β 2. Observemos que tanto O como O son radios de la circunferencia, entonces el triángulo ]O es isósceles, esto es ]O = ]O =. Utilizando el resultado del ejercicio 1 de la sección 1, tenemos que ]O = ]O + ]O = + = β, porlotantoβ =2. hora faltaría demostrar lo anterior para las siguientes figuras, lo cual el lector puede probar fácilmente utilizando el caso que hemos probado.

2. NGULOS EN IRUNFERENIS 5 O β O β Teorema 3. La magnitud del ángulo entre dos líneas que se cortan dentro de un círculo es igual a la semisuma de los arcos que cortan dichas líneas. Es decir _ + _ =. 2 P β θ emostración. Se traza el segmento formándose así el triángulo 4P.omo = β + θ tenemos = _ 2 + _ 2 = _ + _ 2. Teorema 4. La magnitud del ángulo entre dos líneas que se cortan fuera de un círculo es igual a la semidiferencia de los arcos que cortan dichas líneas. Es decir _ _ =. 2 θ P β

6 1. ONEPTOS Y TEOREMS ÁSIOS emostración. Se traza el segmento, formándose así el triángulo 4P.omoθ = + β, tenemos que = θ β, entonces = _ 2 _ 2 = _ _ 2. Ejemplo 1. Las circunferencias 1 y 2 se intersectan en los puntos y. Se traza una recta l que corta a 1 en y, ya 2 en M y N, de tal manera que y quedan en distintos lados de l. emuestra que ]N + ]M =180. Solución 1. Trazamos la cuerda. Tenemos que ] = ] = y ]M = ]NM = β, además, en el triángulo 4N si hacemos ]N = θ, tenemos que + β + θ =180 = ]N + ]M. θ M β N β 2 1 Ejemplo 2. Sea un cuadrilátero cíclico tal que las líneas y seintersectanenunpuntoq y las líneas y se intersectan en un punto P. emuestra que las bisectrices 3 de los ángulos ]P y ]Q son perpendiculares. Solución 2. Sea H el punto de intersección de las dos bisectrices mencionadas. Sean Y y X los puntos donde la bisectriz del ]Q intersecta a la circunferencia y sean E y F los puntos donde esta bisectriz intersecta a los lados y. Probarque]PHQ =90 es equivalente a probar que el triángulo 4PEF es isósceles. Para probar esto utilizaremos una técnica que resulta muy útil al resolver problemas y a la cual denominaremos ir hacia atrás. La idea es suponer válido el resultado que queremos demostrar e ir observando que otros resultados también serían válidos. Se hace esto hasta que lleguemos a un resultado el cual sea fácil de demostrar o sea conocido por nosotros de alguna manera. Una vez hecho esto tratamos de regresarnos siguiendo los pasos en orden inverso. plicando esta técnica al problema tenemos lo siguiente: 4PEF isósceles = ]PEF = ]PFE = Y _ + _ + X _ = Y+ + _ X = Y _ + X _ = Y+ _ X _ = Y _ X _ = Y _ X. _ Esto último 3 La bisectriz de un ángulo divide a éste en dos ángulos de la misma medida.

2. NGULOS EN IRUNFERENIS 7 es cierto debido a que QY es la bisectriz del ángulo ]Q. El regreso se lleva a cabo sin dificultad alguna en este caso. P Y E H F X Q 2.1. Ejercicios. Ejercicio 5. emuestra que dos líneas paralelas cualesquiera que intersectan una circunferencia, cortan arcos iguales entre ellas. Ejercicio 6. emuestra que el valor de un ángulo semi-inscrito es igual al valor de un angulo inscrito que intersecte el mismo arco. Ejercicio 7. emuestra que el radio trazado hacia el punto de tangencia es perpendicular a la tangente. Ejercicio 8. Una circunferencia ha sido dividida arbitrariamente en cuatro partes, y los puntos medios de los arcos obtenidos se han unido con segmentos de rectas. emuestra que entre estos segmentos dos serán perpendiculares entre sí. Ejercicio 9. En la siguiente figura P y P sontangentesalacircunferencia. emuestra que P = P. P Ejercicio 10. os circunferencias son tangentes exteriormente en un punto. es una tangente común externa. emuestra que ] =90.

8 1. ONEPTOS Y TEOREMS ÁSIOS Ejercicio 11. una circunferencia se le han trazado dos líneas tangentes paralelas las cuales la tocan en los puntos M y N. Setrazaunatercer tangente la cual corta a las tangentes anteriores en los puntos K y L. Sea O el centro de la circunferencia. emuestra que ]KOL =90. Ejercicio 12. Uno de los lados de un triángulo inscrito en una circunferencia coincide con un diámetro. emuestra que el triángulo es un triángulo rectángulo. Ejercicio 13. emuestra que la razón entre la longitud del lado de un triángulo y el seno del ángulo opuesto es igual al diámetro de la circunferencia circunscrita al triángulo. 4 Ejercicio 14. os circunferencias se intersectan en los puntos y como se muestra en la figura.seescogeunpuntoarbitrario en la primer circunferencia y se trazan los rayos y, los cuales intersectan la segunda circunferencia de nuevo en los puntos y E, respectivamente. emuestra que la longitud del segmento E no depende de la elección del punto. E Ejercicio 15. os circunferencias de centros O 1 y O 2 se intersectan en los puntos y, comosemuestraenlafigura. La línea es tangente a ambas circunferencias. emuestra que ] = 1 2 ]O 1O 2. 4 on ésto hemos probado que la Ley de los Senos. a = Sen b = Sen c =2R, lacualesconocidacomo Sen

3. EL TEOREM E TLES 9 O 1 O 2 3. El Teorema de Tales Teorema 5. Si una línea transversal corta a tres paralelas y los segmentos que quedan entre éstas se dividen en la razón m : n, entoncescualquier otra transversal que corte a estas paralelas también quedará dividida en la razón m : n. Por ejemplo, sean p, q, r, tres rectas paralelas. Si una línea l corta a las rectas en los puntos, y, de manera tal que : =2:1,yotra línea t corta a las rectas paralelas en, E y F, también tendremos que E : EF =2:1. t l p E F q r También el recíproco del teorema de Tales es aplicado a triángulos para demostrar segmentos paralelos. Por ejemplo, si en el triángulo 4 M y N son los puntos medios de los lados y, tenemos que M : N = N : N =1:1, y por el teorema de Tales decimos que MN es paralelo a. Ejemplo 3. Sean F, G, H e I los puntos medios de los lados,, y, respectivamente. emuestra que el cuadrilátero FGHI es un paralelogramo. Solución 3. Tracemos la diagonal. omo F e I son los puntos medios de y respectivamente, tenemos que FI es paralelo a ; también, como G y H son los puntos medios de y,entoncesgh es paralelo a, de aquí tenemos que FI es paralelo a GH. nálogamente

10 1. ONEPTOS Y TEOREMS ÁSIOS podemos demostrar que FG es paralelo a IH. omo el cuadrilátero FGHI tiene sus dos pares de lados opuestos paralelos, entonces es un paralelogramo. I F H G 3.1. Ejercicios. Ejercicio 16. En la siguiente figura los segmentos a, b, c y d son paralelos y dividen al lado en 4 segmentos iguales. Si a =10, encuentra la suma a + b + c + d. a b c d Ejercicio 17. Sea un paralelogramo en el que L y M son puntosmediosde y, respectivamente. emuestra que los segmentos L y M dividen la diagonal en tres segmentos iguales. Ejercicio 18. En la siguiente figura, E y son alturas del 4. F, G y K sonpuntosmediosdeh,, y, respectivamente. emuestra que ]FGK es un ángulo recto. F E G H K

4. TRIÁNGULOS SEMEJNTES 11 Ejercicio 19. emuestra que las diagonales en un paralelogramo se cortan en su punto medio. Ejercicio 20. Sea M la mediana trazada hacia el lado de un triángulo 4. Prolongamos M más allá del punto M y tomamos un punto N de tal manera que N es el doble de M. emuestra que el cuadrilátero N es un paralelogramo. Ejercicio 21. emuestra que el segmento de línea, que une los puntos medios de dos lados opuestos de un cuadrilátero, bisecta el segmento de línea que une los puntos medios de las diagonales. Ejercicio 22. En un paralelogramo se escogen los puntos E y F sobre la diagonal de manera que E = F. SiE se extiende hasta intersectar en H, yf se extiende hasta intersectar en G, emuestra que HG es paralelo a. Ejercicio 23. M es la mediana hacia el lado de un triángulo 4. Se toma un punto P sobre M. P se extiende hasta intersectar en E, yp se extiende hasta intersectar en. emuestra que E es paralelo a. Ejercicio 24. Sobre los lados y de un triángulo 4 se construyen hacia afuera los cuadrados N M y P Q. Sea el punto medio del lado. emuestraquepm = 2. 4. Triángulos semejantes efinición 4. Se dice que dos triángulos son semejantes si tienen la misma forma (aunque no necesariamente el mismo tamaño), es decir, si tienen sus tres ángulos iguales. Por ejemplo, los triángulos 4 y 4 0 0 0 son semejantes: ' 60 60 80 40 80 40 ' ' Si nosotros movemos el triángulo 4 hasta que el vértice concida con el vértice 0, y además lo hacemos de tal manera que el lado quede exactamente encima del lado 0 0, tendremos la siguiente figura:

12 1. ONEPTOS Y TEOREMS ÁSIOS, ' 60 80 40 ' 80 40 ' quí podemos observar que los lados y 0 0 son paralelos, y de manera inversa, si nosotros trazamos una línea paralela a uno de los lados de un triángulo de manera que ésta corte a los dos lados restantes, entonces esta línea paralela cortará un triángulo semejante al triángulo original. M N Utilizando lo anterior y el teorema de Tales, tenemos las siguiente proporción: sumando 1 en ambos lados tenemos M M = N N, M N M + M N + N +1= +1= = = M N M N M = N, además, si trazamos una paralela a la cual pase por el punto N, tendremos el paralelogramo 5 MNP: 5 Un paralelogramo es un cuadrilátero en el que cada par de lados opuestos son paralelos y de la misma longitud.

4. TRIÁNGULOS SEMEJNTES 13 M N P utilizando nuevamente el teorema de Tales tenemos que P P = N N. Nuevamente sumamos 1 en ambos lados y obtenemos que P = N, pero como P = NM tenemos que MN = N. Juntando los resultados anteriores tenemos que M = MN = N, es decir, si dos triángulos son semejantes entonces sus lados son proporcionales. Veamos el siguiente ejemplo: Ejemplo 4. Tenemos dos triángulos semejantes 4 y 4MNP. Sabemos que sus lados son iguales a los valores marcados en la siguiente figura, encuentra cuánto vale x. M 4 x 2 3 4 N 8 P Solución 4. omo tenemos que los lados de ambos triángulos son proporcionales, entonces: x 3 = 8 4 con esto llegamos a que el valor de x es 6.

14 1. ONEPTOS Y TEOREMS ÁSIOS Ejemplo 5. En la siguiente figura, es un paralelogramo. Sobre los lados y se dibujan los triángulos equiláteros 4F y 4E, respectivamente. emuestra que el triángulo 4FE es equilátero. E F Solución 5. uando dos triángulos, además de ser semejantes, tienen las longitudes de sus lados iguales se dice que son congruentes. En la figura anterior, tenemos que ]FE + 120 + ] = 360,entonces]FE = 240 ] = 180 ]+60 ycomo]f = 180 ]+60 entonces ]FE = ]F. demás, tenemos que F = F y E =, esto implica que el triángulo 4FE es congruente al triángulo 4F y por lo tanto FE = F. e manera análoga podemos demostrar que E = FE y así concluimos que el triángulo 4FE es equilátero. Ejemplo 6. En un triángulo 4, Z es un punto sobre la base. Una línea a través de paralela a Z intersecta en X. Una línea a través de paralela a Z intersecta en Y.emuestraque 1 Z = 1 X + 1 Y. X Y Z Solución 6. Primero reescribimos la expresión que queremos demostrar como 1= Z X + Z Y.

4. TRIÁNGULOS SEMEJNTES 15 Tenemos que el triángulo 4Z es semejante al triángulo 4X, de aquí obtenemos Z X = Z. e manera análoga, de la semejanza entre los triángulos 4Z y 4Y, tenemos que Z Y = Z. Sumando estas dos expresiones que hemos obtenido tenemos que Z X + Z Y = Z + Z = Z + Z = =1. Ejemplo 7. ado un triángulo 4, sea l unalíneaquepasaporel vértice la cual divide el ángulo ] en dos partes iguales. Sean P y Q las proyecciones desde y sobre l, ysea un punto sobre la línea de tal manera que es perpendicular a l. emuestra que, Q y P concurren. Solución 7. Sea S el punto donde la línea Q intersecta a. omo, Q y P son paralelas, tenemos que SQ S = Q P. demás, como los triángulos 4P y 4Q son semejantes, tenemos que Q P = Q P, de aquí obtenemos que los triángulos 4SQ y 4SP son semejantes y comparten el vértice S, por lo tanto, P, y S son colineales. Q S P 4.1. Ejercicios. Ejercicio 25. emuestra que la recta que une los puntos medios de los lados paralelos de un trapecio pasa por el punto de intersección de las diagonales.

16 1. ONEPTOS Y TEOREMS ÁSIOS Ejercicio 26. En un triángulo 4, sobre el lado se toma un punto de tal manera que ] = ]. emuestra que 2 =. Ejercicio 27. En un triángulo 4, laalturae es extendida hasta G de tal manera que EG = F, donde F es la altura trazada hacia. UnalíneaatravésdeG y paralela a intersecta en H. emuestra que H =. G E H F Ejercicio 28. En un trapecio ( paralelo a ) sea = a y = b. Sean M, N, P y Q lospuntosmediosde,, y repectivamente. emuestra que a) MQ = a+b 2 b) NP = a b 2 Ejercicio 29. En un trapecio ( paralelo a ) sea = a y = b. Sabemos que ] + ] =90. Sean M, yn los puntos medios de y. emuestra que MN = b a 2. Ejercicio 30. En un trapecio ( paralelo a ), las diagonales se intersectan en P, M es una mediana del triángulo 4, la cual intersecta en E. través de E, se traza una línea paralela a la cual corta a, y en los puntos H, F y G, respectivamente. emuestra que HE = EF = FG. P H E F G M Ejercicio 31. emuestra que las rectas que unen los centros de los cuadrados, construidos exteriormente sobre los lados de un paralelogramo, forman también un cuadrado.

4. TRIÁNGULOS SEMEJNTES 17 Ejercicio 32. Expresa el lado de un decágono regular en función del radio de la circunferencia circunscrita a éste. Ejercicio 33. os circunferencias se intersectan en los puntos y. Por el punto se han trazado los segmentos y, cada uno de los cuales, siendo cuerda de una circunferencia, es tangente a la segunda circunferencia. emuestra que 2 = 2. Ejercicio 34. Sea M el punto medio de la base de un triángulo isósceles 4. H es un punto en tal que MH es perpendicular a. P es el punto medio del segmento MH. emuestra que H es perpendicular a P. Ejercicio 35. Se da un triángulo 4. En la recta que pasa por el vértice y es perpendicular al lado, se toman dos puntos 1 y 2 de modo que 1 = 2 = ( 1 esmáspróximoalarecta que 2 ). e manera análoga, en la recta perpendicular a, que pasa por, se toman los puntos 1 y 2 de modo que 1 = 2 =. emuestra que los segmentos 1 2 y 2 1 son iguales y mutuamente perpendiculares. Ejercicio 36. Por el punto de intersección de las diagonales de un cuadrilátero setrazaunarectaquecortaa en el punto M y a en el punto N. PorM y N se trazan las rectas paralelas a y, respectivamente, que cortan a ya en los puntos E y F.emuestra que E es paralelo a F. Ejercicio 37. En un cuadrilátero. Sobre las rectas y se toman los puntos K y M de manera que K es paralelo a y M es paralelo a. emuestra que KM es paralelo a. Ejercicio 38. Sea E un punto arbitrario sobre el lado del triángulo 4. Por el vértice tracemos una recta arbitraria l. Por E, se traza una recta paralela a la cual corta l en el punto N. También por E, se traza una recta paralela a la cual corta l en el punto M. emuestra que N es paralelo a M. Ejercicio 39. Sea 4 un triángulo equilátero y sea Γ el semicírculo que tiene a como diámetro y que es exterior al triángulo. Mostrar que si una línea que pasa por trisecta a, entonces también trisecta al arco Γ.

18 1. ONEPTOS Y TEOREMS ÁSIOS 5. uadriláteros cíclicos. efinición 5. Un cuadrilátero que está inscrito en una circunferencia, es decir, sus cuatro vértices están sobre una circunferencia se dice que es un cuadrilátero cíclico. Teorema 6. Una condición necesaria y suficiente para que un cuadrilátero sea cíclico es que la suma de dos ángulos opuestos sea igual a 180. emostración. Para probar esto, primero vamos a suponer que el _ cuadrilátero es cíclico. Tenemos que el ] = 2 y ] = _ 2,ycomo _ + _ = 360 (midiendo los ángulos en grados) tenemos que ] + ] = + β = 180. β hora supongamos que ] + ] = + β =180. Tracemos la circunferencia circunscrita al triángulo 4 y supongamos que ésta no pasa por el vértice. Prolonguemos hasta que intersecte a la circunferencia en 0. omo el cuadrilátero 0 es cíclico tenemos que ] + ] 0 = 180, esto quiere decir que ] 0 = ] = β y entonces sería paralelo a 0, lo cual es una contradicción ya que líneas paralelas no se intersectan. Entonces coincide con 0 yporlotantoel cuadrilátero es cíclico. β β ' hora vamos a hacer un ejemplo donde utilicemos el teorema anterior:

5. URILÁTEROS ÍLIOS. 19 Ejemplo 8. Las circunferencias 1 y 2 se intersectan en los puntos y. Por el punto se traza una recta que corta a las circunferencias 1 y 2 en los puntos y, respectivamente. Por los puntos y se trazan tangentes a las circunferencias, las cuales se intersectan en el punto M. emuestra que el cuadrilátero M es cíclico. Solución 8. Queremos probar que ]M + ] =180. Tracemos la cuerda común. Tenemos que ]M = ] = ya que uno es ángulo seminscrito y el otro es ángulo inscrito, ambos en la circunferencia 1. nálogamente se demuestra que ]M = ] = β (en 2 ). Tenemos que + β + θ =180, por ser los ángulos internos del triángulo 4M,perocomo] = +β tenemos que ]M+] = 180. M θ β β 1 2 Ejemplo 9. Sea el diámetro de un semicírculo y sea el punto medio del semicírculo. Sea M un punto sobre el segmento. Sean P y Q lospiesdelasperpendicularesdesde y alalíneam, respectivamente. emuestra que P = PQ+ Q. Solución 9. Tomamos el punto sobre el rayo P de tal manera que Q = Q, entoncesp = PQ + Q = PQ + Q. astará entonces probar que P es el punto medio de. Primero, tenemos que Q y M coinciden, entonces ]Q = ]Q =45,ycomoO es el punto medio de ahora tendremos que demostrar que OP es paralelo a. Para esto, bastará demostrar que ]PO =45. omo O y ]P =90 tenemos que P O es cíclico y de aqui que ]PO = ]O =45, por lo tanto P = PQ+ Q.

20 1. ONEPTOS Y TEOREMS ÁSIOS 45 M,Q 45 45 P O 45 Ejemplo 10. Sea 4 un triángulo y sea elpiedelaalturadesde. Sean E y F sobre una línea que pasa por de tal manera que E es perpendicular a E, F es perpendicular a F, E y F son diferentes de. Sean M y N los puntos medios de y EF, respectivamente. emuestra que N es perpendicular a NM. β F θ N E θ M β Solución 10. Tenemos que E está sobre la circunferencia circunscrita al triángulo 4 y F está sobre la circunferencia circunscrita al triángulo 4, entonces los cuadriláteros E y F son cíclicos. e lo anterior tenemos que ] = ]EF = y ] = ]F E = β lo cual implica que 4 4EF. Tanto M como N son puntos medios de los lados correspondientes y EF, respectivamente, y esto implica que ]M = ]NE = ]N = θ, es decir, el cuadrilátero MN es cíclico yporlotanto]nm =90. Ejemplo 11. os circunferencias de centros O 1 y O 2 se intersectan en los puntos y como se muestra en la figura. Por se traza una recta l que intersecta de nuevo a las circunferencias en los puntos M y N. Por M y N se trazan las líneas tangentes respectivas y éstas se intersectan en el punto P. La paralela a PN por O 2 y la paralela a PM por O 1 se intersectan en Q. emuestra que las rectas PQ, al variar la recta l, pasan por un punto fijo y que la longitud del segmento PQ es constante.

5. URILÁTEROS ÍLIOS. 21 Solución 11. omo vimos en el ejemplo 8, el cuadrilátero MPN es cíclico. Entonces ]PN = ]MN =. Por otro lado, tenemos que ]O 1 O 2 = ]MN y ]O 2 O 1 = ]NM, locualimplicaque]o 1 O 2 = ]MN on esto hemos probado que el cuadrilátero O 1 QO 2 es cíclico. e aquí obtenemos que ]QO 2 = ]O 1 O 2 = ]MN =, lo cual implica que, Q y P están alineados. e no ser así, tendríamos que P intersectaría a la línea QO 2 en un punto Q 0 distinto de Q, pero entonces también tendríamos que ]Q 0 O 2 = ]PN = ]QO 2 =, lo que a su vez implicaría que los puntos, O 1, Q, Q 0 y O 2 son concíclicos. Esto es una contradicción, por lo tanto,, Q y P están alineados. Para la segunda parte consideramos la proyección de Q sobre PN ylallamamos T. Sabemos que el ángulo ]M = nodependedelaelección de la recta l, entonces, como la longitud del segmento QT es igual al radio de la circunferencia de centro O 2 y ]QP T =, tenemos que los triángulos 4QP T siempre son congruentes. Por lo tanto, la longitud del segmento PQ no depende de la elección de la línea l. O 1 O 2 M N Q T P 5.1. Ejercicios. Ejercicio 40. En la siguiente figura están trazadas las bisectrices 6 de los ángulos interiores del cuadrilátero, las cuales se intersectan en los puntos E, F, G y H, comosemuestraenlafigura. emuestra que el cuadrilátero EFGH es cíclico. 6 La bisectriz de un ángulo es la línea que pasa por el vértice y lo divide en dos ángulos iguales.

22 1. ONEPTOS Y TEOREMS ÁSIOS E F H G Ejercicio 41. En un triángulo 4 sean M, N y P,puntossobre los lados, y, respectivamente. Se trazan las circunferencias circunscritas a los triángulos 4P N, 4MP y 4NM. emuestra que las tres circunferencias tienen un punto en común. 7 Ejercicio 42. Por uno de los puntos del arco _ de una circunferencia se han trazado dos rectas arbitrarias que cortan la cuerda en los puntos y E y a la circunferencia, en los puntos F y G. Para cuál posición del punto en el arco, _ al cuadrilátero EGF se le puede circunscribir una circunferencia? Ejercicio 43. Una línea PQ, paralela al lado de un triángulo 4, corta a y a en P y Q, respectivamente. La circunferencia que pasa por P yestangentea en Q corta de nuevo a en R. emuestra que el cuadrilátero RQ es cíclico. Ejercicio 44. Se toma un punto P en el interior de un rectángulo de tal manera que ]P + ]P = 180. Encuentra la suma de los ángulos ]P y ]P. Ejercicio 45. Sobre los lados de un cuadrilátero convexo hacia el exterior están construidos cuadrados. Las diagonales del cuadrilátero son perpendiculares. emuestra que los segmentos que unen los centros de los cuadrados opuestos, pasan por el punto de intersección de las diagonales del cuadrilátero. Ejercicio 46. En un cuadrado, M es el punto medio de. Una línea perpendicular a M por M intersecta en K. emuestra que ]M = ]KM. Ejercicio 47. Sea un cuadrilátero cíclico, sea M el punto de intersección de las diagonales de, yseane, F, G y H lospiesde las perpendiculares desde M hacia los lados,, y, respectivamente. etermina el centro de la circunferencia inscrita en el cuadrilátero EFGH. 7 Esteresultadoesconocidocomoelteorema de Miquel.

5. URILÁTEROS ÍLIOS. 23 Ejercicio 48. Sea el diámetro de un círculo con centro O. Setoma el punto sobre la circunferencia de tal manera que O es perpendicular a. SeaP un punto sobre el arco. Las líneas P y se intersectan en Q. SeescogeunpuntoR sobre la línea P de tal manera que RQ y son perpendiculares. emuestra que Q = QR. Ejercicio 49. emuestra que si un cuadrilátero cíclico tiene sus diagonales perpendiculares, entonces la perpendicular trazada hacia un lado desde el punto de intersección de las diagonales bisecta el lado opuesto. Ejercicio 50. emuestra que si un cuadrilátero cíclico tiene sus diagonales perpendiculares, entonces la distancia desde el centro de la circunferencia circunscrita hasta un lado es igual a la mitad de la longitud del lado opuesto. Ejercicio 51. Sea un cuadrilátero convexo tal que las diagonales y son perpendiculares, y sea P su intersección. emuestra que las reflexiones de P con respecto a,, y son concíclicos. Ejercicio 52. Está dada la circunferencia Ω. esde un punto exterior P se trazan dos líneas tangentes a Ω las cuales la tocan en y. También por P se traza una secante l a Ω. esde el centro de Ω se traza una recta perpendicular a l la cual corta a Ω en el punto K yal en (el segmento K corta a l). emuestra que K bisecta el ángulo ]. Ejercicio 53. La cuerda de un círculo de centro O es perpendicular asudiámetro. La cuerda E bisecta el radio O. emuestra que la cuerda E bisecta la cuerda. Ejercicio 54. Está dados una circunferencia 1 yunpuntop exterior aésta.esdep se trazan las tangentes a 1 las cuales la intersectan en los puntos y. También desde P setrazalasecantel la cual intersecta a 1 en los puntos y. Por se traza una línea paralela a l la cual intersecta a 1, además de en, enunpuntoe. emuestra que E bisecta la cuerda. Ejercicio 55. esde un punto sobre la circunferencia circunscrita a un triángulo equilátero 4 están trazadas rectas paralelas a, y, lascualescortan, y en los puntos M, N y Q, respectivamente. emuestra que M, N y Q están alineados. Ejercicio 56. El 4 tiene inscrita una circunferencia, cuyo diámetro pasa por el punto de tangencia con el lado y corta la cuerda que une los otros dos puntos de tangencia en el punto N. emuestra que N parte por la mitad. Ejercicio 57. os circunferencias se intersectan en los puntos y. Una recta arbitraria pasa por y corta por segunda vez la primera circunferencia en el punto y a la segunda, en el punto. Las tangentes a la primera circunferencia en yalasegundaen se cortan en el punto M.

24 1. ONEPTOS Y TEOREMS ÁSIOS Por el punto de intersección de M y pasa una recta paralela a M, que corta en el punto K. emuestraquek es tangente a la segunda circunferencia. Ejercicio 58. Sean y dos puntos de una circunferencia, y las tangentes desde. SeaQ un punto del segmento y P la intersección de Q con la circunferencia. La paralela a por Q corta a en J. emuestra que PJ es paralelo a si y sólo si 2 = Q. 6. El Teorema de Pitágoras ntes de enunciar el Teorema de Pitágoras vamos a analizar un triángulo rectángulo el cual tiene trazada la altura hacia la hipotenusa. β β Sea 4 el triángulo mencionado el cual tiene trazada la altura y con ángulo recto en. Sean ] = y ] = β. Tenemos que +β =90, entonces también ] = y ] = β. sí de ésta manera hemos obtenido dos triángulo semejantes al 4, es decir, 4 y 4 son semejantes al triángulo 4. e la semejanza entre 4 y 4 obtenemos: = de aquí obtenemos que 2 =, ysediceque es la media geométrica o media proporcional de y. demás, de manera análoga podemos obtener también que (1) 2 = (de la semejanza de los triángulos 4 y 4) yque (2) 2 = (de la semejanza de los triángulos 4 y 4). Sumando (1) y (2) tenemos que 2 + 2 = +, esto es

6. EL TEOREM E PITÁGORS 25 es decir 2 + 2 = ( + ) =, (3) 2 + 2 = 2. on esto hemos probado el teorema de Pitágoras. Teorema 7 (Teorema de Pitágoras). La suma de los cuadrados de los catetos de un triángulo rectángulo, es igual al cuadrado de la hipotenusa. Este teorema es atribuido a uno de los más grandes matemáticos de la antigua Grecia, Pitágoras, y será de gran utilidad en muchos de los problemas que veremos más adelante. El recíproco también es cierto, pero esto se deja como ejercicio. Teorema 8. Probar que la suma de los cuadrados de las diagonales de un paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de los lados. emostración. Sea el paralelogramo y sean = = a y = = b. También sean = c y = d. b a h c d a h M b x N Tracemos perpendiculares a desde y, las cuales intersectan a en M y N. SeaM = N = h. TenemosqueM = N = x. plicando el teorema de Pitágoras a los triángulos 4N, 4N, 4M tenemos las siguientes igualdades: (4) h 2 + x 2 = a 2 (5) h 2 +(b + x) 2 = d 2 (6) h 2 +(b x) 2 = c 2 sumando (5) y (6) obtenemos 2h 2 +2b 2 +2x 2 = d 2 + c 2 ahora utilizando (4) tenemos que (7) 2a 2 +2b 2 = d 2 + c 2. Lo cual queríamos demostrar.

26 1. ONEPTOS Y TEOREMS ÁSIOS Ejemplo 12. En el triángulo 4, sean = a, = b, = c y ] = β. emuestra que b 2 = a 2 + c 2 2acosβ. c h b β x a-x Solución 12. Sea = h la altura trazada hacia el lado ysea = x. Tenemos que h 2 + x 2 = c 2 y h 2 +(a x) 2 = b 2 esto implica que c 2 x 2 + a 2 + x 2 2ax = c 2 + a 2 2ax = b 2 ycomox = cosβ, tenemos que b 2 = a 2 + c 2 2acosβ. LafórmulaanterioresconocidacomolaLey de los osenos. 6.1. Ejercicios. Ejercicio 59. Probar el inverso del teorema de Pitágoras: si a, b y c son los lados de un triángulo que cumple que a 2 + b 2 = c 2,entoncesesun triángulo rectángulo. Ejercicio 60. Sean a, b los catetos de un triángulo rectángulo, c la hipotenusa y h la altura trazada hacia la hipotenusa. emuestra que el triángulo con lados h, c + h y a + b es un triángulo rectángulo. Ejercicio 61. ado un rectángulo 1 2 3 4 yunpuntop dentro de éste sabemos que P 1 =4, P 2 =3y P 3 = 10. uál es la longitud de P 4? Ejercicio 62. En una circunferencia de radio R está trazado un diámetro y sobre éste se toma el punto a una distancia d de su centro. Hallar el radio de la circunferencia que es tangente al diámetro en el punto yes tangente interiormente a la circunferencia dada. Ejercicio 63. K es el punto medio del lado del rectángulo. Hallar el ángulo entre K yladiagonal si sabemos que : = 2.

6. EL TEOREM E PITÁGORS 27 Ejercicio 64. En un triángulo4, E es un punto sobre la altura. emuestraque 2 E 2 = 2 E 2. Ejercicio 65. Sean y dos cuerdas perpendiculares en una circunferencia de radio R. emuestraque 2 + 2 =4R 2. Ejercicio 66. Un trapecio, con paralelo a, tienesus diagonales y perpendiculares. emuestra que 2 + 2 =( + ) 2. Ejercicio 67. emuestra que si en un cuadrilátero la suma de los cuadrados de los lados opuestos son iguales, entonces sus diagonales son perpendiculares entre si. Ejercicio 68. En la siguiente figura, es un cuadrado y el triángulo 4P es rectángulo con ángulo recto en P.emuestraque MN 2 = M N. P M N Ejercicio 69. Sobre un lado de un ángulo recto con vértice en el punto O, se toman dos puntos y, siendoo = a y O = b. Halla el radio de la circunferencia que pasa por los puntos y, a la cual es tangente el otro lado del ángulo.

28 1. ONEPTOS Y TEOREMS ÁSIOS 7. Potencia de un punto Están dados un punto fijo P y una circunferencia Ω. onsideremos una línea l quepaseporp y las intersecciones y de l con Ω. El producto P P es llamado la potencia de P con respecto a la circunferencia y no depende de la línea l que hayamos trazado. La potencia de un punto dado P es positiva, cero, ó negativa dependiendo de si el punto se encuentra fuera, sobre, ó dentro de la circunferencia. En los siguientes dos teoremas no nos preocuparemos por el signo de la potencia, sólo analizaremos el valor absoluto de ella. l l l P P, P Teorema 9. La potencia de un punto interior a la circunferencia es constante. P emostración. Sean y dos cuerdas arbitrarias que pasan por el punto P. Tracemos y. Tenemos que ] = ] porque ambos son ángulos inscritos que intersectan el mismo arco, análogamente ] = ], de aqui que el triángulo 4P es semejante al triángulo 4P de donde se obtiene que P P = P P = P P = P P lo cual muestra que la potencia es constante para todas las cuerdas que pasen por P. Teorema 10. La potencia de un punto exterior a la circunferencia es constante.

7. POTENI E UN PUNTO 29 β θ P β emostración. Sean P y Pdos secantes arbitrarias trazadas desde el punto P, las cuales intersectan a la circunferencia, además de en y, en los puntos y, comosemuestraenlafigura. Tracemos y. Tenemos que ]P = ] =, ya que el cuadrilátero es cíclico. Por la misma razón, ]P = ] = β, de aqui que el triángulo 4P es semejante al triángulo 4P de donde se obtiene que P P = P P = P P = P P lo cual muestra que la potencia es constante para todas las rectas secantes que pasen por P 8. Ejemplo 13. Está dado un ángulo con vértice O y una circunferencia inscrita en él, la cual toca sus lados en los puntos y. Por el punto se traza una línea paralela a O la cual intersecta a la circunferencia en el punto. El segmento O intersecta la circunferencia en el punto E. Las líneas E y O se intersectan en el punto K. emuestraqueok = K. Solución 13. emostrar que OK = K es equivalente a demostrar que OK 2 = K 2, además, como K 2 es la potencia del punto K ala circunferencia tenemos que K 2 = KE K(esto se deja como ejercicio). Solo falta calcular OK 2, yparaestotenemosque]ok = ]E =, ya que ambos ángulos intersectan el arco E; _ además ]EOK = ]E, por ser y OK paralelos. Tenemos entonces que 4EOK 4OK de donde obtenemos que OK 2 = KE K y como ya habíamos encontrado que K 2 = KE K tenemos que OK 2 = K 2. 8 Falta demostrar que el valor de la potencia se sigue conservando cuando la recta trazada desde P es tangente a la circunferencia, pero ésto se deja como ejercicio.

30 1. ONEPTOS Y TEOREMS ÁSIOS E O K Ejemplo 14. La circunferencia inscrita en el triángulo es tangente a los lados, y es los puntos, E y F, respectivamente. corta la circunferencia en un segundo punto Q. emuestraquelarecta EQ pasa por el punto medio de F si y sólo si =. (Iberoamericana 1998/2) Solución 14. e manera análoga a la solución del ejemplo anterior, tenemos que M es el punto medio de F si y sólo si ]MQ = ]EM. Por otro lado, sabemos que ]EQ = ]EM, entonces M será el punto medio de F si y sólo si ]MQ = ]EQ. Esto es, M es el punto medio de F si y sólo si =. β M Q E F efinición 6 (Eje Radical). adas dos circunferencias, se define el eje radical de éstas, como el lugar geométrico de los puntos para los cuales la potencia hacia las dos circunferencias es igual. Es decir, el eje radical es la línea formada por todos los puntos que tienen igual potencia con respecto a las dos circunferencias. Es claro que el eje radical es una línea recta. onsideremos, por ejemplo, el caso cuando las dos circunferencias se cortan en dos puntos:

7. POTENI E UN PUNTO 31 P 1 2 Es muy fácil ver que cualquier punto sobre la línea que pasa por y tiene la misma potencia con respecto a las dos circunferencias. Sólo falta ver que no existe ningún punto fuera de la recta el cual tenga la misma potencia con respecto a 1 y 2. Supongamos que P tiene la misma potencia con respecto a 1 y 2 yconsideremoslalíneaquepasaporp y. Estalínea intersecta a 1 y 2 por segunda vez en y,respectivamente. Tenemos que la potencia de P con respecto a 1 es P P ylapotenciadep con respecto a 2 es P P,peroP 6= P,porlotantoP no pertenece al eje radical. demás, si las dos circunferencias son tangentes en un punto entonces el eje radical es la línea tangente que pasa por el punto común: 1 2 Por otro lado, si las dos circunferencias no se intersectan, podemos probar que el eje radical es la recta que pasa por los puntos medios de las tangentes comunes 9 : 1 2 9 Esto se deja como ejercicio para el lector.

32 1. ONEPTOS Y TEOREMS ÁSIOS Teorema 11. adas tres circunferencias, los tres ejes radicales (uno por cada par de circunferencias) se intersectan en un punto 10. emostración. Vamos a demostrar el teorema para el caso en el cual las circunferencias se intersectan dos a dos. Sean,,,, E y F los puntos de intersección de las circunferencias, como se muestra en la siguiente figura. 1 E F P 2 3 Sea P el punto de intersección de F y E. omolalíneaf es el eje radical de 1 y 3 tenemos que P tiene potencia P PF con respecto a 1 y 3. nálogamente, P tiene potencia EP P con respecto a 2 y 3. demás, como las cuerdas F y E se cortan dentro de la circunferencia 3 en el punto P, entonces P PF = EP P, esto quiere decir que P tiene la misma potencia con respecto a 1, 2, 3 y por lo tanto pertenece también al eje radical de 1 y 2. La demostración para los demás casos es análoga. Utilizando este teorema podemos dar una manera de construir el eje radical de dos circunferencias que no se intersectan. Por ejemplo, para encontrar el eje radical de 1 y 2 trazamos dos circunferencias ( 3 y 4 ) cada una de las cuales intersecte a 1 y 2. Tenemos que el centro radical de 1, 2 y 3 es P, y el centro radical de 1, 2 y 4 es Q. omo P y Q tienen la misma potencia con respecto a 1 y 2 tenemos que el eje radical de 1 y 2 es la línea que pasa por P y Q. 10 Estepuntoesllamadoelcentro radical de las circunferencias.

7. POTENI E UN PUNTO 33 4 P Q 1 2 3 Ejemplo 15. Una línea paralela al lado de un triángulo 4 corta a en F ya en E. Probar que las circunferencias que tienen como diámetros a E yaf se cortan en un punto que cae en la altura del triángulo 4 bajada desde el vértice. Solución 15. enotemos por 1 y 2 a las circunferencias de diámetros E y F, respectivamente. Sean M y N los centros de 1 y 2,y sean P y Q los puntos de intersección de estas circunferencias. ebido a que E es diámetro de 1 tenemos que LE =90,delamismamanera tenemos que KF =90, y con esto tenemos que el cuadrilátero KL es cíclico. omo FE es paralelo a tenemos que también FKLE es cíclico. enotemos la circunferencia circunscrita de FKLE por 3. Tenemos que la línea es el eje radical de 1 y 3, además, la línea es el eje radical de 2 y 3. Estos ejes radicales se intersectan en, entonceseleje radical de 1 y 2 debe pasar por el punto. Por otro lado, sabemos que la líneadeloscentrosdedoscircunferencias es perpendicular a su eje radical 11, entonces PQ es perpendicular a MN y por ende a. on esto tenemos que P y Q están contenidos en la altura del triángulo 4 trazada hacia el lado. 11 Esteresultadosedejacomoejercicio.

34 1. ONEPTOS Y TEOREMS ÁSIOS K P H L 2 F E M N 1 Q 7.1. Ejercicios. Ejercicio 70. En la siguiente figura están trazadas una secante y una tangente que intersectan la circunferencia en los puntos, y M. emuestra que PM 2 = P P. P M Ejercicio 71. En la siguiente figura, desde un vértice del cuadrado está trazada una tangente, la cual tiene una longitud igual al doble del lado del cuadrado. Encuentra el radio de la circunferencia en función del lado del cuadrado. x 2x x Ejercicio 72. En la siguiente figura = = 5, = 9 y = 7. Encuentra.

7. POTENI E UN PUNTO 35 5 5 7 Ejercicio 73. emuestra que el eje radical de dos circunferencias es la recta que pasa por los puntos medios de las tangentes comunes. Ejercicio 74. emuestra que el eje radical de dos circunferencias es perpendicular a la línea de los centros 12. Ejercicio 75. Por un punto en el eje radical de dos circunferencias, dibujamos secantes a cada una de las dos circunferencias. Estas secantes determinan cuatro puntos sobre las circunferencias. emuestra que esos puntos determinan un cuadrilátero cíclico. Ejercicio 76. Sea la bisectriz de ángulo ] del triángulo 4. El circuncírculo del triángulo 4 intersecta en E y el circuncírculo del triángulo 4 intersecta en F.emuestraqueE = F. Ejercicio 77. Sea 4 un triángulo arbitrario y sea P un punto en el plano del triángulo. Las líneas P, P y P intersectan por segunda vez a la circunferencia circunscrita del triángulo 4 en los puntos 1, 1 y 1, respectivamente. onsideremos dos circunferencias, una que pasa por y 1 y otra que pasa por y 1. Sean y 1 losextremosdela cuerda común de estas circunferencias. emuestra que, 1, y 1 se hallan en una misma circunferencia. Ejercicio 78. Sea un punto sobre un semicírculo de diámetro ysea el punto medio del arco. _ SeaE la proyección del punto sobre la línea yseaf la intersección de la línea E con el semicírculo. emuestra que F bisecta al segmento E. Ejercicio 79. Sea un cuadrilátero convexo inscrito en un semicírculo Γ de diámetro. Las líneas y se intersectan en E ylas líneas y en F.LalíneaEF intersecta al semicírculo Γ en G yala línea en H. emuestra que E es el punto medio del segmento GH si y sólo si G es el punto medio del segmento FH. Ejercicio 80. En un cuadrilátero inscrito en una circunferencia llamemos P al punto de intersección de las diagonales y, y sea M el punto medio de. La circunferencia que pasa por P yquees tangente a en M, cortaa ya en los puntos Q y R, respectivamente. Se toma un punto S sobre el segmento, detalmaneraque 9 12 Se llama línea de los centros a la línea que pasa por los centros de dos circunferencias.

36 1. ONEPTOS Y TEOREMS ÁSIOS S = Q. PorS se traza una paralela a que corta a en un punto T.emuestraqueT = R. Ejercicio 81. emuestra que si una circunferencia intersecta los lados,, del triángulo 4 en los puntos, 0 ; E, E 0 ; F, F 0 ; respectivamente, entonces F F E E F 0 F 0 0 0 E0 E 0 =1. Ejercicio 82. En una circunferencia está trazado el diámetro yla cuerda perpendicular a. Una circunferencia arbitraria es tangente a la cuerda yalarco. emuestra que la tangente a esta circunferencia trazada a partir del punto es igual a. Ejercicio 83. Sea 4 un triángulo acutángulo. Los puntos M y N son tomados sobre los lados y, respectivamente. Los círculos con diámetros N y M se intersectan en los puntos P y Q. emuestra que P, Q yelortocentroh 13, son colineales. Ejercicio 84. ado un punto P, en el plano de un triángulo 4, sean, E y F lasproyeccionesdep sobre los lados, y, respectivamente. El triángulo 4EF es denominado el triángulo pedal del punto P. emuestra que el área del triángulo 4EF se puede calcular como EF = (R2 d 2 ) 4R 2, donde R es el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo 4 y d es la distancia del punto P al circuncentro de 4. (Teorema de Euler) Ejercicio 85. Sean,, y cuatro puntos distintos sobre una línea (en ese orden). Los círculos con diámetros y se intersectan en X y Y.LalíneaXY intersecta en Z. SeaP un punto sobre la línea XY,distinto de Z. La línea P intersecta el círculo con diámetro en y M, y la línea P intersecta el círculo con diámetro en y N. emuestra que las líneas M, N y XY son concurrentes. Ejercicio 86. Sea I el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo. Esta circunferencia es tangente a los lados, y del triángulo en los puntos K, L y M, respectivamente. La recta paralela a MK que pasa por el punto intersecta a las rectas LM y LK en los puntos R y S, respectivamente. emuestra que el ángulo ]RIS es agudo. (IMO 1998/5) 13 El ortocentro de un triángulo es el punto donde se intersectan las alturas.

8. RE E TRIÁNGULOS Y URILÁTEROS 37 8. rea de triángulos y cuadriláteros Si en un triángulo conocemos la longitud de un lado y la altura trazada hacia ese lado, es bien sabido que podemos calcular su área simplemente multiplicando la longitud de la base por la longitud de la altura y después dividiendo entre dos. Si embargo, existen otras fórmulas, las cuales en ciertas ocasiones resultan más útiles, por ejemplo: Ejemplo 16. En el triángulo 4, sabemos que = c, = a y ] =. Probarque = 1 2 acsen. Solución 16. Sea h la altura trazada hacia el lado. Sabemos que = 1 2 ah yademáscomo h c = Sen, tenemos que = 1 2 acsen. c h demás, del ejercicio 13 tenemos que a Sen = b Sen = c Sen =2R, utilizando éste resultado y sustituyéndolo en la fórmula anterior tenemos =2R 2 SenSenSen. Ejemplo 17. onsideremos ahora un cuadrilátero convexo, sea P el punto de intersección de y. Si sabemos que ]P =, entonces = 1 Sen. 2 Solución 17. Tracemos las perpendiculares desde y sobre, las cuales intersectan en F y E, respectivamente. F P E

38 1. ONEPTOS Y TEOREMS ÁSIOS Tenemos que = = = + = 1 2 F + 1 E 2 = PSen + PSen 2 = (P + P)Sen 2 = 1 Sen. 2 demás, para algunas clases de cuadriláteros podemos encontrar otras fórmulas para calcular el área. Ejemplo 18. Sea un cuadrilátero cíclico, y sean = a, = b, = c, = d y s = a+b+c+d 2. Entonces tenemos que = p (s a)(s b)(s c)(s d). Solución 18. Sea ] = yseax =. Tenemos que = + = 1 2 (ad + bc)sen = 1 2 (ad + bc)p 1 os 2, por otro lado, = = = x 2 = b 2 + c 2 +2bcos x 2 = a 2 + d 2 2ados os = a2 + d 2 b 2 c 2 2bc +2ad = 1 2 (ad + bc) s (2bc +2ad) 2 (a 2 + d 2 b 2 c 2 ) 2 (2bc +2ad) 2 = = p (2bc +2ad + b 2 + c 2 a 2 d 2 )(2bc +2ad b 2 c 2 + a 2 + d 2 ) 4 = 1 4p [(b + c) 2 (a d) 2 ][(a + d) 2 (b c) 2 ] = 1 4p (b + c + d a)(b + c + a d)(a + d + c b)(a + d + b c) = p (s a)(s d)(s b)(s c).

8. RE E TRIÁNGULOS Y URILÁTEROS 39 Lafórmulaanterioresconocidacomolafórmula de rahmagupta. uando el cuadrilátero se degenera en triángulo, obtenemos la conocida fórmula de Herón, por ejemplo,si = entonces tenemos que = p (s a)(s b)(s c)(s). Ejemplo 19. Las áreas de los triángulos formados por segmentos de las diagonales de un trapecio y sus bases son S 1 y S 2. Hallar el área del trapecio. Solución 19. En el trapecio sea P el punto de intersección de las diagonales, y sean P = S 2, P = S 1 y ]P =. Tenemos que p P P = p (P PSen)(P PSen) = = p P P = p (P PSen)(P PSen) p P P = p P P pero como P = P, tenemos que p P P = p S1 S 2 = P = P = = S 1 + S 2 +2 p S 1 S 2 = ³p S1 + p S 2 2. 8.1. Ejercicios. Ejercicio 87. Tenemos dos triángulo con un vértice común, los demás vértices se encuentran en dos rectas que pasan por. emuestra que la razón entre las áreas de estos triángulos es igual a la razón entre los productos de los dos lados de cada triángulo que contienen el vértice. Ejercicio 88. Sea un cuadrilátero convexo. Sean P, Q, R y S los puntos medios de los lados,, y, respectivamente. Se trazan las líneas PR y QS las cuales dividen el cuadrilátero en cuatro cuadriláteros más pequeños cuyas áreas se muestran en la figura. emuestra que a + c = b + d. P b a S d c R Q

40 1. ONEPTOS Y TEOREMS ÁSIOS Ejercicio 89. En el trapecio, debases y, las diagonales se intersectan en el punto E, eláreadel4e es 72 y el área del 4E es 50. uál es el área del trapecio? Ejercicio 90. emuestra que = rs, donde r es el radio de la circunferencia inscrita, s = 1 2 (a + b + c). Ejercicio 91. Sea un cuadrilátero convexo, y sean = a, = b, = c, = d y s = a+b+c+d 2. Sean además, y β dos ángulos opuestos en el cuadrilátero. emuestra que r = (s a)(s b)(s c)(s d) 1 abcd (1 + os( + β)). 2 Ejercicio 92. emuestra que la suma de las distancias, desde cualquier punto interior de un triángulo equilátero, hasta sus lados es igual a la altura de éste triángulo. Ejercicio 93. Sea 4 un triángulo isósceles con =. Los puntos y E están sobre los lados y, respectivamente. La línea que pasa por y paralela a intersecta la línea E en F. La línea que pasa por y paralela a intersecta la línea E en G. emuestraque G FE = E. Ejercicio 94. emuestra que 1 + 1 + 1 = 1 h 1 h 2 h 3 r, donde h 1, h 2, h 3 son las alturas del triángulo; r el radio de la circunferencia inscrita. Ejercicio 95. En el paralelogramo, los vértices,, y están unidos con los puntos medios de los lados,, y, respectivamente. emuestra que el área del cuadrilátero formado por éstas rectas tiene una quinta parte del área del paralelogramo. Ejercicio 96. Sobre los catetos y de un triángulo rectángulo hacia el exterior están construidos los cuadrados KL y MN. emuestra que el cuadrilátero acotado por los catetos y las rectas L y N es equivalente al triángulo formado por las rectas L, N ylahipotenusa. Ejercicio 97. Están dados los puntos E, F, G, H, sobrelacontinuación de los lados,,,, de un cudrilátero convexo, tales que E =, F =, G =, F =. emuestraque EFGH =5. Ejercicio 98. En los lados y del triángulo 4, hacia el exterior están construidos dos paralelogramos E y FG. Las prolongaciones de E y FG se intersectan en el punto H. Sobre el lado

8. RE E TRIÁNGULOS Y URILÁTEROS 41 está construido el paralelogramo M L, cuyos lados L y M son iguales y paralelos a H. emuestra que ML = E + FG 14. Ejercicio 99. En un cuadrilátero convexo, los puntos medios de los lados y son E y F, respectivamente. emuestra que E + F =. Ejercicio 100. través de cierto punto tomado dentro del triángulo, se han trazado tres rectas paralelas respectivamente a sus lados. Estas rectas divideneláreadeltriánguloenseispartes,tresdelascualessontriángulos con áreas iguales a S 1, S 2 y S 3. Halla el área del triángulo dado. Ejercicio 101. Por los extremos de la base menor de un trapecio están trazadas dos rectas paralelas que cortan la base mayor. Las diagonales del trapecio y éstas rectas dividen el trapecio en siete triángulos y un pentágono. emuestra que la suma de las áreas de tres triángulos adyacentes a los lados y a la base menor del trapecio, es igual al área del pentágono. Ejercicio 102. Sea un paralelogramo; el punto E se halla en la recta ; F,enlarecta (, enelsegmentoe;, enelsegmento F ), K es el punto de intersección de las rectas E y F. emuestra que K = EKF. 14 Este es conocido como Teorema generalizado de Pitágoras.