GEOMETRÍ NLÍTI EN EL ESPIO PROUTO ESLR a b a1 b1 + a b + a b (uando sepamos las coodenadas de a y b). a b a b cosx (uando queamos halla el ángulo que foman a y b). uando los vectoes son pependiculaes su poducto escala seá 0. PROUTO VETORIL ados lo vectoes u (x,y,z) y v (x',y',z') uxv i j k x y z x' y' z' NOT: El vecto que esulta de este deteminante es pependicula a y coincide con el áea del paalelogamo que foman u y v. u v, y su módulo OORENS E UN VETOR LIRE estando - ados los puntos (a, b, c) y (d, e, f) el vecto con oigen en y extemo en se calcula - EUIONES E L RET EN EL ESPIO Paa halla la ecuación de una ecta es necesaio conoce UN PUNTO Y EL VETOR IRETOR de la misma. Una ecta, (obtenida a pati de un PUNTO (x 0, y 0,, z 0 ) y un VETOR (v 1, v, v ) ),se puede expesa de las siguientes fomas: 1.- EUIÓN VETORIL: ( x,y,z) (x 0, y 0,, z 0 ) + t (v 1, v, v ).- EUIONES PRMÉTRIS: x x 0 + t v 1 y y 0 + t v z z0 + t v x x0 y y0 z z0.- EUIÓN ONTINU: v1 v v 4.- INTERSEIÓN E OS PLNOS: x + y + z + 0 (E.GENERL E L RET) x + y + z + 0 NOT: Paa halla el vecto de una ecta expesada como intesección de dos planos basta con hace el poducto vectoial (i, j, k) axbsiendo a(,,) y b(,, ). Paa halla un punto sólo hay que dale a la x o a la y o a la z un valo abitaio, sustituilo en el sistema y despeja las otas dos incógnitas. Visita: academiadiego.es 1
EUIONES EL PLNO Paa halla la ecuación de un plano es necesaio conoce: UN PUNTO Y OS VETORES IRETORESdel mismo. Un plano,obtenido a pati de un PUNTO (x 0, y 0,, z 0 ) y OS VETORES V (v 1, v, v ) y W (w1, w, w ), se puede expesa de las siguientes fomas: 1.- EUIÓN VETORIL: ( x,y,z) (x 0, y 0,, z 0 ) + t (v 1, v, v ) + s(w 1,w,w ).- EUIONES PRMÉTRIS x x 0 + t v 1 + s w 1 y y 0 + t v + s w z z 0 + t v + s w.- EUIÓN GENERL O IMPLÍIT: x + y + z + 0 NOT: Paa hallala sólo hay que ealiza este deteminante e igualalo a 0. x - x y - y z - z 0 0 0 v v v 1 w w w 1 0 4.- EUIÓN SEGMENTRI: x y z + + 1 a b c Los valoes a, b y c se denominan, espectivamente, abscisa, odenada, y cota en el oigen. 5.- OTR FORM E HLLR L EUIÓN E UN PLNO: Un plano también se puede halla sabiendo UN PUNTO Y SÓLO UN VETOR, siempe y cuando ese vecto sea pependicula al plano, llamado vecto nomal, las coodenadas de ese vecto coinciden con los coeficientes (,, ) del plano; paa halla el témino independiente ( ) del plano, sólo hay que sustitui las coodenadas del punto que nos den y despeja. Ej/. Vecto nomal (, 4, 5) π: x + y + z + 0 Visita: academiadiego.es
POSIIONES RELTIVS Posición elativa de OS PLNOS π: x + y + z + 0 π : x + y + z + 0 M ' ' ' M * ' ' ' ' Rango de M Rango de M* Posición de OS PLNOS aso 1 Planos secantes aso 1 Planos paalelos y distintos aso 1 1 Planos coincidentes Secantes Paalelos oincidentes ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' Posición elativa de PLNO Y RET Si la ecta nos la dan de la foma geneal: x + y + z + 0 : ' x + ' y + ' z + ' 0 Y el plano de la siguiente foma α " x + " y + " z + " 0 M ' ' ' M* ' ' ' ' " " " " " " " Entonces se estudian los angos de M y M': Rango dem Rango dem* Posición de ecta y plano Gáficamente aso 1 Recta y plano secantes aso Recta y plano paalelos aso Recta contenida en plano Visita: academiadiego.es
Posición elativa detres PLNOS π : x + y + z + 0 π : x + y + z + 0 π : x + y + z + 0 M ' ' ' '''''' M* ' ' ' ' '''''''' Entonces se estudian los angos de M y M': aso 1 aso aso aso 4 aso 5 Rg. M Rg. M* Posición de los TRES PLNOS Planos secantes en un punto. 1 a) Planos secantes dos a dos que foman supeficie pismática b) os planos paalelos cotados po el oto. a) Plano distintos y se cotan en una ecta. b) os coincidentes y el oto los cota. a) Planospaalelos y distintos dos a dos b) os son coincidentes y el oto paalelo 1 1 Planos coincidentes. aso 1: aso : a) b) aso : a) b) aso 4: a) b) aso 5: Visita: academiadiego.es 4
Posición elativa de OS RETS adas dos ectas y s, de las que conocemos el vecto diecto y un punto de cada una: VETORES V (v 1, v, v ), W (w1, w, w ) y PUNTOS (x 0, y 0,, z 0 ), (x 1, y 1,, z 1 ) v 1 M w1 v w v w aso 1 Rango dem Rango dem* Posición deos RETS ectas cuzadas M ' v 1 w1 x1 x0 v w y1 y0 v w z1 z0 aso aso aso 4 ectas secantes 1 ectas paalelas 1 1 ectas coincidentes ÁNGULOS Ángulo de dosrets Sean u y v los vectoes de dos ectas y s. u v osx u v x Ángulo de dosplnos Sean u y v los vectoes nomales de dos planos ππ os x u v u v x Ángulo ente PLNO Y RET Sea N el vecto nomal del plano v β N v el vecto diecto de la ecta. N v os β N v El ángulo que hay que halla NO es β sino α que se calcula: α 90º - β α β Visita: academiadiego.es 5
ISTNIS istancia enteos PUNTOS ( a1, a, a ) ( b 1, b,b ) ( ) d, (b a ) + (b a ) + (b a ) 1 1 istancia de UN PUNTO UN RET d(p, ) PP X V v P P V istancia E UN PUNTO UN PLNO π: x + y + z + 0 P( x 0, y 0, z 0 ) ( ) d P, π x + y + z + 0 0 0 + + istancia enteos RETS QUE SE RUZN d(, s) det(p P,u s,us) u xu s d(,s) istancia enteos PLNOS PRLELOS d(π(π) ' + Nota:, y en ambos planos, deben se iguales. + π: x + y + z + 0 π: x + y + z+ 0 Visita: academiadiego.es 6
PERPENIULR OMÚN OS RETS RUZS Se llama pependicula común de dos ectas cuzadas a la ecta que cota otogonalmente a cada una de ellas. det p : det ( P X, u, uxus ) ( P X, u, u xu ) s s s 0 0 p VOLUMENES Y ÁRES ÁRE EL PRLELOGRMO: ( ) S X ÁRE EL TRINGULO: ( ) 1 S X VOLUMEN EL PRLELEPÍPEO: V det (,, ) VOLUMEN EL TETRERO: 1 V det,, 6 ( ) x a + y b + z c SUPERFIIE ESFÉRI: ( ) ( ) ( ) Visita: academiadiego.es 7
ÁLULO E L ISETRIZ E UN ÁNGULO E OS RETS QUE SE ORTN. Llamamos bisectiz, b, del ángulo que foman las ectas y' a la ecta que divide a dicho ángulo en dos pates iguales. Hay que obseva que son doslas bisectices que podemos taza, paa hallalas utilizaemos los vectoes diectoes de las ectas y'. Sean y' dos ectas secantes en un punto P, con vectoes diectoes u y v, es deci: : X P + λ u y ': X P + μ v - Si los vectoes diectoes de las ectas tuviesen el mismo módulo, al sumalos fomaíamos un ombo, en el cual el vecto suma y el vecto difeencia seían las diagonales mayo y meno, espectivamente. En este caso, las diagonales del ombo son las bisectices de los ángulos inteioes, po tene los cuato lados iguales y sus ángulos iguales dos a dos. - Si los vectoes no tienen el mismo módulo, nomalizándolos obtenemos vectoes diectoes de las ectas de módulo uno, y los vectoes diectoes de las bisectices seían el vecto suma y el vecto difeencia de los nomalizados. Po tanto, las ecuaciones de sus bisectices seán: b 1 : X siendo u ' y P + λ ( u' + v' ) y : X P + μ ( u' v' ) b v ' los vectoes unitaios de u y v. Ejemplo Vamos a halla las ecuaciones de las bisectices de los ángulos que foman las ectas x y + z : y s : ( x, y, z) ( 1,, 1) + λ( 10,, 0). on λ R 1 Si hallamos la posición elativa de las ectas, obtenemos que se cotan en el punto P(,,-1). Sea u (1,, -) el vecto diecto de de módulo u y v ( 1,0,0) el vecto diecto de s, de módulo v 1. Nomalizando u las bisectices son: 1 y v, obtenemos ',, 4 u y v ' ( 1,0,0) b 1 : ( x,y,z) (,, 1) + λ,, : ( x,y,z) (,, 1) +,, b μ : luego las ecuaciones de Visita: academiadiego.es 8