Movimieno oscilaorio. Inroducción ESQUEM DE DESRROLLO 1.- Inroducción..- Cinemáica del movimieno armónico simple. 3.- Dinámica del movimieno armónico simple. 4.- Energía de un oscilador armónico. 5.- Ejemplos de osciladores. 6.- Oscilaciones amoriguadas. 7.- Oscilaciones forzadas y resonancia. 13/1/017
Movimieno oscilaorio. Inroducción Qué enendemos por movimieno oscilaorio? El movimieno oscilaorio es un movimieno en orno a un puno de equilibrio esable Los punos de equilibrio mecánico son, en general, aquellos en los cuales la fuerza nea que acúa sobre la parícula es cero. Si el equilibrio es esable, un desplazamieno de la parícula con respeco a la posición de equilibrio (llamada elongación) da lugar a la aparición de una fuerza resauradora que devolverá la parícula hacia el puno de equilibrio. En érminos de la energía poencial, los punosde equilibrio esable se corresponden con los mínimos de la misma. Ejemplos de movimienos oscilaorios son el movimieno de una masa acoplada a un muelle, el movimieno de un péndulo, las vibraciones de las cuerdas de un insrumeno musical, la roación de la Tierra, las ondas elecromagnéicas ales como las ondas de luz y de radio, la corriene elécrica en los circuios de corriene alerna, ec. De odos los movimienos oscilaorios, el más imporane es el movimieno armónico simple (MS), debido a que además de ser el de descripción maemáica más simple, es una muy buena aproximación de muchas oscilaciones presenes en la nauraleza. En ese ipo de movimieno, un cuerpo oscila indefinidamene enre dos posiciones espaciales sin perder energía mecánica. Obviamene, en los sisemas mecánicos reales, siempre aparecen fuerzas de rozamieno, que disminuyen la energía mecánica a medida que ranscurre el iempo, en ese caso las oscilaciones se llaman amoriguadas. Finalmene, si se agrega una fuerza exerna impulsora de al manera que la pérdida de energía se equilibre con la energía de enrada, el movimieno se denomina oscilación forzada. 13/1/017 3
Definición de M..S. Movimieno oscilaorio. Cinemáica del movimieno armónico simple. Se dice que una parícula que se mueve a lo largo del eje x, iene un M..S. cuando su desplazamieno x desde la posición de equilibrio, varía en el iempo de acuerdo con la relación => ampliud del movimieno => máximo desplazamieno de la parícula, ya sea en la dirección posiiva o negaiva de x ω => frecuencia angular => velocidad con la que iene lugar la oscilación midiéndose en radianes parido por segundo. δ => ángulo o consane de fase => desplazamieno respeco a la posición de equilibrio en el insane inicial (=0). (ω + δ) => fase del movimieno El M..S. esá represenado por una ecuación periódica que se repie cuando ω se incremena en π radianes. x ( ) = cos( ω +δ) T x x(=0) T 13/1/017 4
Movimieno oscilaorio. Cinemáica del movimieno armónico simple. El periodo, T, es el iempo que arda el sisema en complear un ciclo de su movimieno. Eso implica que el valor de x es el mismo para valores del iempo = 1 +n T, donde 1 es un valor conane y n es un número enero. demás, puede demosrarse que, debido a que la fase aumena π radianes en un iempo T, el periodo del movimieno esá relacionado con la velocidad angular mediane la expresión. π ω= T l inverso del periodo se le llama frecuencia, f, del movimieno. La frecuencia represena el número de oscilaciones que realiza el sisema en la unidad de iempo, y esá relacionado con el periodo y la velocidad angular como: f = 1 ω T = π Las unidades de medida de la frecuencia en el sisema Inernacional son 1/s, s -1, o ciclos/s, que se llaman ambién Herz, Hz. x T x(=0) T 13/1/017 5
Velocidad del M..S. Movimieno oscilaorio. Cinemáica del movimieno armónico simple. La velocidad se obiene derivando respeco al iempo la posición, es decir: celeración del M..S. dx() v ( ) = = ω sin ω +ϕ d ( ) La aceleración se obiene derivando respeco al iempo la velocidad, es decir: dv () d x () a () = = = ω cos ( ω +ϕ ) = ω x () d d Los valores exremos de la velocidad se alcanzarán en aquellos punos en los que se anule su derivada, es decir: dv() d = a ( ) = 0 ( ) ( ) ω cos ω +ϕ = 0 ω +ϕ= n+ 1 ω x () = 0 x () = 0 π siendo su valor: 13/1/017 vmax =± ω 6
Movimieno oscilaorio. Cinemáica del movimieno armónico simple. Las curvas de velocidad y aceleración con el iempo se muesran en la figura. En esas curvas se ve como la fase de la velocidad difiere en π/ rad o 90º con la fase de la aceleración. Eso es, cuando v es un máximo o un mínimo, la aceleración es cero. De igual forma, cuando a es cero, la velocidad es máxima o mínima. 10 0 v 0 0 a -10-0 13/1/017 0 7
Movimieno oscilaorio. Cinemáica del movimieno armónico simple. Una parícula oscila con un movimieno armónico simple a lo largo del eje x. Su desplazamieno varía con el iempo de acuerdo con la ecuación: x ( ) = 4cos π+ π 4 donde x se mide en m, en s, y los ángulos en radianes. Calcular: a) la ampliud, frecuencia y periodo del movimieno, b) la velocidad y la aceleración de la parícula en cualquier insane de iempo, c) la posición, la velocidad y la aceleración en el insane = 1s, d) la velocidad y la aceleración máximas de la parícula, e) el desplazamieno enre = 0 y = 1s, f) la fase del movimieno en = s. 13/1/017 8
DINÁMIC DEL M..S. 13/1/017 Movimieno oscilaorio. Dinámica del movimieno armónico simple. En ese aparado vamos a analizar la dinámica que hay derás de un movimieno armónico simple. Como hemos viso en el aparado anerior, la aceleración en un movimieno armónico simple viene dada por: Si muliplicamos esa canidad por la masa y aplicamos la segunda ley de Newon, enemos que la fuerza nea que iene que acuar sobre un sisema para que se produzca un movimieno armónico simple iene que ser de la forma: De donde podemos concluir que en un movimieno armónico simple la fuerza nea que acúa sobre el sisema iene que depender linealmene de la disancia al puno de equilibrio. Nóese además, que el signo negaivo que aparece nos indica que la fuerza siempre raa de devolver el sisema al puno de equilibrio. Un ejemplo de fuerza de ese ipo que hemos viso es la fuerza elásica dada por la ley de Hooke: Donde k era la consane elásica del maerial. Idenificando érminos llegamos a: de dondela frecuencia de oscilación del muelle vendrá dada por: a = ω x F= ma = m ω x F k = k x = m ω k 1 ω= π f = f = m π k m 9
Movimieno oscilaorio. Dinámica del movimieno armónico simple. Un objeo de 0.8 Kg se sujea a un muelle de consane elásica k = 400 N/m. Deduzca la frecuencia y el periodo de oscilación del objeo cuando es separado de su posición de equilibrio. 13/1/017 10
13/1/017 Movimieno oscilaorio. Energía de un oscilador armónico. ENERGÍ DE UN OSCILDOR RMÓNICO Cómo se vio en emas aneriores el rabajo realizado por una fuerza del ipo: era igual a: k x W = y por ano la energía poencial la podíamos escribir como: Por oro lado, la energía cinéica viene dada por: E c E p Uilizando ambos resulados podemos escribir la energía mecánica del sisema como: k m ω E = Ep + Ec = cos ( ω +ϕ ) + sin ( ω +ϕ ) = F = k x k x k = = cos ω +ϕ ( ) mv m ω = = sin ω +ϕ ( ) k k = cos ( ω +ϕ ) + sin ( ω +ϕ ) = Nóese por ano que la energía mecánica de un oscilador armónico simple es consane y proporcional al cuadrado de su ampliud. 11
Movimieno oscilaorio. Ejemplos de osciladores. Un objeo de 3 Kg se sujea a un muelle oscilando el sisema con una ampliud de 4 cm y un periodo de s. (a) Cuál es la energía mecánica oal del sisema? (b) Cuál es la máxima velocidad del objeo? (c) En qué posición x 1 es la velocidad igual a la miad de su máximo valor? EJEMPLOS DE OSCILDORES Muelle colgado del echo Péndulo simple Péndulo físico 13/1/017 1
Oscilaciones amoriguadas Movimieno oscilaorio. Oscilaciones amoriguadas. En una siuación real, si dejamos oscilar libremene un muelle, ese ermina parándose, pues la energía mecánica se va disipando como consecuencia de diferenes ipos de rozamieno. Ese ipo de movimieno se denomina amoriguado. En ese aparado vamos a considerar un caso simple en el que la amoriguación es producida por una fuerza de rozamieno dependiene de la velocidad, es decir: dx FR = bv = b d Como vimos en emas aneriores esa fuerza aparece como consecuencia del rozamieno de un sisema sólido moviéndose en el seno de un fluido siempre que la velocidad relaiva del sólido respeco al fluido no sea muy grande. plicando ahora la segunda ley de Newon endríamos que: kx b dx = ma = m d x d x + β dx +ω 0x= 0; ω k 0 = ; β= b d d d d m m Para obener la solución de esa ecuación diferencial, primero ensayamos una solución del ipo: de donde, si elegimos K 1 =-β: x ( ) = f( ) exp( K ) ( 0 ) d f() + ω β f() = 0 d 1 La solución de la ecuación depende del valor que ome la consane ( ω0 β ), que depende a su vez del valor concreo del coeficiene de rozamieno b, surgiendo los siguienes casos. 13/1/017 13
de donde ( ) k b ω0 β = 0 m 4m ( ) 0 x ( ) = exp( β)cos ω β Movimieno oscilaorio. Oscilaciones amoriguadas. a).- Si, o lo que es lo mismo, 0 b < mk (débilmene amoriguado). d f() d análoga a la del + ( ω0 β ) ( ) f() = 0 movimieno armónico f( ) = cos ω0 β simple similar, formalmene, a la del M..S. considerando una ampliud que disminuye con el iempo y una frecuencia que varía respeco a la de libre oscilación del sisema. b ( ) = exp( ) m β 0 0 1 0 ω= ω β =ω ω x() 13/1/017 14
( ) k b ω0 β = = 0 m 4m Movimieno oscilaorio. Oscilaciones amoriguadas. b).- Si, o lo que es lo mismo, b = mk (amoriguamieno críico). d f() d = 0 f() K K3 x ( ) = K + K exp( β ) = + ( ) 3 ( ) x ( ) = 1+ β exp( β) donde K y K 3 son consanes de inegración que pueden obenerse imponiendo como condiciones de conorno x ( 0) ; v ( 0) 0; β=β=β/5 x() 13/1/017 15
( ) k b ω0 β = < 0 m 4m Movimieno oscilaorio. Oscilaciones amoriguadas. c).- Si, o lo que es lo mismo, b > mk (oscilación sobreamoriguada). 13/1/017 16