Método gráfico para el cálculo de solucion Si la función ojetivo Fxy (, ) ax y, llamamos líneas de nivel asociadas a F(x, y) a los conjuntos de puntos ( x, y) del plano en los que la función F( x, y) toma el mismo valor k, to, a las rectas de ecuación ax y k. (El concepto de línea de nivel análogo al de curvas de nivel de un mapa, que reprentan los puntos con igual altitud). Para hallar gráficamente la solución de un prolema de programación lineal de dos varial conveniente seguir el proco que indicamos a continuación: 1. Se diuja el recinto limitado por las rtriccion del prolema (región factile). 2. Se reprenta la recta axy 0 que se suele llamar línea de eneficio nulo. Esta una recta que pasa por el origen de coordenadas y la más cómoda de reprentar ( k 0). 3. Se trazan rectas paralelas a la línea de eneficio nulo, que pasen por cada uno de los vértic del recinto. A tas rectas paralelas l llamaremos líneas de nivel. Todas las líneas de nivel son paralelas, y el nivel (el valor de la función ojetivo) será mayor o menor dependiendo del valor de k. Las líneas de nivel que nos interan son las que cortan a la región factile, pu el máximo de la función ojetivo, F( xy, ) ax y, se alcanzará para el máximo de k. En Programación Lineal frecuente que la función F(x, y) ax y tenga sus coeficient a y positivos y entonc la úsqueda de los valor máximo y mínimo se puede hacer gráficamente trasladando paralelamente la línea de eneficio nulo. La solución óptima de programación lineal se otiene para la recta de mayor o menor nivel que tiene puntos en común con la región factile. El valor de k de a recta será el mínimo o el máximo de la función ojetivo. Ejemplo: Si la función ojetivo F(x, y) x 2y, las líneas de nivel son de la forma x 2y k x 2y 190 x 2y 160 x 2y 130 x 2y 100 x2y 70 x2y 40 x2y 0 I.E.S. Historiador Chaás -1- Juan Bragado Rodríguez
En te caso, el nivel aumenta cuando las rectas se dplazan hacia arria. En T, el nivel 40; en B, P y Q la función ojetivo vale 70 ( x 2y 70). El nivel máximo factile (k 160 ) se alcanza en el punto C. Éste será el punto en donde la función ojetivo se hace máxima. Discusión de la solución óptima En muchas cution relacionadas con aplicacion de las matemáticas, se prenta el prolema de tener que hallar los valor máximo y mínimo de una función lineal sore un conjunto poligonal convexo. La posiilidad de encontrarlos, o no, viene determinada por los siguient teoremas: Teorema 1 (Para region acotadas) Sore un polígono P, convexo, toda función lineal tiene un valor máximo y uno mínimo, y amos se alcanzan en vértic del mismo. Podemos determinar gráficamente en qué sentido se traslada la recta ax y k disminuyendo k (si queremos minimizar F) o aumentando k (si uscamos el máximo de F). Oviamente, tal valor se pueden otener hallando el valor de F en todos los vértic y comparando los rultados otenidos. La solución óptima tá en el primer o último vértice común a la región factile con una recta de nivel. En te caso, la función ojetivo se puede minimizar o maximizar. Tamién puede suceder que haya múltipl, o infinitas, solucion óptimas. Para que to sea posile necario que una de las rectas que limiten las rtriccion tenga la misma pendiente que las rectas de nivel. Todas tas solucion tarían en uno de los lados del polígono factile, incluidos los vértic que lo limitan. F max En el polígono convexo de la figura, la función F x 2y alcanza el máximo en B y el mínimo en A. F 0 F min En efecto, los valor de F en los puntos del polígono se identifican con las paralelas a la línea de eneficio nulo contenidas en las andas de Fmin a Fmax. Entre todas, la de mayor valor la que pasa por B, y la de menor valor pasa por A. I.E.S. Historiador Chaás -2- Juan Bragado Rodríguez
Teorema 2 (Para region no acotadas) La solución óptima de una función lineal F(x,y) ax y sore un conjunto poligonal P, convexo y no acotado, no siempre existe. Su existencia o no, dependerá de la función ojetivo. De hecho, o existe sólo mínimo o existe sólo máximo o ninguno de los dos. Todo dependerá de lo siguiente: 1. Si una de las paralelas a la línea de eneficio nulo pasa por algún vértice A, de tal modo que todo el interior del conjunto poligonal queda a un mismo lado de dicha paralela, entonc el valor de F en A máximo, o mínimo. 2. Si todas las paralelas a la línea de eneficio nulo "parten" el interior del conjunto poligonal, entonc F no toma valor máximo, ni mínimo, en P. Cuando la función F tiene sus coeficient a y positivos, fácil encontrar gráficamente los vértic de valor máximo, o mínimo, trasladando la línea de eneficio nulo como en los dos ejemplos siguient. Sore el conjunto poligonal de la figura, la función F 2x y toma valor mínimo en A, y no tiene máximo. F mín Sore el conjunto poligonal de la figura, la función F 2x y toma valor máximo en A, y no tiene mínimo. F máx I.E.S. Historiador Chaás -3- Juan Bragado Rodríguez
Todos los prolemas de Programación Lineal tienen solución? En caso afirmativo ésta única? Evidentemente, un prolema de programación lineal puede tener una solución, infinitas o ninguna, como se puede comprender oservando los ejemplos gráficos que se exponen a continuación. Maximizar la función F ax y con a 0 y 0 En la gráfica se oserva que la solución única, pu la función F alcanza el máximo en el punto R. En la gráfica se oserva que las solucion son infinitas, pu la línea de eneficio nulo paralela al lado QR, que el que maximiza dicha función. Las solucion serán, por tanto, los infinitos puntos del segmento RQ. En la gráfica se oserva que no existe solución, pu la función F no alcanza nunca el máximo, deido a que el recinto no tá acotado. I.E.S. Historiador Chaás -4- Juan Bragado Rodríguez
Minimizar la función F ax y con a 0 y 0 En la gráfica se otiene el mínimo en el punto O, por ser la recta que pasa por O la que tiene menor ordenada en el origen.. En la gráfica oservamos que se otiene el mínimo en el punto P En la gráfica se oserva que las solucion son infinitas, pu la línea de eneficio nulo paralela al lado PQ, que el que minimiza dicha función. Las solucion serán, por tanto, los infinitos puntos del segmento PQ. En ta gráfica no hay mínimo. I.E.S. Historiador Chaás -5- Juan Bragado Rodríguez
Supongamos la función ojetivo F(x,y) ax y+ c a,, cr Vamos a discutir las diferent situacion que se nos pueden prentar, dependiendo de si queremos maximizar o minimizar la función ojetivo. Los razonamientos que siguen son independient del valor de c. Queremos hacer que F sea máxima o mínima, decir, queremos hacer que k sea máxima o mínima, siendo: ax y c k k 0 Reprentamos gráficamente la línea de eneficio nulo ax y c 0 y trazamos las líneas de nivel que pasan por los vértic de la región factile. Si la solución existe será la siguiente: Si a 0 y 0 a k c y x Si Si k k máximo mínimo k c k c máximo mínimo En te caso, la pendiente negativa y por tanto las rectas forman con el semieje positivo de ascisas un ángulo mayor de 90º y menor de 180º. El máximo se alcanza en el vértice para el cual la línea de nivel que pasa por él corte el eje de ordenadas en el punto más alto. El mínimo se alcanza en el vértice para el cual la línea de nivel que pasa por él corte el eje de ordenadas en el punto más ajo. Si a 0 y 0 a c k y x Si Si k k máximo mínimo c k c k mínimo máximo En te caso, la pendiente negativa y por tanto las rectas forman con el semieje positivo de ascisas un ángulo mayor de 90º y menor de 180º. El máximo se alcanza en el vértice para el cual la línea de nivel que pasa por él corte el eje de ordenadas en el punto más ajo. El mínimo se alcanza en el vértice para el cual la línea de nivel que pasa por él corte el eje de ordenadas en el punto más alto. Si a 0 y 0 c k Si k a y x c k má ximo mínimo c k Si k mínimo má ximo I.E.S. Historiador Chaás -6- Juan Bragado Rodríguez
En te caso, la pendiente positiva y por tanto las rectas forman con el semieje positivo de ascisas un ángulo menor de 90º. El máximo se alcanza en el vértice para el cual la línea de nivel que pasa por él corte el eje de ordenadas en el punto más ajo. El mínimo se alcanza en el vértice para el cual la línea de nivel que pasa por él corte el eje de ordenadas en el punto más alto. Si a 0 y 0 y a x k c Si Si k k máximo mínimo k c k c máximo mínimo En te caso, la pendiente positiva y por tanto las rectas forman con el semieje positivo de ascisas un ángulo menor de 90º. El máximo se alcanza en el vértice para el cual la línea de nivel que pasa por él corte el eje de ordenadas en el punto más alto. El mínimo se alcanza en el vértice para el cual la línea de nivel que pasa por él corte el eje de ordenadas en el punto más ajo. Ejemplo: Rolver el siguiente prolema de programación lineal siendo F 2x 3y la función ojetivo y x 0 y 0 x2y x y 5 las rtriccion del prolema. 2x3y0 x 2y Calculamos los vértic de la región convexa: x y5 x 2y A( 10, 5 ) xy5 x y5 y 0 B( 50, ) Como en la función ojetivo 0 y la región convexa y no acotada, tenemos que guiarnos por la reprentación gráfica, trazando paralelas a la línea de eneficio nulo. Comproamos que hay una paralela que pasa por el vértice A y que deja a un mismo lado de ella toda la región convexa, por lo que podemos afirmar que en A hay un máximo o un mínimo. El vértice B lo dcartamos porque la paralela que pasa por él atravia la región convexa. Para saer si en A hay máximo o mínimo, calculamos el valor de la función ojetivo en A y en B y así saremos en cual de los dos mayor. F( 10, 5) 20 15 5 F( 5, 0) 10 0 10 Como el valor en A menor, significa que en A hay un mínimo. I.E.S. Historiador Chaás -7- Juan Bragado Rodríguez
Ejemplo General Enunciado del prolema Las 20 chicas y los 10 chicos de un curso de 2º de Bachillerato organizan un viaje, para el cual necitan dinero. Deciden pedir traajo por las tard en una compañía encutadora que contrata a equipos de jóven de dos tipos: TIPO A: TIPO B: Parejas: una chica y un chico. Equipos de 4, formados por 3 chicas y 1 chico Se paga a 30 la tarde a la pareja y 50 la tarde al equipo de 4. Cómo l conviene distriuirse para sacar la mayor cantidad posile de dinero? Análisis de datos Reprentaremos los datos en una tala para poderlos relacionar mejor. Equipos Nº Chicas que intervienen Chicos que intervienen Parejas x x x Equipos de cuatro y 3y y Total x 3 y x+y Como el número total de chicas 20, hará de ser x 3y 20. Como el número total de chicos 10, hará de ser x y 10. Además, el número de equipos de cada tipo no puede ser negativo: x0 e y0. La ganancia total diaria 30x 50y. En rumen, deamos averiguar para qué valor de x e y la exprión: G 30x 50y se hace lo más grande posile, teniendo en cuenta que x e y tán sometidas a las siguient rtriccion: I.E.S. Historiador Chaás -8- Juan Bragado Rodríguez
x 0 y 0 x3y20 xy10 Reprentación gráfica de las rtriccion Teniendo en cuenta que los valor de x e y tán limitados por cada una de las cuatro rtriccion y que al ser x e y el número de equipos encutador de cada tipo, han de ser números enteros, sólo hay los 54 puntos posil reflejados en la gráfica. Hará que averiguar en cuál de ellos la función G 30x 50y toma un valor mayor. Por ejemplo, al punto ( 34),, que significa 3 parejas y 4 equipos de cuatro, corrponden unas ganancias de: G(3,4) 303 504 290 Puede mejorarse. Cómo averiguar en cuál de los puntos se otiene la ganancia máxima? La posiilidad de otener la ganancia corrponde a cada uno de los 54 puntos y ver cuál la mayor, disparatada. Significado geométrico de la función ganancias Hemos visto que en punto ( 34, ) las ganancias son 290. Si cogemos el punto ( 81, ) tamién las ganancias son 290. La coincidencia deida a que amos puntos pertenecen a la recta 30x 50y 290. I.E.S. Historiador Chaás -9- Juan Bragado Rodríguez
La ganancia máxima se conseguirá, pu, sore una recta dos condicion siguient: 30x 50y K que cumpla las Ha de pasar por alguno de los puntos factil (e punto tendrá los valor de x e y uscados). K ha de ser lo mayor posile. Cómo conseguir amas cosas? Si tenemos en cuenta que todas las rectas son paralelas, fácil explicar la validez del siguiente modo gráfico: 30x 50y K Utilizando regla y cartaón, se localiza la recta que pase por algún punto factile y que té lo más arria posile (para que K sea máxima). Este punto rulta ser el ( 5, 5), para el cual las ganancias son: G(5,5) 305 505 400 I.E.S. Historiador Chaás -10- Juan Bragado Rodríguez
Si por precaución calculamos la ganancia en los vértic contiguos otenemos valor menor: 20 0, y ( 10, 0), 3 20 20 G0, 300 50 333'3 3 3 G(10,0) 3010 500 300 Con lo cual podemos ya asegurar que la ganancia máxima se consigue haciendo 5 equipos de 4 y 5 parejas, y de 400 por cada tarde de traajo. El mismo prolema con otras funcion de ganancia a) Si la agencia pagara a 10 la pareja y 40 el equipo de 4, las función de ganancia sería: G(x,y) 10x 40y En tal caso el punto factile para el cual la función ganancia toma un valor mayor el ( 2, 6) [2 parejas, 6 grupos de 3]. G(2,6) 10 2 406 260 I.E.S. Historiador Chaás -11- Juan Bragado Rodríguez
) Si se pagara a 20 la pareja y a 60 el equipo de 4: G(x,y) 20x 60y La función ganancia toma el valor máximo en todos los puntos factil de la recta 20x 60y 400. Estos puntos son ( 26, ) y ( 55, ). Para ellos la ganancia oviamente 400. I.E.S. Historiador Chaás -12- Juan Bragado Rodríguez
c) Si se pagara a 30 la pareja y a 30 el equipo de 4: G(x,y) 30x 30y El máximo se otiene en todos los puntos factil de la recta: y te máximo 300. 30x 30y 300 d) Si se diera el caso disparatado de pagar a 50 la pareja y a 40 el grupo de 4, decir que la pareja corara más que el grupo de 4, tendríamos: G(x,y) 50x 40y El máximo se otendría en el punto ( 10, 0), decir, sólo se contratarían parejas. G(10,0) 5010 500 I.E.S. Historiador Chaás -13- Juan Bragado Rodríguez
Ejemplo: Sea P el conjunto poligonal convexo definido por el sistema de inecuacion: 3x 2y 6 3x 2y 0 5x y 23 a) Diujarlo y hallar sus vértic ) Razonar que la función z 3x y no tiene en el conjunto P ni máximo ni mínimo. c) Razonar que la función z 3x y tiene máximo y no tiene mínimo en el conjunto P. Hallarlo. a) Los vértic de P son las solucion de los siguient sistemas: 3x 2y 6 3x 2y 0 3x 2y 6 5x y 23 R(1,1'5) Q(4, 3) I.E.S. Historiador Chaás -14- Juan Bragado Rodríguez
3x 2y 0 5x y 23 Ninguna En la siguiente figura se da la reprentación gráfica de P ) En la siguiente figura puede oservarse, que cualquier recta paralela a la línea de eneficio nulo, 0 3x y, corta al conjunto poligonal P. Por tanto, z no puede tomar en dicho conjunto valor máximo ni valor mínimo. (Teorema 2.2). 3x y 0 c) Si z tiene valor negativo, se aprecia en la figura que la recta z 3x y cortará al conjunto P. Sin emargo, las rectas que pasan por encima del punto Q no cor- I.E.S. Historiador Chaás -15- Juan Bragado Rodríguez
tarán a P. Así pu, la función z no puede tomar un valor mínimo en P, pero tomará un valor máximo en el vértice Q( 4, 3), que será: z 34 1 ( 3) 9 3x y 0 z máx Ejemplo: Encontrar los valor máximo y mínimo de cada una de las siguient funcion sore el polígono de la figura adjunta: a) z 3x 5y ) z 3x 2y c) z 2x y A(0,3), B(3,5), C(5,1), D(4, 2) a) Los valor máximo y mínimo de una función lineal en un polígono convexo se alcanzan en los vértic. Por tanto, evaluaremos los valor de z en los cuatro vértic. En A : En C : z = 3 0 + 53 = 15 z = 3 5 + 51 = 20 En B: En D : z = 33+55 = 34 z = 34-52 = 2 I.E.S. Historiador Chaás -16- Juan Bragado Rodríguez
El valor máximo de z en el polígono 34 y se alcanza en el vértice B. Asimismo, el mínimo de z 2 y lo proporcionan las coordenadas de D. Todo to queda reflejado en la siguiente figura: z máx 3x 5y 0 z mín ) Análogamente, para la función z 3x 2 y En A: z = 3 0-2 3 = 6 En B: z = 33 2 5 = 1 En C: z = 35-2 1= 13 En D: z = 34 + 2 2 = 14 El valor máximo de z en el polígono 14 y se alcanza en el vértice D. Asimismo, el mínimo de z -6 y lo proporcionan las coordenadas de A. Todo to queda reflejado en la siguiente figura: 3x 2y 0 z mín z máx I.E.S. Historiador Chaás -17- Juan Bragado Rodríguez
c) En te caso, el máximo se alcanza en dos vértic. Por tanto, se alcanza tamién en cualquier punto del segmento que los une. En A: z = 2 0 + 3= 3 En B: z = 2 3 +5 = 11 En C: z = 2 5 +1 = 11 En D: z = 2 4-2 = 6 2x y 0 z mín z máx Luego, se alcanza el máximo en cualquier punto del segmento BC. Ese máximo vale 11. El mínimo se alcanza en el vértice A y su valor 3. I.E.S. Historiador Chaás -18- Juan Bragado Rodríguez
Prolema de máximos Se trata de maximizar la función F 1300x1350 y con las siguient rtriccion: x 0 y 0 3x2y 500 x1' 5y 100 xy 85 1. Reprentamos el recinto limitado por las inecuacion: 2. Reprentamos la línea de eneficio nulo 1300x1350y 0 3. Trazamos las líneas de nivel que pasen por los vértic P, Q y R. Se oserva gráficamente que la función alcanza su máximo en el vértice Q( 55, 30), ya que la recta que pasa por él tiene mayor ordenada en el origen que las demás como se compruea a continuación. 1300x 1350y 0 I.E.S. Historiador Chaás -19- Juan Bragado Rodríguez
Prolema de mínimos Se trata de minimizar la función F 200x100 y con las siguient rtriccion: 300x100y 30. 000 4x8y800 x 0 y 0 1. Reprentamos el recinto limitado por las inecuacion: 2. Reprentamos la línea de eneficio nulo 200x100y 0 3. Trazamos las líneas de nivel que pasen por los vértic A, B y C. Se oserva gráficamente que la función alcanza su mínimo en el vértice B ( 80, 60), ya que la recta que pasa por él tiene menor ordenada en el origen que las demás como se compruea a continuación. 200x 100y 0 I.E.S. Historiador Chaás -20- Juan Bragado Rodríguez