GEOMETRÍA Contenidos previos: Recta. Segmento. Semirrecta. Ángulos. Clasificación. Ángulos opuestos por el vértice. Ángulos adyacentes. Clasificación de triángulos. Propiedades elementales. Contenidos a desarrollar: Lugar geométrico. Circunferencia. Mediatriz. Bisectriz. Alturas. Medianas. Puntos notables del triángulo. Aclaración: En los ejercicios solo se permite el uso de regla no graduada y compás, salvo que el enunciado diga lo contrario. 1. Escribir la definición de lugar geométrico. 2. Dibujar un punto A y ubicar todos los puntos del plano que estén a 4 unidades del punto A. Cuántos se pueden ubicar? Existen más? 1
3. Escribir la definición de circunferencia. (Utilizar el concepto de lugar geométrico) 4. Considerando el segmento MN como unidad de medida, se pide: M N a) Dibujar dos puntos A y B y ubicar todos los puntos que están a una distancia de A y de B igual a la unidad de medida del segmento dado. Cuántos hay? Puede ocurrir que solo haya uno? Y que no haya ninguno? 2
b) Ubicar, en cada caso, todos los puntos de la recta r que están a una distancia de A igual a la medida del segmento dado. b 1 ) 3
b 2 ) 5. Trazar un segmento AB y ubicar un punto que esté a la misma distancia de A que de B. Existen más? 4
6. Proponer una manera de ubicar todos los puntos que equidistan de los extremos de un segmento. 7. Escribir la definición de mediatriz. (Utilizar el concepto de lugar geométrico) 8. Ubicar los puntos de la circunferencia que equidistan de A y B. A B 5
9. Ubicar un punto E en el plano de modo tal que los triángulos ABE y CDE sean isósceles. A B D C 6
10. Dos barcos se encuentran pescando en altamar con la ubicación que se muestra a continuación: Un tercer barco se aproxima a la zona, quiere ubicarse para pescar de manera que los tres se encuentren a la misma distancia uno de otro. Dónde debería ubicarse? 11. Dibujar un segmento AB y colorear las tres cuartas partes del mismo. 7
12. Dibujar un segmento AB y trazar un triángulo equilátero, siendo AB uno de los lados. Es único? 13. Si m es la mediatriz del segmento AB, ubicar el punto A. B m 8
14. Justificar el hecho de que la mediatriz de un segmento es perpendicular al mismo. 15. Ubicar un punto que esté a la misma distancia de los tres puntos dados: Dónde y cómo lo ubicarías? A B C 16. Es posible trazar una circunferencia que pase por los tres puntos del ejercicio anterior? Explicá cómo lo harías. Es única? 9
17. Trazar si es posible otra circunferencia que pase por los puntos A y B. Cuántas podrías trazar? A B 18. Observar como se ubican los centros de las circunferencias trazadas en el ejercicio anterior y sacar conclusiones. 19. Se borró parte de la circunferencia Cómo la reconstruirías? 10
20. Definir circuncentro y circunferencia circunscripta. 21. Dibujar tres triángulos (uno rectángulo, uno acutángulo y uno obtusángulo), trazar en cada uno las mediatrices y ubicar el circuncentro. Qué ocurre con la ubicación del circuncentro en cada caso? 11
12
22. AB es un lado del triángulo ABC y la recta r es la mediatriz del lado BC. Dibujar el triángulo y escribir todos los pasos realizados. Es único el triángulo que se puede construir con los datos dados? Por qué? 13
23. Ubicar los vértices que faltan del triángulo ABC, siendo m la mediatriz del lado AB y n la mediatriz del lado AC. m A n Si se quiere trazar la circunferencia circunscripta es necesario ubicar los vértices B y C previamente? 14
24. Localizar el punto de la recta r, más cercano a B. (Se puede utilizar escuadra) B r Es posible ubicarlo sin utilizar la escuadra? (solo utilizando regla y compás) 15
25. Definir distancia de un punto a una recta. 26. Dibujar dos rectas paralelas y localizar puntos que están a igual distancia de ambas. Qué nombre recibe el lugar geométrico de todos los puntos que cumplen la condición anterior? 16
27. Ubicar los puntos que están a distancia AB del punto P y que equidistan de las rectas r y r. r P A B r Cuántos puntos ubicaste? Modificar la ubicación del punto P para que haya solo un punto que cumpla con el enunciado anterior? 17
28. Ubicar dos puntos que equidisten de las rectas r y l. r l Son únicos? 29. Escribir la definición de bisectriz de un ángulo. 30. Justificar el hecho de que la bisectriz de un ángulo lo divide siempre en dos ángulos que tienen la misma amplitud. 18
31. Trazar las bisectrices de los ángulos AC D y C D, determinar luego la amplitud del ángulo que forman las bisectrices trazadas. B 32. Trazar un triángulo ABC si se sabe que el punto C pertenece a la bisectriz del ángulo A BH y las medidas de los lados AB y BC coinciden. 19
33. Trazar un triángulo ABC si se sabe que el punto C pertenece a la bisectriz del ángulo A BH y las medidas de los lados AC y BC coinciden. 34. Ubicar un punto que equidiste de las tres rectas. Es único? 20
35. Trazar una perpendicular a cada lado que pase por el punto localizado anteriormente, luego trazar la circunferencia con centro en el punto hallado que pasa por los puntos de intersección de las perpendiculares con los lados. (Puede utilizar la escuadra) 36. Escribir la definición de circunferencia inscripta e incentro. 37. Dibujar una recta r siendo la recta punteada la bisectriz del ángulo que forman r y r. r Es única? 21
38. Dibujar tres triángulos (uno rectángulo, uno acutángulo y uno obtusángulo), trazar en cada uno las bisectrices y ubicar el incentro. Qué ocurre con la ubicación del incentro en cada caso? 22
39. Según lo observado en el ejercicio anterior. Discutir si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: Todo punto de una bisectriz de un ángulo equidista de los lados del ángulo. En un triángulo la bisectriz de uno de sus ángulos corta al lado opuesto en dos segmentos iguales. En un triángulo la bisectriz de uno de sus ángulos equidista de los otros vértices. 23
40. Ubicar el punto C del triángulo ABC siendo O el incentro. 41. Construir un ángulo de 90º, uno de 45º y otro de 15º. 24
42. Ubicar, en cada caso, puntos P y Q que cumplan simultáneamente: a) Q está sobre la semirrecta AC, Q A P = 90º y A P B = 45º. 25
b) Q está sobre la semirrecta AC, Q A P = 90º y Q P B = 60º. 43. En la figura que se muestra a continuación FG es un arco de circunferencia con centro en el punto A y las rectas r y r contienen a las bisectrices de los ángulos D A C y A C B respectivamente. Se pide: a) Si el ángulo D A C = 100º. Decidir si el triángulo ECA es equilátero, isósceles o escaleno. b) Demostrar que el triángulo ECA es isósceles cualquiera sea la amplitud del ángulo D A C. 26
44. En la figura: C y C son circunferencias de igual radio y centros en H e I respectivamente. C 1 y C 2 son circunferencias de igual radio y centros en O y N respectivamente. I J H = 50º. Determinar la amplitud del ángulo VSH 27
45. Escribir la definición de altura de un triángulo. 28
46. 1 En las figuras HB AD y HB // GC // FD. a) Cuáles de los segmentos marcados representan alturas del triángulo ADH? b) Cuáles de los segmentos marcados representan alturas del triángulo ADE? 1 Actividad extraída del cuadernillo de Matemática del Curso de Ingreso CNBA y ESCCP. 29
c) Cuáles de los segmentos marcados representan alturas del triángulo ABF? c) La distancia del punto I a la recta que contiene el segmento AD es 5 cm y la superficie del triángulo ABI es 75 cm 2. Cuál es la medida del segmento AB? 30
47. Dibujar tres triángulos (uno rectángulo, uno acutángulo y uno obtusángulo), trazar en cada uno las tres alturas. (Se puede utilizar escuadra) 31
48. Escribir la definición de ortocentro de un triángulo. 49. Ubicar el ortocentro de los triángulos trazados anteriormente. Qué ocurre con la ubicación del ortocentro en cada caso? 50. Utilizar la figura para responder lo pedido: a) Ubicar un punto X sobre el lado AB del triángulo ABC, de manera que el área del triángulo AXC sea la mitad del área del triángulo ABC. Justificar. b) Trazar triángulos que cumplan dos condiciones simultáneamente: Dos de sus lados estén incluidos en los lados del triángulo ABC. El área sea la mitad del área del triángulo ABC. Cuántos triángulos hay? 32
51. Trazar tres triángulos, uno que tenga el doble del área del triángulo ABC, otro que tenga el triple del área del triángulo ABC y otro que tenga la cuarta parte del triángulo ABC. 52. Construir si es posible el triángulo ABC siendo h la altura del lado AB y el ángulo A = 30º. 33
53. Escribir la definición de mediana y baricentro de un triángulo. 54. Dibujar tres triángulos (uno rectángulo, uno acutángulo y uno obtusángulo), trazar en cada uno las medianas y ubicar el baricentro. Qué ocurre con la ubicación del baricentro en cada caso? 34
35
55. Construir si es posible el triángulo DEF teniendo como datos: el ángulo D = 45º, el lado DE y la mediana FG: 36
56. Construir si es posible un triángulo ABC conocidas las medidas del lado AB, la altura h y la mediana correspondientes al mismo. Es único? 37
57. Realizar las siguiente actividades utilizando el software GEOGEBRA 2 : a) Dibujar un triángulo, trazar las medianas y el baricentro del mismo. b) Tomar la medida de una mediana y las distancias del baricentro a cada extremo de la misma. (Herramientas de medición: Distancia o longitud) Repetir el proceso para las otras medianas. Qué relación observas? c) Investigar a qué se conoce como: Recta de Euler. Representar. d) Investigar a qué se conoce como: Circunferencia de los nueve puntos. Representar. 58. Utilizando la propiedad del baricentro observada en el ejercicio 53. b), ubicar el punto C (vértice del triángulo ABC), siendo Z el baricentro del mismo. 2 Para descargar en el software de uso libre: http://www.geogebra.org/cms/es 38