Estadística
Probabilidad Experimento: Desde el punto de vista de probabilidades será "cualquier acto que pueda repetirse en igualdad de condiciones". Ej. Arrojar una vez un dado. Espacio Muestral: Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Se denomina con S (), en el ejemplo S={1,2,3,4,5,6}.
Probabilidad Evento o Suceso: Es un subconjunto de resultados de un experimento, puede estar formado por uno o más elementos del espacio muestral (puntos muestrales). Se denotaran con letras mayúsculas, de manera similar a la teoría de conjuntos, por ejemplo A={sale par}={2,4,6}. Sucesos mutuamente excluyentes son aquellos en que la presencia de uno impide la del otro, es decir no pueden ocurrir simultáneamente. A={sale par}, B={sale impar}.
Probabilidad Definición clásica de Probabilidades (Def. a priori): Si un experimento aleatorio puede producir n resultados mutuamente excluyentes, siendo todos igualmente probables y si f de estos resultados se consideran favorables, la probabilidad de que aparezca un resultado favorable es el número de casos favorables dividido el número de casos posibles. P( A) f n nº de casos favorables nº de casos posibles
Probabilidad Teoría del límite de la frecuencia relativa (Def. posteriori): "Si un experimento aleatorio se realiza n veces con f éxitos, se supone que la frecuencia relativa, tiende a un límite cuando n aumenta". Entonces la probabilidad de éxito será: P( A) = Lim f n = p n A
Probabilidad Teoría Axiomática de la Probabilidad (Kolmogov, 1937): "Esta definición enuncia 3 axiomas que debe cumplir una función de probabilidad.sea el suceso A en un espacio muestral se cumple:: 1) P(A) 0 2 ) P( S ) = 1 para todosuceso A 3) P(A 1 A2... A k)= P(A 1)+ P(A 2)+...+ P(A k)
Probabilidad Teoría Axiomática: 1 era Ley Los valores que puede tomar la probabilidad están entre 0 y 1 0 P( ) 1
Probabilidad Teoría Axiomática: 2 da Ley (ley de la suma) Si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes la probabilidad de obtener el suceso A o B es igual a la suma de la probabilidad de A más la probabilidad de B P ( A o B ) = P ( A) + P ( B ) si A y B no son mutuamente excluyentes P ( A o B ) = P ( A) + P ( B ) - P( A B )
Probabilidad Teoría Axiomática: 3 era Ley (ley de la multiplicación) Si dos sucesos A y B pertenecientes a S son "estadísticamente independientes" P (A y B) = P (A B) = P (A) P (B). Si A y B no son "estadísticamente independientes" P (A y B) = P (A B) = P (A) P ( B )= P (B) P( A A ) B
Variable Aleatoria Es una función que asigna un valor a cada elemento del espacio muestral Del experimento, se arroja un dado, se puede definir una variable aleatoria X como: X = resultados posibles al arrojar un dado, luego los valores que adopta la variable aleatoria son: x 1 =1; x 2 =2; x 3 =3; x 4 =4; x 5 =5; x 6 =6. Variable aleatoria X: longitud de las patas de cierto tipo de abejas, los valores de la v.a.: x 1 =35,6 ; x 2 =38,5 ;...; x i =40 ;...; x n =38,2, etc.
Variable aleatoria: Cantidad de machos producto de una gestación de 3 cachorros MMM MHH HMH HHM MMH MHM HMM HHH 3 1 2 0
0.4 fdp 0.3 0.2 0.1 0 0 1 2 3 Núm.de hembras
Variable Aleatoria Variables Aleatorias Continuas: cuyas funciones de probabilidad serán las distribuciones continuas de probabilidad o Distribuciones de Frecuencias. Variables Aleatorias Discretas: cuyas funciones de probabilidad serán las Distribuciones discretas de Probabilidad o Distribuciones de Probabilidad
Función de densidad de Probabilidades (fdp)funcion a partir de la cual se obtienen las probabilidades para los posibles valores de la variable 1) 2) 3) F (x p( x i ) = f ( x i ) 0 n i1 f ( x i ) 1 i i )= P (X xi ) = p (x j ) j1
Experimento de arrojar dos dados, se tiene que el espacio muestral es S = {(1,1), (1,2), (1,3),..., (6,6)} con 36 puntos muestrales x Sucesos f(x) F(x) 2 {(1,1)} 1/36 =0.028 1/36 3 {(1,2), (2,1)} 2/36 =0.056 3/36 4 {(1,3), (2,2), (3,1)} 3/36 =0.083 6/36 5 {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)} 4/36 =0.111 10/36 6 {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)} 5/36 =0.139 15/36 7 {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} 6/36 =0.167 21/36 8 {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)} 5/36 =0.139 26/36 9 {(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)} 4/36 =0.111 30/36 10 {(4,6), (5,5), (6,4)} 3/36 =0.083 33/36 11 {(5,6), (6,5)} 2/36 =0.056 35/36 12 {(6,6)} 1/36 =0.028 36/36
0.20 fdp 0.15 0.10 0.05 0.00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X
1.00 F(x) 0.80 0.60 0.40 0.20 0.00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X
Ejemplo: Experimento de arrojar simultáneamente 3 dados. Espacio muestral:s = {(1,1,1),..., (6,6,6)} con 216 puntos muestrales. X v.a. suma de las 3 caras superiores. X frec. P(x) F(x) 3 1 0.005 0.005 4 3 0.014 0.019 5 6 0.028 0.046 6 10 0.046 0.093 7 15 0.069 0.162 8 21 0.097 0.259 9 25 0.116 0.375 10 27 0.125 0.500 11 27 0.125 0.625 12 25 0.116 0.741 13 21 0.097 0.838 14 15 0.069 0.907 15 10 0.046 0.954 16 6 0.028 0.981 17 3 0.014 0.995 18 1 0.005 1.000
fdp 0.14 0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 X
F(x) 1.00 0.90 0.80 0.70 0.60 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0.00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 X
fdp 0.18 0.16 0.14 0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 X
PARÁMETROS Esperanza Matemática Sea X una variable aleatoria discreta con función de probabilidad p(x). La esperanza matemática de X es: Varianza Matemática V(x) E (X)= n 1 i= E(x x 2 i p(xi ) ) E(x) 2 Donde E(X 2 )= Asimetría Curtosis x 2 i i p(x i )
Variables discretas Distribución de probabilidades Binomial Poisson Variables continuas Distribución de frecuencias Normal Student (Gosset) Chi 2 (Pearson) F de Snedecor
Modelos Probabilísticos Distribución Binomial n k n P( X k) p (1 p) k E(X)=np, Var(X)=npq Características k n! k!( n k)!, 0 k solo dos resultados posibles: éxito y fracaso p y q contantes en cada prueba. que el experimento pueda repetirse (n pruebas ) independencia de los experimentos p k q nk n
Modelos Probabilísticos Distribución de Poisson f (X k, λ) E(x)= y Var(x)= Características k λ e k! 0 λ la variable aleatoria es conteo en una unidad de tiempo o espacio la probabilidad de ocurrencia es baja el número de experiencias es alto si en X otro 0, 1, 2,... caso
Distribuciones continuas Distribución Normal ( z ) Distribución t de Student. Distribución 2 de Pearson Distribución F de Snedecor
Distribución normal Distribución Normal o de Gauss ( z ) f ( x) 1 e 2 1 2 x 2 Donde y 2 son los parámetros de la distribución << y 2 >0
Distribución normal -5 0 5 10 15 20 25 30 N(0,1) N(20,1) N(20,4)
Distribución normal Si X se distribuye normal
Distribución normal P(X x 0 ) P(X x 0 ) x 0
Distribución normal P(X x 0 ) P(X x 0 ) x 0
Distribución normal Si X~N(, 2 ) z x, luego Z~N(0,1), -5 0 5 10 15 20 25 30 N(0,1) N(20,4)
Ejemplo: Distribución normal Se sabe que la longitud del cuerpo de las abejas reinas de un determinado apiario sigue una distribución aproximadamente normal con una media de 2 cm. y una desviación estándar de 0.046cm, Cual es la probabilidad de que una abeja reina elegida al azar mida más de 2.1cm? Sea X la variable aleatoria longitud de las abejas reinas en esa población, X~(2;0.046), luego, P( X 2. 1) P( X 2. 1 2 ) 0. 046 P( Z 2. 17 ) 0. 015
Distribución 2 Si X 1, X 2, X n son distribuciones normales independientes cada una con su media y variancia: Luego U n X i ~N( i, 2 i) n X i i Z i1 i1 i Tiene distribución 2 con n grados de libertad 2 2 i
Distribución 2 P(X 2 n<x 2 p,n)=p X 2 (p,n)
Distribución t de Student Si luego X~N(, 2 ) y U 2 (gl) con gl=n-1 t X U n Tiene distribución t con n-1 grados de libertad
Distribución t de Student P(t< t o )= 1- t o
Distribución F de Snedecor Si luego V 2 (n 1-1) y U 2 (n 2-1) independientes F V n 1 1 U n 1 2 Tiene distribución F con n 1-1 y n 2-1 gl.
Distribución F de Snedecor P(F<Fo n1,n2 )=p Fo (n1,n2)