2 Tranformada de Laplace En ete capítulo e etudia el método de la tranformada de Laplace para la reolución de ecuacione diferenciale lineale de coeficiente contante. Eta ecuacione on la que aparecen en lo modelo lineale e invariante en el tiempo de itema dinámico. En el proceo de reolver una ecuación diferencial lineal de coeficiente contante uando la tranformada de Laplace, e definirá la función de tranferencia. Éta e una forma de modelado alternativa a la ecuación diferencial que permite analizar de forma cómoda y rápida la propiedade del itema. 2. Introducción Conidéree un modelo lineal e invariante en el tiempo (modelo LTI) repreentado mediante una ecuación diferencial lineal de coeficiente contante: Normalmente a n d n y(t) dt n + a n d n y(t) dt n dy(t) + + a + a 0 y(t) = dt = b m d m u(t) dt m n m. Ecrito de forma compacta: + b m d m u(t) dt m du(t) + + b + b 0 u(t) dt n d i m y(t) d i u(t) a i + a dt i 0 y(t) = b i + b dt i 0 u(t) i= En el trancuro de ete capítulo y poteriore, cuando no haya confuión, e uará también la iguiente notación para la derivada: y(t) = dy(t), y(t) = d 2 y(t),, y (n) (t) = d n y(t) dt dt 2 dt n Hay vario método para reolver ete tipo de ecuacione, como puede conocer el lector i ha recibido ya un curo de ecuacione diferenciale. Uno de ello e la tranformada de Laplace que e utilizará en ete curo. 2.2 Definición de la tranformada de Laplace La tranformada de Laplace X() de una variable x(t) e define de la iguiente forma: X() = L{x(t)} = i= x(t)e t dt Se tranforma la eñal x(t) del dominio del tiempo t al dominio de la variable de Laplace, que e una variable compleja. El límite inferior de la integral 0 - indica el intante de tiempo juto ante del intante 0 (intante inicial) y permite el cálculo correcto de la tranformada para eñale epeciale. Aunque no toda la funcione matemática admiten tranformada de Laplace, para la eñale que e uarán en ete curo í etá definida, por lo que no e abordará el problema de la exitencia de tranformada. Ademá, la eñale que e utilizarán erán en u mayoría cauale. Una eñal e caual i vale 0 para t < 0. 0 2
2. Propiedade de la tranformada de Laplace La tranformada de Laplace tiene una erie de propiedade útile para la reolución de ecuacione diferenciale y el análii de itema LTI. En eta ección ólo e citarán la propiedade báica in incluir la correpondiente demotracione, alvo que ean obvia. Para una expoición detallada de toda la propiedade de la tranformada de Laplace, incluyendo u demotracione, debe conultare un libro epecífico obre ete tema. Linealidad La tranformada e un operador lineal, al erlo la integral de una función: donde A y Β on contante. Tranformada de la derivada L{Ax (t)+ Bx 2 (t)} = A x (t)e t dt + B x 2 (t)e t dt = AX ()+ BX 2 (), La tranformada de Laplace de la derivada temporal de una eñal viene dada por: 0! L dx(t) $ dt & = X() x(0 ), donde x ( 0 ) e la condición inicial. Nótee que e uan a vece eñale con dicontinuidade en el origen, por lo que e precio ditinguir entre condición inicial x ( 0 ) y valor inicial x ( 0 + ). La tranformada uceiva e determinan recurivamente a partir de la regla anterior: L d n x(t) dt n Tranformada de la integral La tranformada de la integral de una eñal e: 0 = n X() n x(0 ) n 2 dx dt (0 ) d n x dt n (0 ) t L{ x(τ )dτ 0 } = X() La variable τ e ha uado como variable auxiliar de integración. Tranformada de una eñal con retardo Si x (t) e una eñal caual, y ólo en ete cao, la tranformada de x(t t 0 ), con t 0 > 0, e: Multiplicación por el tiempo L{x(t t 0 )} = e t 0 X() La traformada del producto de una eñal cualquiera por el tiempo e calcula de la iguiente forma: Generalizando, e obtiene L{t n x(t)} = ( ) n d n X() d n. Teorema del valor inicial L{tx(t)} = dx() d Si X() e la tranformada de x(t), el valor inicial de la eñal (en t = 0 + ) puede determinare mediante el iguiente límite: 2 2
x(0 + ) = lim {X()} E neceario que la eñal x(t) no contenga un impulo (véae má adelante la definición de impulo) ni derivada de un impulo en t = 0. Teorema del valor final El teorema del valor final permite determinar el valor final de una eñal calculando el iguiente límite: x( ) = lim 0 {X()} E neceario que la raíce del denominador de X() tengan la parte real etrictamente negativa. La tabla 2. reume la propiedade báica de la tranformada de Laplace. Tabla 2.. Propiedade báica de la tranformada de Laplace Definición x (t) X() = L{x(t)} = x(t)e t dt Linealidad Ax (t)+ Bx 2 (t) AX ()+ BX 2 () Derivación Integración dx(t) dt d n x(t) dt n t 0 x(τ )dτ Retardo x(t t 0 ) Multiplicación por el tiempo Valor inicial Valor final Si x(t) e caual tx(t) t n x(t) X() x(0 ) n X() n x(0 ) dn x(0 ) dt n X() e t 0 X() dx() d ( ) n d n X() d n x(0 + ) = lim {X()} x( ) = lim 0 {X()} Si la raíce del denominador de X() tienen la parte real etrictamente negativa 0 2.4 Tranformada de Laplace de eñale báica Hay un conjunto de eñale báica que aparecen continuamente en el etudio de itema dinámico tanto en la entrada como en la repueta del itema. A continuación e preentan eta eñale junto con u tranformada de Laplace. Ecalón unitario La eñal ecalón unitario (fig. 2.) e define como: $ γ(t) = $ 0 t < 0 t 0, 2
Figura 2.. Función ecalón unitario Nótee que para convertir una eñal que no e caual en caual, bata con multiplicarla por el ecalón unitario. Ademá, la entrada del tipo ecalón e utiliza frecuentemente como entrada etándar para evaluar la repueta de un itema y poder compararla con la de otro itema. Su tranformada e: L{γ(t)} = γ(t)e t dt = e t dt 0 0 $ ' & ) ( = e t 0 = e e0 = Ejemplo 2. (Función pulo). La eñal pulo (fig. 2.2): 0 t < 0 p T (t) = $ 0 t < T & 0 t T p T (t) T Figura 2.2. Función pulo. t Se puede interpretar como combinación de do ecalone, el egundo de ello invertido y retardado en el tiempo p T (t) = γ(t) γ(t T). Uando la tranformada de Laplace de la función ecalón y la propiedad de la linealidad e puede calcular la tranformada de Laplace del pulo como: Impulo P T () = e T e T = El impulo, o delta de Dirac, puede er definida como una eñal tal que u integral e un ecalón unitario: t γ(t) = δ(τ ) dτ. Por lo tanto, tiene que er cero para t < 0 y t > 0, con valor infinito en t = 0. Puede definire también como la derivada del ecalón δ(t) = dγ(t) dt. Si en la integral anterior e hace tender t a infinito e tiene: δ(t) dt =. Por lo tanto el área de un impulo e uno. Eta rara función puede interpretare intuitivamente como el límite de la función pulo δ ε (t), que e muetra en la figura 2.(a), cuando ε 0. La figura 2.(b) e utiliza habitualmente para repreentar una función impulo. 2 4
Aunque la función impulo e impoible de generar fíicamente, hay varia eñale práctica que pueden aproximare por eta función (eñale de corta duración). δ(t) (b) Figura 2.. (a) Pulo de ancho ε y altura /ε. (b) Repreentación de la función impulo δ(t). t Como la tranformada de Laplace de la función ecalón e L{γ (t)} =, la tranformada del impulo vale L{δ (t)} = L{dγ (t) dt} = γ (0 ) =, aplicando la propiedad de la tranformada de la derivada temporal de una eñal. Función rampa lineal La función rampa lineal (fig. 2.4) e x(t) = tγ(t) (el producto de una eñal por la función ecalón hace que éta ea caual), u tranformada de Laplace e X() = 2. E una conecuencia inmediata de la propiedad de la tranformada de una eñal multiplicada por el tiempo. tγ(t) Figura 2.4. Rampa lineal. t Función exponencial La función exponencial (fig 2.5) e x(t) = e at γ(t), donde a e una contante. Para que la función exponencial tienda a 0 e neceario que a > 0. El cao a = 0 e correponde con el ecalón unitario. Figura 2.5. Función e at con a > 0. Una caracterítica muy importante de la función exponencial e la denominada contante de tiempo τ =/a. La contante de tiempo e puede determinar gráficamente uando do propiedade de la exponencial: Si e traza la pendiente de la función exponencial en el origen de tiempo, éta corta al valor final de la exponencial, 0 en ete cao, en un intervalo temporal igual a una contante de tiempo. Eta propiedad e puede generalizar a cualquier intante, no ólo el intante 0. La función exponencial recorre en una contante de tiempo aproximadamente un 6 del trayecto total que tiene que recorrer entre u valor inicial y final. En contante de tiempo recorre un 95 de ee trayecto y e puede coniderar que prácticamente alcanza u valor final en 5 contante de tiempo. La tranformada de la función exponencial e: 2 5
L{e at $ ' γ(t)} = e (+a)t dt = e (+a)t e & ) = 0 ( + a) ( ( + a) e 0 ( + a) = + a Función exponencial multiplicada por el tiempo La función matemática que define eta eñal e x(t) = te at γ(t), donde a e una contante (fig 2.6). Eta eñal aparece en la repueta de cierto itema dinámico. Su tranformada e: X() = 0 ( + a) 2, teniendo en cuenta la propiedad de la tranformada de una eñal multiplicada por el tiempo y que la tranformada de e at γ(t) e + a. Figura 2.6. Función te at, a > 0. Funcione enoidale La función enoidal x(t) = co(ωt +ϕ)γ(t), donde ω y ϕ on contante, e puede exprear como una uma de do exponenciale compleja conjugada x(t) = ( 2 e j(ωt+ϕ ) + e j(ωt+ϕ ) )γ(t). Por lo tanto u tranformada de Laplace e puede calcular particularizando la tranformada de Laplace de una exponencial y aplicando la propiedad de linealidad. El reultado e: X() = 2 e jϕ jω + 2 e jϕ + jω Aunque operando eta tranformada e puede eliminar la dependencia de la unidad imaginaria j, erá má cómodo manejarla con notación compleja. Para la función x(t) = en(ωt +ϕ)γ(t) e puede aplicar el mimo reultado teniendo que cuenta que también e igual a x(t) = co(ωt +ϕ π 2 )γ(t). Como cao particulare, a continuación e preentan la tranformada de Laplace de la funcione co(ωt) y en(ωt) i e elimina la unidad imaginaria j: Senoidale amortiguada L{co(ωt)} = 2 + ω, L{en(ωt)} = ω 2 2 + ω 2 La función x(t) = e at co(ωt +ϕ)γ(t), donde a, ω y ϕ on contante, e una función enoidal con amplitud que diminuye egún una exponencial decreciente e at γ(t) denominada envolvente (a > 0) (fig 2.7). La función x(t) puede expreare también como la uma de do exponenciale compleja x(t) = 2 e( a+ jω )t+ jϕ ( a jω )t jϕ ( + e )γ(t). Por lo tanto, u tranformada de Laplace reulta: X() = 2 e jϕ + a jω + 2 e jϕ + a + jω. 2 6
Figura 2.7. Función e at co(ωt). E conveniente obervar que para determinar la mayoría de la tranformada de la eñale báica apena e ha utilizado la integral de definición de la tranformada de Laplace, ino el conjunto de propiedade obtenida en la ección 2.. En la tabla 2.2 e reumen la tranformada de Laplace de la eñale báica. Se ha tenido en cuenta que i la eñal x(t) etá multiplicada por una contante A, u tranformada de Laplace e L{Ax(t)} = AX tranformada. ( ), lo cual e conecuencia de la linealidad de la Tabla 2.2. Tranformada de Laplace de la eñale báica Se upone que toda la eñale on cauale Señal x(t), t 0 X() Impulo Aδ (t) A Ecalón unitario Aγ (t) A Rampa lineal At A 2 Exponencial Ae at A + a Exponencial por el tiempo A Ate at ( + a) 2 Senoidal Senoidal amortiguada Aco(ωt +ϕ) Ae at co(ωt +ϕ) A 2 e jϕ A jω + 2 e jϕ + jω A 2 e jϕ + a jω + A 2 e jϕ + a + jω 2.5 Tranformada invera de Laplace La tranformada invera de Laplace o antitranformada de X() e la función x(t) cuya tranformada de Laplace e X(). La función X() e típicamente una función racional en, e decir, un cociente de polinomio. El método má encillo para calcular la antitranformada conite en recurrir a una decompoición en fraccione parciale de la función X(), de tal manera que X() e expree como una uma de tranformada de Laplace báica (tabla 2.2). Una vez realizada eta decompoición en fraccione parciale bata con aplicar la propiedad de linealidad para calcular la antitranformada. Si X() puede expreare como: X() = N() D() = R i, entonce x(t) = R i e p it. p i 2 7
E decir, la antitranformada e la uma de la antitranformada de cada uno de lo umando, que on inmediata porque toda ella aparecen en la tabla 2.2. La contante R i e denominan reiduo, mientra que la raíce p i del polinomio denominador D() e denominan polo. Ete método permite decomponer la eñal x(t) en una erie de umando R i e p it o modo. Ete planteamiento e igualmente válido aunque lo polo ean complejo ya que la exponenciale compleja pueden agrupare en funcione enoidale reale egún el teorema de Euler. Sin embargo, la preencia de polo reale o complejo de multiplicidad mayor que uno, requiere de un plantamiento algo ditinto. Lo iguiente ejemplo ilutran el cálculo de la antitranformada para diferente upueto: polo reale imple, polo complejo y polo reale múltiple. Ejemplo : polo reale imple Para calcular lo reiduo, e multiplica X() por ( p j ) : X()( p j ) = R p j i p i y e hace = p j. De eta forma, el único término que no e anula e el del reiduo j, luego: i R j = [X()( p j )] =pj Como ejemplo e va a calcular la antitranformada de: Y () = 2 + 5 (+ 5) = + 0, 4 ( + 0, 2) Una vez determinado lo polo (en = 0 y = 0,2), e puede ecribir: Utilizando la fórmula de lo reiduo: Y () = + 0, 4 ( + 0, 2) = R 0 + R + 0, 2! R 0 = {Y ()} =0 = + 0, 4 $ = 2 + 0, 2& =0 R = {( + 0, 2)Y ()} = 0,2 = + 0, 4 & = $ ' = 0,2 Bata ahora con aplicar la tranformada invera a cada uno de lo umando para obtener la función temporal: y(t) = ( 2 e 0,2t )γ(t) A partir de ete reultado, e pueden comprobar lo teorema del valor inicial y del valor final. Ete último teorema e aplicable porque el único polo de Y(), que vale -0,2, tiene parte real etrictamente negativa. Ejemplo 2: polo complejo y(0 + 2 + 5 ) = lim Y () = lim + 5 = 2 + 5 y( ) = lim Y () = lim 0 + 5 = 2 Se uará como ejemplo el cálculo de la antitranformada de: Y () = ( 2 + 2 + 5) = ( + 2 j)( ++ 2 j) 2 8
En ete cao lo polo on = 0 y = ± 2 j. Nótee que en el cao de que haya polo complejo, eto iempre aparecen como pareja de polo conjugado. La decompoición en fraccione parciale reulta: Y () = ( + 2 j)( ++ 2 j) = R 0 + R + 2 j + R 2 ++ 2 j Lo reiduo R y R 2 también erán número complejo conjugado, por lo que ólo e neceario calcular uno de ello. Utilizando la fórmula de lo reiduo:! $ R 0 = {Y ()} =0 = = 2 + 2 + 5& =0 5 R = {( + 2 j)y ()} = +2 j = & = 0,5e j2,68 $ ( ++ 2 j) ' = +2 j Aplicando la antitranformada a toda la fraccione parciale, reulta: Ejemplo : polo reale múltiple y(t) = 5 + 0, $ 67e t co( 2t + 2, 68) 'γ(t) & Si un polo de X() tiene una multiplicidad q aparecerán lo iguiente término en la decompoición: R i R i2 + p i ( p i ) + + R iq 2 ( p i ) q Se coniderará excluivamente el cao de q=2, y como ejemplo e calculará la antitranformada de: Y () = 2 + 5 (+ 5) = + 0, 4 2 5( + 0, 2) 2 En ete cao lo polo on = 0 y = 0,2 doble, por lo que la decompoición en fraccione parciale reulta: Y () = + 0, 4 5( + 0, 2) = R 0 2 + R ( ) 2 + 0, 2 + R 2 + 0, 2 Utilizando la fórmula de lo reiduo, e pueden determinar R 0 y R 2 :! + 0, 4 R 0 = {Y ()} =0 = $ 5 + 0, 2 R 2 = { + 0, 2 ( ) 2 ( ) 2 Y ()} = 0,2 = + 0, 4 $ 5 & = 2 ' =0 & = 0, 2 ' = 0,2 Sin embargo, no e poible utilizar ete procedimiento para calcular R. Para obtener el valor de R e debe utituir la variable por un valor que no coincida con ningún polo y reolver la ecuación reultante donde la única incógnita erá R. Por ejemplo, i hacemo =, reulta la iguiente ecuación:, 4 5, 2 2 = 2 + R, 2 + 0, 2, 2 2 R = 2 Una vez obtenido todo lo reiduo, e puede aplicar la tranformada invera a cada uno de lo umando, obteniéndoe: y(t) = ( 2 2e 0,2t 0, 2te 0,2t )γ(t) El planteamiento cuando aparecen polo complejo múltiple e imilar, alvo que aparecerán en la antitranformada enoidale amortiguada multiplicada por potencia del tiempo. 2 9
2.6 Relación entre polo y término de la repueta Se ha comprobado en la ección 2.5 que lo polo p i de X() definen lo término de la repueta o modo, mientra que lo reiduo R i, que aparecen en la decompoición en fraccione parciale, afectan ólo a la amplitude y fae (en el cao de polo complejo). Según ea el valor de la parte real o imaginaria de lo polo e obtienen ditinto tipo de repueta (fig. 2.8). Un polo real -a da lugar a una repueta exponencial e at. Si a e poitivo la repueta e decreciente hata llegar a 0, y creciente in límite i a e negativo. Si el polo e nulo, el término temporal aociado e contante. La rapidez de la repueta, o velocidad de crecimiento o decrecimiento de la exponencial, e tanto mayor cuanto mayor ea la magnitud a del polo, o cuanto menor ea la contante de tiempo aociada al polo τ =/ a. Un par de polo imaginario conjugado ± jω dan lugar a una repueta enoidal co(ωt). La frecuencia de ocilación aumenta, y el período diminuye, al aumentar la magnitud de lo polo. Una par de polo complejo conjugado a ± jω dan lugar a una repueta enoidal con amplitud exponencial e at co(ωt +ϕ). Si a e poitivo la repueta e amortiguada o decreciente, y creciente i a e negativo. La contante de tiempo de la envolvente exponencial la determina el invero de la parte real de lo polo, mientra que la pulación de la ocilación la define la parte imaginaria. Para lo polo complejo, e define el amortiguamiento ζ = a a 2 +ω 2 como un parámetro adimenional entre 0 y que etá relacionado con el número de ocilacione de la enoidal amortiguada ante de extinguire. A medida que diminuye el valor de ete parámetro má ocilacione habrá ante de que la eñal e anule. Lo polo múltiple dan lugar a lo correpondiente modo multiplicado por potencia del tiempo. Un polo real k-múliple p i da lugar a modo e at, te at,, t k e at. Un polo complejo k-múliple a ± jω da lugar a e at co(ωt +ϕ), te at co(ωt +ϕ),, t k e at co(ωt +ϕ). Figura 2.8. Situación de lo polo y forma de la repueta. 2.7 Reolución de ecuacione diferenciale En eta ección e ilutra mediante un ejemplo la reolución de una ecuación diferencial lineal de coeficiente contante uando la tranformada de Laplace. Ademá e utilizará ete ejemplo para introducir una erie de concepto fundamentale que on incluo má relevante dede el punto de vita práctico que la propia reolución de la ecuación diferencial. 2 0
Con eta técnica e iguen tre pao: Se aplica la tranformación de Laplace a la do parte de la ecuación diferencial. La variable u(t) e y(t) paan del dominio del tiempo al dominio de la variable de Laplace: U() e Y(). 2 El reultado e una ecuación algebraica de la que puede depejare fácilmente la tranformada de la alida Y(). Como u(t) e conocida puede obtenere y utituire ya U(). Obtener la tranformada de Laplace invera de Y(). El reultado e y(t), la olución de la ecuación diferencial o repueta del itema. Como ejemplo, e calculará la repueta del circuito eléctrico RLC de la figura 2.9 cuando e aplica mediante el generador de entrada una tenión v i (t) en forma de pulo de V durante m. Ademá e upondrá que inicialmente hay una tenión de un V en el condenador y que la corriente de la bobina e ma. Se coniderará como variable de alida la tenión en el condenador v o (t). Se conideran como valore de lo parámetro: R= kω, C= µf y L= H. Figura 2.9. Circuito eléctrico RLC El primer pao e obtener la ecuación diferencial del circuito. Para obtener eta ecuación bata con plantear la primera ley de Kirchoff para la única malla del circuito y uar la relacione entre tenión y corriente en el condenador. v i = Ri + L di dt + v o i = C dv o dt Combinando amba ecuacione, reulta la ecuación diferencial del circuito: LC d 2 v o dt 2 + RC dv o dt + v o = v i A continuación e aplica la tranformada de Laplace a ambo lado de la ecuación diferencial, reultando: LC( 2 V o () v o (0 ) v o (0 )) + RC ( V o () v o (0 )) +V o () = V i () En el iguiente pao depejamo la tranformada de Laplace de la alida utituyendo la tranformada de e Laplace de la entrada por u valor V i () = : G() V i () e V o () = + LC ( v o (0 ) + v o (0 )) + RCv o (0 ) LC 2 + RC + LC 2 + RC + V of () La ecuación anterior muetra que la tranformada de Laplace de la alida puede obtenere como uma de do funcione, V of () y V ol () : La función V of () e puede exprear como producto de la tranformada de Laplace de la entrada V i () y la función racional G() que puede obtenere directamente a partir de la ecuación diferencial del circuito. El polinomio denominador de G() e obtiene utituyendo en la parte de la ecuación diferencial aociada a la alida la derivada de orden n por n. El polinomio numerador de G() e contruye de manera análoga pero utilizando la parte de la ecuación V ol () 2
diferencial aociada a la entrada. A V of () e la denomina tranformada de Laplace de la repueta forzada y a G() función de tranferencia del circuito. La función V ol () e denomina tranformada de Laplace de la repueta libre. Su polinomio denominador coincide con el de la función de tranferencia G() y u polinomio numerador depende de la condicione iniciale del circuito. Eta decompoición de la tranformada de Laplace de la alida en do término aociado a la entrada y la condicione iniciale e puede generalizar para el cálculo de la repueta temporal de cualquier modelo LTI. La función de tranferencia G() juega un papel primordial en el análii de itema dinámico. E equivalente a la ecuación diferencial (podemo paar de una a otra de forma rápida y encilla) por lo que e convierte en una forma de modelado alternativa a la ecuación diferencial, compacta y cómoda de manejar. En lo iguiente capítulo e etudiará la forma de obtener información cualitativa y cuantitativa de un itema, in neceidad de reolver la ecuación diferencial y e explicará cómo obtener la función de tranferencia directamente a partir del itema in paar previamente por la ecuación diferencial. Retomando la reolución de la ecuación diferencial, i e utituyen lo valore de lo parámetro y de la condicione iniciale reulta: V of () V ol () e V o () = + + 2, ( 2 + +) 2 + + donde e ha utilizado que v o (0 ) = i(0 ). Para obtener la repueta temporal de la tenión del C condenador e calcularán por eparado la antitranformada de la repueta forzada y de la repueta libre del itema. Realizando la decompoición en fraccione parciale para la repueta libre, reulta: V ol () = + 2 2 + + = + 2 $ + 2 2 j ' + & 2 + = $ 2 j ' & Siendo la antitranformada de la repueta libre: v ol (t) = 2e 0,5t co$ 2 e,047 j + 2 2 j t, 047' & γ(t) + e,047 j + 2 + 2 j Para calcular la antitranformada de la repueta forzada e decompone la función en do término que e retan: V of () V of 2 () e V of () = ( 2 + +) = e ( 2 + +) ( 2 + +) A continuación e calculan por eparado la antitranformada de cada término, teniendo en cuenta que, egún la propiedad de tranformada de Laplace de una eñal retardada en el tiempo, e cumple: v of (t) = v of (t) v of 2 (t) = v of (t) v of (t ) La decompoición en fraccione parciale del primer término reulta: V of () = ( 2 + +) = $ + 2 2 j ' + & 2 + = $ 2 j ' & = + e2,68 j + 2 2 j + e 2,68 j + 2 + 2 j 2 2
Y calculando la antitranformada v of (t) de V of (), e obtiene: La repueta forzada total ería: v of (t) = + 2 $ e 0,5t co$ v of (t) = + 2 $ e 0,5t co$ 2 + 2 $ e 0,5(t ) co$ 2 t + 2, 68' ' & γ(t) & t + 2, 68' ' & γ(t) & 2 (t )+ 2, 68' ' γ(t ) && La repueta total de la tenión del condenador e la uma de la repueta libre y forzada calculada previamente. En la figura 2.0 e repreentan la entrada y la repueta libre, forzada y completa de la tenión del condenador. Téngae en cuenta que la repueta repreentada ólo on válida a partir del intante inicial..6.4.2 0.8 vo (V) 0.6 0.4 0.2 0-0.2-0.4-0 2 4 5 6 7 8 9 0 t (m) Figura 2.0. Repueta forzada (rojo), libre (verde) y total (azul claro) de la tenión del condenador a un pulo (azul) 2.8 Tre forma de repartir la repueta temporal La repueta de un itema dinámico e puede repartir atendiendo a diferente criterio útile y de frecuente uo. En la ección 2.7 e dividió la repueta temporal en forzada y libre; la primera e provocada por la entrada aplicada (para condicione iniciale nula), y la egunda e debe a la condicione iniciale (para entrada nula): y(t) = y F (t) + y L (t) Lo término de la repueta temporal e pueden agrupar en término del itema y término de la entrada. Lo término del itema correponden a lo que reultan de realizar la antitranformada a la fraccione parciale aociada a la raíce del polinomio caracterítico (polinomio denominador de la función de tranferencia o de la tranformada de Laplace de la repueta libre). Lo término de la entrada correponden a lo que reultan de aplicar la antitranformada a la fraccione parciale aociada a polo de U(): y(t) = y S (t) + y U (t) Cuando coinciden polo del itema con polo de la entrada pueden aparecer término reforzado (polo múltiple) que hay que aignar tanto al itema como a la entrada (el reparto e imperfecto en ete cao). 2
En el ejemplo anterior: y S (t) = v os (t) = 2e 0,5t co 2 e 0,5(t ) co 2 t,047 γ (t) + 2 e 0,5t co 2 (t ) + 2,68 γ (t ) 2 t + 2,68 γ (t) y U (t) = v ou (t) = γ (t) γ (t ) Por lo tanto, la repueta libre etá compueta excluivamente de término del itema, aunque lo término del itema también aparecen en la repueta forzada. Una última claificación, extremadamente importante, de la repueta e en régimen tranitorio y régimen permanente. El régimen tranitorio e la parte de la repueta que deaparece (tiende a cero) cuando el tiempo tiende a infinito (típicamente por exponenciale decreciente o enoidale amortiguada, aunque hay otro cao) y el régimen permanente e la parte que no deaparece (contante, enoidale, funcione creciente): En el ejemplo anterior: y T (t) = v ot (t) = 2e 0,5t co 2 e 0,5(t ) co y(t) = y T (t) + y P (t) 2 t,047 γ (t) + 2 e 0,5t co 2 (t ) + 2,68 γ (t ) + γ (t) γ (t ) y P (t) = v op (t) = 0 2 t + 2,68 γ (t) En ete ejemplo el régimen tranitorio, al igual que la entrada, contiene do término que individualmente coniderado erían permanente, pero e cancelan entre í a partir de cierto tiempo. Toda la repueta temporal e tranitoria. E importante recordar que el régimen permanente e en general una función del tiempo (contante, enoidal, creciente) aunque a vece ea olamente una contante o un valor final. Alguno autore llaman repueta tranitoria a toda la repueta temporal hata que e conidera que e ha llegado al régimen permanente; conviene aberlo, pero no e la definición que e ua aquí. 2 4