Soluciones Ejercicios 6: Forma Normal Prenex y Forma Normal de Skolem TAII(I)-Lógica 3 de mayo de 2006 1. Ejercicio 6.1 Calcular la Forma Normal Prenex (FNP) equivalente de la siguiente x y[ zp (x, y, z) ( uq(x, u) vq(y, v))] x y[ zp (x, y, z) ( uq(x, u) vq(y, v))] x y[ zp (x, y, z) ( u Q(x, u) vq(y, v))] 3. Extracción de cuantificadores (todos son independientes) x y z u v[p (x, y, z) ( Q(x, u) Q(y, v))] 2. Ejercicio 6.2 Obtener la Forma Normal Prenex (FNP) equivalente de la siguiente [ x(a(x) ( yb(x, y)))] [ x( A(x) ( yb(x, y)))] x [( A(x) ( yb(x, y)))] x[( A(x) ( yb(x, y)))] x[(a(x) y B(x, y))] 1
3. Extracción de cuantificadores (y es independiente) x y[a(x) B(x, y)] 3. Ejercicio 6.3 Calcular la FNP equivalente de la siguiente x y[ z(a(x, z) B(y, z)) uc(x, y, u)] x y[ z(a(x, z) B(y, z)) uc(x, y, u)] x y[ z (A(x, z) B(y, z)) uc(x, y, u)] x y[ z( A(x, z) B(y, z)) uc(x, y, u)] 3. Extracción de cuantificadores (z, u son independientes) x y z u[ A(x, z) B(y, z) C(x, y, u)] 4. Ejercicio 6.4 Calcular la Forma Normal Prenex (FNP) equivalente de la siguiente F : xa(x) z[b(w, z) yc(w, y)] xa(x) z[b(w, z) yc(w, y)] xa(x) z[ B(w, z) yc(w, y)] xa(x) z [ B(w, z) yc(w, y)] xa(x) z[ B(w, z) yc(w, y)] xa(x) z[b(w, z) y C(w, y)] x A(x) z[b(w, z) y C(w, y)] 3. Extracción de cuantificadores (z e y son independientes) x A(x) z y[b(w, z) C(w, y)] x z y[ A(x) (B(w, z) C(w, y))] 2
5. Ejercicio 6.5 Calcular la Forma Normal Prenex (FNP) equivalente de la siguiente F : A(x, y) [ xb(x) y zc(x, y, z)] A(x, y) [ xb(x) y zc(x, y, z)] A(x, y) [ x B(x) y zc(x, y, z)] 3. Extracción de cuantificadores (x e y no son independientes) A(x, y) [ t B(t) y zc(x, y, z)] A(x, y) t y z[ B(t) C(x, y, z)] A(x, y) t u z[ B(t) C(x, u, z)] t u z[a(x, y) ( B(t) C(x, u, z))] 6. Ejercicio 6.6 F : x y z u v w[p (x, y, z) Q(u, v) R(w)] 1. En la fórmula anterior (que ya se encuentra en FNP), es necesario eliminar los cuantificadores existenciales ( x, u, w). 2. x no se encuentra precedido por cuantificadores universales, se sustituye por una constante (a): y z u v w[p (a, y, z) Q(u, v) R(w)] 3. u, w están predecidos por varios cuantificadores universales, por lo que serán sustituidos por las fórmulas de aridad 2 f(y, z), y de aridad 3 g(y, z, v) respectivamente: y z v[p (a, y, z) Q(f(y, z), v) R(g(y, z, v))] Las sustituciones realizadas: a, f y g son funciones de Skolem de aridad 0, 2 y 3 respectivamente. 3
7. Ejercicio 6.7 F : x y z[( P (x, y) Q(x, z)) R(x, y, z)] 1. En primer lugar se transforma la fórmula a Forma Norma Conjuntiva: x y z[( P (x, y) R(x, y, z)) (Q(x, z) R(x, y, z))] 2. Los cuantificadores y, z están precedidos por el cuantificador universal x por lo que se sustituyen por dos funciones de Skolem de aridad 1: f(x) y g(x) respectivamente: x[( P (x, f(x)) R(x, f(x), g(x))) (Q(x, g(x)) R(x, f(x), g(x)))] 8. Ejercicio 6.8 F : x[(a(x, y) yp (x, y, z)) zq(x, z)] 1. Obtención de la FNP F: x[( A(x, y) yp (x, y, z)) zq(x, z)] x[ ( A(x, y) yp (x, y, z)) zq(x, z)] x[( A(x, y) yp (x, y, z)) zq(x, z)] x[(a(x, y) y P (x, y, z)) zq(x, z)] x[(a(x, y) u P (x, u, z)) z Q(x, z)] x[ u(a(x, y) P (x, u, z)) t Q(x, t)] x[ u t((a(x, y) P (x, u, z)) Q(x, t))] x u t[(a(x, y) P (x, u, z)) Q(x, t)] x u t[(a(x, y) Q(x, t)) ( P (x, u, z) Q(x, t))] 4
2. Cierre existencial de las variables libres: y x u t[(a(x, y) Q(x, t)) ( P (x, u, z) Q(x, t))] y z x u t[(a(x, y) Q(x, t)) ( P (x, u, z) Q(x, t))] 3. Eliminar cuantificadores existenciales: z x u t[(a(x, a) Q(x, t)) ( P (x, u, z) Q(x, t))] x u t[(a(x, a) Q(x, t)) ( P (x, u, b) Q(x, t))] x u[(a(x, a) Q(x, f(x, u))) ( P (x, u, b) Q(x, f(x, u)))] 9. Ejercicio 6.9 F : x y z[( P (x, y) Q(x, z)) R(x, y, w)] Nota: como puede observarse se ha modificado la función predicativa F del ejercicio 6.7 dejando libre la tercera variable de R(-,-,-). 1. Se transforma F a FNC: x y z[( P (x, y) R(x, y, w)) (Q(x, z)r(x, y, w))] 2. Cierre existencial de las variables libres: w x y z[( P (x, y) R(x, y, w)) (Q(x, z)r(x, y, w))] 3. Skolemnización: x y z[( P (x, y) R(x, y, a)) (Q(x, z)r(x, y, a))] x z[( P (x, f(x)) R(x, f(x), a)) (Q(x, z)r(x, f(x), a))] x[( P (x, f(x)) R(x, f(x), a)) (Q(x, g(x))r(x, f(x), a))] 5
10. Ejercicio 6.10 F : x[ P (x, a) y(p (y, g(x)) z(p (z, g(x)) P (y, z)))] 1. Obtención de la FNP: x[ P (x, a) y(p (y, g(x)) z(p (z, g(x)) P (y, z)))] x[p (x, a) y(p (y, g(x)) z( P (z, g(x)) P (y, z)))] x[p (x, a) y z(p (y, g(x)) ( P (z, g(x)) P (y, z)))] x y z[p (x, a) (P (y, g(x)) ( P (z, g(x)) P (y, z)))] x y z[(p (x, a) P (y, g(x))) (P (x, a) P (z, g(x)) P (y, z))] 2. No existen variables libres... 3. Skolemnización: x z[(p (x, a) P (f(x), g(x))) (P (x, a) P (z, g(x)) P (f(x), z))] 11. Ejercicio 6.11 F : x[(p (x) y(q(x, y) zp (z))) t(q(x, y) R(t))] 1. Obtención de la FNP: x[( P (x) y(q(x, y) zp (z))) t(q(x, y) R(t))] x[( P (x) y(q(x, y) zp (z))) t( Q(x, y) R(t))] x[( P (x) y( Q(x, y) zp (z))) t( Q(x, y) R(t))] x[( P (x) y ( Q(x, y) zp (z))) t( Q(x, y) R(t))] 6
x[( P (x) y( Q(x, y) zp (z))) t( Q(x, y) R(t))] x[( P (x) y(q(x, y) z P (z))) t( Q(x, y) R(t))] x[( P (x) y z(q(x, y) P (z))) t( Q(x, y) R(t))] x[ y z( P (x) (Q(x, y) P (z))) t( Q(x, y) R(t))] x[ u z( P (x) (Q(x, u) P (z))) t( Q(x, y) R(t))] x u z t[( P (x) (Q(x, u) P (z))) ( Q(x, y) R(t))] x u z t[( P (x) Q(x, u)) ( P (x) P (z)) ( Q(x, y) R(t))] 2. Cierre existencial de las variables libres: y x u z t[( P (x) Q(x, u)) ( P (x) P (z)) ( Q(x, y) R(t))] 3. Skolemnización: x u z t[( P (x) Q(x, u)) ( P (x) P (z)) ( Q(x, a) R(t))] x z t[( P (x) Q(x, f(x))) ( P (x) P (z)) ( Q(x, a) R(t))] 7