Ejercicios de vectores Dibuja los siguientes vectores 2i+3j; -i-2j; -2i+3j; -1/2i ; 3/2j +2j ; -0,25 i +2,5 j; 1,25 i; -2,5i-j Halla las coordenadas de los vectores dibujados a continuación respecto de la base {i,j} Ejercicios de geometría, Pag 1
Halla para cada uno de los casos siguientes, las coordenadas del vector x respecto de la base B={u, v} Ejercicios de geometría, Pag 2
1) Expresa los vectores BC,AC,DG,GC,FD y BD como c. l. de AB y AG 2) Sea HG=u HA=v, expresar IA,DF,AG,ER,HR y BR como c.l. de u y v 3) Expresar AB,MD, CD, CN, MB y AO como c.l. de AD y AM 4) Idem, pon coordenadas a los distintos puntos tomando como base MD y MC 5) Considera un triángulo equilátero, averigua las coordenadas de los vértices. 6) Considera un exágono regular y pon coordenadas a los vértices. 7) Consideramos un hexágono regular de vértices A, B, C, D, E, F y centro O. Halla las coordenadas en la base {OC, OD } de los siguientes vectores OA, OB, OE, OF+BA, 3.CD y FA - 2.0A. Ejercicios de geometría, Pag 3
EJERCICIO S DE GEO METRIA PLANA 1.-El vector AB=(1,-3); a) hallar las coordenadas de A sabiendo que las coordenadas del punto B son (0, 2) ; b) hallar las coordenadas de B sabiendo que las coordenadas del punto A son (-2,3); c) Si el vector AB=3CD, y las coordenadas de C son (-1,4) halla las coordenadas de D; d) Averiguar las coordenadas de un vector v sabiendo que v+2ab=ba. 2.-Las coordenadas del punto medio del segmento AB son (3,5). Si B=(0,1) halla las coordenadas de A. 3.-Halla las coordenadas de los puntos P y Q que dividen al segmento de extremos A (-5,3) y B (8,6) en tres partes iguales. 4.-Hallar las ecuaciones paramétricas, continua, general, punto-pendiente y explícita de la recta que pasa por el punto A(-2,3) y cuyo vector director es v(3,4). a) Halla, si existe, un punto de la recta que su abscisa sea 6.b) Halla, si existe, un punto de la recta con ordenada 4. 5.-Halla las diversas formas de la ecuación de la recta: a) Que p asa p or A(3,-1) y B(5,2). b) Que p asa p or A(-2,4) y p endient e 2.c) Pasa p or el p unt o A(1,-3) y p aralela a la rect a x+3=0.d) Pasa p or el p unt o A(- 1,2) y es p aralela al eje de abscisas. 6.- Hallar el valor de k para que: a) El punto (1,2) pertenezca a la recta x-3ky+3=0; b) El punto (k,1) pertenezca a la recta x+2y-4=0; c) Los puntos (1,2) (5,-6) y (7,k) estén alineados. d) La recta 2x+ky-1= 0 tenga como vector director v=(-5,3). e) La recta kx-3y+2= tenga de pendiente m=-3/2. f) Las rectas r: y=9kx+2 y s: 4x-ky+1=0 sean paralelas. x 2 y + 1 g) Las rectas r: 2x+3ky+2=0 y s: = se corten en un punto. 2 k 7.- Una rect a p asa p or el p unt o P(5,6) y cort a a los ejes coordenados según segment os iguales, cuál es su ecuación?. 8. - Un paralelogramo tiene sus vértices A(2,3) y dos de sus lados están sobre las rectas x+y=20 y 2x-3y=10.Calcula las ecuaciones de los otros dos lados y las coordenadas de sus vértices. 9.-Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto de corte de r: x-2y+3=0 y s: x = 1 t y por y = 2 + 3t el punto(-5,0). b) Paralela a y=-1/2x+3 y corta al eje de ordenadas en y=-3. 10.-Halla las ecuaciones explícitas de las rectas de las figuras, a partir de los datos que se indican: Ejercicios de geometría, Pag 4
Vectores y producto escalar. 1.-Escribe el vector(3,8/3) como combinación lineal de los vectores (0,7/3) y (1,4). 2.-Calcula el producto escalar de los vectores dados, el módulo de cada uno y el ángulo que determinan los vectores que se dan: u= (3,4) y v=(-4,3).b) x=(1,3) e y=(3,-1). c) p=(-1,6) y q=(3,5).d)u=(2 2,-2) y v=( 2,-1).e)m=(-3,2) y n=(-1/2,-1/3) 3.-Halla el ángulo que forman los vectores AP y AQ en los siguientes casos: a) A(2,0), P(-2,1) y Q(6,8) b) A(2,1), P(6,1) y Q(6,1) c) A(0,1) P(2,-2) y Q( 3,0). 4.-Dados los vectores x=(a,1) e y=(2,-3) Calcular a para que: a) el producto escalar de x por y sea la unidad. b)el módulo de x sea 3. c)el vector x+ay sea unitario. d) x e y sean ortogonales e) tengan la misma dirección f) formen un ángulo de π/4 radianes. g) formen un ángulo de π/3 radianes. 5.-a)Halla un vector paralelo a v=(1,4), de módulo 3 y del mismo sentido. b) Halla un vector paralelo a v=(1,4) de módulo 5 y de sentido contrario. c) Halla un vector ortogonal al (-2,3) unitario. d) Halla un vector ortogonal al (-2,3) de módulo 3. 6.-Los vectores a y b son ortogonales entre sí y forman con el vector c ángulos de π/3 y π/6 radianes respectivamente. Sabiendo que a =3, b =5, c =8, calcula a) (3a-2b)(b+3c) b) b.(a+b-c) c) (a+b). 7.-El triángulo ABC es rectángulo en A, siendo sus vértices los puntos A(3,5),B(1,3) y C(m,10) Halla m. 8.-Sea ABC un triángulo con vértices A(0,0) B(1,3) y C(-2,7). a) Halla el perímetro del triángulo. b) Halla los ángulos del triángulo. c) Halla las coordenadas del vector AH siendo AH la altura relativa al lado BC. 9.-Los lados de un paralelogramo están sobre las rectas y=2x, e 3y=x. Si el centro del paralelogramo es el punto M(1,1), halla las coordenadas de sus vértices. 10.-Hallar la distancia entre las rectas r 3x-4y+3=0 y s y=3x/4+ 4. 11.-Averiguar si el triángulo A(-10,3),B(4,8) y C(-7,2) es isósceles.halla el área y el perímetro de este triángulo. 12.-Dadas las rectas r 3x+4y-1=0 y s 4x-3y+2=0 hallar: el ángulo que forman. b) ecuaciones de las bisectrices. 13.- Halla la ecuación de la recta que pasa por A (2,3) y que a) es paralela a r 3x-y+5=0 b) Es perpendicular a s x 1 = y + 1 c) Es perpendicular a la recta que pasa por P(1,3) y B(-1,3). 2 3 14.-Calcula el ángulo que forman los vectores u(2,-3) y v(1,4) así como el ángulo que forman las rectas r x 1 = y + 1 y s 4x-y-5=0 Qué observas? 2 3 15.-Dos vértices de un triángulo son A(1,-2) y B(2,3).Determina el vértice C sabiendo que está sobre la recta r 2x+y-2=0 y que el área del triángulo es 8 u 2. Cuántas soluciones encuentras? 16.-Halla el punto simétrico de P(10,10) respecto de la recta x+y-10=0. 17.-Determina las coordenadas del punto P(x,y) que equidista de A(1,2),B(-6,1) y C(-5,-6). 18.- Halla las ecuaciones de las rectas que pasando por A(1,1) distan dos unidades del punto B(2,3). 19.-Dada la recta r x-2y-4=0 y el punto P(1,1), halla un punto de la recta r que diste 6 del punto P Cuantas soluciones hay? 5 4 20.-Los lados AB, BC y AC de un triángulo están respectivamente, en las rectas y = x ; x = 2 t 2x+7y=22 y Calcula : a) La distancia de cada recta al origen. b) Las coordenadas de y = 3 + 7t los vértices A, B y C. c) El valor de las alturas del triángulo. d) Las longitudes de los lados. e)el área del triángulo. f) La ecuación de la mediana relativa al lado AB. g) la ecuación de la mediatriz del lado AB. h) ecuación de la bisectriz del ángulo B 6 3 Ejercicios de geometría, Pag 5