Univeridad écnica Federico Santa María Departamento de Matemática Campu Santiago MA3 ICIPEV Apunte ranformada de Laplace Definición de la ranformada de Laplace Vivian Aranda Núñez Verónica Gruenerg Stern La tranformada de Laplace e un ejemplo de un operador. Ete opera ore una función, produciendo otra función. Definición Supongamo que f(t) e una función de t. Entonce la tranformada de Laplace de f e la iguiente función de : donde: L(f)() F() f(t) e t dt para > F() f(t) e t dt lim f(t) e t dt (integral impropia) Ejemplo: Calcular la tranformada de Laplace de la función f(t) L()() F() lim ( e e t dt lim + ) e t dt lim e t Ejemplo: Calcular la tranformada de Laplace de la función f(t) t L(t)() F() uando integración por parte: u t du dt dv e t dt v e t t e t dt lim t e t dt
[ t e t L(t)() lim [ lim uando L Hopital: lim lim e t e e t ] e + dt ] [ t e t lim lim lim e e t ] + lim e e L(t)() + En general, uando integración parte cuanta vece ea neceario e otiene: L(t n )() n! n+ Ejemplo: Calcular la tranformada de Laplace de la función f(t) e at L(e at )() F() lim e ( a)t a e at e t dt lim ( e ( a) lim a e ( a)t dt ) e ( a) + a a Ejemplo: Calcular la tranformada de Laplace de la función f(t) en(t) L(en(t))() F() uando integración por parte: u e t du e t dt dv en(t) dt v co(t) en(t) e t dt lim en(t) e t dt en(t) e t dt e t e t co(t) co(t) e t co(t) dt e t co(t) dt
uando integración por parte nuevamente: u e t du e t dt dv co(t) dt v en(t) enemo en(t) e t dt e t e t e t co(t) co(t) co(t) e t e t e t co(t) dt en(t) en(t) e t en(t) dt en(t) e t dt en(t) e t dt a amo lado de la ecución, colocando ete término al lado derecho de la ecuación, tenemo: ) ( + en(t) e t dt e en(t) e t dt finalmente, ( e + co() + e co() + e co() e ) en() en() + e en() L(en(t))() en(t) e t dt lim lim + en(t) e t dt ( e co() + e ) en() +
Para calcular la tranformada de Laplace de la función f(t) co(t), deemo integrar por parte do vece, oteniendo: L(co(t))() + ale : ranformada de Laplace f(t) L(f)() F() t > > t n n! n+ > en(t) co(t) + > + > e at a > a Funcione continua por tramo La tranformada de Laplace de la función g(t) dada por: { i t < g(t) i t eta dado por: L(g)() G() e t dt e t e +
Ejercicio: Calcular la tranformada de Laplace de f(t), donde f(t) etá dado por: { t i t f(t) i < t < Definición Una función f(t) e de orden exponencial i exiten contante C y a tal que eorema f(t) C e at t > Supongamo que f e una función continua por tramo definida ore [, ) la cual e de orden exponencial. Luego la tranformada de Laplace L(f)() exite para grande valore de. Epecificamente, i f(t) C e at, luego L(f)() exite al meno para > a. Propiedade Báica de la tranformada de Laplace La tranformada de Laplace de la integral { } L y(u) du () Y () La tranformada de Laplace de derivada La propiedad má importante e la relación entre la tranformada de Laplace y la derivada, que no permitirá reolver ecuacione diferenciale. Propoición Supongamo que y e una función diferenciale por tramo de orden exponencial. Supongamo tamién que y e de orden exponencial. Luego para grande valore de, L( y )() L(y)() y() Y () y() donde Y () e la tranformada de Laplace de y.
Demotración L( y )() y (t) e t dt lim uando integración por parte: u e t du e t dt dv y (t) dt v y(t) L( y )() lim [ lim [y(t) e t y() e y() + y (t) e t dt ] + y(t) e t dt lim y() e lim y() + lim lim y() e y() + lim y() e y() + Y () y(t) e t dt y(t) e t dt ] y(t) e t dt Ya que y e de order exponencial, exiten contante C y a tal que y(t) C e at, por lo tanto: e y() C e ( a) lo cual converge a para > a cuando. Por lo tanto, Propoición L( y )() Y () y(). Supongamo que y e y on funcione diferenciale por tramo y continua y que y e continua por tramo. Supongamo que la tre on de orden exponencial. Luego, L( y )() L(y)() y() y () Y () y() y () donde Y () e la tranformada de Laplace de y. En general: L( y (k) )() k L(y)() k y() y (k ) () y (k ) ()
ale : ranformada de Laplace y(t) L(y)() Y () y (t) Y () y() y (t) Y () y() y () y (n) (t) k Y () k y() y (k ) () y (k ) () y(u) du Y () Linealidad de la tranformada de Laplace Supongamo que f y g on funcione continua por tramo de orden exponencial, y α y β on contante. Luego, L{α f(t) + β g(t)}() α L{f(t)}() + β L{g(t)}() Ejercicio: Calcular la tranformada de Laplace de f(t) 3 en t 4t + 5e 3t L{3 en t 4t+5e 3t } 3 L{en t} 4 L{t}+5 L{e 3t } 3 + 4 4 +5 3 La tranformada de Laplace del producto de una exponencial con una función El reultado de eta operación e una tralación de tranformada de Laplace. Supongamo que f e una función continua por tramo de orden exponencial. Sea F() la tranformada de laplace de f, y ea c una contante. Luego, L{ e ct f(t)}() F( c) Demotración L{ e c t f(t)}() e c t f(t) e t dt f(t) e ( c)t dt F( c) Ejercicio: Calcular la tranformada de Laplace de g(t) e t en 3t L{e t en 3t} F( ) 3 ( ) + 9 3 4 + 3
ale 3: ranformada de Laplace f(t) L(f)() F() e at en(t) e at co(t) ( a) + > a a ( a) + > a e at t n n! ( a) n+ > a La derivada de una tranformada de Laplace Decrie la relación entre la derivada de la tranformada de Laplace de una función y la tranformada de Laplace de la función mima. Supongamo que f e una función continua por tramo de orden exponencial, y ea F() u tranformada de Laplace. Luego, L{ t f(t)}() F () En general, i n e cualquier entero poitivo, entonce: L{ t n f(t)}() ( ) n F (n) () Demotración F () d d F() d ( ) ( f(t) e t dt d ( ) t f(t) e t dt L{ t f(t)}() f(t) ) (e t ) dt Ejercicio: Calcular la tranformada de Laplace de la función t e 3t Aqui f(t) e 3t F() ( 3) con F () d d (F()) ( 3) y F () d d (F ()) luego, L{ t e 3t }() ( ) F () ( 3) 3 ( 3) 3
La tranformada de Laplace invera Definición Si f(t) e una función de orden exponencial y L(f)() F(), luego llamamo f la tranformada de Laplace invera de F, y e exprea como: Quiere decir que: f L (F) F L(f) f L (F) Ejercicio: Calcular la tranformada de Laplace invera de la función: F() 5 6 + 4 { } { 6 f L (F) L L 5 { } { L 8 L 5 + 4 } + 4 } e 5t 8 en(t) Ejercicio: Calcular la tranformada de Laplace invera de la función: F() + 9 3 + 9 3 + 9 ( + )( 3) A ( + ) + B ( 3) A + B 3A + B 9 A( 3) + B( + ) ( + )( 3) luego, podemo reecriirlo como: (A + B) + ( 3A + B) ( + )( 3) A B 3 + 9 F() 3 { } f L (F) L ( + ) A( 3) + B( + ) ( + )( 3) ( + ) + 3 + L { 3 ( 3) ( 3) } e t + 3e 3t
Ejercicio: Calcular la tranformada de Laplace invera de la función: + 4 + 3 F() + () + 4 4 + 3 + 4 + 3 ( + () + 4) + 9 ( + ) + 3 + ( + ) + 3 + ( + ) + 3 ( + ) + 3 + ( + ) + 3 3 3 ( + ) + 3 { f L (F) L + } 3 { } 3 ( + ) + 3 L e t co(3t) ( + ) + 3 3 e t en(3t) Reolver Ecuacione Diferenciale uando la tranformada de Laplace Ejercicio: Uar la tranformada de Laplace para encontrar la olución del prolema de valor inicial: y + y co t con y(), y () L{y + y} L{co t} L{y } + L{y} L{co t} Y () y() y () + Y () Y ()( + ) Y () Y () + 4 + 4 ( + ) [ ] + 4 + + + 4 ( + )( + 4) Y () 3 ( + ) + ( + ) 3 ( + 4)
ya que: + + 4 ( + )( + 4) A + B ( + ) + C + D ( + 4) (A + B)( + 4) + (C + D)( + ) ( + )( + 4) A3 + 4A + B + 4B + C 3 + C + D + D ( + )( + 4) (A + C)3 + (B + D) + (4A + C) + (4B + D) ( + )( + 4) A + C B + D 4A + C 4B + D 4 A /3 B C /3 D + + 4 ( + )( + 4) + 3 ( + ) + 3 ( + 4) 3 ( + ) + ( + ) 3 ( + 4) Finalmente para encontrar el valor de y que e olución del prolema de valor inicial, utilizamo la invera de la tranformación de Laplace: y(t) L (Y ) { } { } 3 L + L 3 { } ( + ) ( + ) L ( + ) 3 co(t) + en(t) 3 co(t)
Funcione Dicontinua Función intervalo:, t < a H a (t), a t <, t < Función ecalón unitario: H(t) {, t <, t Función ecalón unitario traladada hata el punto c: {, t < c H c (t) H(t c), t c Podemo exprear la función intervalo H a (t) en función de la función ecalón unitario H a (t) y H (t) a travé de: H a (t) H a (t) H (t) H(t a) H(t ) Ejercicio: Expree la función g(t) en término de la función ecalón unitario: { t, t < g(t), t < g(t) t H (t) + H (t) t [H (t) H (t)] + H (t) t H (t) + ( t + ) H (t) t H(t ) (t ) H(t ) t H(t) (t ) H(t ) Ejercicio: Expree la función f(t) en término de la función ecalón unitario: 3, t < 4 f(t) 5, 4 t < 6 e t, 6 t < f(t) 3 H 4 (t) 5 H 46 (t) + e t H 6 (t) 3 [H (t) H 4 (t)] 5 [H 4 (t) H 6 (t)] + e t H 6 (t) 3 H (t) 8 H 4 (t) + 5 H 6 (t) + e t H 6 (t) 3 H(t) 8 H(t 4) + 5 H(t 6) + e t H(t 6)
La tranformada de Laplace de la función ecalón unitario L(H c )() H c e t dt c e t dt + c e t dt lim lim e c c e t e t dt c ( ) e lim + e c Luego, L(H a )() L(H a )() L(H )() e a e La tranformada de Laplace de una función traladada Sea f(t) una función continua por tramo y de orden exponencial. Sea F() la tranformada de Laplace de f. Luego para c, la tranformada de Laplace de la función H(t c) f(t c) eta dado por: L { H(t c) f(t c) } e c F() Demotración L { H(t c) f(t c) } c H(t c) f(t c) e t dt e t dt + c c f(t c) e t dt f(t c) e t dt (haciendo τ t c) f(τ) e (τ+c) dτ e c f(τ) e τ dτ e c F()
Ejercicio: Encontrar la tranformada de Laplace de la función H(t π/4) en(t) La función en(t) dee etar expreado en término de (t π/4) Luego, H(t π/4) en(t) en(t) en((t π/4) + π/4) en(t π/4) co(π/4) + co(t π/4) en(π/4) en(t π/4) + co(t π/4) H(t π/4) en(t π/4) + Finalmente, L { H(t π/4) en(t) } L{ H(t π/4) en(t π/4) } + + L{ H(t π/4) co(t π/4) } L { H(t π/4) en(t) } π e 4 + + π e 4 + H(t π/4) co(t π/4) π e 4 ( + + ) Propoición Supongamo que f(t) e una función continua por tramo y de orden exponencial. Supongamo que F() L{f}(). Luego, L {e c F()}(t) H(t c)f(t c) Ejercicio: Encontrar la tranformada de Laplace invera de la función e ( + 9) ( + 9) A + B + C + 9 A( + 9) + (B + C) (A + B) + C + 9A ( + 9) ( + 9) A + B C 9A A /9 B /9 C ( + 9) /9 + /9 + 9 e ( + 9) 9 e 9 e + 9
luego, { L e ( + 9) } { 9 L e } 9 { L e } + 9 9 H(t ) H(t ) co(3(t )) 9 9 H(t ) ( co(3(t ))) {, t < ( co(3(t )))/9, t < Función Periódica Una función f e periódica con período i f(t + ) f(t) t. Si conideramo olo un período de la función f eta e puede decriir como: { f(t), t < f (t), t < Propoición Supongamo que f e periódica con período y continua por tramo. Sea F () la tranformada de Laplace de f. L{f}() F () e f(t) e t dt e
Convolución Sea Y () G()F() y(t) L {Y ()}(t) L {G()F()}(t) El producto convolución Supongamo que f y g on funcione de orden exponencial. Supongamo que L(f)() F() y L(g)() G(). Luego, Definición L {F() G()}(t) f(u) g(t u) du La convolución de do funcione continua por tramo f y g e la función f g definifa por: luego, f g f(u) g(t u) du L {L(f)() L(g)()}(t) f g eorema Supongamo que f y g on funcione de orden exponencial. Luego, L{f g}() L{f}() L{g}() eorema Supongamo que f, g y h on funcione continua por tramo. Luego,. f g g f. f (g + h) f g + f h 3. (f g) h f (g h) 4. f
Ejercicio: Sea f(t) t t y g(t) t. Calcular (f g)(t) (f g)(t) f(u) g(t u) du (u u) (t u) du (tu tu u 3 + u ) du t4 t3 3 Ejercicio: Sea f(t) en t y g(t) t. Calcular la convolución f g de do forma: a) Directamente de la definición f g f(u) g(t u) du ) Evaluando F L(f) y G L(g) y luego calcular f g L {L(f) L(g)} a) f g f(u) g(t u) du [ t [ t [ t en u (t u) du t en u du ] t { [ ] t cou u co u ] t { [ ] t [ cou u co u + en u u en u du } co u du ] t} ] { [ co(t) + co() t co(t) + co()] [ ] } + en(t) en() t co(t) + t + t co(t) en(t) t en(t)
) F L(f) L(en t) + G L(g) L(t) F()G() ( + ) ( + ) A + B ( + ) + C + D (A + B) + C( + ) + D( + ) ( + ) A3 + B + C 3 + C + D + D ( + ) (A + C)3 + (B + D) + C + D ( + ) A + C B + D C D A B C D luego, F()G() ( + ) + { } { } L {F()G()} L + L ( + ) f g en(t) + t