TRABAJO PRÁCTICO Nº 1 CONTENIDOS: Geometría. Progresiones aritméticas y geométricas. Coordenadas cartesianas y polares Parte I: Geometría 1) Las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a. los pares de ángulos alternos internos entre paralelas son adyacentes b. los pares de ángulos alternos internos entre paralelas son suplementearios c. los pares de ángulos opuestos por el vértice son congruentes 2) Cuántos puntos de intersección pueden formarse con tres rectas? 3) Tres puntos en el espacio, son necesarios o suficientes para determinar un único plano? 4) Un anuncio de venta de un televisor dice que la pantalla es de 29 pulgadas; si la altura es de 0,8 del ancho de pantalla y el aviso refiere a la diagonal de la misma. Cuál es (expresado en centímetros) la medida del ancho y de la altura. (1 = 2,54 cm) 5) Una caja tiene 24 cm de largo, 8 cm de ancho y 10 cm de alto. Cuál es la longitud de la diagonal? 6) En un triángulo rectángulo un ángulo agudo mide el doble que el otro. Si la longitud del cateto más largo es 5, cuál es la longitud de la hipotenusa?. 7) El hueco de una ventana mide 100 cm. de ancho y 70 cm de altura. Puede introducirse por la ventana una mesa de ping pong de 125 cm de ancho? 8) Una escalera colocada contra una pared forma un ángulo de 60º con el suelo. Si la base de la escalera está a 3 metros de la pared. A qué altura del suelo está la parte superior de la escalera? 9) Si la longitud del lado de un hexágono regular es de 1 cm. Cuál es la longitud del segmento que une a los puntos medios de dos lados opuestos? 10) Si un triángulo equilátero tiene lados de longitud 1 m, calcular el radio de la circunferencia que contiene los tres vértices. 11) Un diseñador está calculando las dimensiones de un hexágono regular; si la altura (distancia entre las aristas paralelas) es de 120 cm.; calcular la distancia entre los vértices opuestos y la superficie.
12) Si una pirámide cuadrada tiene todas sus aristas de longitud =2. Hallar su altura. 13) Determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a. Un cuadrado es un rectángulo. b. Un rectángulo es un paralelogramo. c. Un paralelogramo es un rombo. d. Un trapecio es un paralelogramo. e. Algunos paralelogramos son rectángulos. f. Un rombo es un cuadrado. g. Algunos rombos son rectángulos. h. Un paralelogramo es un trapecio. i. Un trapecio puede tener sólo dos ángulos rectos. j. Un rombo puede tener los cuatro ángulos rectos. 14) Las medidas de dos ángulos complementarios están en una razón 2/3. Encontrar las medidas de los ángulos. 15) Un segmento de 112 cm se divide en una razón 3 a 5. Encontrar la longitud de los segmentos. 16) La longitud de cada lado de un hexágono regular es 4 unidades. Encontrar el valor de la apotema y el área del hexágono. 17) Calcular el área que corresponde a los sectores circulares de 100 cm de radio, para ángulos de 60º y 170º. 18) Si el área de un sector circular es un décimo del área del círculo; cuál es el ángulo central del sector? 19) Si el radio y la altura de un cilindro se duplican, cuánto se modifican su volumen? Parte II: Progresiones aritméticas y geométricas. 1) Una progresión aritmética es una sucesión de términos, donde cada uno se obtiene sumando una constante, llamada razón, al anterior. Siendo a 1 el primer término de la progresión, y r la razón, deducir una expresión para el término a n de la progresión aritmética.
2) Una progresión geométrica es una sucesión de términos, donde cada uno se obtiene multiplicando una constante, llamada razón, al anterior. Siendo a 1 el primer término de la progresión, y r la razón, deducir una expresión para el término a n de la progresión geométrica. 3) Determinar qué tipo de progresión representan las siguientes sucesiones: a) 1/3, 1, 5/3, 7/3 b) 3, 6, 12, c) 1, 4, 9, d) 16, 12, 9, e) 7, 9+3p, 11+6p 4) A partir de las expresiones para los términos enésimos de las progresiones aritmética y geométrica, determinar en cada caso, las expresiones para a 1, r, y n. 5) Hallar el término nro 16 de la progresión 4, 7, 10, 6) El tercer término de una progresión aritmética es 7/6 y el sexto es 2/3. Escribir la expresión para el término enésimo y calcular la suma de los primeros 25 términos. 7) Qué término de la progresión aritmética 5, 14, 23 es el número 239?. 8) Hallar el tiempo que se tardará en saldar una deuda de 880 pesos pagando 25 pesos el primer mes, 27 pesos el segundo, 29 pesos el tercero, etc. 9) Cuántos términos de la progresión aritmética 24, 22, 20 se necesitan para que la suma resulte 150? 10) En una progresión geométrica de 7 términos, el primero es 6000 y el último 0,006. Calcular la suma de todos los términos. 11) En el interior de un cuadrado de 12 cm de lado se determina un segundo cuadrado que tiene por vértices los puntos medios de los lados del primero, un tercer cuadrado que tiene por vértices los puntos medios de los lados del segundo y así se repite la operación 5 veces. Calcular la suma de las superficies de los cuadrados. Parte III: Coordenadas cartesianas y polares 1) En un sistema coordenado lineal (espacio unidimensional) hallar la distancia entre los puntos (-5) y (3) ; (6) y (-7) ; (-7) y (-11).La distancia entre dos puntos es 7. Si uno de los puntos es (-3) hallar las dos soluciones posibles. 2) Hallar los puntos de trisección del segmento cuyos extremos son (-7) y (-19).
3) Un extremo de un segmento es el punto (-8) y su punto medio es (3). Hallar la coordenada del otro extremo. 4) Hallar el perímetro del cuadrilátero cuyos vértices son (-3, -1) ; (0,3) ; (3,4) ; (4, -1) 5) Demostrar que los puntos (-2,-1) ; (2,2) ; (5, -2) son los vértices de un triángulo isósceles. 6) Demostrar que los puntos (2, -2) ; (-8,4) ; (5,3) son los vértices de un triángulo rectángulo y hallar su área. 7) Demostrar que los puntos (12,1) ; (-3, -2) ; (2, -1) están ubicados sobre una misma recta. 8) Tres vértices de un rectángulo son los puntos (2,-1) ; (7, -1) y (7,3). Hallar el cuarto vértice y el área del rectángulo. 9) Un cuadrado de lado 2 a tiene su centro en el origen de coordenadas y sus lados paralelos a los ejes coordenados. Hallar las coordenadas de sus cuatro vértices. 10) En un sistema coordenado unidimensional P 1 (x 1 ) y P 2 (x 2 ) son los puntos extremos de un segmento. Demostrar que la coordenada x de un punto P que P1 P divide al segmento P 1 P 2 en una razón dada: r = es: PP2 x1 + rx2 x = con r -1 1+ r 11) Haciendo r=1 en la fórmula obtenida en el ejercicio anterior, demostrar que la coordenada del punto medio de un segmento rectilíneo es la media aritmética de las coordenadas de sus puntos extremos 12) Hallar los puntos de trisección y el punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos (-2,3) y (6, -3). 13) Uno de los puntos extremos de un segmento es el punto (7,8) y su punto medio es (3,4). Hallar el otro extremo. 14) Los extremos de un segmento son los puntos (7,4) ; (-1, -4) ; hallar la razón en que el punto (1, -2) divide al segmento. 15) En un sistema de coordenadas polares, dibujar los siguientes puntos: P 1 (1,135º) ; P 2 (3, π/3) ; P 3 = (3,2π/3)
16) Construir un triángulo cuyos vértices son: P 1 (5, 60º) ; P 2 (2, 7π/4) ; P 3 (4,150) 17) Un cuadrado de lado 2.a tiene su centro en el polo y dos de sus lados son paralelos al eje polar. Hallar las coordenadas polares de cada uno de sus cuatro vértices. 18) Un punto se mueve de tal manera que para todos los valores de su argumento, su radio vector permanece constante e igual a 2. Identificar y dibujar el lugar geométrico. 19) Un punto se mueve de tal manera que para todos los valores de sus radios vectores su argumento permanece constante e igual a π/4. Identificar y dibujar. 20) Hallar las coordenadas polares de (-2.4) y (4, -2). 21) En cada uno de los casos siguientes, pasar la ecuación dada a la forma polar: x 2 + y 2 = 4 ; 5x 4y +3 = 0 ; 2x 2 + 2y 2 + 2x 6y +3 = 0 ; x.y = 2 22) En cada uno de los casos siguientes, pasar la ecuación polar a la forma rectangular: a) r.cosϕ -2 = 0 ; b) r = 2 senϕ ; c) r = 6cosϕ = 0 ; d) r - r.cosϕ = 2