Georg Cantor Matemático lemán creador de la teoría de conjuntos John Venn Matemático y filósofo británico creador de los diagramas de Venn ugust De Morgan Matemático ingles creador de leyes que llevan su nombre dentro del álgebra de la lógica n conjunto es una colección bien definida de objetos llamados elementos o miembros del conjunto. Para que una colección de objetos se considere como un conjunto no debe haber ambigüedad ni subjetividad. CONJNTOS La colección de pizarrones azules El grupo de alemanes entre 20 y 30 años NO SON CONJNTOS El grupo de los mejores maestros de computación El grupo de alumnas más guapas de la Facultad de Ciencias de la Computación Los conjuntos se indican por medio de letras mayúsculas y los elementos con letras minúsculas, números o combinación de ambos, estos elementos se colocan entre llaves { }, además el orden no es importante. = {n, r, i, m, d} Pertenencia: Se dice que un elemento x pertenece a un conjunto C si se verifica que el elemento se encuentra en el conjunto. x C x C Notación abstracta: = {x P(x) } Se lee es el conjunto de las x, tal que cumple la condición P(x) 1
Ejemplo 09/06/2011 Ejemplo El conjunto tiene como elementos a las letras de la palabra mandarina : ={m, a, n, d, a, r, i, n, a} = {m, a, n, d, r, i}= {n, r, a, i, m, d} En un conjunto se pueden eliminar los elementos repetidos y el orden no es importante. N={1,2,3,..} = Conjunto de los números naturales Z + =Conjunto de los números enteros no negativos= {0,1,2,3, } a Q= Conjunto de los números racionales = { b a,b Z; b 0} Si todos los elementos de también son elementos de, se dice que es subconjunto de o que está contenido en, y se denota como: Igualdad de conjuntos: Se dice que dos conjuntos y son iguales si tienen los mismos elementos, es decir: = {x x Z; 10 x 100} ={2,3,5,11,12,15,21,30,45,82} C={12,15,45} C C C C 1) Todo conjunto es un subconjunto de si mismo 2) El conjunto vacio ( ) es subconjunto de todos los conjuntos y en particular de él mismo: Si es un conjunto entonces al conjunto de todos los subconjuntos de se le llama conjunto potencia de y se indica como P(). Sea el conjunto = {a,b,c} entonces el conjunto potencia de es: P() = {,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}} 3) Todos los conjuntos son subconjuntos del conjunto universo (): El número de subconjuntos del conjunto está dado por: P() =2 n donde n es el número de elementos del conjunto 2
Son representaciones gráficas para mostrar la relación entre los elementos de los conjuntos. Por lo general cada conjunto se representa por medio de un circulo, óvalo o rectángulo. Determine los elementos de:,, C,?, C?, C?,?,, C, C lgunas afirmaciones de este diagrama son: C C C C C La unión del conjunto y el conjunto es el conjunto que contiene a todos los elementos del conjunto y del conjunto : = {x x ó x } La unión cumple las siguientes leyes Ley conmutativa = Ley de idempotencia = nión con el universo = Sean los conjuntos: = {1,2,3,6,7,8} = {x x N ; x 12; x es par} N es el conjunto de los números naturales N = {1,2,3,4,5, } Entonces = {1,2,3,4,6,7,8,10,12} = 3
La intersección del conjunto y el conjunto es el conjunto que contiene a todos los elementos que son comunes a los conjuntos y : = {x x ; x } La intersección cumple lo siguiente: Si y son disjuntos = Si = = = Intersección con el universo = Intersección con el vacío = Sean los conjuntos: = {1,2,3,6,7,8} = {x x Z + ; x 12; x es par} Z + es el conjunto de los números enteros positivos Z + = {0,1,2,3,4,5, } Entonces = {2,6,8} = = = = Dados tres conjuntos cualquiera, y C, se puede ver que se cumple la siguiente ley distributiva en la que intervienen la unión y la intersección de conjuntos: ( C) = ( ) ( C) C El complemento de un conjunto, que se denota como, es el conjunto que contiene a todos los elementos del conjunto universo que no pertenecen al conjunto : = {x x ; x } ( C) = ( ) ( C) C Propiedades del complemento a) ( ) = b) = c) = d) = e) = 4
Sean los conjuntos = {x x Z} = {1,3,5,8} = {x x Z ; x {1,3,5,8}} = {x x Z ; x 1; x 3; x 5; x 8}} 1) La negación de la intersección de dos o más conjuntos es equivalente a la unión de los conjuntos negados separadamente. ( ) = ( ) 2) La negación de la unión de dos o más conjuntos es igual a la intersección de los conjuntos negados por separado. ( ) = ( ) Sean los conjuntos: = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} = {1,3,6,7,9,10} = {1,2,3,7,9,10} Por una parte tenemos = {1,2,3,6,7,9,10} ( ) = {4,5,8} Y por otra parte tenemos = {2,4,5,8} = {4,5,6,8} = {4,5,8} La diferencia entre dos conjuntos y es el conjunto que contiene a todos los elementos del conjunto que nose encuentran en : - = {x x y x } ={x x } {x x } = 8 6 1 3 7 9 10 2 4 5 - Ejemplo: Sean los conjuntos: = {1,2,3,4,7,9,10} = {3,4,5,6,7,8} - = {1,2,9,10} - = {5,6,8} 5
Determine:,, C,, C, C, ( ) C, ( C) C Determina el conjunto que representa la parte sombreada La diferencia simétrica entre los conjuntos y es el conjunto que contiene a todos los elementos que se encuentran en pero que no están en : = {x (x y x ) o (x y x )}= ( ) ( ) Ejemplo: Sean los conjuntos: = {1,2,3,4,7,9,10} = {3,4,5,6,7,8} - = {1,2,9,10} - = {5,6,8} = {1,2,5,6,8,9,10} 6
Sean los conjuntos: ={x x Z} ={1,2,5,7,10,12} = {x x Z ; 3 < x < 15 ; x es primo} C={3,5,9,10,12,13,14} D={2,4,8,10,11} plicando las definiciones correspondientes obtener: a) ( ) b) (C D ) c) C (D ) d) [( ) C] D Para cada inciso obtenga el diagrama de Venn ={x x Z} ={1,2,5,7,10,12} = {x x Z ; 3 < x < 15 ; x es primo}={5,7,11,13} C={3,5,9,10,12,13,14} D={2,4,8,10,11} ={x x Z} ={1,2,5,7,10,12} = {x x Z ; 3 < x < 15 ; x es primo}={5,7,11,13} C={3,5,9,10,12,13,14} D={2,4,8,10,11} ( ) = {x x Z; x {5,7} } = {5,7} (C D ) D ={x x Z; x {2,4,8,10,11}} C D = {x x Z; x {2,4,8,11}} = {x x Z; x {5,7,11,13}} (C D ) = {2,4,5,7,8,13} = ( - ) ( - )= ( ) ( ) ={x x Z} ={1,2,5,7,10,12} = {x x Z ; 3 < x < 15 ; x es primo}={5,7,11,13} C={3,5,9,10,12,13,14} D={2,4,8,10,11} C (D ) C = {x x Z; x {3,5,9,10,12,13,14}} D = {1,4,5,7,8,11,12} C (D ) = {x x Z; x {1,3,4,5,7,8,9,10,11,12,13,14}} 7
={x x Z} ={1,2,5,7,10,12} = {x x Z ; 3 < x < 15 ; x es primo}={5,7,11,13} C={3,5,9,10,12,13,14} D={2,4,8,10,11} [( ) C] D = {x x Z; x {11,13} } ( ) C = {x x Z; x {3,5,9,10,11,12,13,14} [( ) C] D ={2,3,4,5,8,9,12,13,14} = {x x Z; x {5,7,11,13}} D ={x x Z; x {2,4,8,10,11}} Construye el diagrama de Venn que cumple con las siguientes condiciones : C ( ) ( ) (F E) D (E F) G (E F) E F (E F) n grupo de jóvenes fue entrevistado acerca de sus preferencias por ciertos medios de transporte (bicicleta, motocicleta y automóvil). Los datos de la encuesta fueron los que aparecen en el diagrama de Venn: Cuál fue el número de personas entrevistadas? cuántos le gustaba la bicicleta solamente? cuántos le gustaba el automóvil solamente? cuántos le gustaban las tres cosas? cuántos le gustaba la bicicleta y el automóvil pero no la motocicleta? 1. Doble negación a) ( ) = 2. Ley conmutativa a) = b) = 3. Ley asociativa a) ( C) = ( ) C b) ( C) = ( ) C 4. Ley distributiva a) ( C) = ( ) ( C) b) ( C) = ( ) ( C) 5. Ley de idempotencia a) = b) = c) = d) = e) = f) = 8
6. Ley de Morgan a) ( ) = b) ( ) = 7. Equivalencia a) ( ) = 8. Ley inversa a) = b) = 9. Propiedades del complemento a) = b) = 10. Ley de identidad a) = b) = 11. Ley aniquilación a) = b) = 12. Ley absorción a) ( ) = ( ) = Demostrar que : [-( )] [-( )] ( )= [-( )] [-( )] ( )= ([ ( ) ] ( )) [-( )]= (def. diferencia, conmutativa y asociativa) ([ ( )] [( ) ( )]) [-( )]= (distributiva) ([ ( )] []) [-( )]= (ley inversa) ([ ( )]) [-( )]= (identidad) () [-( )]= (absorción) () [ ( ) ]= (def. diferencia) () [ ( )] = (De Morgan) () [( ) ( )] = (distributiva) () [( ) ( )] = (ley inversa) () [( )] = (identidad) ( ) ( )] = (distributiva) ( ) ()] = (ley inversa) ( ) (identidad) sando las leyes de los conjuntos, demostrar que: ( C) ( C) ( C) ( C) ( C ) = C ( ) [( C) ( )] [( C) ( )] ( C )= C ( ) Ley distributiva [( C) ( )] [( C) ()] ( C )= C ( ) Ley inversa ( C) ( C) ( C )= C ( ) Ley identidad (C ( )) ( C ) = C ( ) Ley distributiva (C ( )) ( C ) = C ( ) Ley inversa C ( C ) = C ( ) Ley identidad (C ) (C ) (C C ) = C ( ) Ley distributiva (C ) (C ) = C ( ) Ley inversa (C ) (C ) = C ( ) Ley identidad C ( ) = C ( ) Ley distributiva Ejercicio 1 : Demuestra las igualdades (-)-C= -( C) Ejercicio 2: Simplifica la expresión [(( ) C ) ] Ejercicio 3: Demuestra que ( ) ( C) (C ( )) = 9
Sean y dos conjuntos finitos, entonces: = + - De 34 programas revisados en programación I, 23 marcaron error en la compilación, 12 tuvieron fallas en lógica y 5 en lógica y compilación. Cuántos programas tuvieron al menos un tipo de error? sí: = + - = 23 +12-5 =30 Cuántos no tuvieron error? 34 18 5 7 4 En el caso de tres conjuntos finitos,, y C, la expresión es: C = + + C - - C - C + C Para cuatro conjuntos es: C D = + + C + D - - C - D - C - D - C D + C + D + C D + C D - C D El número de elementos que se suman o restan esta dado por (2 n -1), n es el número de conjuntos. demás, usamos el principio de inclusión exclusión que establece que se deben sumar las áreas que involucran un número impar de conjuntos y se restan las que relacionan un número par. En la biblioteca existen 103 libros de ciencias de la computación que tratan de los siguientes temas: Compiladores Estructuras de datos Redes Del total, 50 libros tienen información sobre compiladores, 54 sobre estructuras de datos, 51 sobre redes, 30 sobre compiladores y estructuras de datos, 32 sobre compiladores y redes, 35 sobre estructuras de datos y redes, 19 sobre los tres temas. Cuántos libros contienen material exactamente sobre uno de los tres temas? Cuántos no tienen material de redes? Cuántos no tienen material sobre ninguno de los temas? Cuántos libros contienen material de compiladores y redes pero no de estructuras de datos? 10
El número de libros que contiene material exclusivo de uno de los temas es 7 + 8 +3 =18 Los libros que no tienen material de redes son: 26 + 7 +11+8=25 Los libros que no tienen material de ninguno de los tres temas son 26. Los libros que tienen información de redes y compiladores pero no de estructuras de datos son 13. 11