12. Espacios afines euclídeos

12. Espacios afines euclídeos Distancia y sistema de referencia métrico Ejercicio 12.1. Teorema de Sylvester-Gallai. Sean P 1,...,P n,n 3 puntos del espacio euclídeo afín A 2 (R) que no están sobre una recta. Pruebe que existe una recta que contiene exactamente a dos puntos. Ejercicio 12.2. En un triángulo rectángulo ABC con ángulo recto en A, pruebe que cos B A, d(b, A) BC = d(b,c). Ejercicio 12.3. En el plano euclídeo, un paralelogramos se denomina un rectángulo si sus cuatro ángulos son rectos; un diamante si sus cuatro segmentos de lado son de igual longitud; un cuadrado si es un rectángulo y un diamante. Pruebe las siguientes proposiciones: 1. Un paralelogramo es un rectángulo si y solamente si tiene, al menos, un ángulo recto. 2. Un paralelogramos es un diamante si y solamente si sus diagonales son perpendiculares. 3. Un paralelogramo es un cuadrado si y solamente si sus ángulos son rectos y sus diagonales perpendiculares. Ejercicio 12.4. Sea (E,V ) un espacio afín euclídeo y L E una variedad lineal afín no vacía. 1. Pruebe que para cada P E existe un único punto Q L tal que PQ D(L). Este punto Q se denomina proyección ortogonal de P sobre L. 2. Pruebe que para cualquier punto P E se verifica que d(p,q)<d(p,r), donde Q es la proyección ortogonal de P sobre L y R L,R Q. El último resultado admite el siguiente enunciado: la mejor aproximación de un punto P en un subespacio dado es su proyección ortogonal. Ejercicio 12.5. En un triángulo ABC, sea AM la mediana del lado BC. Pruebe que d(a,b) 2 + d(a,c) 2 = 1 2 d(b,c)2 + 2d(A, M) 2. Ejercicio 12.6. En un cuadrilátero ABCD del plano euclídeo, sean M y N los puntos medios de las diagonales AC y CD. Pruebe que d(a,b) 2 + d(b,c) 2 + d(c,d) 2 + d(d, A) 2 = d(a,c) 2 + d(b,d) 2 + 4d(M, N ) 2. Ejercicio 12.7. En el espacio afín euclídeo A 4 (R), y fijado un sistema de referencia métrico, sea L la variedad lineal afín definida por la ecuación x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1. 1. Calcule una base ortonormal de D(L). 2. Amplíe la base anterior a una base ortonormal de R 4. 3. Pruebe que existe un sistema de referencia métrico R en A 4 (R) tal que la ecuación de L respecto de R es de la forma x 1 = 0. Ejercicio 12.8. Sea L una variedad lineal afín en el espacio afín euclídeo A n (R),n 2. Si diml= r 1, pruebe que existe una sistema de referencia métrico en A n (R) respecto del cual las ecuaciones de L son de la forma x 1 = 0,..., x n r = 0. Ejercicio 12.9. En el planeta Endor, las tropas imperiales han localizado tres destacamentos rebeldes, que van a ser atacados en 24 horas. El centro de mando rebelde ha interceptado una comunicación imperial con las coordenadas de las posiciones de estas tropas con respecto al centro de mando imperial. Los puntos son ( 3, 4),( 2,α) y (1,β). Los valores de α y β no se han podido captar por el ruido en las transmisiones. El comandante rebelde sabe que, desde su punto de vista, las coordenadas de los destacamentos respectivos son (5,4),( 2,3) y (2,0). Ambos mandos usan la misma unidad de medida, pero sistemas de referencia con orientación diferente. La única posibilidad para los rebeldes es realizar un ataque sorpresa sobre el centro de mando imperial, pero necesitan localizarlo. Puede ayudar a encontrarlo? Ejercicios de Álgebra Lineal y Geometría I 132

Perpendicular común Ejercicio 12.10. Sea L la variedad lineal afín de A 4 (R) definida por las ecuaciones Calcule el plano π perpendicular a L tal que π L= (1,1,1,2)}. L : x1 x 2 = 0, x 1 + x 4 = 3. Ejercicio 12.11. En el espacio afín euclídeo A 4 (R), y con respecto a un sistema de referencia métrico fijo, se consideran los siguientes subespacios afines: 1. Determine si L 1 es perpendicular a L 2. x1 x 2 + x 3 2x 4 = 0 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 L 2 : (1, 1,3,3)+ (2,0,2, 1), (1,3,1,4), L 3 : (1, 2,5,0)+ (1,1,1,2). 2. Halle los hiperplanos que contienen a L 3 y son paralelos a L 1. Cuántas soluciones hay? 3. Halle una perpendicular común a L 2 y L 3. Cuántas soluciones hay? Ejercicio 12.12. Supongamos que el universo U es un espacio afín euclídeo de dimensión n > 3, la tierra T es una variedad lineal afín tridimensional T U, y que existe otra tierra T U tridimensional y no paralela a T. 1. Sea n= 4. Puede ser T T el conjunto vacío? Puede ser T T un punto? 2. Sea n= 5. Puede ser T T el conjunto vacío? Puede ser T T un punto? 3. Sean n= 5, con un sistema de referencia métrico fijado, y x4 = 0 T : x 5 = 1 T x1 + x 4 = 1 : x 4 = 1 (a) Desde qué puntos del universo, que no estén en T T, se puede emitir un rayo que corte a las dos tierras T y T? (b) Halle el punto de T desde donde sería más económico emitir un rayo que llegara a T. Indique el punto de llegada. Nota: se supone que los rayos siguen una trayectoria rectilínea. Ejercicio 12.13. En el espacio afín euclídeo A 3 (R), con respecto a un sistema de referencia métrico fijado, calcule la distancia y la perpendicular común de las rectas r 1 = (1,2,3)+ (1,0,0) y r 2 = (0,0,0)+ (0,2,4). Ejercicio 12.14. En el espacio afín euclídeo A 4 (R) se consideran, respecto de un cierto sistema de referencia métrico, la recta r y el plano L dados por r : (1,0,0,0)+ (a,0,0,1),l : (1,4,0,5)+ (1,2,0,3), (2,3,0,4), donde a R es un parámetro. 1. Determine la posición relativa de r y L según los valores del parámetro a. 2. Discuta la existencia de la perpendicular común a r y L según los valores de a. Cuando existe, es única? 3. Para a= 1, halle la distancia entre r y L. Ejercicio 12.15. En el espacio afín euclídeo A 4 (R), respecto de un sistema de referencia métrico, se consideran los subespacios afines de ecuaciones 2x1 + 3x 2 + 3x 3 + 1 = 0 x 1 x 4 4 = 0,L 2 = (0, 1,2,1)+ (0,1,1,0). 1. Calcule la posición relativa de L 1 y L 2. Ejercicios de Álgebra Lineal y Geometría I 133

2. Calcule todos los hiperplanos que contienen a L 1 y a L 2, y todos los hiperplanos paralelos a L 1 y a L 2 que pasen por el punto (1,1,1,1). 3. Calcule la distancia de L 1 a L 2. 4. Calcule todas las rectas secantes y perpendiculares a L 1 y a L 2. Ejercicio 12.16. En el espacio afín euclídeo A 4 (R) con respecto a un sistema de referencia métrico se consideran las variedades lineales x1 + x 2 = 0 L x 1 x 4 = 0 2 : (0,1,1,0)+ (1,1,1,0). Halle P 1 L 1 y P 2 L 2 tales que d(p 1,P 2 )=d(l 1,L 2 ) y calcule d(l 1,L 2 ). Ejercicio 12.17. Sean L 1 y L 2 variedades disjuntas de un espacio afín euclídeo E. Pruebe que si P 1 L 1 y P 2 L 2 son tales que d(l 1,L 2 )=d(p 1,P 2 ), entonces la recta r = P 1 + P 2 es perpendicular a L 1 y L 2. Ejercicio 12.18. En E = A 4 (R), con respecto al sistema de referencia estándar, calcule la distancia entre los planos π 1 : x1 x 4 = 2, x 2 x 3 = 2, π 2 : x1 x 3 = 2, x 2 x 4 = 1, Obtenga unos puntos P 1 π 1 y P 2 π 2 tales que d(π 1,π 2 )=d(p 1,P 2 ). Ejercicio 12.19. En el espacio afín euclídeo A 4 (R), fijado un sistema de referencia métrico, consideramos las variedades L 1 = (0,0,0,0)+ (1,0,1,0), (0,1,2,3), (1,0,0,1), L 2 = (1,1,1,1)+ (2,1,3,4). Calcule puntos P 1 L 1 y P 2 L 2 tales que d(l 1,L 2 )=d(p 1,P 2 ). Ejercicio 12.20. En el espacio afín euclídeo E = A 4 (R), fijado un sistema de referencia métrico, se consideran la recta r y los planos π 1 y π 2 dados por x1 + x 2 3 = 0 π 1 = x 1 x 4 1 = 0 1. Halle las posiciones relativas de π 1 y π 2, y de r y π 2. r : (1,0,2,0)+ (1, 1,1,1), π 2 : (1,0,1,0)+ (1,0,1, 1), (0,1,0,0). 2. Halle todas las rectas que pasan por P = (2, 1,2,1), son coplanarias con r, y cohiperplanarias con π 2. 3. Sea f : E E dada por f (Q)=[Q+ D(π 2 )] π 1. Calcule f (r ). 4. Halle la perpendicular común a r y π 2 y la distancia entre ambas. Ejercicio 12.21. En el espacio afín euclídeo de dimensión 4, y con respecto a un sistema de referencia métrico, se dan las variedades r : (1, 2, 4, 1)+ (0,3,5,2),r : (1,3,1,1)+ (0,1, 1,1),π: (0,5,5,4)+ (0,2,3,1), ( 1,1,2,1). 1. Determine las posiciones relativas de r y π, y de r y r. 2. Calcule todas las rectas secantes a r y r y paralelas a π. 3. Calcule la recta perpendicular a r y π y secante a ambas. 4. Obtenga las ecuaciones de una homotecia h de centro (1,3, 1,3) y que aplica la recta r en otra que corta al plano π. Calcule h(π). Ejercicio 12.22. Sean L 1,L 2 A n (R) subespacios afines no vacíos y disjuntos. Pruebe que existe una recta que corta a cada uno de ellos y es perpendicular a L 1 y a L 2. Ejercicios de Álgebra Lineal y Geometría I 134

Ejercicio 12.23. En el espacio afín euclídeo A 4 (R), con respecto al sistema de referencia estándar, se consideran los puntos P = (1,1,1,1),Q = (2,2,2,2), la recta r : (5, 2,2,1)+ ( 3,0,0,1) y el plano 1. Halle el plano π 2 que pasa por P y contiene a r. x1 + x 2 x 3 + x 4 = 2, π 1 : x 2 + x 3 x 4 = 1. 2. De entre todos los hiperplanos que pasan por P y contienen a π 1, seleccione el hiperplano H que es paralelo a r. 3. Calcule la distancia de Q a π 1 π 2. 4. Obtenga las secantes perpendiculares a π 1 y a H desde el punto Q. 5. Compruebe que la distancia de cualquier punto de r a H es la misma. Ejercicio 12.24. En el espacio afín euclídeo A 4 (R) y con respecto a un sistema de referencia métrico dado, se consideran las rectas r : (3,0,3, 1)+ (1, 1,1, 1), s : (1,0, 1, 3)+ (1,1, 1, 1). 1. Halle la posición relativa de r y s. 2. Calcule la perpendicular común a r y s, así como la distancia entre ambas. 3. Calcule unas ecuaciones implícitas de r + s y obtenga su dimensión. 4. Sea P 0 = (0,0,0,1). Halle unas ecuaciones paramétricas de (P 0 + r ) (P 0 + s). 5. Sea P 0 = ( 2, 1,0,0). Halle todas las rectas que pasan por P 0 y son coplanarias a r y a s. Es secante a ambas rectas? 6. Razone si para cualquier punto P 0 r s existe una recta que pasa por P 0 y es secante a r y a s. En caso negativo, para qué puntos P 0 ocurre y para cuáles no? Ejercicio 12.25. En el espacio afín A 4 (R), y fijado un sistema de referencia métrico, consideramos las variedades lineales afines 2x1 + x 2 x 4 = 0,,L x 2 + x 4 = 0, 2 = (2,3,3,0)+ (1,1,1,0). 1. Calcule una base ortonormal de D(L 2 ). 2. Obtenga unas ecuaciones implícitas de una perpendicular común a L 1 y L 2. Justifique si es única. 3. Calcule P 1 L 1,P 2 L 2 tales que d(l 1,L 2 )=d(p 1,P 2 ). Ejercicio 12.26. En el espacio afín euclídeo A 4 (R), y fijado un sistema de referencia métrico, se consideran las variedades L 1 = (1,0,1,0)+ x1 x 2 = 0, (1, 1,0,1),L 2 : x 4 = 1. 1. Determine si L 1 y L 2 son perpendiculares. 2. Calcule una base ortonormal del subespacio D(L 1 ). 3. Calcule d(l 1,L 2 ). Ejercicio 12.27. En el espacio afín euclídeo A 3 (R), y respecto a un sistema de referencia métrico fijado, consideramos las variedades L 1 = A 1 + A 2 + A 3,L 2 = B 1 + B 2 + B 3, donde A 1 = (0,1,0), A 2 = (1, 1, 1), A 3 = (1/2,0, 1/2),B 1 = (2,0,0),B 2 = (1,3,1),B 3 = (2,2,0). 1. Estudie la posición relativa de L 1 y L 2 y calcule puntos P 1 L 1,P 2 L 2 tales que d(l 1,L 2 )=d(p 1,P 2 ). 2. Halle las ecuaciones implícitas de una perpendicular común a L 1 y L 2. Es única? Ejercicios de Álgebra Lineal y Geometría I 135

3. Calcule L L 1 y L+ L 2, donde L= (0,0,0)+L 1. Ejercicio 12.28. En el espacio afín euclídeo A 3 (R), fijado un sistema de referencia métrico, se consideran las variedades L 1 = (0,0, 1)+ (1,1,0), (0,1,1),L 2 : 1 2x 1 + 2x 2 2x 3 = 0. 1. Estudie la posición relativa de L 1 y L 2. 2. Calcule L la perpendicular común a L 1 y L 2 que pasa por el punto (0,0,0). Ejercicio 12.29. En el espacio afín euclídeo A 3 (R), y con respecto al sistema de referencia métrico canónico, se consideran las variedades L 1 = (1,0, 1)+ (1,1,1), (1,0,1), 3x2 2x 3 + 6=0, L 2 : x 1 x 3 1=0. 1. Calcule una base ortonormal de R 3 que contenga a una base de la variedad D(L 1 ). 2. Halle una perpendicular común a L 1 y L 2. Ejercicio 12.30. En el espacio A 4 (R), y con respecto a un sistema de referencia métrico fijado, consideremos las variedades x 1 + x 3 2x 4 = 3, x 2 5x 3 x 4 = 2, L 2 = (0,3,5, 2)+ (1,0, 1,0). x 1 + 3x 2 + x 3 = 12, 1. Determine la posición relativa de L 1 y L 2 e indique las dimensiones de las variedades L 1,L 2,L 1 L 2,L 1 + L 2. 2. Halle unas ecuaciones implícitas de L 1 + L 2. 3. Calcule una perpendicular común a L 1 y L 2. Es única? 4. Obtenga un plano paralelo a L 1 y L 2 y que no corte a L 1 + L 2. Ejercicio 12.31. En el espacio afín euclídeo A 4 (R), y fijado un sistema de referencia métrico, consideramos las variedades x1 = 0, x 1 = 3,L 2 : x 3 = 0. 1. Calcule una perpendicular común y los pies correspondientes. 2. Determine si la perpendicular común hallada es única. 3. Calcule la distancia entre ambas variedades. Ejercicio 12.32. Determine las posibles posiciones relativas de las variedades L 1,L 2 A 5 (R), donde diml 1 = 2,dimL 2 = 3. En el caso de intersección vacía, estudie si existe una única perpendicular común a ambas. Ejercicio 12.33. En A 4 (R), y fijado un sistema de referencia métrico, consideramos las variedades x1 + x 2 + x 3 x 4 = 0, π : x 1 x 2 = 2. Calcule una perpendicular común a π y r y determine si es única.,r : x 1 x 2 = 1, x 2 + x 3 = 5, x 3 + 2x 4 = 0. Ejercicio 12.34. En el espacio afín euclídeo A 3 (R), y fijado un sistema de referencia métrico, tenemos las siguientes variedades : x1 + x 2 2x 3 = 3,,L x 1 x 3 = 0. 2 = (3,2,2)+ (1,1, 1). 1. Determine la posición relativa de L 1 y L 2 e indique las dimensiones de L 1,L 2,L 1 L 2,L 1 + L 2. 2. Calcule unas ecuaciones implícitas de un plano paralelo a L 1 y L 2. Ejercicios de Álgebra Lineal y Geometría I 136

3. Calcule una perpendicular común a L 1 y L 2 y razone si es única. Ejercicio 12.35. En el espacio afín euclídeo A 4 (R), consideramos los planos x1 + x 2 = 0, π 1 : x 1 x 3 = 0, x1 x 2 1=0,,π 2 : x 3 = 0. 1. Pruebe que π 1 π 2 =. 2. Calcule la distancia entre π 1 y π 2. 3. Dado Q = (2,0,0,1), justifique si existe alguna perpendicular común a π 1 y π 2 que pase por Q. Ejercicio 12.36. En el espacio euclídeo A 4 (R), donde se ha fijado un sistema de referencia métrico, se consideran las variedades L 1 = (1, 1,1,1)+ (1,0,1,0), L 2 = (2,0,0, 2)+ (0, 1,1,1). 1. Determine la posición relativa de L 1 y L 2. 2. Calcule una base ortonormal de D(L 1 + L 2 ). 3. Pruebe que existe una única perpendicular común L 0 a L 1 y L 2 y obtenga unas ecuaciones implícitas de L 0. Ejercicio 12.37. En el espacio afín euclídeo A 4 (R), respecto de un sistema de referencia métrico, consideramos las variedades x1 x 3 = 1,,L x 2 + x 3 2x 4 = 0, 2 = (3,3,3,3)+ (1,1,1,1). 1. Determine la posición relativa de L 1 y L 2 e indique la dimensión de cada una de las siguientes variedades lineales afines: L 1,L 2,L 1 + L 2,L 1 L 2. 2. Obtenga unas ecuaciones implícitas de L 1 + L 2. 3. Calcule una perpendicular común a L 1 y L 2. Es única? Ejercicio 12.38. En el espacio afín euclídeo A n (R),n 3, consideramos dos variedades L 1,L 2 tales que dim L 1 = t 2,dimL 2 = n t+ 2 y perpendiculares. Pruebe que: 1. D(L 1 )+D(L 2 )=R n. 2. Las variedades L 1 y L 2 se cortan (L 1 L 2 ). 3. La variedad L 1 L 2 es un plano. Ejercicio 12.39. En el espacio afín euclídeo A 4 (R), fijado un sistema de referencia métrico, se consideran las siguientes variedades : L 1 = (4,0, 6,6)+ 3x 1 + 2x 2 x 3 x 4 = 3 (0, 1,2, 1), L 2 : 2x 2 x 4 = 1 6x 1 2x 2 + 2x 3 + x 4 = 5. 1. Calcule la posición relativa de L 1 y L 2, indicando las dimensiones de L 1, L 2, L 1 L 2 y L 1 + L 2. 2. Calcule la distancia de L 1 a L 2 y un punto de cada una que estén a esa distancia mínima, es decir, halle P 1 L 1 y P 2 L 2 tales que d(p 1,P 2 )= d(l 1,L 2 ). Ejercicio 12.40. En el espacio afín A 4 (R), y fijado un sistema de referencia métrico, consideramos las siguientes variedades : x1 = 1, x1 = 2, π 1 :,π x 2 = 1. 2 :, =(2, 1,2,0)+ (1,0,0,0). x 2 = 1. 1. Calcule unas ecuaciones paramétricas de π 1 +. 2. Calcule una ecuaciones implícitas de π 2. 3. Determine las rectas cohiperplanarias con π 1 contenidas en π 2. Ejercicios de Álgebra Lineal y Geometría I 137

4. Halle una perpendicular común a los dos planos π 1 y π 2 y la distancia entre ellos. Ejercicio 12.41. En el espacio afín euclídeo A 4 (R), con respecto al sistema de referencia métrico estándar, consideramos los puntos A 0 = (1,1,1,1), A 1 = (1,1, 1, 1), A 2 = (1, 1,1, 1), A 3 = (1, 1, 1,1), B 0 = (0,1,1,1),B 1 = (0,1, 1, 1),B 2 = (0, 1,1, 1),B 3 = (0, 1, 1,1). 1. Definimos los planos π 1 = A 0 + A 0 A 1, A 0 A 2,π 2 = B 1 + B 1 B 2, B 1 B 3. Calcule una perpendicular común a π 1 y π 2 y la distancia d(π 1,π 2 ). 2. Determine si existe una perpendicular común a π 1 y π 2 que pasa por el baricentro G A de los puntos A i,0 i 3, y por el baricentro G B de los puntos B i,0 i 3. Recordemos que el baricentro G de un conjunto de puntos P 1,...,P r verifica que GP 1 + + GP r =0. Ejercicio 12.42. En el espacio afín euclídeo A 4 (R), y con respecto a un sistema de referencia métrico, se consideran los subespacios afines 5x1 7x 2 + 5x 3 = 3, 2x 1 3x 2 + x 4 = 1. L 2 : (1,1,1,2)+ (1,2,3,4),L 3 : (1,1,1,1)+ (4,3,2,1). 1. Estudie las posiciones relativas de L 1 y L 2, de L 1 y L 3 y de L 2 y L 3. 2. Determine una base de la dirección de una perpendicular común a L 2 y L 3. 3. Existen hiperplanos que contengan a L 1 y L 3? Cuántos? Calcule sus ecuaciones. 4. Es posible trazar desde el origen una recta que corte a L 2 y L 3? Calcule su ecuación, si existe. Ejercicio 12.43. En el espacio afín euclídeo A 4 (R), y fijado un sistema de referencia métrico, consideremos los subespacios afines x 1 +x 4 = 1 r : x 2 = 1 π : ( 1,0, 3,0)+ (1, 1,0,0),(0,0, 1, 1). x 3 = 0 1. Halle la posición relativa de r y π. 2. Calcule d(r, π). 3. Sea P π. Es cierto siempre que (P + r ) π es un punto? Razone la respuesta. Ejercicio 12.44. En el espacio afín A 4 (R), donde hemos fijado un sistema de referencia métrico, se consideran los subespacios afines L 1 = (0, 3,0,2)+ x 1 +x 2 x 3 x 4 = 1, (0, 1,2, 1),L 2 : x 2 +x 4 = 5, x 1 x 3 = 8. 1. Determine la posición relativa de L 1 y L 2. 2. Pruebe que L 2 = (8, 1,0,6)+ (1,0,1,0). 3. Determine un subespacio afín de dimensión mínima que contenga estrictamente al punto P = (0,0,0,1) y sea paralelo a L 1 y L 2. 4. Verifique que la dirección de una perpendicular común a L 1 y L 2 es W = ( 1,2,1,0), (0, 1,0,1). Ejercicios de Álgebra Lineal y Geometría I 138

Problemas métricos Ejercicio 12.45. Consideremos un triángulo en el plano afín euclídeo. Pruebe que los productos de las longitudes de los dos segmentos determinados por el ortocentro en cada altura es constante. Ejercicio 12.46. Sea ABC un triángulo en el plano afín euclídeo y P un punto cualquiera del plano. Pruebe que las tres rectas que pasan por P y son perpendiculares, respectivamente, a las rectas AB, AC y la mediana correspondiente al vértice A (la recta determinada por el punto A y el punto medio del lado BC), cortan la altura que pasa por el vértice A en tres puntos que determinan dos segmentos de igual longitud. Ejercicio 12.47. En el espacio euclídeo tridimensional, con coordenadas (x 1, x 2, x 3 ), se consideran las rectas 2x1 + 3x 2 + 3x 3 + 1 = 0 r 1 : x 1 + 6x 2 3x 3 4 = 0 r 2 = (3,4,1)+ (0,1, 1). Pruebe que se cruzan y calcule la perpendicular común, dando su dirección y sus pies en ambas rectas. Ejercicio 12.48. Pruebe que, en un tetraedro regular, las aristas opuestas tienen direcciones ortogonales y su perpendicular común pasa por sus puntos medios. Pruebe que la figura formada por los puntos medios de las aristas de un tetraedro regular es un octaedro regular. Ejercicio 12.49. Pruebe que las diagonales de las caras de un cubo forman dos tetraedros regulares. Ejercicio 12.50. En A n+1 (R) consideramos el conjunto n = (x 1,..., x n+1 ) n+1 i=1 x i = 1, x i 0 para todo i }, que se denomina n-símplice regular. Es un politopo dentro del hiperplano H : i x i = 1 de A n+1 (R). El hiperplano H se identifica con A n (R), por lo que n se puede ver como un conjunto en A n (R). Para n = 2 tenemos un triángulo equilátero y para n = 3 un tetraedro regular. Tiene n+ 1 vértices y cada n vértices definen una cara, que es un hiperplano en A n (R). La cara opuesta a un vértice es la cara generada por los restantes vértices. Sean P 0,P 1,...,P n A n (R) los vértices de un n-símplice regular. Por definición, la distancia d(p i,p j ) es la misma para vértices distintos y podemos suponer que es igual a 1. Además, tomamos el baricentro de estos puntos como origen de coordenadas O, por lo que Llamemosv i = OP i,i = 0,1,...,n. 1. Pruebe que v i 2 = n 2(n+1),i = 0,1,...,n. 2. Se verifica que v i v j = 1 2(n+1) si i j. OP 0 + OP 1 + + OP n =0. 3. El vectorv i es normal a la dirección de la cara opuesta del símplice. 4. El ángulo diedro θ entre las caras de n verifica cosθ= 1 n. Ejercicio 12.51. Sea ABCD un tetraedro en A 3 (R). Un plano de Monge es el plano que pasa por el punto medio de una arista y es perpendicular a la arista opuesta. 1. Pruebe que los seis planos de Monge se cortan en un punto M, llamado punto de Monge. 2. Sea G el baricentro del tetraedro. Una bimediana del tetraedro es la recta que une los puntos medios de aristas opuesta. Pruebe que G es la intersección de las bimedianas, y es el punto medio de cada uno de estos segmentos. 3. Sea O c el circuncentro del tetraedro. Entonces GM = GO c. 4. Se llama altura de un tetraedro a la recta que pasa por un vértice y es perpendicular al lado opuesto. En general, las alturas no se cortan en un punto. Un plano de Mannheim contiene la altura y el ortocentro de la cara de un tetraedro. Hay, por tanto, cuatro planos de Mannheim. Pruebe que los planos de Mannheim se cortan en el punto de Monge. 5. Un tetraedro se denomina rectangular si las aristas opuestas tienen direcciones perpendiculares. Pruebe que un tetraedro es rectangular si y solamente si tiene ortocentro, es decir, las alturas de cada vértice se cortan en un punto. Ejercicios de Álgebra Lineal y Geometría I 139

Ejercicio 12.52. En este ejercicio tratamos un caso particular del problema de Pappus, resuelto por Descartes en su libro La Géométrie, en el que se pide determinar un conjunto de puntos, que hoy llamamos lugar geométrico. Descartes usa la geometría de coordenadas para dar, por primera vez, una descripción del conjunto mediante una ecuación. Consideremos las rectas r 1 : x= 0,r 2 : y = 0,r 3 : x y+ 1=0,r 4 : x 2y 1= 0. Para un punto P del plano, llamamos d i = d(p,r i ),1 i 4. Calcule la ecuación del lugar geométrico de los puntos tales que d 1 d 2 = d 3 d 4. Ejercicios de Álgebra Lineal y Geometría I 140