UNIDAD : Epresiones Algebraicas Unidad Epresiones Algebraicas A - DEFINICIONES Epresión literal: Es la reunión de letras (variables) y cifras (números reales) combinados entre sí y sometidos a operaciones matemáticas. Epresión algebraica: Es toda epresión literal en la que aparece una combinación finita de las siguientes operaciones matemáticas: suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación. + y ; y ; y a a b ab b Epresión algebraica entera: Es toda epresión algebraica en las que las operaciones matemáticas de que se compone son las siguientes: suma, resta, multiplicación y potenciación con eponente natural. a + b + c ; y + y ; c + d Epresión algebraica fraccionaria o fracción algebraica: Es el cociente de dos epresiones algebraicas enteras, siendo la segunda no nula. el numerador y el denominador de la fracción se llaman dividendo y divisor respectivamente. 1 1 ; y y Monomio: Es toda epresión entera en la que no intervienen las operaciones de suma ni de resta. a b ; 1 y z Coeficiente de un monomio: Es el número real que precede al monomio. a b ; 1 y z tienen por coeficientes, respectivamente y 1 /. Monomios semejantes: Dos monomios son semejantes cuando tienen las mismas letras o variables con los mismos eponentes, es decir, cuando difieren solamente por los coeficientes. y ; 6 y 5 0
UNIDAD : Epresiones Algebraicas Grado de un monomio: Es el número natural de sus factores literales; es decir, la suma de los eponentes de todas sus letras o variables. El monomio 9 y z es de 7mo. grado. Polinomio: Es la suma algebraica de monomios llamados términos del polinomio. Cuando el polinomio tiene sólo dos términos se llama binomio, cuando tiene sólo tres términos se llama trinomio, etc. a b ; y son binomios; y y es un trinomio; 5 es un polinomio. Grado de un polinomio: Es el mayor de los grados de los monomios que componen el polinomio. se simboliza con: gr [p()]. p() = 5 es de to grado o gr [p()] = q() = 7 es de do grado o gr [q()] = Polinomio homogéneo: Es todo polinomio en el que todos sus términos son del mismo grado. y y es un polinomio homogéneo de do grado Polinomio ordenado respecto a una de sus letras (o variables): es cuando los términos del polinomio están dispuestos de modo que los eponentes de dicha letra ordenatriz o variable vayan aumentando o disminuyendo sucesivamente desde el primer término hasta el último. La ordenación será creciente o decreciente, según que los eponentes de la letra ordenatriz o variable vayan de menor a mayor o viceversa. 6 El polinomio 7 5a a 8 ordenado en forma decreciente respecto de la variable será: 6 5a 7 a 8 Polinomio completo: Es todo polinomio que contiene términos de todos los grados de la letra ordenatriz o variable elevado hasta el grado cero. El polinomio 5 1 puede completarse de la forma: 5 0 0 0 0 1 Valor numérico de una epresión algebraica: Es el número real que resulta de reemplazar las letras o variables por números determinados y ejecutar las operaciones en la epresión dada. 1
UNIDAD : Epresiones Algebraicas y y El valor numérico de la epresión: y.. 5 Es igual a 5, pues: 5 5 para =, y= Observación: Una epresión algebraica tiene un valor numérico para cada sistema de valores que se atribuyan a sus variables, siempre que las operaciones a las cuales están sometidas, sean posibles. La epresión 6 posible la división cuando el divisor es nulo. carecerá de valor numérico para =, por no ser Operaciones con polinomios 1) Suma: y y y y y y y ) Resta: y y y y y y y y ) Producto: a) Producto de un polinomio y un monomio: Se utiliza la propiedad distributiva: a b c.d ad bd cd y y. y y y 6y b) Producto de dos polinomios: Se utiliza la propiedad a b c. d e a b c.d (a b c).e ad bd cd ae be ce 1. 1 1. 1 5 6 6 5 6 7 10 7 Nota: La ordenación de los polinomios facilita el cálculo del producto. Se tiene, por ejemplo, la siguiente disposición práctica:
UNIDAD : Epresiones Algebraicas 6 6 5 5 X 7 6 10 1 7 ) Cociente de dos polinomios: En general cuando se divide un entero positivo p por un entero positivo s, obtenemos un único cociente q y un residuo r que satisfacen: p s.q r donde 0 < r < s Un resultado análogo, llamado algoritmo de división para polinomios se enuncia de la siguiente manera: El algoritmo de división para polinomios: Sea f() y q() polinomios con g() 0, entonces eisten polinomios únicos q() y r() tales que: f () g().q() r() Donde, r() es 0, o tiene un grado menor al grado de g(). Llamamos a f() dividendo, a g() divisor, a q() cociente y a r() residuo. Cuando r()=0, entonces, entonces f()=g().q() y g() es un factor de f(). En este caso se dice que f() es divisible por g(). Observación: Si g() es un polinomio de primer grado, entonces el resto o residuo r() es un polinomio de grado cero, es decir, un número real. Consideremos una disposición práctica para f():g() _ 8 a 7a a 8 6a a a 5a a a a con lo cual q()= -a y r()= a Por otro lado se puede verificar que: g().q()+r() = ( a )( a ) + ( a ) = 8 a 6a a = 8 a 7a = f()
UNIDAD : Epresiones Algebraicas Nota: Cuando f() y g() no sean polinomios completos, conviene a los efectos del cálculo, completarlos previamente. c) Cociente de un polinomio entero en la variable por otro de primer grado de la forma: a a R: Sean f() = y g() 1 En este único caso, en que, el polinomio g() es un polinomio de primer grado se puede calcular la división a través del siguiente procedimiento: División práctica o Regla de Ruffini: (es imprescindible que el polinomio dividendo sea completo) Permite conocer el cociente q() y el resto r() de la división de f() por a. 5 6 9 7 : El cociente q(): es otro polinomio en, de grado igual a la unidad menor que el polinomio dividendo, y el resto r, un polinomio de grado cero. gr q() grf() 1 ; r() 0 gr (es un nº real) Para realizar la división aplicando la regla práctica de Ruffini, se ordena y completa el polinomio dividendo f(), según potencias decrecientes de, los coeficientes del cociente q() y del resto r resultan de: Cociente: q() = 5 5 5-6 -9 7 10 8-10 5-1 5 1 grq() Residuo o resto: r = 1 grr 0 Los coeficientes se obtienen: 1er. coeficiente: 5 do. coeficiente: 5() ( 6) er. coeficiente: () ( 9) 1 Coeficientes del divisor q() to. coeficiente: ( 1)() 7 5 Residuo o resto: 5() 1 Teorema del residuo Cuando un polinomio f() se divide por a, el residuo r es el valor del polinomio en = a, esto es, r = f(a). Demostración: Si se divide el polinomio cociente f() por el binomio a se tiene: f() = q().( a) + r Si se calcula el valor numérico de f() para = a, se obtiene: Se concluye: f(a) = q(a)(a a) + r = 0 + r = r f(a) = r
UNIDAD : Epresiones Algebraicas Determine el residuo cuando f() = 5 6 9 7 se divide por. Según el teorema del residuo: r = f() = 5() 6() 9() 7() = 1 Se dice que un número a es cero o una raíz de un polinomio f() si f(a) = 0. En este caso, r f (a) 0 y se deduce por tanto, según lo anteriormente dicho que se puede escribir el polinomio f() como: f () q()() Esto nos permite enunciar el siguiente teorema: Teorema del factor Un número a es una raíz de un polinomio f() sí y sólo sí a es un factor de f(). Por tanto, cuando a es raíz de f(), a es un factor. Y viceversa, si a es un factor de f(), entonces f() tiene la forma: f() = q()( a) En este caso vemos que: f(a) = q(a)(a a) = 0 Determinar si + 1 es factor de f() = 5 6 1 Si se calcula: f ( 1) ( 1) 5( 1) 6( 1) 1 11 Puesto que f ( 1) 0 se concluye que: + 1 no es un factor de f(). Resumen: Utilizando la Regla de Ruffini se obtienen las siguientes divisiones eactas: f() g() q() = f():g() 5 5 5
UNIDAD : Epresiones Algebraicas Ejercitación 1) Hallar el valor de los siguientes polinomios para: = - ; = 1/ ; = 0 a) 5 6 b). c) 6 d) 1 e) ( 1) ( 1) ) Determinar si las siguientes epresiones algebraicas son polinomios. En caso afirmativo dar su grado y coeficiente principal. a) 8 1 b) y y y 7 1 c) t t t 1 d) z (5z z 18) 1 10 e) 7. f) r ) Ejecutar las operaciones indicadas y epresar el resultado como un polinomio estándar. 5 a) 5 7 b) y y 7y 8 5y y 9y 1 c) 1 7 6 5 d) 7 1 8 e) v v 6v f) y y y y 5 ) En las siguientes epresiones utilizar el algoritmo de la división para dividir f() por g(). Epresar el resultado en la forma: f() = q()g() + r() a) f () 7; g() 8 b) f () 5 7 1; g() 1 c) f () 7 ; g() d) f () 7; g() 5 e) f () 6 ; g() 5) Aplicar la Regla de Ruffini para dividir f() por g(). Identificar el cociente q() y el residuo r(). a) f () 5; g() 1 6
UNIDAD : Epresiones Algebraicas b) f () 9 1; g() 1 c) f () 16; g() d) f () ; g() 1 6) Utilizar la Regla de Ruffini, para hallar un valor de k tal que f() sea divisible por g(). a) f () k 9k; g() 1 b) f () k k ; g() 7) Aplicar el teorema del residuo para hallar r, cuando f() se divide por g(). a) f () 6; g() b) f () 5 ; g() 1 c) f () 5; g() 8) Determinar si el polinomio dado g() es un factor del polinomio f(). 1 a) f () 8 ; g() b) f () ; g() 5 c) f () 5 10 5 1 ; g() 0, RESPUESTAS EJERCITACIÓN 15 15 1 1) a) 0 ; ; 6 b) 9 5 ; ; c) 19; ; 0 11 1 d) 11 ; ; 1 e) 1; ; 0 16 ) a) Polinomio grado 1. coeficiente principal: 8 b) No es polinomio. c) No es polinomio. d) Polinomio de grado 5, coeficiente principal: 5 e) No es polinomio. f) No es polinomio. 5 ) a) 8 6 6 b) 6y y y 7 7 6 5 c) 5 1 d) 7 8 1 e) v 8v v f) y y y 1y 0 ) a) f ( ) ( )( 8) 5 b) f () ( 1)(5 1) 1 11 c) f ( ) ( )(9 ) d) f ( ) ( )( 6 1 5) 57 e) f ( ) ( 1/)(6 6 1/) 1/ 9 7
UNIDAD : Epresiones Algebraicas 5) a) q ( ) ; r = 11 b) q ( ) 10 ; r = -11 c) q ( ) 8 ; r = d) q ( ) 5 ; r = -1/ 6) a) k = -1/5 b) k = ½ 7) a) 6 b) 9/8 c) 76 8) a) No es factor b) Si es factor c) Si es factor. 8
UNIDAD : Epresiones Algebraicas C- FACTORIZACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Definición: Factorizar un polinomio es transformarlo en un producto de factores. Se tienen los siguientes casos: CASO 1: Factor común: Un factor común de un polinomio es un MCD de todos sus términos. i) y 8y y y y y ; a y b y ( y) b( y) y a b ii) CASO : Descomposición en grupos de igual números de términos con un factor común en cada grupo. Para emplear este método se empieza por agrupar los términos del polinomio en binomios o trinomios, etc., descomponiendo luego cada uno de estos binomios o trinomios en dos factores de manera de obtener un factor común a todas las epresiones parciales del polinomio. bb a bb i) ii) a b a a b 1 CASO : Trinomio cuadrado perfecto: Es todo trinomio formado por dos términos que son cuadrados perfectos y un tercer término que es el doble producto de las bases de esos cuadrados. i) a b ab a b ; ii) a b ab a b b a ; iii) 1 9 y 10 a y 5a 1 y 5a CASO : Cuatrinomio cubo perfecto Es todo cuatrinomio formado por dos términos que son cubos perfectos, un tercer término que es el triple del cuadrado de la base del primer cubo por la base del segundo, y un cuarto término que es el triplo de la base del primer cubo por el cuadrado de la base del segundo. 9
UNIDAD : Epresiones Algebraicas i) a b a b ab a b ; ii) a b a b ab a b a b a b a b ; iii) 8 a 7 a a 1 a 1 CASO 5: Diferencia de cuadrados Toda diferencia de cuadrados se puede transformar en el producto de la suma de las bases por la diferencia de las mismas. i) a b a ba b; ii) a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1; iii) y y 9a b y a b y a b 6ab y a b Caso 6: Suma o diferencia de potencias de igual grado f() g() f() es divisible por g() m a m + a si m es impar m a m a nunca m a m + a si m es par m a m a siempre ; i) ii) a a a ; iii) a a a iv) a a a 0
UNIDAD : Epresiones Algebraicas Ejercitación 1) Sacar factor común en las siguientes epresiones: 6 a) 5a 0a 5a 5 b) 6a 1a 5 c) 15a 0a 105a 75a ) Factorizar por agrupaciones las siguientes epresiones: a) a bb; b) ab a b 1; c) ay b by ; d) 6y 6z 9yz; e) 5a b 10a b 7a c 1a bc; ) Factorizar los siguientes trinomios cuadrados perfectos: a) a a 1 ; b) a ab 9b ; 16 6 c) a a 1; a d) ; ) Factorizar los siguientes cuatrinomios cubos perfectos: a) 7a 108a 1a 6; b) a by ab y b y ; 6 5 c) a a a a ; 1 d) 1 a a a 8 5) Factorizar las siguientes diferencias de cuadrados: a) a b y ; b) a b a b ; c) y ; y d) ; a b e) 81a b ; 8 f) 8 y ; 1
UNIDAD : Epresiones Algebraicas 6) Factorizar las siguientes sumas o diferencias de potencias de igual grado: a) 8a b ; b) 5 1; c) 8y z ; d) a b 1 7) Factorizar combinando los distintos casos de factoreo: a) 5a b 5bm b) 9a 1a b ab 5 c) a 6a 9a 5 8 d) a 8ab e) y y f) RESPUESTAS EJERCITACIÓN 1) a) 5a 5 6a 7a b) a a 7a c) 15a 1 7 5 ) a) ) b ( b) ( a 1)( b c) c) ( a b)( y ) d) ( z)( y) e) a (5b 7ac)( a b) ) a) ( 1/ ) a b) a b c) ( 1) a d) a ) a) a b) by a c) a ( a 1) d) a 1 5) a) a bya by b) y y d) a b a b y y f) y y 6) a) (a b)(a ab b ) ab c) y y e) 9a b a b a b b) ( 1)( 1) c) ( yz)( yz y z ) d) (ab 1)(a b ab 1) 7) a) 5b(a m)(a m) b) d) a(a b )(a b )(a b ) a(a b) c) a(a ) e) y( y)( y) f) ( 1) ( 1)