Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Soluciones de los problemas propuestos. Tema 7 TEMA 7. Representación gráfica de funciones y Optimización Problemas Resueltos Crecimiento y decrecimiento. Máimos y mínimos relativos; puntos de infleión. Halla, aplicando derivadas, los vértices de las parábolas: a) f( ) 4 b) f( ) 8 6 Comprueba su crecimiento y curvatura. El vértice de una parábola es siempre un mínimo o un máimo. Un mínimo cuando la parábola es convea ( ); un máimo cuando es cóncava ( ). a) Si f( ) 4 f ( ) 4 se anula en. Punto (, 4). Si <, f () < 0 f () es decreciente. Si >, f () > 0 f () es creciente. Como f ( ) > 0 la función es convea. b) Si f( ) 8 6 f ( ) 4 8 se anula en. Punto (, ). Si <, f () > 0 f () es creciente. Si >, f () > 0 f () es decreciente. Como f ( ) 4 < 0 la función es cóncava.. Representa gráficamente en el intervalo [, ], estudiando sus máimos y mínimos, la ( + ) si 0 función f ( ). ( ) si > 0 Nota. Esta función es derivable en todo R. Se vio en el problema 7 del Tema 6). Operando: ( + ) si 0 + si 0 f ( ) f( ) ( ) si > 0 + si > 0 + si 0 Su derivada es: f ( ) 4+ si > 0 + 0, si 0 / f ( ) 0 4+ 0, si > 0 /; si < 0 Como f ( ) y se cumple que: 6 4, si > 0 f ( / ) > 0, f (/ ) < 0, f () > 0 Se deduce que en los puntos / y la función tiene mínimos relativos; y en / tiene un máimo. La función f ( ) ( + ) decrece en el intervalo (, /); crece en ( /, 0). La función ( ) f ( ) crece cuando (0, /) (, + ); decrece en (0, /). Dando algunos valores se puede trazar su gráfica: (, ); ( /, /4) y (, 0), mínimos; (/, 4/7), máimo; (, ).
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Soluciones de los problemas propuestos. Tema 7 4. Dada la función f( ) + 7+ 60, calcula sus máimos, mínimos y puntos de infleión. Derivando: f ( ) 4+ 7 ; f ( ) 6 4 4 + 7 0 o. Como f () 0, para se da el máimo de f( ). Punto (, 8). Como f () 0 > 0, en se da el mínimo de f( ). Punto (, 7). Como f ( ) 6 4 0 7, y f ( ) 6 0, en 7 se tiene un punto de infleión. Punto (7, ). 4. Demuestra que la función f ( ) e es estrictamente creciente en todo R. La función eponencial está definida siempre que lo esté su eponente. Por tanto, el dominio de f ( ) e es: Dom(f) R. Derivando: f ( ) ( ) e + e Como e > 0 siempre, f ( ) > 0 para todo valor de R. En consecuencia, la función siempre es creciente. 5. a) Comprueba que la función f( ) tiene un máimo relativo. e b) Comprueba que función f( ) e tiene un punto de infleión. e e e ( ) a) Derivando f( ) f ( ). e e e ( e ) La derivada se anula en. e ( e ) e ( ) Como f ( ) f () < 0 ; luego en la función e e ( e ) tiene un máimo relativo. b) Haciendo las dos primeras derivadas: f ( ) + e f ( ) e e 0 e 0. Como f ( ) e 0 en 0 se da una infleión. 6. Comprueba que la función f ( ) ln( + ) tiene en un punto de infleión con tangente horizontal. Si en la tangente es horizontal, su pendiente valdrá 0: f () 0. Si en hay un punto de infleión, entonces f () 0. Derivando:
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Soluciones de los problemas propuestos. Tema 7 5 ( ) f ( ) + + f ( ) ( + ) 4 f ( ) ( + ) Como f () 0, f () 0 y f () 0, en hay un punto de infleión f ( ) +, determina: a) Los puntos de corte con el eje OX; y su signo. b) Sus máimos y mínimo. c) Sus puntos de infleión. a) Cortes con el eje OX: Son las soluciones de la ecuación f ( ) ( + )( ) 4 0 ;. El signo sólo depende del factor +. Por tanto: la función toma valores negativos si < ; y positivos, en caso contrario. 7. Dada la función ( )( ) 4 b) Derivando: 4 f ( ) ( ) + 4( + )( ) 5( ) ( + ) f ( ) 5( ) ( + ) + 5( ) 0( ) ( + ) La derivada primera se anula en y. Como f ( ) 80 < 0, en se da un máimo. Punto (, 56). Como f ( ) 0, en no puede afirmarse que haya máimo o mínimo; puede darse un punto de infleión. c) La derivada segunda se anula en y. Estos dos puntos pueden ser de infleión. Para asegurarlo hay que hacer la derivada tercera y comprobar que es distinta de cero. f ( ) 40( )( + ) + 0( ) 60 0 Como f ( ) 80 0, en se da un punto de infleión: (, 6). Como f ( ) 0, todavía no puede determinarse qué pasa en. Hay que seguir derivando: (4 f ( ) 0 0 (4 Al ser f () 0 > 0, en se da un mínimo relativo. (Aunque no se pide, su gráfica es la adjunta). 8. Comprueba que la función y es decreciente en todo su dominio. Dominio de definición: intervalo (0, ] Los valores de tales que > 0. Derivando: y y Como el numerador es negativo y el denominador siempre es positivo y < 0 para todo del dominio. En consecuencia, la función es decreciente en (0, ].
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Soluciones de los problemas propuestos. Tema 7 6 9. Halla los máimos y mínimos de la función Derivada: ( cos ) sin f ( ) en el intervalo [0, π]. cos cos sin sin cos cos sin cos f ( ) ( cos ) ( cos ) ( cos ) Se anula en π/ y en 5π/, que son las soluciones de cos 0. Derivada segunda: ( cos ) ( cos ) ( cos ) sin sin f ( ) 4 ( cos ) sin ( cos ) ( cos ) sin sin ( + cos ) ( cos ) ( cos ) Como f ( π / ) < 0, en π/ se da un máimo. Como f ( 5π / ) > 0, en 5π/ se da un mínimo. 0. Halla los puntos de infleión de la gráfica de la función f ( ) ln( + ). ( ) ln( ( ) f + ) f ( ) f ( ) + + + ( ) La derivada segunda se anula en ±. Ambos son puntos de infleión. Para cerciorarse puede verse que la derivada segunda toma signos distintos a izquierda y derecha de y de 4. También puede hacerse la derivada tercera: f ( ), y comprobar que no + se anula en ninguno de esos puntos. ( ) 5 4. Demuestra que la función f ( ) 6 5 + 0 nunca es decreciente. Es posible que, a pesar de lo anterior, tenga puntos de infleión? 4 Derivadas: f ( ) 0 60 + 0 f ( ) 0 80 + 60 Puntos singulares: 4 f ( ) 0 60 + 0 0 ( + ) 0 ( ) 0 0,. La derivada nunca toma valores negativos, pues es producto de dos epresiones de potencia par. En consecuencia, nunca es decreciente. Como f ( 0) 0 y f ( ) 0, en 0 y puede haber puntos de infleión. Para determinarlo hay que estudiar la derivada tercera, que es: f ( ) 60 60 + 60 Como f ( 0) 60 0 y f ( ) 60 0, en 0 y en se tienen sendos puntos de infleión (con tangente horizontal). Otra consecuencia es que esta función no tiene máimos ni mínimos. La función es como se indica.
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Soluciones de los problemas propuestos. Tema 7 7 +. Dada la función f ( ) ( ) e, halla: a) Sus intervalos de crecimiento y decrecimiento; y sus máimos y mínimos. b) Sus puntos de infleión y sus intervalos de concavidad y conveidad. + a) Derivada primera: f ( ) e. Esta derivada se anula en 0. A la izquierda de 0, como f ( ) < 0, la función es decreciente. A su derecha, es creciente, pues f ( ) > 0. + b) Derivada segunda: f ( ) ( + ) e. Se anula en. Para <, f ( ) < 0 f es cóncava ( ). Para >, f ( ) > 0 f e es convea ( ). Por tanto, en, como cambia de curvatura, la función tiene un punto de infleión. (Aunque no se pide, se da su gráfica).. Halla la ecuación de la recta tangente a f ( ) + en su punto de infleión. Cálculo del punto de infleión: f ( ) + f ( ) + 6 f ( ) 6 + 6 0. La tangente es: f ( ) f ( ) + y + y y ( ) ( ) Estudio de una función dependiente de uno o más parámetros 4. a) Dada la función: f ( ) + b + + d, calcula los valores de b y d para que la función f() tenga un mínimo relativo en el punto (, ). b) Para los valores hallados haz un esbozo de su gráfica en el intervalo [, ], determinando su máimo y su punto de infleión. a) Si f ( ) + b + + d tiene un mínimo relativo en el punto (, ) debe cumplirse que: f ( ) y f ( ) 0. De f ( ) + b + d b+ d. Derivando: f ( ) + b +. Si f ( ) 0 b + 0 b. Sustituyendo en la ecuación anterior d. Por tanto, la función será f( ) + +. Como f ( ) 6 y f ( ) 4 > 0, en se da el mínimo indicado. b) Se tiene que: f( ) + + ; f ( ) + ; f ( ) 6 La derivada primera, f ( ) +, se anula también cuando /.
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Soluciones de los problemas propuestos. Tema 7 8 Como f 4 < 0 en / hay un máimo. La derivada segunda, f ( ) 6, se anula en /. Como f ( ) 6 0 en / se tiene una infleión. Dando algunos valores puede trazarse su gráfica. Puntos: (, 5), (, ), ( /, 70/7), (0, ), (/, 86/7), (, ), (, 7). 5. Determina los valores de a y b para que la función f ( ) a + b tenga un punto de infleión de coordenadas (, ). Para esos valores halla los puntos de corte de la función con el eje de abscisas e investiga si hay un punto singular entre ellos. Si f ( ) a + b tiene un punto de infleión en (, ) significa que f ( ) y f ( ) 0. Derivadas: f ( ) a + b f ( ) 6a + b. De f ( ) 8 a + 4b. De f ( ) 0 a + b 0 8a + 4b a + b 8 Resolviendo el sistema a ; b. a + b 0 6a + b 0 La función es f ( ) +. Los puntos de corte con el eje OX son las soluciones de f( ) + 0 + 6 0 0 y 6. ( ) Derivando e igualando a 0: f ( ) 6 + 4 6 + 4 6( + 4) 0 0 o 4. Como f ( ) + 4 < 0 cuando 4, para ese valor se obtiene el máimo pedido. El valor 0, corresponde a un mínimo, pues f ( 0) 4 > 0. 6. Halla el valor de a para que la función f ( ) tenga un etremo en el punto. a + En ese caso, determina si se trata de un máimo o de un mínimo. Derivando: 4( a + ) a ( a + ) f ( ) f ( ) a + ( a + ) ( a + ) Los etremos relativos se dan cuando f ( ) 0 ( a + ) 0 0; a + 0,. a Si se pide que la función f tenga un etremo en a. a 4 + 4 Por tanto: f ( ) f ( ) + ( + ) Para determinar si es máimo o mínimo puede hacerse la derivada segunda:
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Soluciones de los problemas propuestos. Tema 7 9 ( 8 + 4)( + ) ( 4 + 4) ( + ) ( ) f ( ) ( + ) 4 ( 8 + 4)( + ) + 4( 4 f ( ) + 4) ( + ) ( + ) Como f ( ) 4, en el punto la función tendrá un máimo. 7. Dada la función f ( ) : a a) Puede tener un mínimo para algún valor de a? b) Tiene siempre una asíntota vertical? a) Para tener un mínimo es necesario que la derivada se anule en algún punto. ( a) + a Derivando, f ( ) f ( ) 0 si a /. ( a) ( a) Pero si a /, la función es f( ) y, por tanto, la función no está definida en ese / caso no hay ni máimo ni mínimo. b) La respuesta está implícita en el apartado anterior. Para a /, f( ) no tiene asíntotas verticales, pues / 0 ( /) lim lim / / 0 La función tiene una discontinuidad evitable, / / pero no una asíntota vertical. 8. Halla el valor que debe tomar a para que la función relativo en. Para que 4 a f ( ) tenga un mínimo + f () tenga un mínimo relativo en debe cumplirse que: f () 0 y f () > 0 (6 a)( + ) ( a) + a f ( ) ( + ) ( + ) + 4 a Si f ( ) 0 a 8. 6 Puede verse que, para ese valor de a 8, f () > 0. En efecto: 96 96 f ( ) f ( ) > 0. ( + ) 64 9. Halla el valor de a para que f ( ) a + tenga un punto de infleión en. Se deriva dos veces: f ( ) a + f ( ) a f ( ) a +.
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Soluciones de los problemas propuestos. Tema 7 0 Para que se tenga un punto de infleión en debe cumplirse que f ( ) a + 0 4 a. 8 La función será f( ) +. 8 p+ 0. Comprueba que la función f ( ) e tiene un mínimo local en 0 para cualquier valor de p. Tendrá algún punto de infleión? p+ f ( ) e 0 es punto singular. p+ Como f ( ) ( + 4 ) e f (0) > 0. Por tanto en 0 tiene un mínimo; su valor es p f ( 0) e. Como la derivada segunda no se anula en ningún punto, la función no tiene puntos de infleión.. Sea la función f ( ) a + 5 + 0, a 0. a a) Halla los valores de a para los cuales la función f () tiene un máimo en. b) Calcula los etremos relativos de f () para a. a) Para que f () tenga un máimo en es necesario que f () 0 y f () < 0. Derivando: f ( ) a + 5 f ( ) 6 a a a Si f () 0, entonces: a + 5 0 a + 5a + 0 a o a. a Si a, f ( ) + y f ( ). Si a, f ( ) 6 y f () 4 Por tanto, la función tiene un máimo en en los dos casos. Obsérvese que las funciones serían, respectivamente, f ( ) + + 5 + 0 y f ( ) + 5 + 0 b) Para a la función y sus derivadas son: f ( ) + 5 + 0 f ( ) 6 + 5 f ( ) 6 La derivada primera se anula en: y 5. Como f ( ) 4, en hay un máimo relativo; punto (, 5/) Como f (5) 4, en 5 hay un mínimo relativo; punto (5, 5/).
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Soluciones de los problemas propuestos. Tema 7. Halla los valores de los coeficientes b, c y d para que la gráfica de la función y + b + c + d corte al eje OY en el punto (0, ), pase por el punto (, ) y, en ese punto, tenga tangente paralela al eje OX. Representa gráficamente la función obtenida dando algunos de sus puntos. Se deriva dos veces: y + b + c + d y + b + c y 6 + b Que la tangente en el punto (, ) sea horizontal significa que su pendiente es 0, que y () 0 0 + 4b + c Por pasar por (0, ) d Por pasar por (, ) 8 + 4b + c + d Resolviendo el sistema formado por las tres ecuaciones se obtiene: b 5; c 8; d. La función será: y 5 + 8 Sus derivadas son: y 0+ 8 ; y 6 0 y 0 en y 4/ Como y () > 0 e y (4 / ) < 0, en hay un máimo y en 4/, un mínimo. La derivada segunda se anula en 5/, y como y 6 0, en ese punto se da una infleión. Algunos puntos de la curva son: (0, ); (, ); (4/,,5), máimo relativo; (5/,,07), PI; (, ), mínimo relativo; (, 5) Representación gráfica de una función +. Representa gráficamente la función f ( ), estudiando su domino, asíntotas y crecimiento y decrecimiento. Dominio: R {}. + 5 Asíntota vertical: lim ± 0 recta. + + 5 + 5 lim 0 ; lim+ + + 0 + Asíntota horizontal: lim recta y. + lim la curva va por debajo de la recta. + lim + la curva va por encima de la recta. + Crecimiento y decrecimiento: ( ) ( + ) 5 f ( ) ( ) ( ) Como la derivada es negativa en todo su dominio, la función es siempre decreciente. Su gráfica es la adjunta.
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Soluciones de los problemas propuestos. Tema 7 4. Representa gráficamente la función f( ), estudiando su domino, asíntotas y + crecimiento y decrecimiento. Determina también su curvatura. Esta función se estudió en el Tema 5 (Ejercicio n. 8). Allí se vio que: Dom(f) R { }. 5 Como lim + 0, es AV. 5 Por la izquierda: lim + + 0 la rama de la asíntota se va hacia +. 5 Por la derecha: lim + + + 0 la rama de la asíntota se va hacia. También tiene una asíntota horizontal, la recta y, pues lim lim. + Hacia + la función toma valores menores que, pues < <. + + Hacía toma valores mayores que, pues si <, > >. + + Crecimiento y decrecimiento. ( + ) ( ) 5 f ( ) ( + ) ( + ) Como la derivada es positiva en todo su dominio, la función es siempre creciente. Concavidad y conveidad. 0 f ( ) ( + ) La derivada segunda cambia de signo en el punto. Para <, f ( ) > 0 la curva es convea. Para >, f ( ) < 0 la curva es cóncava. Algunos de sus puntos son: ( 0, /9); ( 4, /); (, 9/); (, 7); (0, ); (/, 0); (, /); (5, 7/6); (0, 7/). Su gráfica es la adjunta. + 5. Halla las asíntotas de la función f( ). Determina su crecimiento y decrecimiento, Tiene algún máimo? Haz un esbozo de su gráfica. Esta función se estudió en el Tema 5 (Ejercicio n. ). Allí se vio que: El dominio de la función es R {0, }. Tiene dos asíntotas verticales: y 0; y una vertical, la recta y 0 Posición de la curva respecto de 0: + + lim lim + 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 + ;
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Soluciones de los problemas propuestos. Tema 7 + + lim lim 0 0 ( ) + + ( + ) ( ) 0 Posición de la curva respecto de : + + lim 0 ; lim + + 0 + Posición de la curva respecto de y 0: + lim 0 curva por debajo el eje OX. + + lim 0 curva por encima el eje OX. + Crecimiento y decrecimiento. ( ) ( + )( ) + f ( ) ( ) ( ) La derivada se anula cuando + 0 y +. Para determinar su crecimiento y decrecimiento también hay que tener en cuenta que la función no está definida ene los puntos 0 y. Si <, f () < 0 f () decrece. Si < < 0, f () > 0 f () crece. Por tanto, en hay un mínimo. Si 0< < +, f () > 0 f () crece. Si + < <, f () < 0 f () decrece. Por tanto, en + hay un máimo. Si >, f () < 0 f () decrece. La gráfica de la función es la adjunta. 5 6. Dada la función f ( ) 5 : a) Halla sus intervalos de crecimiento y decrecimiento; y sus máimos relativos. b) Determina sus intervalos de concavidad y conveidad; y sus puntos de infleión. c) Traza su gráfica. a) Derivando se tiene: 5 4 f ( ) 5 f ( ) 5 5 f ( ) 0 0 4 f ( ) 5 5 5 ( ) 0 0; ±. Si <, f () > 0 f () crece. Si < < 0, f () < 0 f () decrece. Por tanto, en hay un máimo. Si 0 < <, f () < 0 f () decrece. Si >, f () > 0 f () crece. Por tanto, en hay un mínimo. La confirmación de máimo y mínimo podría verse, además, con la derivada segunda:
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Soluciones de los problemas propuestos. Tema 7 4 Como: f ( ) < 0, en se tiene un máimo; f ( + ) > 0, en + se tiene un mínimo. b) La derivada segunda ( ) 0 0 0( ) f se anula en 0 y ± /. Esos tres puntos son de infleión, pues f ( ) 60 0 0 en los tres valores. c) Dando algunos valores puede trazarse su gráfica. Puntos: (,4, 0); (,7, 0,9); (,, 6,4); (0, 0); (,, 6,4); (,7, 0,9) (,4, 0). 7. Dada la función f ( ), se pide: a) Su dominio, posibles simetrías y asíntotas. b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Sus máimos y mínimos. c) Puntos de infleión e intervalos de concavidad y conveidad. d) Su representación gráfica. a) Dominio: R {, }. Es simétrica respecto del origen (impar), pues f ( ) f ( ). En los puntos y puede tener asíntotas. Como: lím La recta es una asíntota vertical. lím La recta también es una asíntota vertical. Tiene otra asíntota oblicua (y m + n), pues: f ( ) m lím lím y ( ) n lím( f ( ) m) lím + lím 0 La asíntota es la recta y. b) f ( ) ( ) f ( ) ( ) f () 0 en, 0,. Si <, f () < 0 f () decrece. Si < <, f () > 0 f () crece. Por tanto, en hay un mínimo. Si < < 0, f () > 0 f () crece. Si 0< <, f () > 0 f () crece. f ( ) ( ( + ) )
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Soluciones de los problemas propuestos. Tema 7 5 Si < <, f () > 0 f () crece. Si >, f () < 0 f () decrece. Por tanto, en hay un máimo. (También puede verse que Si f ( ) > 0 y f ( ) < 0, lo que confirma que en hay un mínimo y en hay un máimo). Como a la izquierda y derecha de 0 la función es creciente, en ese punto se da una infleión. También puede verse que f (0) 0. El valor de la función en los puntos críticos es: f ( ), f (0) 0, f ( ) Crecimiento: (, ) (, ) (, ). Decrecimiento: (, ) (, ) c) f () 0 si 0. En 0 hay punto de infleión; punto (0, 0). Se confirma viendo que la derivada segunda cambia de signo en ese punto. Efectivamente: Si <, f () > 0 f () es convea ( ). Si < < 0, f () < 0 f () es cóncava ( ). Si 0 < <, f () > 0 f () es convea ( ). Si >, f () < 0 f () es cóncava ( ). d) Con la información obtenida y calculando algunos puntos más se puede trazar su gráfica. 8. Esboza la gráfica de la función f ( ). Dominio R {0}. Es evidente que en 0 tiene una asíntota vertical. La función es impar: f( ) f(). Como f ( ), la recta y es una asíntota oblicua. También puede verse que: f ( ) lím lím m y lím ( f ( ) m) lím 0 n Derivadas: f ( ) < 0 para todo de su dominio decrece siempre. f ( ) f < 0 si < 0: cóncava ( ); f > 0 si > 0: convea ( ). Algunos valores: (, 0); (, 0); (, /); (, /); (, 8/); (, 8/)
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Soluciones de los problemas propuestos. Tema 7 6 9. Representa gráficamente la función f ( ) e, calculando: asíntotas; intervalos de crecimiento y de decrecimiento; máimos, mínimos y puntos de infleión. Como la función está definida en todo R, no tiene asíntotas verticales. Para ver si tiene una asíntota horizontal se hace lím f (). lím e [ 0 ] lím ( ) 0 L H lím e e La recta y 0 es una asíntota horizontal (hacia menos infinito). Como lím e [ ], hacia + no hay asíntota. + Se deriva: f ( ) e f ( ) e + e ( + ) e La derivada se anula en. Si <, f () < 0 f() decrece: intervalo (, ) Si >, f () > 0 f() crece: intervalo (, + ). Es evidente que en hay un mínimo. La derivada segunda se anula en. Si <, f () < 0 f() es cóncava ( ). Si >, f () > 0 f() es convea ( ). En hay un punto de infleión. Con la información obtenida y dando algunos valores se puede trazar su gráfica; que es la adjunta. (, e ) (, 0,7); (, e ) (, 0,7); (0, 0); (, e). f ( ) e + e + e ( + ) 0. Representa gráficamente la función f ( ) ln( ), estudiando: dominio de definición; asíntotas; máimos y mínimos; y los intervalos de crecimiento y decrecimiento. La función logarítmica está definida sólo para valores positivos: > 0 < <. Por tanto, Dom (f) (, ). En los puntos y tiene asíntotas verticales; por la derecha en ; por la izquierda en. En efecto, se cumple que: lim ln lim ln + ( ( )) ; ( ) ( ) Crecimiento y decrecimiento. Derivando: f ( ) ln( ) f ( ) La derivada se anula para 0. Luego: Si < < 0 f () > 0 y f () es creciente. Si 0 < < f () < 0 y f () es decreciente. En consecuencia, la función tiene un máimo en el punto 0; su valor es f (0) ln( 0 ) 0, punto (0, 0). Su gráfica es la adjunta. e
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Soluciones de los problemas propuestos. Tema 7 7 Observación: Aunque no es necesario, para confirmar que en 0 se tiene un máimo se podría haber hecho la derivada segunda y comprobar que es negativa en ese punto. ( + ) f ( ) f ( 0) ( ). Dada la función f( ) ln, determina su dominio, asíntotas, crecimiento y + decrecimiento. Haz un esbozo gráfico de ella. Dominio: R [, 0]. Hay que descartar los valores de tales que 0 + Asíntotas: En (por la izquierda) y en 0 (por la derecha) la función tiene sendas asíntotas verticales, pues: + 0 + lím ln ln + + 0 ; lím ln ln ln 0 + 0 + Tiene una asíntota horizontal, pues lím ln ln. La asíntota es y ln. ± + Hacía, la curva va por encima de la asíntota, pues > ; hacia +, sucede al revés. + Crecimiento y decrecimiento: f( ) ln ln ln( + ) f ( ) + + ( + ). El valor de la derivada es positivo en todo su dominio, luego la función siempre es creciente. Atendiendo a lo dicho, su gráfica es la adjunta.. Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f ( ) e, sus etremos relativos, puntos de infleión y asíntotas. Esboza su gráfica. Derivadas primera y segunda: f ( ) e f ( ) e f ( ) e + 4 e (4 ) e Posibles etremos relativos: f ( ) e 0 0 Si < 0, f () > 0 f es creciente. Si > 0, f () < 0 f es decreciente en 0 hay un máimo. Posibles puntos de infleión: f ( ) (4 ) e 0 ; Como f ( ) ( 8 ) e es distinto de 0 para esos dos valores, se confirma que ambos son puntos de infleión. Asíntotas: Como lím e 0 la recta y 0 (el eje OX) es asíntota horizontal de la curva. ± La curva va siempre por encima de la asíntota, pues f ( ) e > 0, para todo.
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Soluciones de los problemas propuestos. Tema 7 8 La gráfica de f es una campana de Gauss (tiene un máimo en 0; es simétrica; tiende a 0 tanto hacia infinito como hacia menos infinito; tiene dos puntos de infleión). Su representación aproimada es:. Halla los máimos y mínimos relativos de las siguientes funciones definidas en el intervalo [0, 8]. Dibuja sus gráficas a partir de esos datos y de los cortes con los ejes. a) f( ) sin ( ) b) g ( ) sin a) La función f ( ) sin( n) es periódica de periodo. Por tanto, las funciones dadas son nπ periódicas de periodo π π π y 4 π, respectivamente. / k f( ) sin ( ) corta al eje OX cuando kπ π si k 0, 0; si k, π/; si k, π. (A continuación se repite). Al eje OY lo corta en y 0. Los posibles máimos y mínimos de la función se presentan en los puntos que anulan la derivada primera. f( ) sin f ( ) cos 0 π/4 y π/4 ( ) ( ) Como f ( ) 4sin ( ) es negativa en π/4 y positiva en π/4, para el primer valor se obtiene un máimo; para el segundo, un mínimo. b) g ( ) sin corta al eje OX cuando kπ kπ si k 0, 0; si k, π; si k, 4π. (A continuación se repite). Al eje OY lo corta en y 0. Máimos y mínimos: g ( ) sin g ( ) cos 0 π, π, 5π. Como g ( ) sin es negativa en π y positiva en π, para el primer valor se 4 tiene un máimo; para el segundo, un mínimo. Un esbozo de ambas gráficas, comparadas con la de Algunos puntos: y sin, es el siguiente.
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Soluciones de los problemas propuestos. Tema 7 9 Para f: (0, 0); (π/4, ); (π/, 0) ; (π/4, ); (π, 0) Para g: (0, 0); (π, ); (π, 0) ; (π, ); (4π, 0) Problemas de optimización 4. Se quiere construir una caja, sin tapa, partiendo de una lámina rectangular de cm de larga por 4 de ancha. Para ello se recortará un cuadradito en cada esquina y se doblará. Cuál debe ser el lado del cuadradito cortado para que el volumen de la caja resultante sea máimo? A partir del enunciado y siguiendo el proceso aplicado en el ejemplo anterior se tiene: ) El objetivo es que el volumen de la caja sea máimo. La caja es un prisma rectangular, cuyo volumen área de la base por la altura. ) Para obtener la función conviene hacer un dibujo. 4 Si se corta un cuadradito de lado, el volumen de la caja obtenida será: V( ) ( )(4 ) V( ) 4 + 768 4 ) Los puntos máimos o mínimos se encuentran, si eisten, entre las soluciones de V 0. 8 ± 08 V ( ) 4+ 768 0 (se ha simplificado) Se obtienen 4,5 y 4,4. 4) Para ver para qué valor se obtiene el máimo se hace V ( ) 4 4 y se evalúa en esas soluciones. Como V ( 4,5) < 0 y V ( 4,4) > 0, el máimo se da para 4,5. Esta es la solución buscada. El valor 4,4 no es posible, pues 4 cm no da para cortar dos trozos de ese tamaño.
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Soluciones de los problemas propuestos. Tema 7 40 5. (Propuesto en Selectividad 0) Un fondo de inversión genera una rentabilidad que depende de la cantidad invertida según la fórmula R( ), donde representa la cantidad invertida en miles de euros. Qué 5 cantidad de dinero se debería de invertir para obtener el máimo rendimiento? El máimo de R( ) se obtiene cuando R ( ) 0 y R ( ) < 0. 5 Derivando: 5 ( 5 ) 5 ( 5 ) + + R ( ) ( 5) ( 5) 0 0 R ( ) 0 + 0 4. Derivada segunda: 0 ( + ) 0 ( + ) R ( ) 8 4 00 0 0 Como R (4) < 0 ), se deduce que para 4 se da el máimo buscado. 60 El máimo se obtiene invirtiendo 4000 euros. 6. La suma de dos números positivos es 6; encuentra aquellos cuya suma de cuadrados sea mínima. Sean e y los números. Deben cumplir que + y 6. Se desea que S + y sea mínima. Sustituyendo y 6 en S se tiene: ( ) S ( ) + 6 S ( ) 7+ 96. El mínimo de S se da en la solución de S 0 que hace positiva a S. Derivando: S ( ) 4 7 0 8. Como S 4 > 0, para el valor 8 se tiene la suma de cuadrados mínima. Por tanto, ambos números deben ser iguales a 8. 7. (Propuesto en Selectividad) Determina las medidas de los lados de un rectángulo de área, de modo que la suma de las longitudes de tres de sus lados sea mínima. Sean e y los lados del rectángulo. Se desea que la suma S + + y + y sea mínima, con la condición de que A y. Despejando y sustituyendo: y S ( ) + Para que S sea mínima: S 0, S > 0. S ( ) 0
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Soluciones de los problemas propuestos. Tema 7 4 Como S ( ), cumple que 0 S >, para ese valor se da el mínimo buscado. Por tanto, las medidas de los lados serán: e y. 8. (Propuesto en Selectividad, Aragón 0) Descomponer el número en dos sumandos positivos de forma que el producto del primero por el cuadrado del segundo sea máimo. Sean e y los números buscados. Se desea que el producto P y sea máimo. Como se cumple que + y y. Sustituyendo en P se tiene: P ( y) y ; que es una función en y: P( y) y y. El máimo de P se obtiene en las soluciones de P ( y) 0 que hagan negativa a P (y). Derivando dos veces: P ( y) 4y y ; P ( y) 4 6y La derivada primera se anula cuando y 0 o y 8. Como P ( 0) 4 > 0 y P ( 8) 4 < 0, el valor máimo del producto se alcanza cuando y 8. Los números pedidos son 4 e y 8. 9. El coste de fabricación de unidades de un determinado producto viene dado por la función C ( ) 0,0 + 4+ 80. Todas las unidades producidas se venden a un precio dado por p ( ) 00 (C() y p() en unidades monetarias, u.m.). Calcula el nivel de producción que: a) Minimiza el coste medio por unidad. Cuál es ese coste? b) Maimiza los beneficios. A cuánto asciende ese beneficio? a) El coste por unidad se halla dividiendo el coste total, C(), entre las unidades producidas, : 80 M( ) 0,0+ 4 + 80 Para que M() sea mínimo, su derivada debe ser 0: M ( ) 0, 0 4000 60 Como M ( ) > 0, el mínimo se da en ese punto: 4000 6,. El precio unitario mínimo será M ( 4000 ) 6,5 u.m. b) El objetivo es maimizar los beneficios obtenidos por la fabricación y venta de unidades de producto. Estos beneficios, B(), se hallan restando los costes a los ingresos: B() Ingresos totales Costes totales. Los ingresos, I(), se calculan multiplicando el número de unidades vendidas por el precio por unidad.
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Soluciones de los problemas propuestos. Tema 7 4 Por tanto, I( ) p( ) 00 00 ( ) De donde, B ( ) I ( ) C ( ) 00 0,0 + 4+ 80 B ( ) ( ) ( ), 0 + 96 80 Para que B() sea máimo, B ( ) 0 : B ( ), 04+ 96 0 96,08. Como B ( ), 04 < 0, el punto hallado da el máimo beneficio, que asciende a B(96,08) 96 u.m. 40. (Propuesto en Selectividad) El beneficio obtenido por la producción y venta de kilos de un artículo viene dado por la función B ( ) 0,0 +,6 80 a) Determina los kilos que hay que producir y vender para que el beneficio sea máimo. b) Determina los kilos que hay que producir y vender como máimo para que la empresa no tenga pérdidas. a) El beneficio es máimo cuando B ( ) 0 en el vértice de la parábola. Derivando: B ( ) 0,0+,6 0 80. Como B ( ) 0, 0 < 0, para ese valor se tiene el máimo buscado. Hay que producir 80 kg; el beneficio será de B(80) 44 u.m. b) La empresa no tiene perdidas si B ( ) 0, 0 +, 6 80 0. Se trata de una inecuación cuya solución es [ 60, 00]. Por tanto, como máimo podrá producir 00 kilos. Otros problemas 4. Demuestra que las siguientes funciones son crecientes siempre: a) f ( ) e + b) f( ) + + a) f ( ) e + f ( ) e + > 0, pues e siempre es positiva. Por tanto, la función es siempre creciente. b) f( ) + + f ( ) + + > 0 para todo, pues la ecuación + + 0 no tiene raíces reales. En consecuencia, la función f( ) + + es siempre creciente. m 4. Determina si la función f ( ) tiene máimos, mínimos y puntos de infleión. + Depende del valor que tome m? m m m( ) f ( ) f ( ) f ( ) + ( + ) ( + )
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Soluciones de los problemas propuestos. Tema 7 4 La derivada primera se anula si 0, independientemente del valor de m. Si m > 0, f (0) < 0 se tendría un máimo. Si m < 0, f (0) > 0 se tendría un mínimo. Si m 0, la derivada segunda se anula en y en. Por tanto, hay dos puntos de infleión, pues la derivada tercera es distinta de cero en ambos puntos: 4m( ) f ( ) 4 ( + ) Si m 0, la función es f ( ) 0, que representa el eje OX. b 4. a) Calcula los valores de a y b para que la gráfica de f ( ) a + tenga un mínimo relativo en el punto (/, 4). b) Para esos valores de a y b, calcula las asíntotas y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f (). Esboza su gráfica. b a) Por pasar por (/, 4) f ( / ) 4 4 a + a + 4 b 8 / Por tener un mínimo en /, f ( / ) 0. b b Como f ( ) a f ( / ) 0 a a 4 b 0 /4 a + 4b 8 Resolviendo el sistema a 4; b a 4b 0 La función es f ( ) 4 +. b) La función no está definida en 0, punto en el que tiene una asíntota vertical, pues lím 4 +. 0 También tiene una asíntota oblicua, la recta y 4, pues lím 4 + lím( 4) La derivada f ( ) 4 se anula cuando ±/. Por tanto: Si < /, f () > 0 f () es creciente. Si / < < 0, f () < 0 f () es decreciente. En / hay un máimo. Punto ( /, 4). Si 0 < < /, f () < 0 f () es decreciente. Si > /, f () > 0 f () es creciente. En / hay un mínimo. Punto (/, 4). Puede observarse que la función es impar.
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Soluciones de los problemas propuestos. Tema 7 44 44. (Propuesto en Selectividad 0) Dada la función y ( + )( ) halla: a) Dominio y cortes con los ejes. b) Máimos y mínimos. c) Crecimiento y decrecimiento. d) Concavidad y conveidad. e) Dibujar su gráfica. a) Su dominio es R. Corte con eje OX, se hace y 0 0 ( + )( ) ;. Puntos (, 0); (, 0). Corte con eje OY, se hace 0 y. Punto (0, ). b) Derivando: y ( + )( ) y + y f ( ) y f ( ) 6 La derivada primera se anula en y. Como y ( ) 6 < 0 en hay un máimo. Como y () 6 > 0 en hay un mínimo. c) Si <, f () > 0 f () es creciente. Si < <, f () < 0 f () es decreciente. Si >, f () > 0 f () es creciente. d) La derivada segunda se anula en 0. Si < 0, f ( ) < 0 f () es cóncava ( ). Si > 0, f ( ) < 0 f () es convea ( ). e) Su gráfica es la adjunta. Otros puntos: (, 4); (, 4); (, 4). 45. (Propuesto en Selectividad 06, La Rioja) a Sea la función f( ), donde a es un cierto parámetro real. ( )( ) a) Cuál es el valor de a si sabemos que la recta y 4 es una asíntota horizontal para la función dada? Justificar la respuesta. b) Para a, estudia los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función y determina sus etremos relativos. a a) La recta y 4 es una asíntota horizontal de la función si lim 4. ( )( ) a a Como lim lim a, pues el numerador y el denominador son del ( )( ) + mismo grado, se deduce que a 4. b) Para a la función es f( ), que no está definida en y. +
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Soluciones de los problemas propuestos. Tema 7 45 Su derivada, ( ) ( + 4) + 4 f ( ) + + ( ), se anula en los puntos 0 y 4. Con esto: Si < 0, f () < 0 f () es decreciente. Si 0 < <, f () > 0 f () es creciente. Por tanto, en 0 hay un mínimo relativo. Si < < 4/, f () > 0 f () es creciente. Si 4/ < <, f () < 0 f () es decreciente. Por tanto, en 4/ hay un máimo. Si >, f () < 0 f () es decreciente. 46. El coste de fabricación de unidades de un determinado producto viene dado por la función C ( ) 0, + + 00. Todas las unidades producidas se venden a un precio dado por p ( ) 5 0,. (C() y p() en unidades monetarias, u.m.). Calcula el nivel de producción que: a) Minimiza el coste medio por unidad. Cuál es ese coste? b) Maimiza los beneficios. A cuánto asciende ese beneficio? El nivel de producción es el número de unidades que hay que producir para alcanzar un determinado fin. a) El objetivo es determinar el número de unidades que hay que producir para que el coste medio por unidad, M(), sea mínimo. El coste por unidad se halla dividiendo el coste total, C(), entre las unidades producidas, : 00 M( ) 0,+ + 00 Para que M() sea mínimo, su derivada debe ser 0: M ( ) 0, 0 000,6. 00 Como M ( ) M ( 000) > 0. Luego, el mínimo se da cuando 000. El precio unitario mínimo será M ( 000 ) 9,46 u.m. Observación: En este caso, la variable es discreta y sólo puede tomar valores enteros (de hecho, en el conteto del problema, la función considerada no es continua, y, por ende, tampoco derivable), por ello, la solución 000,6 no es posible; la respuesta debe ser o. Como M() 9,58 y M() 9,5, debe elegirse. b) El objetivo es maimizar los beneficios obtenidos por la fabricación y venta de unidades de producto. Estos beneficios, B(), se hallan restando los costes a los ingresos: B() Ingresos totales Costes totales. Los ingresos, I(), se calculan multiplicando el número de unidades vendidas por el precio por unidad. Por tanto, I( ) p( ) ( 5 0,) 5 0, De donde, B ( ) I ( ) C ( ) 5 0, 0, + + 00 B ( ) 0,4 + 00 ( ) ( ) Para que B() sea máimo, B ( ) 0 : B ( ) 0,8+ 0 7,5.
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Soluciones de los problemas propuestos. Tema 7 46 Como B ( ) 0,8 < 0, el punto hallado da el máimo beneficio, que asciende a B(7,5) 0,5 u.m. Nota: Como en el apartado a), la respuesta debe ser 7 o 8. En este caso es indiferente, pues B(7) B(8) 0,4. 47. Estudia los máimos y mínimos relativos de la función f ( ) + a + 5 dependiendo de los valores de a. Derivando: f ( ) + a ( + a) La derivada se anula cuando 0 o a /. En esos puntos pueden darse máimos o mínimos. Como f ( ) 6 + a, Para 0, f ( 0) a 0 si a 0 en 0 hay máimo si a < 0, y mínimo si a > 0. Para a /, f ( a / ) a 0 en a / hay mínimo si a < 0, y máimo si a > 0. Resulta evidente que si a 0, f ( ) y f ( ) 6. En este caso la función tendía un punto de infleión en 0. 48. El coste de producir q unidades de un producto es Cq ( ) 000 + 00q+ q. Si cada 0 unidad se vende a un precio p 400 0,q a) Calcula la función de beneficios. Cuántas unidades deberá producirse para obtener el beneficio máimo?; cuál es dicho beneficio? b) Cuál es el precio al que se obtiene el máimo beneficio. c) Si el gobierno impone un impuesto que es un coste adicional de 0 euros por unidad. Cuántas unidades maimizan ahora el beneficio? a) Beneficio Ingresos menos Costes. Por tanto, la función de Beneficios será: Bq ( ) Iq ( ) Cq ( ) Los ingresos son el producto de la unidades vendidas (q) por el precio por unidad, p. Bq ( ) q ( 400 0,q) 000 + 00q+ q 0 Bq ( ) 0,5q + 00q 000 El beneficio máimo se obtiene en las soluciones de B ( q ) 0 que hagan positiva a la derivada segunda. 000 B ( q) 0,q+ 00 0 q Como B ( q ) 0, < 0, para esa cantidad se obtiene el máimo buscado. 000 El beneficio máimo será: B 5700. 000 000 b) Para q, el precio será p 400 0, q 400 0, 67. c) La nueva función de costes es C( q) 000 + 00q+ q + 0q 000 + 0q+ q, y la 0 0 nueva función de beneficios Bq ( ) 0,5q + 90q 000. Con esto: B ( q) 0,q+ 90 0 q 00 unidades.