OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO Adjunto de un operador Sea V un espacio con producto interno y sea T : V V un operador lineal. Un operador T * : V V se dice que es un adjunto de T si se cumple que: u ) v u * ( v ) ; u, v V Propiedades de operador adjunto Sea V un espacio vectorial sobre un campo K, con producto interno. Si S y T son operadores lineales en V y α es un escalar de k, entonces: a) T* * b) T * T* c) S T * S * T * * d) T T T 1 1 * e) S T * T * S * Teorema: Si V es un espacio vectorial de dimensión finita y con producto interno, entonces para cada operador lineal T: V V existe un único adjunto T*, que también es lineal. Demostración: Por definición: u ) v u * ( v ) ; u, v V O sea hay un operador adjunto para cada producto interno de un operador lineal.
Nota: Si V es de dimensión finita se puede asegurar la existencia y unicidad del operador adjunto para cada producto interno. Ej: Obtener el adjunto del operador lineal correspondencia es: T R R T x, y ( x y, x 3 y) Con respecto al producto interno en R definido por u v x1 y1 x1 y x y1 x y u = ( x, x ), v = (y, y ) 1 1 : cuya regla de 5 ; x y, x 3 y) a, b x, y ( a b, a b) ( x y) a ( x y) b ( x 3 y) a 5( x 3 y) b x( a b) x( a b) (y)( a b) 5y( a b) xa ya 4xb yb xa 6ya 5xb 15yb ax bx xa bx ya by 5 ya 5 by 4 xa ( ) xa 5ya ( 5 ) ya 9 xb ( ) xb 13yb ( 5 ) yb 10, 19, 3, 5 * T x y x y x y Ej:, (10 19,3 5 ) Obtener el adjunto del operador lineal correspondencia es: Con respecto al producto interno usual. T x, y ( x, x y) T R R : cuya regla de
* T x y x y y, (, ) OPERADOR NORMAL Sea T:V-> V un operador lineal en un espacio con producto interno. Si es una base ortonormal de V entonces * M T M T * ( ) ( ) Ej: Determinar si T R R : tal que T x, y ( x y,x 3 y) es un operador normal en R con producto interno usual. Teorema: Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con producto interno y sea una base ortonormal de V. Si T: V V es un operador lineal, entonces: * M T M T * ( ) ( ) Para la obtención de la regla de correspondencia, es importante considerar una base ortonormal, obtener la matriz asociada con respecto a la base ortonormal y Utilizar el teorema * * M ( T )(v) T ( v) Consultar boletín 6 de Matemáticas y Cultura
OPERADOR NORMAL Sea V un espacio con producto interno y sea T:V V un operador lineal. Se dice que T es normal si T *o T = To T * De la definición anterior se sigue de inmediato que si T es normal, entonces T* también es normal y viceversa. Ejemplo: K(x, y x y x y) Determinar el autoadjunto del operador, y verificar si K es un operador Normal con K * Los operadores normales tienen las siguientes propiedades. Teorema: 1. T( v ) = T*( v ) vϵ V. Si T( v ) = λ v entonces T*( v )= λ v 3. Si v 1 y v son vectores característicos de T correspondientes a valores característicos distintos, entonces los vectores v 1 y v son ortogonales, es decir v1 v 0. TIPOS DE OPERADORES HERMITIANOS Definición: Sea V un espacio con producto interno, y sea T:V V un operador lineal, se dice que T es hermitiano si
v ) w v ( w ) ; w, v V Se dice que T es antihermitiano si v ) w v ( w ) ; w, v V Si V está definido sobre el campo real, entonces a un operador hermitiano se le llama simétrico y a un operador antihermitiano se le llama también antisimétrico Ej: Determinar si los siguientes operadores son hermitianos a) : tal que z1, z) iz, iz1) donde está definido sobre con el producto escalar complejo como producto interno. z w z w z w z z, z, w w, w 1 1 1 1 b) Si : F F, donde F es el espacio de funciones reales continuas, S f ( t) f ( t) f ( t) f ( t) F, con el producto interno definido por 1 f g f ( t) g( t) dt sobre el campo real. 1 Resolución: z z, z, w w, w a) 1 1 La condición a cumplir es: z w iz iz1 w izw1 iz1w Por el otro lado ) (, ) )...(1) z w z iw iw1 z1 iw z iw1 iz w ) (, ) ( ) ( ) iz w 1 1...() Como (1) =() entonces T es hermitiano. También es unitario. b) S será hermitiano si S f ( t) ) g( t) f ( t) S ( g( t)) Por un lado
S f ( t) ) g( t) f ( t) f ( t) g( t ) 1 1 f ( t) g( t) dt f ( t) g( t) dt...(1) 1 1 Por otro lado f ( t) ) S( g( t)) f ( t) g( t ) g( t) 1 1 1 f ( t) ( g( t)) g( t)) dt f ( t) g( t) dt f ( t) g( t) dt...() 1 1 1 Pero si t, cuando 1 t 1, cuando 1, t 1, dt d, por tan to 1 1 f ( ) g( ) d f ( t) g( t) dt...(3) 1 1 Como (1) (3) S es hermitiano o simétrico. Teorema: 1) La matriz asociada a un operador hermitiano (simétrico) referida a una base ortonormal es una matriz hermitiana (simétrica). ) La matriz asociada a un operador antihermitiano (antisimétrico) referida a una base ortonormal es una matriz antihermitiana (antisimétrica). Ejemplo: Determinar si los siguientes operadores definidos en considerando el producto interno usual. a) x, y) x y,x 3 y) b) S x, y) 17x 4 y, x 10 y) Solución: R son simétricos, Dado que en ambos casos el producto es usual, se utiliza la base canónica de la cual ya es ortonormal. R a) E ME 1 ( T) 3 que es simétrica, por lo tanto, T es un operador simétrico.
b) E ME 17 4 ( S) 10 no es simétrica, por lo tanto S no es un operador simétrico. Sin embargo, para el producto interno x, y, 5 x y 1 1 x y 1 x y 1 17 x y el operador S sí es simétrico. Un operador puede ser hermitiano para un producto interno y puede no serlo para otro. Sin embargo, es suficiente que un operador sea hermitiano para algún producto interno para llamarlo así. Existen operadores que no son hermitianos o antihermitianos para ningún producto interno. Teorema: Sea T un operador lineal y un valor característico de T. 1) Si T es hermitiano entonces es real. ) Si T es antihermitiano, entonces es imiraginario. De este teorema se concluye que un operador hermitiano (antihermitiano) sus valores característicos son siempre números reales (números imaginarios). Lo contrario no siempre es cierto, es decir, que un operador lineal tenga todos sus valores caracterísiticos reales (imaginarios) no implica que sea hermitiano o antihermitiano. Demostración: 1) Si T es hermitiano entonces es real. Sea v un vector característico asociado al valor característico del operador hermitiano T. Como T es hermitiano: v v v ( v ) v v v v Como v v v, es real. 0; 0 Teorema: Los valores característicos asociados a valores distintos de un operador hermitiano o antihermitiano, son ortogonales.
OPERADORES UNITARIOS Definición: Sea V un espacio con producto interno, al operador T:V V se le llama unitario si v ) T( w) v ( w) ; w, v V Cuando el espacio V está definido sobre el campo real, al operador T se le llama operador ortogonal. 1 es ortogonal 13 Ejemplo: Determinar si el operador T( x, y) 5x 1 y, 1x 5y considerando al producto interno usual. Soluciòn: 1 1 ) ( ) 5 1, 1 5 5 1, 1 5 ; 13 13 1 1 5x1 y1 60x1 y 60x y1 144x y 144x1 y1 60x1 y 60x y1 5x y 169 169 1 169 x1 y1 169 x y x1 y1 x y x y 169 x T y x1 x x1 x y1 y y1 y T es ortogonal. Teorema Sea T:V V un operador unitario. Para todo x, y V 1) Si x y entonces T x T y ) T( x) ( x) 0 ( ) ( ) 0 3) T( x) T( y) x y 4) Teorema T es invertible T 1, es unitario. Sea T:V V un operador unitario
1) Si T tiene un valor característico, entonces 1 ) Si x e y son vectores característicos dist int os, entonces x e y son ortogonales. correspondientes a valores característi cos 3) La matriz asociada a T referida a una base ortonormal es una matriz unitaria (ortogonal en el caso real). En el ejemplo anterior, la matriz asociada a la base canónica, es una base ortonormal, es: 5 1 1 3 unitaria. 1 T M ( T), es una matriz ortogonal : M M es una matriz Operador proyección: Sea T : V V un operador lineal en un espacio V con producto interno y sea W un subespacio de V. El operador P : V W tal que P( v) proy wv es el operador proyección y es un operador lineal. Teorema espectral. Sea T un operador hermitiano sobre el campo real o complejo, o un operador antihermitiano sobre el campo complejo, entonces T es diagonalizable. Además, si la base a la cual está referida la matriz diagonal es ortonormal, entonces la matriz diagonalizadora es unitaria (ortogonal, cuando el campo es real). Sea T un operador unitario definido sobre el campo complejo, entonces T es diagonalizable. Además, si la base a la cual está referida la matriz diagonal es ortonormal, entonces su matriz diagonalizadora es unitaria (ortogonal en el caso real). Es importante hacer notar que no todos los operadores ortogonales son diagonalizables, pero cualquier operador unitario definido sobre el campo complejo si es diagonalizable. Sea T : V V un operador lineal normal y P1, P,..., P n operadores de proyección sobre los espacios característicos de T se cumple:
1) T P P P... P donde 1 1 1 1 3 3 ) P P... P I 3) P P 0 n n n Ejemplo: Determinar la descomposición espectral del operador simétrico T : R R a) T x, y 7x y, x 4y 7 M 4 7 P 4 ( ) 11 4; 1 8, 3. 1 1 Para 1 8; 4 0 0 E(8) ( y, y) y Para 4 1 3; 1 0 0 E() ( x, x) x xy, (,1) 4x y x y P1 ( x, y) (,1),,1 (,1) 5 5 1 1 xy, (1, ) x y x 4y P ( x, y) (1, ), 1, (1, ) 5 5 T P P 4x y x y x y x 4y T 8, 3, 5 5 5 5 T ( x, y) (7x y,x 4 y) b) T x, y x 4 y, 4x 5y Verificar el teorema espectral para el operador hermitiano T : definido por T ( z1, z) ( iz, iz1) en el cual está dado el producto escalar complejo como producto interno.
Solución. Una base ortonormal es la base canónica i, j 0 i i M T M I i 0 i. ( ), det( ) 1 0; 1 Como sobre el campo y los valores característi dim ( ) cos son dist int os, entonces T es diagonalizable, lo cual verifica una parte del Teorema. Para 1, se forma el sistema 1 i z1 0; z1 iz 0, si z k, z1 ik i 1 z E(1) ( ik, k) k Para 1, se forma el sistema 1 i z1 0; z1 iz 0, si z k z1 ik i 1 z E( 1) ( ik, k) k Se forma una base escogiendo un vector de cada espacio, por ejemplo, ( i, 1), ( i, 1) ortogonal. La norma de ambos vectores es, entonces una base ortonormal es 1 1 ( i, 1 ), ( i, 1 ) ' 0 i, M ' ( T) i 0 1 0 D, su matriz diagonalizadora es 0 1 1 i i P 1 1 La matriz asociada a La cual debe ser unitaria, es la matriz diagonal que es 1 i 1 i 1 i 1 i 1 P, det P i P P i 1 1 i i 1 * 1 * Aplicación a las formas cuádricas:
Ax xy Cy 1 A (, ) x x x y Ax y x Cy y y C Ax xy xy Cy T x A x 1; A siempre es diagonalizable. A es similar a una matriz diagonal D A 1 P DP T 1 Sustituyendo x P DPx T T x P DPx ' ' ' 1 x ( x, y ) ' 0 y ' ' 1 1, P es ortogonal. T 1, ( Px) D( Px) 1, como P es una matriz de transición se obtiene el vector de coordenadas de x pero en la base de los vectores propios. T v Dv 1 x 0 y Ejemplo: 1 Identificar la curva 3x xy 3y 1