TEMA 7: Sistemas de ecuaciones

TEMA 7: Sistemas de ecuaciones 7.1 Ecuaciones con dos incógnitas. Soluciones Ejemplo 1. Encuentra soluciones para la siguiente ecuación de primer grado con dos incógnitas: 5 a., 0, 5 Si sustituimos en la ecuación nos queda: 0 5 5 5 5 b., 1, Si sustituimos en la ecuación nos queda: 1 5 5 c.,, 1 Si sustituimos en la ecuación nos queda: 1 5 1 5 d.,,1 Si sustituimos en la ecuación nos queda: 1 5 1 5 e.,, Si sustituimos en la ecuación nos queda: 5 5. Representa sobre unos ejes de coordenadas los puntos anteriores luego traza la recta que pasa por todos ellos. - - - - - -. Dada la recta siguientes 1. Se pide: a. Despeja la en función de la. b. A partir de la epresión obtenida en el apartado anterior, calcula una tabla con cuatro valores: c. Representa los puntos obtenidos en el apartado anterior traza la recta correspondiente. d. Despeja la en función de la. e. A partir de la epresión obtenida en el apartado anterior, calcula una tabla con cuatro - - - - 1

valores: f. Representa los puntos obtenidos en el apartado anterior traza la recta correspondiente. a 1 1 1 b 1 1 5. 5. 75. 5 0. 75 1 5. 5 1 1 1. 75 1 1 1 9. 5 1 0. 75 c 1 - - - - - - Tareas 01-0-1: todos los ejercicios de la página 1 7. Sistemas de ecuaciones lineales Tareas 0-0-1: todos los ejercicios de la página 15 7. Sistemas equivalentes Tareas 0-0-1: todos los ejercicios de la página 1 7. Número de soluciones de un sistema lineal Tareas 09-0-1: todos los ejercicios de la página 17 7.5 Métodos de resolución de sistemas Ejemplo Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: 7 5 5 MÉTODO DE SUSTITUCIÓN Elegimos la, tomamos la 1º ecuación: - - - -

Se sustitue este valor de en la segunda ecuación: 7 5 5 1 5 5 1 70 1 70 1 11 Sustituimos este valor de para hallar el correspondiente valor de : 11 1 1 1 1 150 1 75 1 La solución del sistema es 75, 11 1 1 Tareas 09-0-1: todos los ejercicios de la página 1 MÉTODO DE IGUALACIÓN 7 5 5 Elegimos despejar la en las dos ecuaciones: 7 5 5 5 5 7 Igualamos las dos epresiones obtenidas para : 5 5 7 1 70 1 70 11 1 Sustituimos este valor de para hallar el correspondiente valor de : 11 1 1 1 1 150 1 75 1 La solución del sistema es 75, 11 1 1 Tareas 09-0-1: todos los ejercicios de la página 19 MÉTODO DE REDUCCIÓN 7 5 5 Elegimos la, para: multiplicar la primera ecuación por 7 (coeficiente de la en la segunda ecuación) multiplicar la segunda ecuación por (coeficiente de la en la primera ecuación) 7 7 5 5

1 1 restamos en columna 1 70 0 1 11 11 1 Ahora, tenemos que despejar la : tendremos que sustituir el valor de en una de las dos ecuaciones para hallarla. 11 1 1 150 75 1 La solución del sistema es 75, 11 1 1 75. 19 1 11. 1 9 1 Tareas 11-0-1: todos los ejercicios de la página 10 MÉTODO DE GRÁFICO 7 5 5 Tenemos que representar las dos rectas sobre los mismos ejes de coordenadas Habrá que calcular sendas tablas de valores para cada una de las rectas (Dado que una recta queda unívocamente determinada por dos de sus puntos, en dicha tabla, sólo daremos dos puntos.) Despejamos la en función de la : 1 1 1 1 9 7 5 5 Despejamos la en función de la : 7 5 5 1 1 7 1 5 5 7 1 5 5 5 5 Representamos los puntos obtenidos para luego unirlos por las rectas correspondientes:

- - - - - - Tareas 11-0-1: todos los ejercicios de la página 11 7. Sistemas de ecuaciones no lineales Ejemplo Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales: 1. 5 Utilizamos el método de sustitución. Despejamos la en la primera ecuación: 5 Sustituimos este valor de en la segunda ecuación. 5 5 0 1 0 El producto de números es cero si uno de ellos es cero. 1 0 Ecuación de º grado completa con a - - - - b c 1 b b ac 1 a 1 1 Sustituimos estos valores de para encontrar los correspondientes valores de : si 1 5 1 5 si 1 5 1 5 Las soluciones son 1, 1, 19 La representación gráfica sería: 19 5

- - - - - - - - - -. 1 Aplicamos el método de sustitución: despejaremos la en la primera ecuación: Sustituimos este valor de en la segunda ecuación: 1 1 m. c. m. 1 Como tenemos una igualdad donde todos los denominadores son iguales los podemos suprimir. 5 7 1 1 7 9 7 7 9 1 1 Sustituimos estos valores de para hallar los correspondientes valores de : si si Las soluciones del sistema son,, La representación gráfica sería:

- - - - - - 7.7 Resolución de problemas mediante sistemas Ejemplo - - - - 1. La razón de las edades de dos personas es de. Sabiendo que se llevan quince años, Cuál es la edad de cada una de ellas? Llamamos: es la edad de la persona menor es la edad de la persona maor Tenemos que: La razón de las edades de dos personas es de se llevan quince años 15 Entonces tenemos el sistema de ecuaciones lineales siguiente: 15 Se resuelve por el método de sustituición: 15 0 0 Sustituimos este valor de para hallar el correspondiente valor de : 0 15 5 La solución del sistema es 0, 5 Las edades de las personas son 0 5 años. El perímetro de un rectángulos es de 1 cm, su diagonal mide 5 cm. Halla sus lados. Gráficamente será: 7

Tenemos que: perímetro de un rectángulos es de 1 cm 1 su diagonal mide 5 cm 5 Teorema de Pitágoras Nos queda el sistema: 7 5 Aplicamos el método de sustitución: Despejamos la primera ecuación: 7 Sustituimos este valor de en la segunda ecuación. 7 5 9 1 5 0 1 0 7 1 0, Solution is:, Ecuación de º grado completa con a 1 b 7 c 1 b b ac 7 7 1 1 7 1 a 1 7 1 7 1 7 1 Sustituimos estos valores de para encontrar los correspondientes valores de : si 7 si 7 Las soluciones del sistema son,, Los lados del rectángulo son cm cm Tareas 15-0-1; todas las tareas de la página 1 1. EJERCICIOS Y PROBLEMAS

a. Como se trata de dos rectas, habremos de confeccionar dos tablas de dos valores cada una pues cada una de las ecuaciones es una recta. Despejamos la en función de la : 1 puntos 1,,, 1 Despejamos la en función de la : 0 1 0 1 Así la representación gráfica será: puntos, 0,,1 - - - - - - Las rectas se cortan en un punto Tareas 1-0-1; todos los ejercicios que faltan del 1. - - - - d 1 1 Elegimos en la primera ecuación la, para despejarla: 1 9

1 Sustituimos este valor de en la segunda ecuación. 1 1 1 1 Sustituimos este valor de para hallar el correspondiente valor de : 0 La solución del sistema es 0, Tareas 17-0-1: todos los ejercicios que faltan del d 1 Elegimos la, para despejarla en las dos ecuaciones. 1 1 Entonces nos queda que: 1 1 11 Sustituimos este valor de para hallar el correspondiente valor de : 1 1 11 1 11 1 11 11 11 5 La solución del sistema es 11, 5 11 Tareas 17-0-1: todos los ejercicios que faltan del d 7 Elegimos la para conseguir en las dos ecuaciones el mismo coeficiente. 7

7 Restamos en columna: 7 / 1 1 1 Sustituimos este valor de para hallar el correspondiente valor de : 1 1 1 La solución del sistema es, 1 Tareas 17-0-1: todos los ejercicios que faltan del 5 b 9 1 5 11 7 Nos fijamos primero en la, por lo que hacemos lo siguiente: 9 1 511 11 7 9 Restamos en columna 99 1 59 99 19 99 1 59 99 19 / 0 9 0 9 99 0 Nos fijamos en segundo lugar en la, por lo que hacemos lo siguiente: 9 1 57 11 7 1 91 7 1 91 Restamos en columna 91 7 1 91 0 / 9 0 9 0 La solución del sistema es, 99 0 0 Tareas 1-0-1: todos los ejercicios que faltan del 5 Tareas 1-0-1: (aviso ha que emplear al menos una vez cada uno de los métodos no gráficos) 7 11

d 5 Como los coeficientes de las variables son proporcionales (multiplicamos por ), pero el término independiente no sigue esta regla, las rectas son paralelas. El sistema no tiene solución. Vamos a comprobarlo gráficamente. 5 Tenemos que construir una tabla de valores con dos valores para representar la recta correspondiente. Despejamos en función de : 5 5 1 5 1 7-1 1 los puntos,1,7, 1 Tenemos que construir una tabla de valores con dos valores para representar la recta correspondiente. Despejamos en función de : -1 1 1 0. 5 1 los puntos 1. 5 1, 1, 1, 5 La representación gráfica sería: - - - - - - Es cierto lo dicho. Tareas 1-0-1: todos los ejercicios que faltan del 7 - - - - 1

d 9 1 Despejamos en la primera ecuación para sustituir dicho valor en la segunda: 9 9 1 1 1 1 1 0 0 9 0 0 Ecuación de º grado completa con a 1 b 9 c 0 b b ac 9 9 1 0 a 1 9 1 5 9 1 9 1 9 1 Sustituir estos valores de para hallar los correspondientes valores de : si 5 9 5 si 9 5 La solución del sistema es, 5,5, Gráficamente es: - - - - - - Tareas 1-0-1: todos los ejercicios que faltan del 11 - - - - 1

d 0 Despejamos en la primera ecuación: Sustituimos este valor de en la ª ecuación: 1 Sustituimos estos valores de para hallar los correspondientes valores de : si si Las soluciones del sistema son,,, Gráficamente sería: - - - - - - Tareas 19-0-1: todos los ejercicios que faltan del 11 1 - - - - 1

d 17 5 Vamos a reducir las : Restamos en todas las columnas 1 1 Vamos a averiguar, también por reducción: Sumamos en todas las columnas 17 5 / 17 5 / No tiene solución pues todo número elevado al cuadrado es positivo o cero. Entonces el sistema es incompatible, es decir, no tiene solución. - - - - - - Tareas 19-0-1: todos los ejercicios que faltan del 1 Tareas 19-0-1: 1,1 15 - - - - PLANTEAMIENTO es el número natural maor Llamamos es el número natural menor Los datos son: su suma es 15 15 15

su cociente RESOLUCIÓN Tenemos el sistema: 15 Aplicamos el método de sustitución. En la primera ecuación despejamos la : 15 Sustituimos este valor de en la segunda ecuación: 15 11 Sustituimos este valor de para hallar el correspondiente valor de : 15 11 La solución del sistema es 11, SOLUCIÓN Los números son 11 Tareas 19-0-1: 1,17 1 PLANTEAMIENTO Llamamos Los datos que tenemos son: es el número de alumnos de ESO es el número de alumnos de Bachillerato % de la ESO 5% de Bachillerato son chicas para un total de 19 0 0 5 19 los estudiantes de Secundaria son 0 0 RESOLUCIÓN Tenemos el sistema 5 1900 0 Aplicamos el método de igualación. Despejamos en las dos ecuaciones la : 5 1900 0 1900 5 0 Igualamos las dos epresiones de : 1900 0 5 1900 1 0 5 1900 10 5 0 Sustituimos este valor de para hallar el correspondiente valor de : 1

0 19 La solución del sistema es, 19 SOLUCIÓN Ha en la ESO 19 en Bachillerato. Tareas -0-1: 19, 0 1 PLANTEAMIENTO Llamamos Tenemos que: es el número maor es el número menor los dos números suma si al maor lo dividimos entre al menor entre cuatro, los resultados obtenidos se diferencian en unidades RESOLUCIÓN Tenemos el sistema Aplicamos el método de reducción. Elegimos la, para así multiplicar la segunda ecuación por. Restamos en cada columna / 7 7 1 Sustituimos este valor de para hallar el correspondiente valor de : 1 1 La solución del sistema es 1, 1 SOLUCIÓN Los números son 1 1 Tareas -0-1:, PLANTEAMIENTO Tenemos la siguiente tabla: edad actual dentro de quince años Carmen 15 Maite 15 Los datos son: 15 15 dentro de quince años será el doble de la que entonces tenga su hija 15 15 17

la edad de Carmen es el triple de la de su hija Maite RESOLUCIÓN Tenemos el siguiente sistema: 15 15 Aplicamos el método de igualación. Despejamos en las dos ecuaciones. 15 15 Igualamos las epresiones de obtenidas. 15 15 0 15 15 Sustituimos este valor de para hallar el correspondiente valor de : 15 5 La solución del sistema es 5, 15 SOLUCIÓN La edad de la madre es 5 años 15 años la de la hija. Tareas -0-1: 5, 7 PLANTEAMIENTO Llamamos Los datos son: es el precio de los pantalones es el precio de los zapatos por un pantalón unos zapatos he pagado 1 euros 1 si el precio del pantalón aumentará en un 1% entonces sería el 75% del precio de los zapatos 0 1 0 75 RESOLUCIÓN Tenemos el sistema 1 0 75 0 1 11 0 0 75 1 Aplicamos el método de sustitución. Despejamos la en la segunda ecuación. 1 Sustituimos este valor de en la primera ecuación. 11 75 1 0 0 1 11 75 1 11 75 7 Sustituimos este valor de para hallar el correspondiente valor de. 1 7 50 La solución del sistema es 50, 7 SOLUCIÓN Los zapatos cuestan 7 euros los pantalones 50 Tareas -0-1:,9 ADVERTENCIA: SE HAN DE APLICAR TODOS LOS MÉTODOS ANALÍTICOS AL MENOS DOS VECES 0 1

PLANTEAMIENTO Tenemos la tabla siguiente: Entonces para el coche será 5 1 t Y para el autobús será 90 t RESOLUCIÓN Tenemos que resolver el siguiente sistema: Aplicamos el método de reducción: Restamos en columna 5 1t 90t 5 / 0t 5 1t 90t t 5 0 5 1. 5 Sustituimos este valor de t para hallar el correspondiente valor de : 90 1. 5 11. 5 La solución del sistema es 11. 5, 1. 5 SOLUCIÓN La distancia recorrida es 11.5 km en un tiempo de 1 h 15 min Tareas -0-1: 1, PLANTEAMIENTO Llamamos Los datos son: es la distancia entre los pueblos t es el tiempo que tarda si va vacío Cuando va con niños lleva una velocidad media de 0 km/h tarda un cuarto de hora más que si va vacío 0 t 0. 5 19

Cuando va sin niños lleva una velocidad de 0 km/h 0 t espacio velocidad tiempo RESOLUCIÓN Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones: 0t 0. 5 0t Aplicamos el método de igualación: 0t 15 0t 15 0t t 15 0 0. 75 Sustituimos este valor de t para hallar el correspondiente valor de : 0 0. 75 7. 5 La solución del sistema es 7. 5, SOLUCIÓN La distancia es 7.5 km el tiempo es Tareas -0-1:,5 0 5. 5 min 0 s PLANTEAMIENTO Llamamos Los datos nos dicen: es la cifra de las decenas es la cifra de las unidades si a un número de dos cifras le restamos el que resulta de invertir el orden de estas obtenemos el doble de la cifra de las decenas del número inicial sus cifras suman 1 1 RESOLUCIÓN Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones: 1 Aplicamos el método de sustitución. Despejamos en la segunda ecuación para sustituirla en la primera: 1 91 9 1 1 9 9 1 1 11 1 7 Sustituimos este valor de para hallar el correspondiente valor de : 1 7 9 La solución del sistema es 9, 7 SOLUCIÓN El número es 97 Tareas -0-1: 7,,0,1, 9 0

PLANTEAMIENTO Tenemos el siguiente triángulo rectángulo: Los datos son: la diferencia entre los catetos es de cm el triángulo es rectánguloteorema de Pitágoras 0 RESOLUCIÓN 900 Aplicamos el método de sustitución: cambiamos por su valor en la segunda ecuación. 900 1 900 1 900 0 1 0 0 Ecuación completa de º grado con a 1 b c b b ac 1 a 1 1 17 Sustituimos estos valores de para hallar los correspondientes valores de : si 1 si 1 1 La solución del sistema es, 1,1, SOLUCIÓN Los lados miden cm 1 cm EXAMEN DEL TEMA 0-0-1 1