Soluciones de las actividades Página 15 1. La clasificación de las funciones es: a) Función algebraica racional polinómica de grado. b) Función algebraica racional polinómica de grado. c) Función trascendente. d) Función algebraica irracional. e) Función algebraica racional fraccionaria. f) Función trascendente.. Las funciones pertenecen a las siguientes familias: a) Función algebraica racional polinómica de grado 3. b) Función trascendente. c) Función algebraica racional polinómica de grado 1 afín. d) Función algebraica racional fraccionaria. e) Función algebraica irracional. f) Función trascendente. Página 16 3. Las funciones afines son de la forma f(x) = mx + n. Hallamos m y n: a) m = ; f(1) = 4; 4 = 1 + n; n =. Solución: f(x) = x +. Página 17 6. f(0) = -. f(1) = -1/. f() = 0. f(-) = 4. f(4) = /5. La función no está definida para x = -1. 7. Las funciones de proporcionalidad inversa son de la forma f(x) = k/x. Hallamos k: f(3) = -1-1 = k/3 k = -3. Solución: f(x) = -3/x 8. Sea f(x) = 1/(x - a). a) Dom(f) = R-{- a, a }. a = 3 a = 9. b) Sí. Cualquier a < 0, ya que en este caso a no es real y, por tanto, no hay puntos excluidos del dominio. Página 18 9. Las soluciones son: a) 5 - x 0 x 5. Dom(f) = (, 5]. Im(f) = [0, ). x -4 1 4 5 f(x) 3 1 0 b) f(-1) = 6 y f() = 3. Tenemos el sistema de ecuaciones siguiente: 6 = -m + n, 3 = m + n. -3 = 3m, m = - 1. 6 = 1 + n, n = 5. Solución: f(x) = - x + 5. c) f(1) = 0; m = 3. 0 = 3 + n; n = - 3. Solución: f(x) = 3x - 3. 4. La función se puede escribir como f(x) = ax + bx +c. Hallamos a, b y c: f(0) = 1 c = 1, f() = 7 7 = 4a + b + 1, f(-1) = 4 4 = a - b + 1. Resolviendo el sistema, 3 = a +b, 3=a - b. 6 = 3a a =. 3 = - b b = -1. Solución: f(x) = x - x + 1. b) x + 5 0 x -5. Dom(f) = [-5, ). Im(f) = (-,0]. x - 5-4 - 1 4 f(x) 0 1 3 5. La abscisa del vértice viene dada por x = - b/a de lo que obtenemos x = 1/4. La parábola no corta el eje de abscisas. Dichos cortes vienen dados por las x tales que x - x + 1 = 0, que no tiene solución. 8-3
c) x -4 0; x x o bien x -. Dom(f) = (-,-] [, ). Im(f) = [0, ). x - 4-4 f(x) - 3 0 0 3 d) x - 4x + 3 0. Hallamos cuando es igual a 0: x - 4x + 3 = 0 x = 3 y x = 1. Dado que el coeficiente de x es positivo, tenemos x 3 y x 1 (el polinomio es cóncavo, por lo tanto es positivo para x mayores que la mayor raíz y para x menores que la menor raíz). Dom(f) = (-,1] [3, ). Im(f) = [0, ). x 0 1 3 4 f(x) 3 0 0 3 b) f(0) = 0. f(1) = 1/. f(-1) = (-1) / -1 =. f() = / = 1. f(-) = (-) / - = 4 4 = 16. c) f(0) = 1 =. f(1) = 1-1 = 1. f(-1) = 1. f() = 1-4 = 1/8. f(-) = 1/8. d) f(0) =. f(1) = (e + 1/e)/ 1,54. f(-1) = (1/e + e) 6,17. f() = (e + 1/e )/4 1.88. f(-) = (e + 1/e ) 4 30.10. e) f(0) = 1. f(1) = (e + 1/e)/ 1,54. f(-1) = (1/e + e)/ 1,54. f() = (e + 1/e )/ 3.76. f(-) = (1/e + e )/ 3,76. f) f(0) = 0. f(1) = (e - 1/e)/ 1,17. f(-1) = (1/e - e) -4,70. f() = (e -1/e )/4 1,81. f(-) = (1/e - e ) 4-9,0. g) f(0) = 1. f(1) = 1/4. f(-1) = 1/4. f() = 1/16. f(-) = 1/16. h) f(0) = 0. f(1) = (e-1/e)/ 1.18. f(-1) = (1/e - e)/ -1.18. f() = (e - 1/e )/ 3,63. f(-) = (1/e - e )/ 3,63. i) f(0) = 0. f(1) = (e - 1/e)/(e + 1/e) 0,76. f(-1) = (1/e - e)/(1/e + e) -0,76. f() = (e - 1/e )/(e - 1/e )/(e - 1/e ) 0.96. f(-) = (1/e - e )/(1/e + e ) -0.96 1.El número de bacterias viene dado por N(t) = 9 + e t. a) 3días = 3 4h = 7h. N(7) = 9 + e 7 3,71 10 31. Inicialmente = 0h. N(0) = 9 + = 11. b) N(t) = 9 + e t > 44000; e t > 43991/; t > ln(43991/) 9,99. Si queremos dar un número natural de horas: tienen que haber pasado 10h. Página 130 13. Los dominios e imágenes son: a) Dom(f) = (0, ). Im(f) = R. b) Dom(f) = (0, ). Im(f) = R. 10. Dado que se trata de raíces de polinomios, el dominio son todos los reales cuando el índice de la raíz es impar. Si el índice de la raíz es par hay que examinar cuando el radicando es no negativo. a) Dom(f) = [-3, ). b) Dom(f) = R. c) x - 3 0 x 3/ Dom(f) = [3/, ) d) Dom(f) = R. Página 19 11. Los valores de las funciones son: a) f(0) = = 4. f(1) = 3 = 8. f(-1) = 1 =. f() = 4 = 16. f(-) = 0 = 1. c) El argumento toma valores en el intervalo [1, ). Dom(f) = R. Im(f) = [0, ). d) x - 4 0; x > y x < -. Dom(f) = (-,-) (, ). Im(f) = R. 14. Los dominios son: a) ( - x)/(x - 4) > 0. - x es positivo (negativo) para x < (x > ). x - 4 es positivo (negativo) para x > 4 (x < 4). Tienen el mismo signo (y, por tanto, su cociente es positivo) en el intervalo (,4). Así pues: Dom(f) = (,4). a) x/(x - 7) > 0. x - 7 > 0 x > 7, x > - 7. x - 7 < 0-7 < x < 7. 8-4
Numerador y denominador tienen el mismo signo en x > 7 y en - 7 < x < 0. Por lo tanto, el dominio es: Dom(f) = (- 7,0) ( 7, ). c) h(x) = x 9 Página 131 15. Las gráficas de las funciones son: a) f(x) = 4 x six < 3 x 5six 3 d) k(x) = x x 6 b) f(x) = x six < 4 six Página 133 16. Las gráficas de las funciones son: a) f(x) = 3x 7 b) g(x) = x 4 17. La función de interpolación lineal viene dada por la y1 y0 fórmula y = ( x x0 ) + y0, de lo cual obtenemos: f ( x ) = ( x 010) + 1400. x1 x0 190 4 a) f(01) = 1495. b) f(009) = 135,5. En el año 009 se matricularon aproximadamente 1353 vehículos. f(015) = 1637,5. En el año 015 se matricularon aproximadamente 1638 vehículos. 18. Realizamos las interpolaciones: a) Para realizar interpolación cuadrática hemos de resolver el sistema de ecuaciones: y 0 = ax 0 + bx 0 +c, y 1 = ax 1 + bx 1 +c, y = ax + bx + c, del que obtenemos: 1 = c, -3 = a + b + c, 5 = 16 a + 4 b + c. Resolvemos: a = -b 4 5 = 16 (-b 4) + 4b + 1 1b = 68 b = -17/3, a = 5/3, c = 1. Obtenemos la función de interpolación cuadrática f(x) = 5/3x 17/3x + 1. El resultado de las interpolaciones es f(0,5) -1,4167, f() -3,67 8-5
b) Para x entre 0 y 1 la expresión de la interpolación lineal a trozos viene dada por la recta que interpola los puntos (0, 1) y (1,-3). Aplicando la fórmula y1 y0 y = ( x x0 ) + y0 x1 x0 obtenemos f 1 (x) = -4x + 1. Para x entre 1 y 4 la expresión de la interpolación lineal a trozos viene dada por la recta que interpola los puntos (1, -3) y (4, 5). Aplicando la fórmula de interpolación obtenemos f (x) = 8/3(x 1) 3. Así pues, la función de interpolación lineal a trozos f(x) toma valores f 1 (x) en el intervalo (0, 1) y f (x) en el intervalo (1,4). Finalmente, f(0,5) = f 1 (x) = -1; f() = f () = 8/3 3-0,33 19. Hemos de interpolar los nodos (1, 1 = ), (, = 4) y (3, 3 = 8). Planteamos el sistema de ecuaciones: y 0 = ax 0 + bx 0 +c, y 1 = ax 1 + bx 1 +c, y = ax + bx + c. Obtenemos = a + b + c, 4 = 4a +b +c, 8 = 9a +3b + c Concluimos: = 3a + b, 6 = 8a + b = a a = 1 b = -1 c =. La función interpoladora es f(x) = x x +. El error cometido al interpolar 0 es: f(0) - 0 = 1= 1. Al interpolar (0, 1) se comete un error de magnitud 1. El error cometido al interpolar 4 es: f(4) - 4 = 14-16 = -. Al interpolar (4, 16) se comete un error de magnitud. P( x) f ( x) =, donde P(x) y Q(x) son polinomios, Q( x) siempre que P(x) no sea el polinomio nulo y el grado de Q(x) sea 1 o superior. La función f(x) = x/(x+1) y la función g(x) = = (x 5 + 4x 3 + 1)/(x + 7) son ejemplos de funciones fraccionarias. P4. Una función irracional es aquella en la que la variable x está afectada por la operación de radicación. Las funciones: f(x) = x + 4x, g(x) = x + x +3 y h(x) = 3 x 4, son ejemplos de funciones irracionales. P5. La función y = a x, a > 0, a 1, corta el eje de ordenadas en y = 1. No corta el eje de abscisas. Es creciente (decreciente) si a > 1 (a < 1). Representación gráfica para a = 10 y a = 1/10: P6. La función y = log a x, a > 0, a 1, es la función inversa de y = a x. Corta el eje de abscisas en x = 1. No corta el eje de ordenadas. Es creciente (decreciente) si a > 1 (a < 1). Representación gráfica para a = 10 y a = 1/10: Página 137 P1. Esquema a modo de ejemplo: Funciones reales de variable real Algebraica Trascendente Racional Irracional Polinómica Fraccionaria Grado 0 Grado 1 Grado... P. Una función polinómica es una función de la forma f(x)=p(x), siendo P(x) un polinomio. La función f(x) = (x - 1) (x - ) = x -3 x + es un ejemplo de función polinómica (de segundo grado). P3. Las funciones fraccionarias son aquellas de la forma P7. Un ejemplo de función definida a trozos es: x 1 si x 1 f(x) = x 1 si x < 1. Dom(f) = R e Im(f) = R. P8. El proceso de interpolación consiste en obtener una función cuya gráfica pase por un conjunto de nodos dados. 8-6
La interpolación es lineal cuando partimos de dos nodos distintos, obteniendo una función de interpolación polinómica afín. Por ejemplo, la función de interpolación lineal de los nodos (0, 1) y (1, 3) es f(x) = x + 1 La interpolación es cuadrática cuando partimos de tres nodos distintos, obteniendo una función de interpolación polinómica de grado. Por ejemplo, la función de interpolación lineal de los nodos (0, 1), (1, 1) y (-1, 0) es f(x) = -1/ x + 1/ x + 1. 0. Las gráficas de las funciones son: a) f 1 (x) = x + 1 f(x)=0 y el punto de corte con el eje de ordenadas se corresponde con y = f(0). a) f(x) = -x 3x + 1. Vértice x = 3/. Cortes con el eje de abscisas: x = -3/ + 57 /, x = -3/ - 57 /. Corte con el eje de ordenadas: y = 1. b) f(x) = 5x + x. Vértice x = -1/5. Cortes con el eje de abscisas: x = -/5, x = 0. Corte con el eje de ordenadas: y = 0. c) f(x) = -(x-4) + 4 = -x + 8 x - 1. Vértice x = 4. Cortes con el eje de abscisas: x =, x= 6. Corte con el eje de ordenadas: y = - 1. b) f (x)= x - d) f(x) = x - 15x + 1. Vértice x = 15/4. Cortes con el eje de abscisas: x = 15/4 + 57 /4, x= 15/4-57 /4. Corte con el eje de ordenadas: y = 1. 3. Las expresiones de las funciones f(x) = ax + bx+ c son: a) Dado que f tiene un mínimo en 1 = -b/a concluimos que a ha de ser positivo. Tomamos por ejemplo a = 1 b = - -3 = f(1) = 1 + c c = -. Obtenemos: f(x) = x x. c) f 3 (x)= x -0,5 Las tres funciones son polinómicas de grado 1, afines y con pendiente. 1. Dado que es paralela a la recta y = -x +3 deducimos que tiene pendiente -1. Buscamos una función de la forma f(x) = -x + c. Imponiendo que la gráfica pasa por (, -1), obtenemos -1 = - + c c = 1 Solución: f(x) = -x + 1. Dada una función f(x) = a x + b x+ c, el vértice viene dado por el punto x = -b/a, los puntos de corte con el eje de abscisas se corresponden con las soluciones de b) Buscamos una función f(x) tal que f(x) = 0 no tenga solución. Por ejemplo f(x) = x + 1 c) Dado que el vértice está en x = -, tenemos - = = -b/a a = b/4. Imponiendo que pase por (-, 3) y (1, -) obtenemos el sistema 3 = 4a b +c; - = a + b + c 5 = 3a 3b 5= 3/4 b 3b b = -0/9 a = -5/9 c = 7/9. Obtenemos: f(x) = -5/9x 0 /9x + 7/9 d) f(0) = 5 c = 5. Con los otros dos nodos obtenemos 5 = a b, 0 = 16a + 4b 40 = 0a a = b = -3. Obtenemos: f(x) = x 3x +5. e) Dado que x = -3 y x = 4 son soluciones de f(x) = 0, tenemos que f(x) = k (x + 3)(x 4). Imponiendo f(0) = -5 obtenemos k = 5/1. Obtenemos: f(x) = 5/1(x + 3)(x 4) 4. Dado que x = 1 y x = 3 son soluciones de f(x) = 0, tenemos que f(x) = k (x 1)(x 3). Imponiendo que f() = 5 obtenemos k = -5. Solución: f(x) = -5 (x 1)(x 3). 5. f(x) = -(x + 3) 3 + (x ) 3 = -15x 15x 35. 8-7
El vértice viene dado por x= -b/a = 1/. 6. Las gráficas de las funciones son: a) f(x) = -7/x a) f(x) = b) f(x) = 1 x x + (x+ 1) c) f(x) = 1 1 x b) f(x) = 3/x 30. Los dominios, imágenes y gráficas de las funciones son: a) x + 10 0 x - 5. Dom(f) = [-5, ), Im(f) = [0,. ). 7. Los dominios, puntos de cortes con los ejes y las asíntotas verticales son: a) Dom(f) = R - {-, 3}. Corte con el eje de abscisas x = 0. Corte con el eje de ordenadas y = 0. Asíntotas verticales x = -, x = 3. b) Dom(f) = R - { + 5, 5 }. Cortes con el eje de abscisas x = +, x = -. Corte con el eje de ordenadas y = 4. Asíntotas verticales x = + 5, x = + 5. c) Dom(f) = R - {-, }. Corte con el eje de abscisas x = 0. Corte con el eje de ordenadas y = 0. Asíntotas verticales x = -, x =. d) Dom(f) = R - {-1, 0, 1}. Asíntotas verticales x = -1,, x = 0, x = 1. Cortes con el eje de abscisas: x = 3/+ 9/, x = 3/+ 9/. No corta el eje de ordenadas dado que x = 0 no pertenece al dominio. b) x + 10 0 x - 5. Dom(f) = [-5, ), Im(f) = (-,0]. c) x 9 0 x -3 ó x 3. Dom(f) = (-, -3] [3, ), Im(f) = [0,. ). 8. La función más sencilla con estas características es 1 1 f ( x) = = ( x 3)( x + 3) x. 9 Su dominio es Dom(f) = R - {-3,3}. Existen otras funciones con asíntotas en x = -3 y x = 3 que tienen otros dominios. 9. Las posibles funciones son: 8-8
d) x 4 0 x - ó x. Dom(f) = (-, -] [, ). Im(f) = [,. ). Página 138 35. 1-x > 0; x < 1 Dom(f) = (-1,1). El argumento del logaritmo toma valores entre 0 y 1: Im(f) = (-,0]. 36. ln(y) = 0 y = 1. x - 8x + 7 = 1; x - 8x + 6 = 0; x = 4 ± 10. El argumento del logaritmo puede tomar el valor 1, así que la función sí puede valer cero. También puede tomar valores negativos. 37. Los dominios de las funciones son: a) 3x + 4 > 0, x > -4/3. 31. Los dominios son: a) Dom(f) = R. b) (x + 1) / (x 1) 0 si x -1 ó x > 1. Dom(f) = (-, -1] (1, ). c) Dom(f) = [0, ). d) Dom(f) = R - {-1}. 3. Dom(f) = R. Im(f) = (0, ). 33. La gráfica de la función es: Dom(f) = (-4/3, ). b) 4-3x x > 0, -4 < x < 1. Dom(f) = (-4, 1). 38. Dado que si a > 0 la función 10 ax es creciente en x tenemos que f(x) = log(ax) es creciente para todo a positivo. Análogamente, si a < 0 la función 10 ax es decreciente en x y por lo tanto f(x) = log(ax) es decreciente para todo a negativo. 39. Los dominios, imágenes y representaciones gráficas de las funciones son: a) Dom(f) = R. La parte de x < 1 es una recta con pendiente negativo. Para x = 1 tenemos 4-1 =. Por lo tanto, esta parte de la función toma valores en el intervalo (, ). Nótese el (, debido al signo <. La parte x 1 es una recta de pendiente positivo y toma valores iguales o mayores que 4. 34. Las gráficas de las funciones son: Así pues, Im(f) = (, ). La gráfica de la función es: a) Para x < 0. b) Para x >0. c) Tenemos que (1/) x > (1/3) x > (1/5) x si x > 0 y (1/) x < (1/3) x < (1/5) x si x < 0. b) Dom(f) = R. La parte izquierda de la función es una recta decreciente. Toma valores en el intervalo (3, ). La parte derecha toma valores en [0, ). 8-9
Así, Im(f) = [0, ). La gráfica: c) La función no está definida en el tramo x <3, por lo que Dom(f) = (-,) [3, ). Im(f) = (, ). 41. La función es como la de log(x), pero con su imagen simétrica para x < 0: d) Dom(f) = R. La parte izquierda toma valores en (5, ), mientras que la derecha toma el valor 4. Así, Im(f) = {4} (5, ). 40. Los dominios, imágenes y representaciones gráficas de las funciones son: a) Dom(f) = R. Im(f) = (-,]. b) Dom(f) = R. La parte x 0 de la función toma valores en [3, ). La parte 0 < x 5, en [-,3), mientras que la parte x > 5, en (, ). La unión de estos conjuntos da: Im(f) = [, ). 4. Para calcular el valor de y para x = 10 usamos la interpolación lineal entre los nodos (, 5) y (13, 58). y1 y0 Usando la fórmula y = ( x x0 ) + y0 nos x1 x0 queda: y = 3 (x ) + 5. Evaluando en x = 10 obtenemos y = 189. Para calcular el valor de x correspondiente a y = 44 interpolamos usando los nodos (13, 58) y (5, 534). Obtenemos la fórmula y = 3 (x 13) + 58. Evaluando para y = 44 obtenemos 184 = 3 (x 13) x = 1. 43. Buscamos una función de la forma f(x) = ax + bx + c. Evaluando en los 3 nodos obtenemos un sistema de ecuaciones,5 = 441a + 1b + c 6,5 = 15a + 35b + c 90 = 1764a + 4 b + c De la primera y la tercera ecuaciones obtenemos 3c = = -4b. c = -14b. De la primera y la segunda ecuaciones obtenemos a = 5/98. Finalmente b = c = 0. Obtenemos f(x) = 5/98 x. f(7) = 7 5/98 37,194. Alcanzará una altura de unos 37, metros. 44. Buscamos una función de la forma f(x) = ax + bx + c. Evaluando en los 3 nodos obtenemos un sistema de ecuaciones 1100 = 100 a + 10 b + c 1400 = 144 a + 1 b + c 1450 = 196 a + 14 b + c 8-10
Obtenemos 300 = 44a + b, 50 = 5a +b a = = 15/4 b = 1675/ c = -4150 f(x) = 15/4 x + 1675/ x - 4150 f(13) = 1456,5. Habrá tenido unas 1456 visitas. 49. La gráfica de la función es: 45. Las funciones inversas son simétricas respecto de la bisectriz del primer y el tercer cuadrantes, dada por la recta y = x. Lo podemos observar en la gráfica: a) El máximo de beneficio se da en vértice de la parábola x = b/a = 6. La empresa obtiene un beneficio máximo si venden 6000 unidades. b) Resolvemos -0,5x +1x 0 = 0 y obtenemos las raíces x = 1 + 6 y x = 1-6. Usando que 1000 (1 + 6 ) 198, concluimos que la empresa entrará en pérdidas si vende más de 198 unidades. log 0.5 (x) 0.5 x Ambas funciones se cortan en el punto x tal que log 0.5 (x) = 0.5 x. 46. Para calcular las inversas escribimos y = f(x) y aislamos x en función de y. a) y = 5 x+1 y/ = 5 x+1 log 5 (y/) = x+1 log 5 (y/)-1 = x. La función inversa es h(x) = log 5 (x/) 1 b) y = 5 x+1 log (y/5)-1 = x. La función inversa es h(x) = log (x/5) 1 c) y = 5x+1 log (y) = 5x+1 (log (y) -1)/5 = x. La función inversa es h(x) = (log (x) -1)/5. 47. Si el coche se deprecia un 0% cada año, significa que al año siguiente vale un 80% de lo que valía el año anterior. Su valor al cabo de un año será 15000 0.8 = 1000. Al cabo de dos años valdrá 15000 0.8 0.8 = 9600. El valor decrece de forma exponencial siguiendo la fórmula f(x) = 15000 0.8 x. 48. Realizamos interpolación lineal siguiendo la fórmula y1 y0 y = ( x x0 ) + y0. x1 x0 Obtenemos f(x) = 0.5 (x 3) + 6,5. a) f(5) = 7,5. Al cabo de 5 meses el bebé pesará unos 7,5 kg. b) f(9) = 9,5. Al cabo de 9 meses el bebé pesará unos 9,5 kg. 50. La demanda de un producto viene dada por 819 -x. a) f() = 819 - = 819/4 = 048. b) 819 -x = 8; x = -log (8/819) = log (104) = 10. c) Dom(f) = R. Im(f) = (0, ). 51. Las representaciones se corresponden a los siguientes tipos de funciones: a) Función polinómica. b) Función polinómica de grado 3. c) Función fraccionaria. d) Función fraccionaria. e) Función polinómica de grado 1 afín. f) Función polinómica de grado. Página 139 5. Los dominios, imágenes y representaciones gráficas de las funciones son: a) Dom(f) = R; Im(f) = R b) f(x) = (x + 3) /5 + x + 4 = x /5 + 16/5x + 9/5 Dom(f) = R 8-11
Dado que el coeficiente en x es positivo, la parábola tiene un mínimo en su vértice: x = -b/a = -8. Dado que f(-8) = -7, concluimos: Im(f) = [-7, ). f) Dom(f) = (1, ) Im(f) = R c) Dom(f) = R Dado que Im(e x ) = (0, ), tenemos: Im(f) = (-1, ) 53 Región x - 3: + 5x 0 x - 5/ > -3, que está fuera de la región. Región - 3< x : x - 0 x. Región x > : x 3. El dominio, finalmente, es: d) Dom(f) = R - {3} Asíntotas: La recta x = 0 es una asíntota horizontal dado que se trata de una translación de una función de proporcionalidad inversa. Im(f) = R - {0} Dom(f) = (-,- ] [,3) (3, ). 54. Tenemos c 0 = 00, i = 0,0 y t = 15. El capital obtenido es: C 15 = 00 e 0,0 15 68,97 55 Las soluciones son: a) Tenemos que P 0 = 600 y que P() = 1000. Por lo tanto: 1000 = 600 e k k = ln(5/3)/ b) Usando la k obtenida en el apartado anterior: 000 = 600 e k t t = ln(10/3)/ln(5/3) 4,71 Deberán transcurrir unas 4,71 horas. 56. La gráfica de la función es: e) x + 10 0, x - 5. Dom(f) = [-5, ), Im(f) = [0,. ). 8-1
57. Las propiedades se demuestran: a) Sea F(x) la parte fraccionaria de x, es decir: x = E(x) + F(x). Tenemos que: E(x) = E[E(x) + F(x)]. Ahora, dado que E(x) es un número entero, sabemos que E(x) = E(x) + E[F(x)] = 1 E(x) si 0 F(x) < = 1 E(x) + 1 si F(x) < 1 (ver solución del apartado b). Además, E(x + 1/) = E[E(x) + F(x) + 1/] = E(x) + 1 E(x) si 0 F(x) < + E[F(x) + 1/] = 1 E(x) + 1 si F(x) < 1. Sumando E(x) a esta última igualdad, demostramos que E(x) = E(x) + E(x + 1/). b) Dado un número x, la parte entera E(x) se define como el único entero que satisface E(x) x < E(x)+1. Usando x + n en vez de x, tenemos que E(x + n) x + n < E(x + n)+1. Si sumamos n a todos los miembros de la primera desigualdad, E(x) + n x + n < E(x) + n + 1. Comparando las dos últimas desigualdades tenemos E(x + n) = E(x) + n. a) x 1 = 0 x = 1; x = -1. Dom(f) = R - {-1, 1}. b) x 3 x x = 0 x (x x ) = 0 x = 0; x = -1; x =. Dom(f) = R - {-1, 0, }. 4. Los dominios de las funciones son: a) 5-3x > 0; 3x < 5; x < 5 3. Dom(f) = (- 5 3, 5 3 ). b) Dom(f) = R. 5. Las funciones son, por ejemplo: a) Buscamos una función algebraica polinómica que sea siempre positiva, por ejemplo x + 1: f(x) = x + 1 b) Buscamos una función algebraica polinómica que sea positiva para x > -3, por ejemplo x + 3: f(x) = x+ 3 b) Buscamos una función algebraica polinómica de grado que sea positiva entre 1 y 4, por ejemplo (x 1)(x 4) f(x) = (x 1)(x 4) = x + 5x 4 6. Se trata de una función trascendente cuyo dominio es Dom(f) = R. Su conjunto imagen es Im(f) = (0, ). Es decreciente en todo su dominio y tiene una asíntota horizontal en y = 0. La gráfica de la función es: Evaluación de estándares 1. La clasificación de las funciones es: a) Algebraica, racional, polinómica de grado 3. b) Trascendente. c) Algebraica, irracional. d) Trascendente. e) Algebraica, racional, fraccionaria. f) Trascendente.. Planteamos las tres ecuaciones: f(0) = c = -1. f() = 4a + b + c = 11. f(1) = a + b + c = 4. Obtenemos: c = -1 b = -a + 5 a = a = 1; b = 4. Solución: f(x) = x + 4x 1. 3. Los dominios de las funciones son: 7. Las soluciones son: a) f(-1) = a -1 = 1/a = 4 a = 1/4 b) La función inversa es log 1/4 (x), que es decreciente dado que se trata de un logaritmo cuya base está entre 0 y 1. Las operaciones realizadas para el cálculo de la inversa son: 1 x 1 y 1 y y = ( ) x = ( ) log x = log( ) 4 4 4 1 log x log x = ylog( ) y = 4 log(1/4) 8-13
Si los logaritmos empleados tienen de base 1/4: log1/4 x log1/4 x y = y = y= log1/4 x log (1/4) 1 1/4 8. El dominio se corresponde con el conjunto de x a los que la función asigna un valor: Dom(f) = [-4, 1) (1, 3]. La gráfica es: 10. Planteamos las tres ecuaciones: f(1) = a + b + c =,4 f(3) = 9a + 3b + c = 4,7 f(5) = 5a + 5b + c = 4,8 Restando la primera ecuación a las restantes obtenemos: 8a + b =,3 4a + 4b =,4 Finalmente tenemos: -b = -4,5 b =,5; a = -0,75; c = 0,45. f(x) = -0,75x +,5x + 0,45 Interpolamos para t = 4: f(4) = 5,05. Al cabo de 4 segundos el cohete está a una altura de 5,05 metros. Extrapolamos para t = 6: f(6) = 4,05. Al cabo de 6s el cohete está a una altura de 4,05 metros. 9. Las soluciones son: a) x + 3x - 10 = 0 x = y x = -5. Así, la función, expresada como función definida a trozos, es: x + 3x 10 si x 5 f(x) = x 3x+ 10 si 5< x< x + 3x 10 si x. b) x + = 0 x = -. Así, la función, expresada como función definida a trozos, es x 3x si x f(x) = x+ 3x si x > 8-14
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