Álgebra. Actividades para recuperación Monomios y Polinomios 1.- Traduce al lenguaje algebraico las siguientes epresiones: a El triple de un número. b El triple de un número más cinco unidades. c La mitad de un número. d Los tres quintos de un número menos uno. e Un número más su mitad..- Indica el grado, el coeficiente y la parte literal de los siguientes monomios y escribe dos monomios semejantes a cada uno de ellos: 5 a 7 y b 11yz c yz d a b c.- Identifica las indeterminadas y el grado de los siguientes polinomios: a - + 9 + b mn 5m + 1 c 5 + + 7 11 + d 7 y 11 + y y e y + y y + y + y + y -.- Calcula el valor numérico de las siguientes epresiones para los valores de las variables indicados entre corchetes. a ab cd ( a b( c d b + [a = ; b=-; c = ; d = -] 1 + 9 ( + c ( [ = ]; [ = 1 ]; [ = 0, ] 5 + [ = a +1]; [ = - a ] 5.- Dados los polinomios: a 5 + 7 b + + 1 c + + 1 d + + 5 1 Indica el grado y sus coeficientes. Hallar: p(-; p(-1; P(0; p(1/, p(-1/ Polinomios: Suma y Diferencia. Ejemplos resueltos: 1.- Simplifica: 5y y a ( + + ( = b ( y ( 7 y c + ( 8 + ( = Polinomios. Recuperación. º E.S.O. - 1 -
Soluciones: + 5y + y = a ( ( Podemos resolverlo de dos formas: en horizontal o en vertical. En el primer caso, se procede quitando los paréntesis: + 5y + y A continuación, se agrupan los términos semejantes: + 5y + y = + + 5y y ( ( Se reducen los términos semejantes: ( ( y + + 5y = 5 + y El procedimiento en vertical consiste en colocar un polinomio encima del otro de forma que en cada columna estén colocados los términos que sean semejantes: + 5y 5 + y A continuación se suman los términos de cada columna y se obtiene el polinomio simplificado. b ( y ( 7 y = La diferencia de polinomios equivale a sumar al primero el opuesto del segundo: y 7y = y + + 7 y ( ( ( ( Por lo tanto, a partir de aquí, se pueden utilizar los mismos procedimientos que en a y + + 7y = y + 7 y En horizontal: ( ( y + 7 y = ( + ( y + 7y ( + ( y + 7 y = + y En vertical: y + 7y + y ( c ( + 8 + y Se quitan los paréntesis comenzando por los más interiores: + 8 + = + + 8 + ( ( ( ( + + 11 = + 6 + + 6 + = +.- Realiza las operaciones que se indican: + + 5 + a ( ( b ( 7 ( + ( + + 5 Soluciones: + + 5 + a ( ( Polinomios. Recuperación. º E.S.O. - -
En horizontal + + 5 + = + + 5 + + + ( ( ( ( ( + + 5 + ( + + = ( + ( + + ( + ( 5 + ( + ( + + ( + ( 5 + = + 5 5 + 9 En vertical: + + 5 + + 5 5 9 b ( 7 ( + ( + + 5 En horizontal: ( 7 ( ( 5 7 5 + + + = + + + + = 7 + + + + + + 5 = + + ( ( ( En vertical: 7 + + + + 5 + Ejercicios propuestos 6.- Reducir a un único término las siguientes epresiones: a -ab + ab +ab -7ab +10ab b (a + b -(a + b + a + b 7 c y + y + y y 5 15 d 16, a, a + 0,7 a a 7.- Reducir los términos semejantes a + y + y + y + y + y + y 8 1 b + y z y + z + 5 5 8.- Simplifica ( + 5 + ( + 6 + ( + a + + ( Sol. 8 ( 7 + ( + ( + + 5 b Sol (. 6 Polinomios. Recuperación. º E.S.O. - -
( + + 5 ( 8 5 + 6 c + + ( Sol. 11 10 10 ( 6 + 8 ( 11 + 10 d e + ( Sol. 19 10 9 + + + = (.: + + 5 Sol ( 10 1 + ( + 6 f + ( Sol. 6 10 7 6 g h i ( 5 + + ( Sol. (( 6 8 (( 1 7 ( 5 ( Sol. 6 6 ( ( ( y + y + y 7 + 5 ( Sol. 9y + 9.- Suprimir paréntesis y agrupar los términos semejantes: a 6a ( a b + [ y ( 6 ] + y ( + y c a + ( a ( a + + d ( 1 ( + e 0 10 + 6 ( 5 + ( ( ( 5 1 + 11 15( f ( 10.- En cada una de las epresiones que siguen, se pide: 1 encerrar los dos primeros términos en un paréntesis precedido del signo más y encerrar los dos últimos términos en un paréntesis precedido del signo menos, como se indica en el ejemplo: a b c + d = a b c d Ejemplo: ( ( a + y z b + y + z + 7 c + a 6c + d Polinomios. Recuperación. º E.S.O. - -
11.- a Dado el polinomio P ( = y + 7a z, si colocamos paréntesis podemos escribirlo en otras formas equivalentes. Comprueba, quitando los paréntesis, que cada una de las siguientes epresiones es igual a P(: y 7a + z = y + 7a z = y 7a + z ( ( ( ( ( b Tomando como referencia el apartado anterior, coloca los signos que faltan en las casillas blancas para que las siguientes igualdades sean ciertas: 1 + = ( = ( + ( = ( 6a b ( 7z + = ( = ( 7 ay ( a b 16 ( 7 ay a ( b 16 + = ( = ( 6 ( 5 7 ( 6 ( 5 7 6a b 7z 6a b 7z 6a b 7z = 7 ay a b 16 7 ay a b 16 = = 6 5 7 6 5 7 = = + 1.- Dado el polinomio p( = + + 1, se pide: a Reducir y ordenar el polinomio p(. 1 b Calcular su valor numérico para = - y para =. c Indicar cuál es su grado y su término independiente. 1.- Calcula: a ( + ( b ( 5 + 7 ( + 6 + 11 + ( ( + 5 c 8 + d y 1 10 y 7 1 e + ( 6 6 + ( 11 + 1 Multiplicación de polinomios. Ejemplos resueltos: a ( 5 ( = b ( 7 = c ( 7( a ( 5 ( + = = Para multiplicar monomios procedemos multiplicando los coeficientes (parte numérica y, luego, la parte literal. Polinomios. Recuperación. º E.S.O. - 5 -
( ( ( ( ( 5 = 5 = 10 = 10 + 5 b ( 7 = Para multiplicar un monomio por un polinomio se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio. 7 = + + 7 = ( ( ( ( ( ( ( ( ( + ( ( + ( ( 7 = 1 + 1 + 1 c ( 7( + = Podemos hacer la operación de dos formas 7 + = 7 + 7 = 1ª.- ( ( ( ( ( 7 ( 7 ( 7 ( 1 1 1 ( 7 + ( 1 1 1 = + 8 19 1 + = + = ª.- En vertical - -7 + 1-1 -1 - -7 + 8-19 -1 Ejercicios propuestos 1.- Efectuar las operaciones indicadas y simplificar el resultado ( 17 ( a + + + = ( Sol. + 5 + 10 9 ( ( 9 + 5 + 7 = b ( Sol. 6 6 7 + 8 5 ( ( + + + + 1 = c 6 5 ( Sol. + + + 11 + + + Ejercicios resueltos (1 Dados p( = 1, q( = + y r( = 6, calcula: Polinomios. Recuperación. º E.S.O. - 6 -
a p( q( - r( b [p(] Solución a p( q( = + 6 p( q( r( = + 6 + 6 Reduciendo términos semejantes y ordenando el polinomio: p( q( r( = + 6 + ( ( ( b ( p = 1 = 1+ 1 = 9 6 + 1 ( Averigua el valor numérico del polinomio p(= - + - 5 para =0 y =-1 Solución p (0 = 5 Ejercicios propuestos 15.- Dado el polinomio P( ( ( 5 ( 8 = + + + se pide: a Desarrollar, reducir y ordenar el polinomio P(. b Factorizar P(. c Resolver las ecuación P( = 0. Calcular: P(-1 y P(. 16.- Efectúa y simplifica: a 5 + (- b 6 c 5 9 + 5 + 7 6 5 d ( ( ( ( e ( + + 17( + ( + + ( + + 1 17.- Simplifica: ( a ( + + ( b ( ( c ( 5 ( 0 5 + 5 + + d ( ( + 5 + + 19 18.- Sean los polinomios: P( = + 1 y Q( = +. Calcular, dando el resultado en forma de polinomio ordenado y reducido, las siguientes epresiones: a P( +Q( b P( Q( c [P( + Q(] P( 19.- Dados los polinomios p( = + + 1, q( =, r( = 5 1. Calcula: a p( q( b p( + q( r( c 5r( 7p( d p( r( e [p( + q(] r( f [p( r(] q( 0.- Dados los polinomios p( = + 1; q( = y r( = 5 1 Polinomios. Recuperación. º E.S.O. - 7 -
Calcula: a p( q( b p( + 7q( r( c 6r( 7p( d p( q( e p( r( f r( q( g [p( + q(] r( h [p( r(] q( 1.- Calcula las siguientes potencias de monomios: a (a b c = b ( -5p 5 q = c ( - y z ( ( d ( y e ( y ( z.- Efectúa las siguientes operaciones, utilizando las fórmulas de los productos notables: a ( b ( + 7 c ( + 5 d ( + 1.- Transforma las siguientes epresiones en diferencia de cuadrados: a ( + 1( 1 b ( ( + c ( + 1( 1.- Busca el valor numérico de cada uno de los términos de la igualdad ( + y = + y + y para los pares de valores: a = 1, y = 1 b =, y = 1 c = -1, y = 0 d = -, y = -1 5.- Utilizando las identidades notables completa los valores desconocidos para que sean ciertas las siguientes igualdades: a 16y y + = ( b ( ( = + y y c 9 6y + = ( d 9a ( ( = + y y e + + = ( + 11 f 0 + = ( y g 9 = ( ( + h 16 + = ( i = 18 + 81 6.- Considera la identidad a b ( a b( a b 9 j + 1 1 = 1 = +. Qué relación debe haber entre a y b para que la diferencia de sus cuadrados sea igual a la suma de dichos números?. Justifica la respuesta. Factorización de polinomios 1.- Factorizar las siguientes epresiones: a 7 7 b + 6 15 c y 5y + 10 Polinomios. Recuperación. º E.S.O. - 8 -
Ejemplos resueltos: Factorizar 7 7. El "7" está en los dos términos luego es un factor común que pondremos delante del paréntesis: 7 7 = 7( Dividimos el primer sumando por 7 con lo que "7" dividido por 7 dará "" y escribimos dentro del paréntesis 7 7 = 7( A continuación se divide el Segundo sumando por 7 y se obtiene 1 con lo cual: 7 7 = 7( 1 Factorizar + 6 15. El "" y "" son factores comunes de los tres términos, se pone delante del paréntesis: + 6 15 = ( A continuación, se divide por y el resultado se pone dentro del paréntesis = (, a continuación se divide 6 por y el resultado se pone : = ( + y, por último, se divide 15 por y el resultado 5 se incluye en el paréntesis quedando: + 6 15 = ( + 5 Factorizar y 5y + 10. Como, en un principio, no se ven factores comunes a los cuatro términos podemos agruparlos en la forma: y 5y + 10 En los dos primeros sumando el factor común es "y": y 5y + 10 = y( 5 + 10 En los dos últimos sumandos podemos sacar factor común a " ": y 5y + 10 = y( 5 + 10 = y( 5 ( 5 Ahora el factor común será ( y con lo que nos quedará: y 5y + 10 = y( 5 ( 5 = ( 5(y Polinomios. Recuperación. º E.S.O. - 9 -
Ejercicios propuestos: 7.- Factorizar las siguientes epresiones a 1 b 1y 5y c + 6 15 d y + y e f ( + ( g 5 +10 10 h + i 5 + 8.- Etrae factor común en las siguientes epresiones: a a + b + c b 6a b 9a b + ab c y y y + y + 7 y + y + d ( ( y e ( + 5 f y ( + 1 ( + 1 Ejercicios resueltos Factorizar, utilizando las identidades notables, las siguientes epresiones: a + 1 b 9 c 9 + + 16 Factorizar + 1 Si, tomando como referencia la identidad ( a b a ab b ( = +, escribimos: - + 1= 1+ 1, podemos identificar: a = y b = 1, de donde: - + 1= ( -1 y queda el polinomio epresado como producto de factores Factorizar 9 En este caso tomamos como referencia la identidad a b ( a b( a b escribimos ( 9 = 9 = ( + ( = + y de donde: a = ; b = y, en consecuencia: Factorizar 9 + + 16 Tomando como referencia la identidad ( a b a ab b ( 9 1 + = + +, escribimos + + 6 = + +, de donde identificamos: en consecuencia: 9 + + 16 = ( + a = y b = y, Polinomios. Recuperación. º E.S.O. - 10 -
Ejercicios propuestos: 9.- Factorizar las siguientes epresiones utilizando las identidades notables a 9 b 10 + 5 c + + 1 d 9 e + 9 1 f 16y 9 g + + h + 8 i + + j ( 1 + ( + k ( y b( y l + 0.- Epresa en forma de producto: a + + 1 b + + c + d 1 + 9 + 1 1.- Factoriza, cuanto sea posible, las siguientes epresiones: a 9 b - 8 c ( + y - ( + y d 7 9 7 e 6 + 9 f 9 16 g 5 h + 8.- Fijándote en el apartado a completa los restantes apartados: a [( + y ] [( + y + ] = ( + y 9 b {( y + } {( y } = c {5 ( y}{5 + ( y} = d ( + y 8( + y + 8 =.- Dado el polinomio P( ( ( 9( 1 = + se pide: a Desarrollar, reducir y ordenar el polinomio P(. b Factorizar P( y resolver la ecuación P( = 0..- Descomponer en un producto de dos factores la epresión: P = + 1 + 5 + 1 + 7 + 1. Para qué valores de se verifica ( ( ( ( ( que P ( = 0? 5.- Halla un polinomio de segundo grado que cumple las siguientes condiciones: a El coeficiente del término de º grado es 1. b Se anula para =. a Su valor numérico para = 0 es 9. Polinomios. Recuperación. º E.S.O. - 11 -