Estática 2015-2 Profesor Herbert Yépez Castillo
Introducción 2.1 Escalares y vectores 2.2 Operaciones vectoriales 2.3 Suma vectorial de fuerzas 2.4 Suma de sistema de fuerzas coplanares 2.5 Vectores cartesianos 2.6 Suma y resta de vectores cartesianos 2.7 Vectores de posición 2.8 Vector fuerza dirigido a lo largo de una línea 2.9 Producto punto 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 2
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2.1 Escalares y vectores Cantidades físicas: Escalares y Vectores Escalar: Número positivo o negativo: A o /A/ masa, volumen, longitud Vector: Magnitud + dirección: fuerza, momento A o A Cola Cabeza L 20 A Línea de acción Referencia horizontal 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 4
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2.2 Operaciones vectoriales Multiplicación y división de un vector por un escalar A 2 A 2 A 0. 5 A 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 6
2.2 Suma de vectores Suma de vectores A A R = A + B B B Ley del paralelogramo A B R = A + B Construcción triangular 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 7
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2.3 Suma vectorial de fuerzas F 1 + F 2 F R F 2 O F 1 F 3 F R = F 1 + F 2 + F 3 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 9
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2.4 Suma de un sistema de fuerzas coplanares y F 1 = F 1x i + F 1y j F 2 F 2y F 1y F 1 F 2 = F 2x i + F 2y j F 3 = F 3x i F 3y j F 2x O F 3x F 1x x F 1 = (F 1x, F 1y ) F 2 = ( F 2x, F 2y ) F 3y F 3 F 3 = (F 3x, F 3y ) 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 11
2.4 Suma de un sistema de fuerzas coplanares y F 1 = (F 1x, F 1y ) F 2 F 2y F 1y F 1 F 2 = ( F 2x, F 2y ) F 3 = (F 3x, F 3y ) F 1x F 2x O F 3x x F R = F 1 + F 2 + F 3 F 3y F 3 F R = ( F 1x F 2x + F 3x, F 1y + F 2y F 3y ) F R = (F Rx, F Ry ) 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 12
2.3 Suma de un sistema de fuerzas coplanares y F Ry F R F R = F 2 R x + F R y2 O θ F Rx x F R x = F R. cos θ F R y = F R. sen θ tg θ = sen θ cos θ = F Ry F R x 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 13
2.4 Suma de un sistema de fuerzas coplanares La armella está sometida a dos fuerzas F1 =200N y F2=260 N. Determine la magnitud y la orientación de la fuerza resultante. Datos: F 1 = 200 N F 2 = 260 N Determinar: F R =? θ =? 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 14
2.4 Suma de un sistema de fuerzas coplanares F 1 = ( 200 sin 30, 200 cos 30) = 100, 173.205 N F 2 = (260 12 13, 260 5 13 ) = 240, 100 N F R = (F R x, F Ry ) = ( 100 + 240, 173.205 100) = (140, 73.205) N F R = (140) 2 +(73.205) 2 tg θ = F Ry F R x = 73.205 140 = 157.984 N θ = 27.605 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 15
2.4 Suma de un sistema de fuerzas coplanares 27.61 F R = 158.0 N F R = F R x, F Ry F R = (140) 2 +(73.205) 2 tg θ = F Ry F R x = 73.205 140 = (140, 73.205) = 157.98 N θ = 27.605 Rpta: F R = 158.0 N θ = 27.61 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 16
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2.5 Vectores cartesianos Sistema coordenado derecho Pulgar de la mano derecha señala el eje +Z Los dedos se enrollan alrededor de Z y se dirigen del eje +X hacia el eje +Y Z X Y 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 18
2.5 Vectores cartesianos Componentes rectangulares z A z A = A x + A y + A z A = (A x, A y, A z ) Magnitud A = A 2 x + A 2 2 y + A z x A x α O γ A β A y y Dirección cos α = A x A cos β = A y A cos γ = A z A 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 19
2.5 Vectores cartesianos Vector unitario Definido A, la magnitud del vector unitario es 1 y tiene la misma dirección de A A = A. μ A μ A = A A μ A = (A x, A y, A z ) A μ A = (cos α, cos β, cos γ) μ A = 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 20 x A x cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 A z α O z γ cos α = A x A μ A A β cos β = A y A A y y cos γ = A z A
2.5 Vectores cartesianos Resumen z A = A x + A y + A z A z μ A A = (A x, A y, A z ) γ A A = A. μ A α β A = A (A x, A y, A z ) A A = A. (cos α, cos β, cos γ) x A x O A y y 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 21
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2.6 Suma de vectores cartesianos F 1 = (F 1x, F 1y, F 1z ) z F 2 = (F 2x, F 2y, F 2z ) F 2 F 3 = (F 3x, F 3y, F 3z ) F 1 F R = F 1 + F 2 + F 3 x O F 3 y F R = F 1x + F 2x + F 3x, F 1y + F 2y + F 3y, F 1z + F 2z + F 3z F R = (F Rx + F Ry + F Rz ) 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 23
2.6 Suma de vectores cartesianos Exprese la fuerza F=200N como un vector cartesiano Datos: F = 200 N α =? β = 60 γ = 45 Determinar: F =? 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 24
2.6 Suma de vectores cartesianos cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 cos 2 α = 1 cos 2 β cos 2 γ cos 2 α = 1 cos 2 (60 ) cos 2 (45 ) cos 2 α = 0.25 cos α = 0.25 α = 120 60 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 25
2.6 Suma de vectores cartesianos F = F. μ F F = F (F x, F y, F z ) F F = F. (cos α, cos β, cos γ) F = 200(cos 60, cos 60, cos 45 ) Rpta: F = 100, 100,141.4 N 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 26
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2.7 Vectores de posición Vector fijo que localiza un punto en el espacio con relación a otro. z r: Se extiende desde el origen O hasta el punto P (x,y,z) r = (x, y, z) x O r P x,y,z z y x y 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 28
2.7 Vectores de posición Vector fijo que localiza un punto en el espacio con relación a otro. z r AB : Caso general, se extiende desde el punto A hacia el punto B r AB = r B r A r AB = x B, y B, z B (x A, y A, z A ) r AB = (x B x A ) x B x A, y B y A, z B z A x A O r B (y B y A ) (z B z A ) y 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 29
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2.8 Vectores fuerza dirigida a lo largo de una línea Se cuenta con una cuerda tensionada, la cual está sujeta por un extremo de la pared z F A B μ AB y F = F. μ AB μ AB = r AB r AB x 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 31
2.8 Vectores fuerza dirigida a lo largo de una línea Exprese la fuerza F=70 lb como un vector cartesiano Datos: F = 70 lb A = 0, 0, 30 B = 12, 8, 6 Determinar: F =? 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 32
2.8 Vectores fuerza dirigida a lo largo de una línea Determinar el vector unitario μ AB = r AB r AB μ AB r B = 12, 8, 6 r A = 0, 0, 30 r AB = 12, 8, 24 pie μ AB = r AB r AB = μ AB = 12, 8, 24 28 12, 8, 24 (12) 2 +( 8) 2 +( 24) 2 = 0.429, 0.286, 0.857 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 33
2.8 Vectores fuerza dirigida a lo largo de una línea Determinar la fuerza vectorial F = F. μ AB F = F. μ AB = 70 0.429, 0.286, 0.857 μ AB Rpta: F = 30, 20, 60 lb 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 34
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2.9 Producto Punto Multiplica dos vectores y halla el ángulo entre estos. A B = A. B. cos θ 0 θ 180 También llamado producto escalar, ya que el resultado es un valor escalar y NO un vector A B = A x. B x + A y. B y + A z. B z A θ B 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 36
2.9 Producto Punto Aplicaciones A Proyección escalar de A a lo largo de la línea a a A = A μ a a θ μ a a Proyección vectorial A a lo largo de la línea a a A A Además: A = (A μ a ) μ a a θ A μ a a A = A + A 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 37
2.9 Producto Punto Determine magnitud de la componente de F = 100 lb que actúa a lo largo del eje BC de la tubería Datos: F = 100 lb Determinar: F BC =? A = 3, 0, 0 C = 6, 4, 2 D = 0, 12, 0 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 38
2.9 Producto Punto La tubería esta sometida a F = 80 lb. Determine el ángulo entre F y BA, así como las magnitudes de las componentes de F, las cuales son paralelas y perpendiculares a BA Datos: F = 80 lb A = 0, 1, 0 B = 2, 3, 1 C = 2, 0, 0 Determinar: θ =? F BA =? F BA =? 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 39
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El cable AB ejerce una fuerza T igual a 32 lb sobre el collarín en A. Determinar la fuerza T como vector cartesiano. 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 41
El cable AB ejerce una fuerza T igual a 32 lb sobre el collarín en A. Determinar la fuerza T como vector cartesiano. Rpta.: La fuerza T es igual a (7.705; -15.409; 26.966) lb. 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 42
El disco A está en el punto medio de la superficie inclinada. La cuerda de A hacia B ejerce 0.2 lb de fuerza F sobre el disco. Si se expresa F en términos de componentes de vector paralelo y perpendicular a la superficie, cual es la componente perpendicular a la superficie?. z y x 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 43
El disco A está en el punto medio de la superficie inclinada. La cuerda de A hacia B ejerce 0.2 lb de fuerza F sobre el disco. Si se expresa F en términos de componentes de vector paralelo y perpendicular a la superficie, cual es la componente perpendicular a la superficie?. z y x Rpta.: La componente perpendicular a la superficie es igual a (0.023; 0; 0.093) lb. 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 44