XI. COMPENSACIÓN UTILIZANDO EL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES

XI. COMPENSACIÓN UTILIZANDO EL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES El lugar geométrico de las raíces representa la ubicación de las raíces de la ecuación característica a lazo cerrado cuando se varía un parámetro (generalmente, la ganancia de lazo abierto). A partir del mismo se puede tener una muy buena idea del comportamiento temporal del sistema. Es por ello, que se utiliza para diseñar compensadores y/o controladores cuando los requerimientos de los mismos sean requerimientos temporales (Ejemplo: e ss, M p, ts). Para visualizar la variación que puede tener el comportamiento de un sistema al añadir polos o ceros, se mostrará inicialmente ambos casos y luego se concretará al estudio de los compensadores sobre la respuesta del sistema.. VARIACIÓN DEL LGR AL AÑADIR POLOS O CEROS.. Adición de Polos: Al Lugar Geométrico de las Raíces que se muestra en la figura. (i) se le añadirán polos para observar su efecto: FIGURA.. ADICIÓN DE POLOS EN UN LGR ( i ) El sistema es estable para todo, la respuesta siempre será exponencial pues, las raíces son siempre reales. A medida que aumenta, el tiempo de establecimiento y el error disminuyen debido a que la raíz del sistema a lazo cerrado se traslada hacia la derecha. ( ii ) Al añadir un polo en el origen, mejora el error drásticamente pues aumenta el tipo del sistema, pero el tiempo de establecimiento desmejora. La respuesta puede ser oscilatoria, pues aparecen raíces imaginarias, pero sigue siendo estable para todo.

( iii ) Al añadir otro polo, mejora aun más la respuesta permanente pero, desmejora la respuesta transitoria y se ve afectada la estabilidad, pues ahora existe un valor límite de la ganancia.... Adición de Ceros: Para analizar el efecto de añadir ceros se partirá del LGR mostrado en la figura. (iii) (i) (ii) FIGURA.. ADICIÓN DE CEROS EN UN LGR ( i ) Al añadir un cero al sistema de la figura (iii), este pasa a ser estable para todo y mejora la respuesta transitoria. ( ii ) Al añadir otro cero, la variación del LGR muestra que los polos dominantes del sistema se trasladan hacia la izquierda, lo que implica una mejora en respuesta transitoria. Dependiendo de la ubicación de los ceros, el tiempo de establecimiento variará. Se puede observar que, al añadir polos o ceros en el lazo directo se logra modificar el Lugar Geométrico de las Raíces (LGR), lo que se traduce a una modificación en la respuesta temporal a lazo cerrado. Además, se puede concluir que la adición de polos en el origen mejora la respuesta permanente, desmejorando la respuesta transitoria, en cambio, la adición de ceros mejora la transitoria. A continuación se procederá a mostrar los procedimientos de diseño para añadir distintos tipos de compensadores adelanto, atraso y adelanto - atraso. COMPENSACIÓN EN ADELANTO: La función de transferencia del compensador es igual a la estudiada anteriormente para el caso frecuencial, donde 0,07 < α <, por lo que el máximo ángulo que proporcionará el adelanto será de 60º. Ts + Gc(s) α c αts +

3 El cero ocurre en s -/τ, y el polo en s -/ατ, tal como se muestra en la figura.3, a partir de alli se observa que el valor del ángulo del cero es γ y el ángulo del polo es β, por lo que, al añadir el compensador en adelanto, la condición de ángulo se verá modificada en un valor igual a φ γ - α, tal como se observa en la figura.3. Debido a ésto, este tipo de compensador se utiliza cuando es necesario modificar el L.G.R. para mejorar la respuesta transitoria del sistema a lazo cerrado. Polo deseado α z > α p α z - α p φ α p α z /ατ /τ φ : ángulo proporcionado por adelanto FIGURA.3 CERO Y POLO DEL ADELANTO.. PROCEDIMIENTO DE DISEÑO ) A partir de las especificaciones que debe cumplir el sistema a lazo cerrado, se determina la localización de los polos dominantes deseados (P.D.D) ) Se traza el lugar geométrico de las raíces del sistema no compensado y se verifica si los polos dominantes deseados pertenecen al LGR. Si no se dispone del LGR se verifica utilizando la condición de ángulo. 3) Para introducir la red de adelanto se pueden utilizar dos procedimientos: a) Se calcula el ángulo necesario para que los polos dominantes deseados pertenezcan al LGR. (φ). Se ubica el cero del compensador abajo del polo dominante deseado. (Ver figura.4) FIGURA.4. PRIMER MÉTODO GRÁFICO PARA EL ADELANTO

4 Se ubica el polo de forma tal que se satisfaga la condición de ángulo α z - α p φ b) Se traza una horizontal que pase por el polo dominante deseado y una recta que una el origen con el polo dominante deseado ( figura.5). Se traza la bisectriz y de allí se trazan dos rectas a φ / de cada lado, lo que ubica el polo y el cero del adelanto. Bisectriz φ/ φ/ Z... Cero del Adelanto P... Polo del Adelanto P Z FIGURA.5 SEGUNDO MÉTODO GRÁFICO PARA EL ADELANTO 4) Sea cual sea, el método de diseño, se debe calcular por condición de Módulo la ganancia tal que, los polos dominantes deseados sean la solución de la ecuación característica. EJEMPLO.. Para un sistema como el siguiente: FIGURA.6 ESQUEMA DE CONTROL Diseñe un compensador tal que, los polos dominantes deseados sean s 3 ± 3j SOLUCIÓN: ) Se verifica si los pertenecen al lugar geométrico de las raíces Como la función de transferencia a lazo abierto es muy sencilla, es fácil dibujar el LGR tal como se muestra en la figura.7. Gráficamente se observa que el polo dominante deseado no pertenece al LGR.

5 Polo dominante 3 α β -3 FIGURA.7 LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES PARA EL EJEMPLO.. ) Se debe calcular numéricamente el valor de φ a añadir utilizando la condición de ángulo. Para ello se calcula el ángulo de G ceros polos 0 (α + β) ( 3 + 3j) ( 0,5 ( 3 + 3j) ) G + G -30,89-06, - 37-80 5 G(s) para s s ( 0,5s + ) Por ello se debe añadir φ 57, para satisfacer la condición de ángulo. 3) Utilizando el primer procedimiento se añade el cero en s - 3, y se obtiene numéricamente el valor del ángulo del polo tal como se muestra continuación (figura.8). 3,464 φ α z - α p 57º α p X -3 90º α p α z - φ 33º FIGURA.8 EJEMPLO.. tg 60º 3,464/ x x 5,3333 Por lo tanto el cero estará en s - 3 y el polo en s - 8,33333

6 4) Finalmente, la ganancia para que ese punto sea el polo dominante deseado se calcula utilizando la condición de módulo: ( s + 3) 5 ( s + 8,33) s( 0,5s + ) 3,0333 De allí, que el compensador a añadir tendrá la siguiente función de transferencia. Gc 3,0333 ( s + 3) ( s + 8,333).3 COMPENSACIÓN EN ATRASO Para un sistema que tiene buenas características de respuesta transitoria pero no satisface los requerimientos en respuesta permanente se utiliza la compensación en atraso. Esencialmente, un compensador en atraso aumenta la ganancia de lazo cerrado sin modificar apreciablemente el lugar geométrico de las raíces. Para ello, se colocan el cero y el polo de la red de atraso cerca del origen la cual tiene la siguiente función de transferencia: G C ( s) C Ts + β βts + C s + T s + βt El cero y el polo del atraso se colocan muy cerca del origen, por lo que la red de atraso no tendrá prácticamente ningún efecto sobre la condición de módulo y la condición de ángulo, es decir, GC s + T C ( c ) s + βt ( s) ( s) G C < 5 Por lo tanto, si la función de transferencia de lazo directo, evaluada para, satisface la condición de ángulo y la condición de módulo, al añadirle Gc(s), éste no se verá afectado. De allí que sólo queda verificar que la nueva función de transferencia a lazo directo GH(s) Gc(s), tendrá una variación en el error igual a β

7 Ts + G c (s) GH s βts + ( ) β GH( s) Así se comprueba que la ganancia de lazo directo se verá modificada en un valor igual a β, lo que aumenta el coeficiente de error en el mismo factor β. PROCEDIMIENTO DE DISEÑO ) Verificar que los polos dominantes deseados pertenezcan al lugar geométrico de las raíces. ) Calcular el valor de β necesario para satisfacer coeficientes de error requerido no compensado T β βt 3) Se ubica el cero cerca del origen y con el valor de β se calcula la posición del polo. 4) La contribución del ángulo no debe ser mayor de 5º 5) Se verifica la condición de módulo y de ángulo para garantizar que el polo dominante deseado pertenezca al lugar geométrico de las raíces después de incluir el compensador. 6) Se verifica que se satisfaga el error. EJEMPLO.3. Para el siguiente sistema, se desea que los polos dominantes deseados sean s ± 3j y se satisfaga un v 0 FIG..9 ESQUEMA DEL SISTEMA ) Se verifica que los polos dominantes deseados pertenezcan al LGR. Ya que el LGR es tan simple, por simple inspección, se observa que los, sí pertenecen al lugar geométrico de las raíces, se verifica también usando la condición de ángulo.

8 s s ± 3j s ± 3,464j FIG..9 LGR DEL SISTEMA G(s) s (s + 4) 0 60 80 G(s) 4 4 Se calcula el v del sistema no compensado lims G(s) 6 / 4 4 v s 0 Como no satisface, se debe añadir un atraso. requerido no compensado T β βt β (0 /4) 5 Se escoge el cero en s 0,05. Por lo que el polo estará en: 0,05 s 0,0 β s + 0,05 G C (s) s + 0,0 Se comprueba G c (s) y G(s) 4,05 G c (s), 005 4,005 G c (s) 0,664 º - 0,39 º 0,495 º A partir de la función de transferencia de lazo directo final se verifica v:

9 s + 0,05 6 v lim s Gc (s)g(s) 5 4 0 s 0 s + 0,0 s( s + 4).4 COMPENSACIÓN ADELANTO ATRASO Este compensador se añadirá cuando se necesite modificar las condiciones de la respuesta transitoria y permanente. Su diseño puede ser realizado a partir del diseño separado de la red de atraso y la red de adelanto, es decir, se diseña inicialmente la red de adelanto tal que los polos dominantes deseados (), pertenezcan al Lugar Geométrico de las Raíces y luego a través del atraso se logra la ganancia deseada en lazo directo que satisfaga el error. Para ilustrar el método se realiza el siguiente ejemplo. Se desea que el sistema que se muestra en la figura.0, cumpla con los siguientes requerimientos: EJEMPLO.4. Se desea que el v 0, ζ 0,5 y ts % FIGURA.0 ESQUEMA DE CONTROL DEL EJEMPLO.9. ) Se ubican los. Si ξ 0,5 θ 60 tg θ ξ ξ ts 4 ξw % n s - + tg 60 x - + 3,46j ) Debido a que no se dispone del LGR exacto del sistema original, se verificará numéricamente si los pertenecen o no al LGR original. G (s) s (s + ) (s + 5)

0 G(s) 0 06, 49,07 75, 9 El ángulo necesario para que el pertenezca al lugar geométrico de las raíces será la diferencia entre 75 y -80 φ 95 Esto implica que es necesario introducir una red de adelanto que satisfaga dicha condición de ángulo. Como el φ max 60, se deben añadir dos compensadores por adelanto. 3) Se utiliza el segundo método para ubicar el cero y el polo del adelanto, (Figura.) Bisectriz α p 60º γ y x FIGURA. DISEÑO DEL COMPENSADOR POR ADELANTO ADELANTO DOBLE φ 47,5 φ/ 3,75 Se observa que γ 30º - 3,75 6,5 α z 90º - γ 83,75 tg β 3,46/ x x 0,3789 La ubicación del cero del adelanto está en s -,3789 Para ubicar el polo volvemos al gráfico de la figura. α z + 90 +(30 + φ/) 80 α z 36,5 tg α z 3,46/y y 4,788 La ubicación del polo será: en s - 6,788 G Ad Ad s +,38 s + 6,7

G Ad (s) (83,73) (36,4) 94,97 de allí que se añade el ángulo necesario. Se calcula Ad para que se satisfaga la condición de módulo: G(s) G(s) Ad s ( s + )( s + 5) Ad ( s +,38) ( s + 6,7) (3,99)(3,60)(4,58) G(s) G Ad (s) s ( 3,48) ( 5,85) Ad Ad 86,37 86,37 ( s +,38) ( s + )( s + 5)( s + 6,7) Teniendo completa la función de transferencia de lazo directo se calcula v lim s G(s) Gc(s) 4,68 V NO SATISFACE LA CONDICIÓN DE ERROR!!! s 0 SE UTILIZA UN ATRASO!! β requerida original β 0 4,68 β 4,7 sirve con un atraso simple. Cero en s 0,05 Polo en s 0,07 Se verifica Gc(s) At y Gc(s) At G s + 0,05 3,977 0,9953 O!!! s + 0,07 3,9906 At Gc (s) (s + 0,05) (s + 0,07) At Gc(s) At 9,4049 9,884 0, 47 φ - 0,47 (< 5 ) O!! 86 ( s +,38) ( s + 0,05) ( s + )( s + 5)( s + 6,7) ( s + 0,07) G(s)Gc(s) Ad Gc(s) At s

vfinal 86 (,38) ( 0,05) ( 5)( 6,7) ( 0,07) 9,94 Satisface v!!!.5. DISEÑO DE CONTROLADORES USANDO EL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES Los controladores también pueden ser diseñados utilizando el Lugar Geométrico de las Raíces, a partir del cual es posible determinar los parámetros de cada controlador tal que satisfagan los requerimientos establecidos. Los controladores a estudiar serán los siguientes: Proporcional ( P ) Proporcional Derivativo ( PD ) Proporcional Integral ( PI ) Proporcional Integral Derivativo ( PID ).5. PROPORCIONAL ( P ) G c (s) p Ajustar el valor de la ganancia en un controlador proporcional será como moverse en el LGR hasta lograr la respuesta deseada, tanto transitoria como permanente. Con ello se logra modificar tanto la respuesta transitoria como la respuesta permanente, pero en forma limitada..5. PROPORCIONAL DERIVATIVO ( PD ) La función transferencia del controlador puede ser escrita como: Gc ( s) ( + st ) p d p T d s + Td Consiste en ubicar un cero en /Td y el valor de p tal que se satisfagan los requerimientos..5.3 PROPORCIONAL INTEGRAL ( PI ) Gc + st T + s p + p p sti sti s i i ( s) Consiste en ubicar un polo en el origen y un cero en s - / Ti tal que se logre el objetivo deseado, además de fijar p.

3.5.4 PROPORCIONAL INTEGRAL DERIVATIVO ( PID ) Gc p + st d + st i sti + s T + itd sti Consiste en ubicar dos ceros y un polo en el origen tal que se satisfagan los requerimientos. A continuación se mostrarán diferentes ejemplos para ilustrar los procedimientos de cada caso. EJEMPLO.5. Para un sistema cuya FTLA es satisfaga los siguientes requerimientos: - Error al escalón unitario menor que 0, - Polos dominantes s - + j LGR sistema original G s se necesita que el sistema a lazo cerrado ( s + )( s + 3) FIGURA.. LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES PARA EL EJEMPLO.5. Claramente el polo dominante deseado no pertenece al LGR pero el error siempre se satisface por ser un sistema de tipo. DISEÑO: ) Se utilizará un controlador PD para mejorar la respuesta transitoria. ( + st ) T + Gc p d p d s Td El ángulo necesario a añadir será: G - s - (s+) - (s+3) G - 6,56-90 - 45-5,56

4 El ángulo necesario a añadir con el cero será φ 7,56. (Ver figura.3) tg φ /x x 0,667 Por lo tanto el cero estará en s -,667. FIGURA.3. ANGULO A AÑADIR UN CERO Finalmente, se calcula la ganancia para que se satisfaga la condición de módulo. GGc ( T )( s +,667) s( s + )( s + 3) d ( T )(,083) (,36)( )(,884) d Td 5,9995 Como / Td,667 9,999 0 EJEMPLO.0. Para un sistema, cuya función de transferencia es G(s) (s + )(s + 5), diseñe Gc ( P, PI, PD, PID) tal que satisfaga los siguientes requerimientos: v 0 ts % < wd FIGURA.4. LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES

5 A partir de los requerimientos de t s y de ω d se obtienen los - 4 + j ) Se escoge un PID pues se necesita mejorar el error drásticamente y también la transitoria ) Gc ( s + a)( s + b) s Hay infinitas soluciones. G - (s+) - (s+5) G - 46,3-63,43-09,76 G 3,605 Tal como se había dicho, el no pertenece al LGR, se necesita un adelanto de φ 30 que se logrará con los ceros, considerando también el ángulo añadido por el polo en el origen. Para calcular el ángulo que deben añadir los ceros se realiza a partir del ángulo φ. φ 30 ( s + 4) (s + 6) s + ceros ceros 30º + 53,43º Si se fija uno de los ceros en s - 4, entonces el otro se fija para satisfacer la condición de ángulo descrita anteriormente. ceros 90º + γ γ 93,43º γ 93,43 tg(80-γ) / X X 0,99 FIGURA.5. DETERMINACIÓN DEL CERO El otro cero estará en s -3, 88 Gc ( s + 4)( s + 3,88) s Para establecer el valor de se hace por condición de modulo:

6 ( )( ) (,36)( 3,605) ( 4,47) GGc 9,0 9 4 3,88 v Lims GGc 7,93 s 0 5 Satisface la condición v >0 Si no se logra satisfacer v, se debe reubicar los ceros.