Obtención de errores y análisis de datos experimentales

Universidad Nacional Autónoma de Honduras Facultad de Ciencias Escuela de Física Obtención de errores y análisis de datos experimentales Introducción Todas las medidas experimentales vienen afectadas de una cierta imprecisión inevitable debida a las imperfecciones del aparato de medida, o a las limitaciones impuestas por nuestros sentidos que deben registrar la información. El principal objetivo de la denominada teoría de errores consiste en acotar el valor de dichas imprecisiones, denominadas errores experimentales. Dado que el valor de las magnitudes físicas se obtiene experimentalmente por la medida (bien directa de la magnitud o bien indirecta, por medio de los valores medidos de otras magnitudes ligadas con el problema mediante una fórmula física) debe admitirse como postulado físico el hecho de que resulta imposible llegar a conocer el valor exacto de ninguna magnitud, ya que los medios experimentales de comparación con el patrón correspondiente en las medidas directas, viene siempre afectado de imprecisiones inevitables. De este modo, aunque es imposible encontrar en la práctica el valor cierto o exacto de una magnitud determinada, no hay duda de que existe, y nuestro problema es establecer los límites dentro de los cuales se encuentra dicho valor. Clasificación de los errores El error se define como la diferencia entre el valor verdadero y el obtenido experimentalmente. Los errores no siguen una ley determinada y su origen está en múltiples causas. Atendiendo a las causas que los producen, los errores se pueden clasificar en dos grandes grupos, errores sistemáticos y errores accidentales. 1. Error sistemático Se denomina error sistemático a aquel que es constante a lo largo de todo el proceso de medida y, por tanto, afecta a todas las mediciones de un modo definido y es el mismo para todas ellas. Estos errores tienen un signo determinado y las causas probables pueden ser las siguientes: a) Errores instrumentales (de aparatos). Por ejemplo; el error de calibrado es de éste tipo. b) Error personal. Este es, en general, difícil de determinar y es debido a limitaciones de carácter personal. Un ejemplo de éste sería una persona con un problema de tipo visual. c) Error de la elección del método. Corresponde a una elección inadecuada del método de medida de la magnitud. Este tipo de error puede ponerse de manifiesto cambiando el aparato de medida, el observador, o el método de medida. 1

2. Error accidental Se denominan errores accidentales a aquellos que se producen en las pequeñas variaciones que aparecen entre observaciones sucesivas realizadas por un mismo operador. Las variaciones no son reproducibles de una medición a otra, y no presentan más que por azar la misma magnitud en dos mediciones cualesquiera del grupo. Las causas de estos errores son incontrolables para un observador. Los errores accidentales son en su mayoría de magnitud muy pequeña y para un gran número de mediciones se obtienen tantas desviaciones positivas como negativas. Aunque con los errores accidentales no se pueden hacer correcciones para obtener valores más concordantes con el real, si se emplean métodos estadísticos se puede llegar a algunas conclusiones relativas al valor más probable en un conjunto de mediciones. Conceptos de exactitud, precisión y sensibilidad En lo que respecta a los aparatos de medida, hay tres conceptos muy importantes que vamos a definir exactitud, precisión, y sensibilidad. La exactitud se define como el grado de concordancia entre el valor verdadero y el experimental. De modo que, un aparato es exacto si las medidas realizadas con él son todas muy próximas al valor verdadero de la magnitud medida. La precisión hace referencia a la concordancia entre una medida y otras de la misma magnitud, realizadas en condiciones sensiblemente iguales. De modo que, un aparato será preciso cuan do la diferencia entre diferentes medidas de una misma magnitud sea muy pequeña. La exactitud implica normalmente precisión, pero la afirmación inversa no es cierta, ya que pueden existir aparatos muy precisos que posean poca exactitud debido a los errores sistemáticos tales como error de cero, etc. En general, se puede decir que es más fácil conocer la precisión de un aparato que su exactitud. La sensibilidad de un aparato está relacionada con el valor mínimo de la magnitud que es capaz de medir. Por ejemplo, decir que la sensibilidad de una balanza es de 5mg significa que para masas inferiores a la citada, la balanza no presenta ninguna desviación. Normalmente, se admite que la sensibilidad de un aparato viene indicada por el valor de la división más pequeña de la escala de medida. En muchas ocasiones, de un modo erróneo, se toman como idénticos los conceptos de precisión y sensibilidad, aunque hemos visto ya que se trata de conceptos diferentes. 2

Error absoluto y relativo Si medimos una cierta magnitud física cuyo valor verdadero es x 0, obteniendo un valor de la medida x, llamaremos error absoluto en dicha medida, a la diferencia: Donde en general se supone que x x 0 x = x x 0 El error absoluto nos da una medida de la desviación, en términos absolutos respecto al valor verdadero. No obstante, en ocasiones nos interesa resaltar la importancia relativa de esa desviación. Para tal fin, se usa el error relativo. El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor verdadero : ɛ = x x 0 En forma porcentual se expresará multiplicado por cien. Cuando indiquemos el valor de una medida de una magnitud, tendremos que indicar siempre el grado de incertidumbre de la misma, para lo que acompañaremos el resultado de la medida del error absoluto de la misma, expresando el resultado en la forma: x ± x Cifras Significativas Las cifras significativas son aquellas que están medidas con precisión, según el instrumento utilizado; o también, si se realizan cálculos a partir de los valores medidos, son las cifras del resultado en las que podemos tener confianza de que son precisas. Para saber cuántas cifras significativas hay en un resultado se pueden utilizar ciertas reglas que veremos a continuación. 1. Los ceros a la izquierda no son significativos. Por lo tanto, el número 103 tiene tres cifras significativas, y el 0.000000103 también. Esto se debe a que los ceros a la izquierda no le añaden precisión a la medición, sino que solamente sirven para establecer la posición del punto decimal. Generalmente es mejor hacer esto utilizando la notación exponencial; así, los números mencionados se convertirían en 1.03 10 2 y 1.03 10 7. Entonces, para contar las cifras significativas se parte del primer dígito distinto de cero y se cuentan todos los dígitos a partir de éste. 2. Los ceros a la derecha sí son significativos. Esto es muy importante: los ceros a la derecha deben escribirse si y solamente si son una parte verdadera de la medición. Por lo tanto, no es lo mismo decir que algo pesa 1 kg que decir que pesa 1.00 kg. La primera magnitud implica que la medición se realizó con una balanza graduada en kilogramos. La segunda medición fue realizada en una balanza graduada en centésimas de kilogramo. La segunda medición es cien veces más precisa que la primera; la primera tiene una cifra significativa y la segunda tiene tres cifras significativas. Por ello es extremadamente importante no olvidar escribir los ceros a la derecha cuando se sabe que son significativos. Por ejemplo, en una balanza analítica que tiene precisión de diezmilésimas de gramo, si la balanza marca 0.5700 g es necesario registrar el número con los dos ceros a la derecha, y no como 0.57 g. 3

Determinación de los errores cometidos en las medidas directas Cuando realicemos la medida de cualquier magnitud deberemos indicar siempre una estimación del error asociado a la misma. Dado que no conocemos el valor verdadero de la magnitud que deseamos medir, se siguen ciertos procedimientos para hacer una estimación tanto del valor verdadero de la magnitud, como de una cota de error, que nos indique la incertidumbre en la determinación realizada. Distinguiremos tres casos bien diferenciados: 1. Caso en el que se realiza una única medida de una magnitud. En este caso consideramos que el error absoluto coincide con el valor de la sensibilidad del aparato utilizado para realizar la medida. De este modo el resultado de una medida lo indicaremos en la forma: x ± x donde x es la sensibilidad. 2. Caso en el que se realizan varias medidas de una misma magnitud. Con el fin de alcanzar cierta validez estadística en los resultados de las medidas, es muy conveniente repetir varias veces la determinación del valor de la magnitud problema. Los resultados de las medidas individuales pueden presentarse poco o muy dispersas, en función de esta dispersión será conveniente aumentar o no, el número de determinaciones del valor de la magnitud. Para decidir el número de determinaciones del valor de una magnitud física que deseamos medir seguiremos el siguiente procedimiento: Se realizan N medidas de la magnitud, se calcula el valor medio de estas N medidas, dado por: x = 1 N x i y se halla la dispersión total D de las mismas, es decir, la diferencia entre los valores extremos de las medidas (valor máximo de las medidas obtenidas menos el valor mínimo) y finalmente se obtiene el tanto por ciento de dispersión, T, que viene dado por: T = D x 100 % Si el valor de la dispersión total D no es mayor que el valor de la sensibilidad del aparato de medida, D S, en este caso se toma como estimación del valor verdadero de la magnitud el valor medio de las tres medidas x y como error absoluto la sensibilidad. Ahora bien, si el valor de la dispersión total D es mayor que el de la sensibilidad del aparato, D > S, procedemos a aumentar el número de medidas de la magnitud. El criterio a seguir en este aumento viene condicionado por el valor del porcentaje de dispersión T del modo indicado en la tabla adjunta. Una vez realizadas las medidas necesarias se toma como valor verdadero de la magnitud, el valor medio de la misma calculado sobre el número total de medidas realizadas. 4

T en las tres primeras medidas Cantidad de medidas necesarias T 2 % Bastan las 3 medidas realizadas 2 % < T 8 % Hay que hacer 3 medidas más, hasta un total de 6 8 % < T 15 % Hay que hacer un total de 15 medidas 15 % < T Hay que hacer 50 medidas como mínimo El error estadístico de un conjunto de N medidas de una misma cantidad corresponde a la desviación estándar de la media, para el caso de un conjunto de medidas realizadas la dispersión la medimos con la desviación estándar σ(x) = 1 (x i x) 2 N Sin embargo el valor medido también variará de un conjunto de medidas a otro por lo que podemos definir la desviación estándar de la media el cual corresponde al error estadístico de un conjunto de N medidas σ( x) = σ(x) N Ejemplo númerico Asuma que en un experimento se hacen 5 mediciones consecutivas de la altura de un cilindro, los resultados de tales mediciones se presentan en la tabla. Medición Valor (cm) 1 71 2 72 3 73 4 72 5 71 Ahora se encuentra x = 1 5 5 x i = 71.8 cm, se tabulan los demás cálculos: Dato x i x (cm) (x i x) 2 (cm 2 ) 1 0.8 0.64 2 0.2 0.4 3 1.2 1.44 4 0.2 0.4 5 0.8 0.64 Ahora se tiene 5 (x i x) 2 = 3.52 cm 2 5

σ(x) = 1 5 5 (x i x) 2 = σ( x) = σ(x) N = 1 5 (3.52 cm2 ) = 0.84 cm 0.84 cm 5 = 0.4 cm Quedando expresado como x = (71.8 ± 0.4) cm Determinación del error de una magnitud medida indirectamente La medida indirecta de una magnitud se alcanza por aplicación de una fórmula a un conjunto de medidas directas, (variables independientes o datos), que las relacionan con la magnitud problema. Mediante dicha fórmula se obtiene también el error de la medida según pasamos a explicar. Antes de continuar, debemos indicar que si en dicha fórmula aparecen números irracionales tales como π, e, etc, debemos elegir el número de cifras significativas con que deben tomarse a la hora de realizar los cálculos correspondientes, de modo que los errores cometidos al aproximar estos números irracionales no afecten a la magnitud del error absoluto de la magnitud que queremos determinar. Supongamos que la magnitud F es función de otras magnitudes físicas, estando relacionada con ellas por F = f(x, y, z,...). Supongamos además, que se han realizado medidas de las citadas variables, x, y, z,... y se han determinado su valor y su error. Para realizar el cálculo del error absoluto de F, en función de los errores absolutos cometidos en las determinaciones directas de x, y, z,... se procederá de la siguiente forma: En primer lugar se obtiene la diferencial total de F en función de las diferenciales de las variables x, y, z,... mediante: df = F F F dx + dy + dz +... x y z A continuación asimilamos las diferentes diferenciales a los errores absolutos, y además consideramos que en el cálculo del error de F debemos ponernos en el caso más desfavorable, es decir, error mayor, para lo cual tomaremos los valores absolutos de las derivadas parciales, con el fin de tener una suma de términos positivos, obteniendo para el valor del error absoluto de F el resultado: F = F x x + F y y + F z z +... = σ x + σ y + σ z +... La ecuación anterior representa una sobre estimación del error de la variable dependiente F, en donde cada termina de la sumatoria representa una incertidumbre independiente, por lo que la incertidumbre adecuada o no sobreestimada de la medida indirecta F corresponde a la suma cuadrática de las incertidumbres independientes. ( x F = ) 2 ( ) 2 ( ) 2 y z σ x2 + σ y2 + σ z2 = F 0 + + +... x y z 6

Donde F 0 es la medida indirecta de los mejores valores medidos de las variables independientes o medidas directas. Nota: para el error propagado el análisis de errores se llevará a cabo con la expresión adecuada para la incertidumbre y no con la sobreestimación ( x F = ) 2 ( ) 2 ( ) 2 y z σ x2 + σ y2 + σ z2 = F 0 + + +... x y z Ejemplo numérico del cálculo de errores Suponiendo que se pretende medir la aceleración de la gravedad g midiendo el periodo T de un péndulo de longitud L, la expresión que relaciona las tres variables es g = 4π2 L T 2 Previamente se determinarán L y T a través de medidas directas. Sean L 0 ± L y T 0 ± T los resultados de las mediciones. Ahora se calcula la diferencial total de g tomando a L y a T como variables g = g L dl + g 4π2 T dt = 2 T dl + 8π2 L 3 0 T dt = σ L + σ T 0 Finalmente se sustituyen las variables por sus valores medidos, los diferenciales por los errores y se da signo positivo a todos los sumandos. Con todas las consideraciones anteriores calculamos el error adecuado para g Construcción de gráficas ɛ g = g = σ L2 + σ T 2 = g 0 ( L L 0 ) 2 ( + 2 T ) 2 T 0 La representación gráfica de los fenómenos físicos que estudiemos debe ajustarse a las siguientes normas: 1. Gráficas en papel milimetrado con los ejes bien trazados, y en cuyo centro indicaremos la magnitud representada, en las unidades en que ha sido medida (con letra grande y clara). El título de la gráfica ser claro y vendrá indicado en la parte superior. 2. La variable independiente del fenómeno debe ir representada en abscisas y la dependiente en ordenadas. 3. Las escalas, sobre ambos ejes, han de permitir una lectura rápida y sencilla. Para ello se elegirán las escalas con intervalos de 1, 2, 5, 10, 20,... etc. unidades (poniendo pocos números). 7

4. Las escalas deben abarcar todo el intervalo de medidas realizadas y sólo el citado intervalo. 5. Sobre los ejes sólo se indican los valores correspondientes a las divisiones enteras de la escala (que han de quedar así uniformemente espaciadas). Nunca se señalan los valores correspondientes a las medidas realizadas. 6. Los valores medidos se representan sobre el papel milimetrado por el punto correspondiente a sus dos coordenadas (punto experimental) y rodeado por el denominado rectángulo de error, cuya base abarca desde x x hasta x + x y cuya altura se extiende desde y y hasta y + y, siendo (x, y) las coordenadas del punto experimental. En el caso de que x o y sean despreciables en comparación con la escala utilizada, el rectángulo de error queda reducido a un simple segmento vertical u horizontal, según sea el caso. 7. Las gráficas han de ser líneas finas continuas nunca quebradas, que han de pasar por todos los rectángulos de error, aunque para ello, dejen muchas veces de pasar por los puntos experimentales que pueden quedar a derecha o izquierda de la gráfica. Si al hacer esta operación, alguno de los rectángulos de error, queda excesivamente alejado de la forma continua de la gráfica, es prueba de que esa medida es falsa por alguna causa accidental, y debe repetirse. Ajuste de la recta de regresión por el método de mínimos cuadrados Con frecuencia, se plantea el problema de encontrar una expresión matemática del tipo y = f(x), de la ley física que rige el comportamiento de un determinado fenómeno, a partir de una serie de N medidas (x i, y i ), de las magnitudes x e y que lo caracterizan. Cuando la representación gráfica del fenómeno estudiado proporciona una distribución de los puntos experimentales en forma prácticamente lineal, es conveniente determinar la ecuación de la recta que será expresión de la ley física que rige el fenómeno estudiado, utilizando para ello el método de mínimos cuadrados. Dicha recta debe cumplir la condición de que los puntos experimentales, queden distribuidos simétricamente a ambas partes de la misma, y además, lo más próximos posible. Esta condición se cumple si se obliga a que la recta de ecuación: cumpla con la expresión: c = y = ax + b (y i ax i b) 2 Donde c corresponde a un parámetro de desviación entre la recta y los valores discretos. Las condiciones para que c tenga un valor mínimo se calculan derivando respecto a a y b, y anulando ambas derivadas, tras una serie de operaciones se obtiene a = NS xy S x S y NS xx S x S x b = S xxs y S x S xy NS xx S x S x 8

donde S xx = x i 2 S yy = y i 2 S xy = x i y i S x = x i S y = y i Para efectuar la estimación de la incertidumbre de los parámetros, es decir cuál es el error de a y b, se utiliza la varianza de los datos, obteniendo Nχ ɛ(a) = a = 2 (a, b) S xx χ ɛ(b) = b = 2 (a, b) (NS xx S x S x ) (N 2) (NS xx S x S x ) (N 2) donde χ 2 (a, b) = (y i ax i b) 2 Además de los valores de la pendiente y la ordenada en el origen, es interesante obtener el denominado coeficiente de correlación lineal r, que nos da una medida del grado de correlación entre los valores de las variables x e y, es decir, hasta qué punto x e y están relacionadas mediante una función lineal. La expresión de r es r = NS xy S x S y NSxx S x S x NSyy S y S y el cual varía entre 0 (no existe correlación) y ±1 (correlación completa). 9